26.4实际问题与二次函数（共需3课时）2026-2027学年人教版九年级数学上册

冰冻三尺，非一日之寒，才高八斗，岂一日之学， 成功需要坚持不懈的努力。 致亲爱的同学们 26.4 实际问题与二次函数(1) 张磊 图形面积的最值问题 学习目标 1、能利用二次函数解决一些简单图形面积的最值问题. 2、在确定最值的过程中，培养数形结合的思想. 3、通过对具体问题的分析，培养建立数学模型、解决数学 问题的能力. ①若-1≤x≤0，则当x＝___时，y有最小值____； 当x＝___时，y有最大值____. -1 0 0 3 ②若-1≤x≤2，则当x＝___时，y有最小值____； 当x＝___时，y有最大值____. -1 0 1 4 ③若2≤x≤3，则当x＝___时，y有最小值____； 当x＝___时，y有最大值____. 3 0 2 3 已知自变量x的 取值范围,求函数 y的最值，要结合 图象加以分析,不 能瞎猜乱蒙！ 知识准备 已知二次函数y＝-x²＋2x＋3的图象，结合图象回答三个问题： · x＝1 · · · · y＝-x²＋2x＋3 问题研讨 A B C 1、已知Rt△ABC两直角边的和为8. （1）设CB＝x，△ABC的面积为S，请写出S与x 之间的函数关系式,并写出自变量x的取值 范围. x 8－x 解:（1） S＝ x (8－x) ＝ （0＜x＜8） （2）当两条直角边分别为多少时，这个直角三角 形的面积最大？最大面积是多少？ （2） ∵a＝ ＜0 ∴当x＝4时，S有最大值 最大值＝ ∴当两条直角边分别为4时，这个直角三角形 的面积最大，最大面积为8. △ABC的 面积为S ③分析二次函数模型， 解决问题.(解模) ＝ ①建立二次函数模型(建模) ②确定自变量 的取值范围 2、如图，用60米长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形养殖场(墙长 为28米) ,怎样围能使养殖场的面积最大？请设计出你的方案 并求出最大面积。 S＝ x · ＝ (0＜x≤28) ∵a＝ ＜0 ∴x＝28时，S有最大值 ∴当与墙平行的一边长为28米，与墙垂直的一边长为16米时， 围成的养殖场的面积最大，最大面积为448米². x米 解：设与墙平行的一边长为x米， 养殖场的面积为S米²，则 问题研讨 最大值＝ 养殖场的面积为S米² 那么与墙垂直的一边长为 x米 (60－2x)米 解：设与墙垂直的一边长为x米， 养殖场的面积为S米²，则 S＝ x ＝ (60－2x) -2x2＋60x (16≤x＜30) ∵a＝ ＜0 ∴x＝16时，S有最大值 ∴当与墙垂直的一边长为16米，与墙平行的一边长为28米时， 围成的养殖场的面积最大，最大面积为448米². 问题研讨 最大值＝ 16×（60－2×16） ＝448 那么与墙平行的一边长为(60-2x)米， 养殖场的面积为S米² 2、如图，用60米长的篱笆围成一个一面靠墙的矩形养殖场(墙长 为28米) ,怎样围能使养殖场的面积最大？请设计出你的方案 并求出最大面积。 “用二次函数解决最值问题”的步骤： ①建立二次函数的模型（建模）； ②确定自变量的取值范围； ③分析二次函数模型解决问题（解模）. 方法归纳 1、如图，用总长为60m的篱笆围成一个矩形场地，矩形的面积S随 矩形一边长x的变化而变化. (1)写出S与x之间的函数关系式， 并指出x的取值范围；(2)怎样围能使矩形场地的面积最大？最 大面积是多少？ 30-x 解:(1) S＝ x (30-x) ＝ -x2＋30x (0＜x＜30) (2) ∵a＝-1＜0 ∴x＝15时，S有最大值 ∴把它围成一个边长为15的正方形可使场 地的面积最大，最大面积为225m2. 课堂练习与展示(第1轮) 最大值＝ 15×(30-15) ＝225 如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=6cm，∠B＝90°,点P从点A开始 沿AB边向点B以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以1cm/s 的速度移动,P、Q同时出发,如果有一个点到达终点,另一个点也随之 停止运动.几秒钟时ΔPBQ的面积最大？最大面积是多少？ 8 6 课堂练习与展示(第2轮) 解：设运动的时间为t s， v＝2 v＝1 S＝ t (8－2t) ＝ －t2＋4t (0≤t≤4) ∵a＝-1＜0 ∴t＝2时，S有最大值 ∴2s时，△PBQ的面积最大，最大面积为4cm2. 2t 8-2t t 最大值＝ ＝4 △PBQ的面积为S cm²，则 课堂小结 你对本节课所学的内容存在疑问吗？