精品解析：浙江温州市龙湾区海城中学2026-2027学年九年级上学期暑假独立作业数学卷

2026学年第一学期九年级暑假独立作业数学卷 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分： 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置： 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基! 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是( ) A. B. C. D. 2. 温州园博园2026年五一假期累计接待游客1161000人次，将1161000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，点，分别在边，上，延长至点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（ ） A. 组序1 B. 组序2 C. 组序3 D. 组序4 6. 如图，在矩形中，E，F分别是上的点，且，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，则的值为（ ） A. 60 B. C. 68 D. 9. “五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（ ） A. 实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B. 实际参加游览的同学人数（单位：个） C. 原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D. 原来参加游览的同学人数（单位：个） 10. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点在直线上，则的值是______． 12. 计算：______． 13. 把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 14. 五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 15. 当时，函数有最大值______． 16. 如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 18. 解不等式组： 19. 如图，在平行四边形中，点分别在边，的延长线上，且，连接，分别交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 20. 某校举行班容班貌评比活动，以班级为单位，评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目．三个班级各项目得分如下表（单位：分）所示： 文化卫生 板报宣传 特色栏目 A班 88 89 84 B班 88 88 85 C班 87 88 88 （1）已知A，B两班的平均分都是87分，通过计算指出哪个班级平均分最高； （2）若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按的比例计算总成绩，此时A，B两班的总成绩分别为87.6分和87.4分，方差分别为和．哪一个班级总成绩好且稳定？ 21. 如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． （1）设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） （2）连接，求的面积． 22. 已知一元二次方程，且． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若，解一元二次方程． 23. 已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档垂直底边且长为，制作所需材料的总长为，设，透光面积为． （1）求S关于的函数表达式及的取值范围； （2）当时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； （3）求S的最大值． 24. 如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． （1）设，则______，______（都用含的代数式表示） （2）连接，，求证：； （3）设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级暑假独立作业数学卷 卷首语： 1．本卷共4页，考试时间120分钟，满分120分： 2．全卷由试题卷和答题卡两部分组成，请将答案写在答题卡相应的位置： 3．书写时字迹要工整，清晰，请勿使用涂改液、修正带等，不得使用计算器． 希望你沉着冷静，让智慧在笔尖流淌，用细心为成功奠基! 卷Ⅰ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1. 某同学记录了班级同学进、出教室的人数，某节课间进教室5人，出教室7人，记进教室为正，出教室为负，下列算式能表示当节课间教室人数变化的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵进教室记为正，出教室记为负， ∴进5人记为，出7人记为． ∴当节课间教室人数变化为． 2. 温州园博园2026年五一假期累计接待游客1161000人次，将1161000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定． 【详解】解：． 3. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 4. 如图，在中，，，点，分别在边，上，延长至点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行的性质和三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴． 5. 统计兴趣小组的同学收集了我国7个地区的人均耕地面积（单位：公顷）数据：0.1，0.6，0.2，0.3，0.6，1.8，2.0．为合理分组，设计以下解决方案：规定两组组内离差平方和之和越小，分组越合理． 