3.2.1 双曲线及其标准方程课件-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 3.2 双曲线 课时1 双曲线及其标准方程 1 1.椭圆的定义 2.椭圆的标准方程 问题： 如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？ 复习回顾 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆。 焦点在x轴： 焦点在y轴： 其中，a>b>0，且a2=b2+c2 2 双曲线的定义 我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的 点的轨迹叫做双曲线。 ||MF1|-|MF2||=2a<2c 2 F F 1 M 这两个定点叫做焦点 两焦点间的距离叫做焦距=2c 常数=2a<2c 4 （2）当 时，即 偏向 一边 （1）当 时，即 偏向 一边 问题2： 定义中为什么强调距离差的绝对值为常数？ 如果不加绝对值，那得到的轨迹只是双曲线的一支. 问题3： 在上述问题中，我们又如何确定哪一支呢？ 问题1： 定义中为什么强调距离差的绝对值为非零常数？ 如果等于零的话点M的轨迹是线段F1F2的中垂线 问题5：在双曲线的定义中，如果这个常数（到两个定点距离之差的绝对值）大于 ,那么动点P的轨迹又是如何呢？ 问题4：在双曲线的定义中，如果这个常数（到两个定点距离之差的绝对值）等于 ,那么动点P的轨迹又是如何呢？ 点M的轨迹不存在 点M的轨迹是射线F1M , F2M x y F 1 M 2 F O 以F1，F2所在的直线为x轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系 设M（x , y）,则F1(－c,0),F2 ( c,0） 3.限制条件 |MF1|－|MF2|=±2a 5.化简． 4.代入 1.建系. 2.设点． 问题6：根据前面椭圆标准方程推导过程，我们能否模仿推导出双曲线的标准方程？ 类比求椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当 的坐标系，得到双曲线的方程？ 此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 这个方程也是双曲线的标准方程，它表示焦点在y轴上，焦点坐标分别是F1(0, -c), F2(0, c)的双曲线，这里c2=a2+b2. O • • • M 问题7： 类比椭圆，如果不采用推导的方法，你能由焦点落在x轴上的方程直接得到焦点在y轴上的双曲线方程吗？ 9 ① 方程用“－”号连接； ② 分母是a2, b2, 且a>0, b>0，但a, b大小不定； ③ c2=a2+b2 ； ④ 如果x2的系数是正的，则焦点在x轴上； 如果y2的系数是正的，则焦点在y轴上. 问题：双曲线标准方程从形式上看有什么的特征？a,b,c有什么关系？ 记忆口诀： 化成标准式， 焦点跟着正项走 10 椭圆 双曲线 定 义 方 程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 焦 点 a, b, c 的关系 F1(－c, 0), F2(c, 0) a>0, b>0, c2=a2+b2 a, b, c中c最大 a>b>0, a2=b2+c2 a, b, c中a最大 ||MF1|－|MF2||=2a (a<c) |MF1|+|MF2|=2a (a>c) F1(0, －c), F2(0, c) F1(－c, 0), F2(c, 0) F1(0, －c), F2(0, c) 由方程定焦点：椭圆看大小, 双曲线看符号 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 方程 表示双曲线. ( ) × （2） 双曲线两焦点之间的距离称为焦距. ( ) √ （3） 若焦点在轴上的双曲线方程为，则 . ( ) × （4） 双曲线上的点到两焦点的距离之差的绝对值为定值. ( ) √ 问题: 方程 表示哪种曲线呢？ [答案] 当时表示圆； 当或时表示椭圆； 当 时表示双曲线． 12 例2 求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）经过点， ； （2）焦点为，，经过点， ； （3）实轴长与虚轴长相等，经过点 ； （4）经过和， 两点. 13 [解析] （1）根据题意，双曲线经过点，则双曲线的焦点在轴上，且 ， 设双曲线的标准方程为 ， 双曲线经过点，则有，解得 ， 则双曲线的标准方程为 . （2）根据题意，双曲线的焦点在轴上，且 ， 设双曲线的标准方程为，双曲线经过点， ， 则有 ， ① 因为 ， ② 联立①②，解得， ， 则双曲线的标准方程为 . 