欢迎提出来，共同讨论！ 冰冻三尺，非一日之寒，才高八斗，岂一日之学， 成功需要坚持不懈的努力。 致亲爱的同学们 知识点回顾 “用二次函数解决最值问题”的步骤： _______________________________________ _______________________________________ _______________________________________ ①建立二次函数模型（建模）； ③分析二次函数模型,解决问题（解模）； ②确定自变量的取值范围； 26.4 实际问题与二次函数（2）—利润问题 张磊 学习目标 1、能利用二次函数解决一些生活中常见的商品利润问题. 2、在确定最值的过程中，培养数形结合的思想. 3、通过具体题目的分析，体会二次函数的运用价值. 商店销售一种衣服，进价为40元/件, 售价为50元/件，一个月 可售出500件；据市场调查发现：每涨价1元，月销售量就减少10件. ①若涨价x元，则售价为________元/件,每件的利润为_______元， 月销售量为__________件； ②设月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为： _________________________ 知识准备 y＝－10x2＋400x＋5000 (50＋x) (10＋x) (500-10x) 探究 某商品原来的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查 反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1 元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何调整价 格才能使出售此商品的周利润最大？ 涨价 降价 涨多少时，获得的周利润最大？ 降多少时，获得的周利润最大？ 调整价格 最大周利润是多少？ 最大周利润是多少？ 比较 某商品原来的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查 反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1 元，每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何调整价 格才能使出售此商品的周利润最大？ 解:设出售此商品的周利润为y元 (1)选择涨价， ∵a＝-10＜0 设每件商品涨价x元， 则 y＝(60+x-40)(300-10x) ＝-10x2+100x+6000 (0≤x≤30) ∴当x＝5时，y有最大值 ∴若选择降价,则降价2.5元时,出 售此商品的周利润最大,最大利润 为6125元. (2)选择降价， 设每件商品降价x元， 则 y＝(60-x-40)(300+20x) ＝-20x2+100x+6000 (0≤x≤20) ∵a＝-20＜0 ∴当x＝2.5时，y有最大值 ∴若选择涨价，则涨价5元时,出 售此商品的周利润最大，最大周 利润为6250元. 综上所述，每件商品涨价5元，售价 调整为每件65元能使出售此商品的周 利润最大. 探究 最大值=(60+5-40)×(300-10×5)=6250 最大值=(60-2.5-40)×(300-20×2.5) =6125 第一轮 （课本：P52 第8题） 某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元 时，房间会全部住满.当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有 一个房间空闲.如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元 的各种费用.房价定为多少时，宾馆的利润最大？ 解：设房价在180元的基础上涨价10x元， 宾馆每天的利润为y元，则 ∵a＝-10＜0 (0≤x≤50，x是整数) ∴当x＝17时，y有最大值 ∴房价上涨170元，即房价定为350元时，宾馆的利润最大. 课堂练习与展示 (180＋10x－20) y＝ (50－x) ＝ -10x²＋340x＋8000 第二轮 （福州质检题改编） 课堂练习与展示 某商店以50元/件的价格购进一批衣服，试销中发现“日销售量y(件)” 与“售价x(元/件）”满足一次函数关系：“y＝-x＋100”，若每件衣服 的售价不低于进价，不高于70元/件，当售价为多少时，商店销售这种衣服 的日利润最大？