组序 分组情况 第1组组内离差平方和 第2组组内离差平方和 第1组 第2组 1 0.1，0.2，0.3 0.6，0.6，1.8，2.0 0.02 1.71 2 0.1，0.2，0.3，0.6 0.6，1.8，2.0 0.14 1.15 3 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6 1.8，2.0 0.21 0.02 4 0.1，0.2，0.3，0.6，0.6，1.8 2.0 1.94 0 则合理分组是（ ） A. 组序1 B. 组序2 C. 组序3 D. 组序4 【答案】C 【解析】 【分析】计算各组序的两组组内离差平方和之和，则和越小分组越合理，比较大小即可得解． 【详解】解：分别计算各组序的两组组内离差平方和之和： 组序1：， 组序2：， 组序3：， 组序4：， ∵， ∴组序3的分组最合理． 6. 如图，在矩形中，E，F分别是上的点，且，若，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知得到，由四边形是矩形得到，求出，证明，得到，，，勾股定理得到 ，利用周长的定义即可求出四边形的周长． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 即四边形的周长为． 7. 设是方程的两根，且，则常数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，结合的条件列方程求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 8. 已知，，则的值为（ ） A. 60 B. C. 68 D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知等式左边展开，变形得到含待求式的整体，代入计算． 【详解】解：， 将代入，得， 即， 所以． 9. “五一”劳动节，某游乐园举行旅游文化节，几个同学合租一辆大巴车去游览，大巴车的租价是1200元．出发时，有6个同学临时有事去不了，结果每名同学比原来多分摊了10元租车费．若由已知信息列出方程，则方程中表示（ ） A. 实际参加游览每名同学需要分摊的车费（单位：元） B. 实际参加游览的同学人数（单位：个） C. 原来每名同学需要分摊的车费（单位：元） D. 原来参加游览的同学人数（单位：个） 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程中常数项6的实际意义，判断分式表示的量，推导x的含义． 【详解】解：方程中常数6为人数，故与均表示人数， 由总费用与每人分摊费用、人数的关系，可知x和表示每人分摊的车费， ∵实际每名同学比原来多分摊10元， ∴为实际每人分摊的车费，x为原来每人分摊的车费． 10. 如图，正方形的边长为2，点分别在边上，，设，五边形的面积，则关于的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得，再观察图形可得五边形的面积正方形的面积三角形的面积，据此即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵正方形的边长为2， ∴， ∴五边形的面积正方形的面积三角形的面积 ， ∵正方形的边长为2，， ∴ 解得， ∴x的取值范围为． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若点在直线上，则的值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】点在直线上时，点的坐标满足直线的解析式，将点的横坐标代入解析式即可求出的值. 【详解】解：∵ 点在直线上， ∴ 将，代入直线解析式， ， ． 12. 计算：______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用完全平方公式展开原式，再合并常数项即可得到结果． 【详解】解：根据完全平方公式， ∵ ， ， ∴ ． 13. 把一元二次方程化为一般形式，结果是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：利用平方差公式展开方程左侧， 得， 将所有项移到方程左侧，整理得： ． 14. 五一期间温州园博园某小组8名游客的游玩时长（单位：小时）依次为：，，，，，，，，则这组数据的上四分位数是______． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出从小到大排好序的个数据，要求计算上四分位数，先计算分位数位置，再根据规则计算即可求解． 【详解】解：∵数据已经按从小到大排列，样本容量， 第一种方法：计算位置，为整数，根据分位数计算规则，上四分位数为第项与第项数据的平均数，第项数据是，第项数据是， ∴ 第二种方法：从小到大排列，后4个数据为：，，，， ∴上四分位数 15. 当时，函数有最大值______． 【答案】4 【解析】 【分析】对二次函数配方得到对称轴和顶点坐标，判断顶点横坐标在给定自变量区间内，开口向下的二次函数在顶点处取得最大值． 【详解】解：先对函数配方得 ∵ 二次项系数 ∴ 二次函数图象开口向下，函数在顶点处取得最大值 ∵ 顶点横坐标为， 满足，即顶点横坐标在给定自变量范围内， ∴ 函数的最大值为． 16. 如图，在菱形中，，点在边上，，点在边上，当关于对称的线段垂直时，梯形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，．由四边形是菱形，结合已知条件可以推出菱形的高为，即为梯形的高，由于已知上底，所以要想求得梯形的面积，只需求出下底的长．根据和关于对称，可以得到，，，，通过证明得到，设，结合已知角度的三角函数关系，可以用含的代数式分别表示出的长度，进一步根据对称性，推出，则，在中，利用解出的值，即可得到的长，最后将和高的值代入梯形面积公式，求出梯形的面积． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，延长交于点，延长交于点，连接，． 四边形是菱形，， ，，， 菱形的高，与梯形的高相等． 和关于对称， ，，，，， 设，则， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 即，， ， 又即，， 四边形是矩形． 为菱形的高， ， ， 和关于对称， ， ， 在中，， 代入，， 解得，即． ． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知二次函数的图象经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【解析】 【详解】解：把代入， 得 解得：， ∴二次函数的表达式为：． 