14 （3）根据题意，双曲线中，设双曲线的方程为 ， 由双曲线经过点，得 ， 则双曲线的方程为 ， 所以双曲线的标准方程为 . （4）根据题意，设双曲线的方程为 ， 双曲线经过和，两点，则有解得 则双曲线的标准方程为 . 15 方法总结 利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤 （1）定位置：根据条件确定双曲线的焦点是在其中一条坐标轴上，还是两条坐 标轴都有可能. （2）设方程：根据焦点位置，设方程为或 ， 焦点不定时，亦可设为 . （3）寻关系：根据已知条件列出关于，， 的方程组. （4）得方程：解方程组，将，， 代入所设方程即得所求. 16 例1 已知圆，圆 . （1）若动圆与圆外切，且与圆内切，判断动圆的圆心 的轨迹； （2）若动圆同时与圆及圆相外切，判断动圆的圆心 的轨迹. 17 [解析] （1）设动圆的半径为 ， 因为圆与圆外切，且与圆 内切， 所以， ， 故 ， 所以圆心的轨迹是以， 为焦点，实轴长为4的双曲线的右支. （2）如图，设动圆的半径为，根据两圆外切的条件，得 ， ，则 . 由双曲线的定义知，圆心的轨迹是以， 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支. 18 巩固训练1 [2021年全国甲卷改编] 已知,是双曲线的两个焦点，为 上一点，且 ， ，则( ) . A A. B. C. D. 19 巩固训练2 已知的顶点，，若的内切圆圆心在直线 上，则顶点 的轨迹方程是( ) . C A. B. C. D. 20 [解析] 如图，，， ， 所以 . 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支（除去右顶 点），标准方程为 . 故选C. 21 例3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民， 某部队在如图所示的 处空降了一批救灾药品，要把这批药品沿道路 ，送到矩形灾民区中去，若 ， ，， ，试在灾民区中确定一条界线， 使位于界线一侧的点沿道路 送药较近，而另一侧的点沿道路 送 药较近，并说明这一界线是一条什么曲线，求出其方程． 22 [解析] 矩形灾民区中的点可分为三类，第一类沿道路 送药较近，第二类沿道路送药较近，第三类沿道路和 送药距离一样，依题意，界线是第三类点的轨迹. 设为界线上的任一点，则 ， 即 ， 如图，以所在直线为轴，线段的垂直平分线为 轴，建立平面直角坐标系. 设所求双曲线方程的标准形式为 ， ， ， 界线是以， 为焦点的双曲线的右支的一部分. 23 ， ， 故所求双曲线的标准方程为 . 点的坐标为 ， 的最大值为60，此时对应的 ， 故界线的曲线方程为 ． 巩固训练 如图所示，地在地的正东方向处， 地在地的北偏东 方向处，河流的沿岸 （曲线）上任意一点到的距离比到的距离远 .现 要在曲线上选一处建一座码头，向， 两地转运 货物.经测算，从到，两地修建公路的费用都是 万 元/ ，求修建这两条公路的最低总费用. 25 [解析] 如图所示，以的中点为原点， 所在的直 线为轴，建立平面直坐标系，则 ， ，.连接， . 因为 ， 所以点的轨迹是双曲线 的右支. 因为， 当，， 三点共线时等号成立， 又总费用为万元，且 ，所以修建这两 条公路的最低总费用为 万元. 26 1.已知动点到点的距离与到点的距离之差为2，则点 的轨迹是( ) . D A.双曲线 B.双曲线的一支 C.两条射线 D.一条射线 2.已知双曲线的一个焦点坐标是，那么 的值为( ) . C A.1 B. C.3 D.5 3.已知双曲线的一个焦点为，且过点 ，则该双曲线的标准方程为 ___________． 27 4.已知为坐标原点，双曲线的焦距为，点 在双曲 线上，点，分别为双曲线的左、右焦点， . （1）求双曲线 的标准方程； （2）已知点，，设直线，的斜率分别为，，证明： 为定值. 28 [解析] （1）由题意知，由双曲线的定义知， ， 又 ， ， 双曲线的标准方程为 . （2）设，则，即 . ， ，， ， . 29 2.已知双曲线的左、右焦点分别是，，双曲线上一点到点 的距离是 12，则点到点 的距离是( ) . D A.17 B.7 C.7或17 D.2或22 30 3.以椭圆 长轴的端点为焦点，且过椭圆焦点的双曲线方程为___________． 4.已知双曲线与椭圆有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点 的纵坐标为 4，求双曲线方程． 31 $