最大日利润是多少？ x w 解：设商店销售这种衣服的日利润为w元，则 w＝(x-50)y ＝(x-50)(-x＋100） ＝-x²＋150x-5000 （50≤x≤70） ∵a＝-1＜0 ∴当x＝70时，w有最大值 最大值＝ (70-50)(-70+100) ＝600 ∴当售价为70元/件时,商店销售这种衣服 的日利润最大，最大日利润是600元. 课时小结 你对本节课所学的内容存在疑问吗？欢迎提出来，共同讨论！ 作业 课本：P53 1、2；P56:8 1、高高兴兴读书，快快乐乐学习，这是最大的幸福。 2、早他人一分，快他人一步，你就超过他人很远很远。 致亲爱的同学们 图片欣赏 拱桥的桥拱 在平常的生活中，有很多实物抛物线的例子. 图片欣赏 隧道的横截面 在平常的生活中，有很多实物抛物线的例子. 图片欣赏 美 国 圣 路 易 市 的 国 家 纪 念 碑 在平常的生活中，有很多实物抛物线的例子. 图片欣赏 美丽的喷泉喷出的水柱 在平常的生活中，有很多实物抛物线的例子. 26.4 实际问题与二次函数（3） 实物抛物线问题 学习目标 1、能够把生活实际问题转化为数学问题，体验二次函数 在生活中的应用. 2、体验数学在实际生活中的广泛应用性，发展数学思维. 3、培养自己建模、解模的能力. 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m， 若水面下降1m，则水面的宽度增加多少？ O x y 2m 4m 1m 解：如图，以拱顶为原点,抛物线的对称轴 为y轴，建立平面直角坐标系 (2,-2) 设该抛物线的解析式为y＝ax2， 把B(2，-2)代入得： 4a＝-2 ∴该抛物线的解析式为 B C D 当y＝-3时， ∴点C、点D的坐标分别为： ∴CD＝ ∴水面下降1m，水面的宽度增加了 探究 问题1：我们解决这种实物抛物线 问题，通常是选用恰当的点作为 原点，建立__________________， 求出抛物线的___________，然后 对二次函数的图象进行分析,从而 解决问题. 平面直角坐标系 解析式 A ? · 水面 拱顶 (-2,-2) O x y 2m 4m 1m B C C 问题2：此题，建立平面直角坐 标系的方法唯一吗？你还有别的 建立方法吗？ （2,0） O x y D （4,0） O x y （2,1） A ? 水面 拱顶 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面2m时，水面宽4m， 若水面下降1m，则水面的宽度增加多少？ 探究 1、要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在 水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处 离池中心3m，水管应多长？ 1m 3m x y 水管 水柱 3m 活动3：当堂训练 (3,0) 设这段抛物线的解析式为 y＝a(x-1)2＋3 把(3,0)代入得： a(3－1)2+3＝0 解得： a＝ ∴这段抛物线的解析式为： y＝ (x-1)2＋3 当x＝0时，y＝ 即：水管应为 m 解：以池中心为原点，水管所在直线 为y轴，建立平面直角坐标系 O · 2、一个涵洞的截面是抛物线形，现测得AB＝8m，涵洞的顶点 与地面的距离是4m，现有一辆宽6m，高1.8m的汽车，能否 通过此涵洞？ 8m x y O (4,0) 3 -3 活动3：当堂训练 解：如图，以AB的中点为原点， 直线AB为x轴，建立平面直角坐标系. 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋4， 把B(4，0)代入得： 16a＋4＝0 ∴该抛物线的解析式为 当x＝3时， ＜1.8 ∴汽车不能通过此涵洞. · (-4,0) 3、有一个横截面为抛物线的水泥门洞，门洞内的地面AB的宽为8m， 两侧距地面4m高处各有一盏灯C、D，两灯间的水平距离为 6m，求门洞的高度. A B C D 8m 4m 6m x y O (4，0) (3，4) 活动3：当堂训练 解： 如图，以AB的中点O为原点， 直线AB为x轴，建立平面直角坐标系 设该抛物线的解析式为y＝ax2＋k 把B(4,0)、D(3,4)代入得： 16a＋k＝0 9a＋k＝4 解得： ∴该抛物线的解析式为 当x＝0时，y＝ ∴门洞的高度为 · (-4，0) (-3，4) 本节课我们学习了如何利用二次函数解决实物抛物线的 相关问题，进一步体现了二次函数的应用价值！ 同学们课下要认真体会！ 活动4：课堂小结 $