18. 解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可求解．解题的关键是正确掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【详解】解：， 由①得， 解得， 由②得， 解得． 所以． 19. 如图，在平行四边形中，点分别在边，的延长线上，且，连接，分别交于点． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明：在中，，，， 又， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴（）； （2）7 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，，再由平行线的性质证得，由证明两三角形全等； （2）由平行四边形的性质及已知条件得，即可得到，同理可得，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某校举行班容班貌评比活动，以班级为单位，评比项目包括文化卫生、板报宣传和特色栏目．三个班级各项目得分如下表（单位：分）所示： 文化卫生 板报宣传 特色栏目 A班 88 89 84 B班 88 88 85 C班 87 88 88 （1）已知A，B两班的平均分都是87分，通过计算指出哪个班级平均分最高； （2）若将文化卫生、板报宣传和特色栏目的得分按的比例计算总成绩，此时A，B两班的总成绩分别为87.6分和87.4分，方差分别为和．哪一个班级总成绩好且稳定？ 【答案】（1）C班级平均分最高 （2）C班级总成绩好且稳定 【解析】 【分析】（1）求出C班的平均分，进而比较即可； （2）求出C班的总成绩，可知C班的总成绩A班的总成绩B班的总成绩，进而比较方差即可. 【小问1详解】 解：，因为，所以班级平均分最高； 【小问2详解】 解：C班的总成绩分， 可知C班的总成绩A班的总成绩B班的总成绩， ， 因为， 所以C班级总成绩好且稳定． 21. 如图，直线经过点，抛物线经过点，点在线段上，轴，交抛物线对称轴右侧部分于点，且． （1）设点，求点的纵坐标（用两种不同的含的代数式表示） （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先通过直线的解析式求出点的坐标，进而求出抛物线的解析式，由轴得点，点的纵坐标相等；由的长可求出点的横坐标，代入抛物线的解析式中即可表示出点的纵坐标； （2）由即可得解． 【小问1详解】 解：把代入，得，解得， 把代入，得，解得， ∴ ∵轴，点， ∴； ∵轴，点， ∴点的横坐标为， 又∵点在抛物线上， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得，解得，或（舍去）， ∴， ∴的面积． 22. 已知一元二次方程，且． （1）求证：方程有两个实数根； （2）若，解一元二次方程． 【答案】（1）证明：， ， 方程有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，结合条件化简，证明其非负性，从而证明方程有两个实数根； （2）先由求出未知系数，再将方程化为标准形式后利用求根公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得， 一元二次方程化为． ， 解得． 23. 已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，横档垂直底边且长为，制作所需材料的总长为，设，透光面积为． （1）求S关于的函数表达式及的取值范围； （2）当时，对应的透光面积分别为，，比较，的大小，并说明理由； （3）求S的最大值． 【答案】（1）； （2）解：因为，对称轴，抛物线开口向下， 所以当时，S随的增大而增大， 因为， 所以； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据题意求出的值，进而根据矩形面积公式得到函数表达式，结合实际情况即可得到的取值范围； （2）根据二次函数的性质作答即可； （3）根据二次函数的性质作答即可； 【小问1详解】 解：由题意，得 ， 所以 所以， 化简，得， ∵制作所需材料的总长为， ∴， ∴， 即； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：因为对称轴，在范围内，且，抛物线开口向下， 所以当时，． 24. 如图，在正方形中，分别在边，上取点，，使，分别作，的中垂线，垂足分别为，交于点于点，对角线分别交，于点，得轴对称图形． （1）设，则______，______（都用含的代数式表示） （2）连接，，求证：； （3）设，四边形，的面积分别为，，，当，时，求的值． 【答案】（1）； （2）证明：连接， ，分别是，的垂直平分线， ∴点O在的垂直平分线上， ∵， ∴垂直平分， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴三点共线， ∵， ∴． ∴． ∴，， ∴， 由（1）知，，设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 由（1）知，， ∴． （3）14 【解析】 【分析】（1）首先利用正方形性质和，证明，得到，，结合直角三角形性质得，由正方形性质得，由等腰三角形性质得，得，由四边形内角和性质得．根据正方形性质和三角形外角性质，得． （2）连接，证明点O在的垂直平分线上，点D在的垂直平分线上，得到三点共线，由斜边中线性质得．由三角形外角性质和等腰三角形性质得，，结合正方形性质得，得，由，得．结合，得． （3）由，得，证明，得，再证明，得，由对称性得，得，代入已知数据计算即得结果． 【小问1详解】 解：正方形中，，且， ∴， ∴，． ∴，． ∴， ∴， ∵是的中垂线， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵正方形对角线平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由（2）知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，分别是，的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在正方形的对角线上， ∵垂直平分， ∴四边形与四边形关于对称， ∴， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $