26.4 实际问题与二次函数 课时3 非最值类抛物线形实际应用问题 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数解决非最值类抛物线形实际问题，从生活中拱桥、喷泉等实例导入，通过建立坐标系、转化点坐标、推导解析式等步骤，结合小试牛刀与检测，构建从实际到数学模型的学习支架。 其亮点在于以生活情境培养数学眼光，通过坐标系建立和解析式推导发展数学思维，归纳解题步骤强化数学语言。如拱桥问题中转化坐标求宽度变化，投篮问题建模求出手高度，助力学生提升应用能力，为教师提供系统教学资源。

如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 生活中我们可以看到很多抛物线形的物体，比如拱桥、喷泉、隧道等. 如何利用二次函数的知识解决与之相关的问题呢？ 情境导入 22051 26.4 课时3 非最值类抛物线形实际应用问题 22051 1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2.能利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 学习目标 22051 一座抛物线形拱桥如图所示，当拱顶离水面4m时，水面宽10m.突降暴雨后水面上升1m，此时水面宽为多少? 解决实物抛物线问题的核心，是将实际的几何图形转化为坐标系中的函数图象，通过求解析式来解决长度、高度等问题。 利用二次函数解决实物抛物线形问题 能怎样建立直角坐标系？ 新知讲解 22051 问题1 怎样建立直角坐标系比较简单呢？ 如图，以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系．其它建立坐标系的方案：含一次项、常数项，计算量比较大. 问题2 从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？ 由于顶点坐标是（0.0），因此这个二次函数的形式为 问题3 如何确定是多少？？ 已知水面宽10米时，拱顶离水面高4米，因此点A（5，-4）在抛物线上，由此得出-5=·42，解得= 因此，=- ，其中 ｜x｜是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化． 问题4 水面上升 后，水面的位置发生了什么变化？对应的纵坐标是多少？ （？，-3） =- 新知讲解 22051 这条抛物线表示的二次函数为=- 原来水面在 的位置，上升 后，水面的纵坐标为 令 ，代入解析式得： 解得 ， 水面宽度为 （？，-3） =- 新知讲解 22051 =² =² =² 其它建立坐标系的方案：含一次项、常数项，计算量比较大，所以建立坐标系通常优先选择顶点为原点 + 对称轴为坐标轴的方案 新知讲解 22051 解决抛物线型实际问题的一般步骤： （1）根据题意建立适当的直角坐标系； （2）把已知条件转化为点的坐标； （3）合理设出函数解析式； （4）利用待定系数法求出函数解析式； （5）根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 归纳小结 22051 8 1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 小试牛刀 22051 1.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降1m，水面宽度增加多少？ 解：以拋物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)． 当水面下降1 m时，水面的纵坐标为3. 当y=3时，x2=3，解得x1=，x2= (舍去). 所以当水面下降1 m时，水面宽度为m. 设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2. 由抛物线经过点(2，2)，可得2＝a22，a＝ 这条抛物线表示的二次函数为y＝x2. 水面下降1 m，水面宽度增加() m. x O y -2 -4 2 1 -2 -1 B A -3 小试牛刀 22051 利用二次函数解决运动中抛物线型问题 如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？ 如何建立直角坐标系？ 新知讲解 22051 11 解：建立平面直角坐标系如图. 则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5). 以点 C 表示运动员投篮球的出手处. x y O 解得 a = －0.2， k = 3.5. 设以 y 轴为对称轴的抛物线的解析式为 y = ax2 + k. 而点 A，B 在这条抛物线上，所以有 所以该抛物线的解析式为 y =－0.2x2 + 3.5. 当 x = －2.5 时，y = 2.25 . 故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m. 1.52·a + k = 3.05， k = 3.5. 新知讲解 22051 12 2.某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈抛物线状，喷出的水流高度y（m）与喷出水流喷嘴的水平距离x（m）之间满足 （1）喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ （2）喷嘴喷出水流的最远距离为多少？ 解：（1）∵ 故当x＝2时，喷嘴喷出水流的最大高度是y＝2. （2）令y=0,即 解得x1=0,x2=4. 即喷嘴喷出水流的最远距离为4m． 小试牛刀 22051 建立适当的平面直角坐标系 找出已知点的坐标 求抛物线的解析式 求相关点的坐标 根据需要求出结果 抛物线形实际问题 解决抛物线形问题的一般步骤： 目标 建模思想 转化思想 数形结合思想 课堂小结 22051 1．某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物（如图所示），大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校门的高为（精确到0.1米，水泥建筑物厚度忽略不计）（　　） A．9.2 m 　　　B．9.1 m C．9 m 　　　　 D．5.1 m B 当堂检测 基础 22051 3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地. 4 2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米. x y O 2 当堂检测 基础 22051 4.如图，隧道截面由抛物线和长方形构成，长方形OABC的长是12m，宽是4m，按图中的平面直角坐标系，抛物线能用y＝﹣ x2+2x+c表示． (1)请写出该抛物线的函数关系式； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m， 如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等．如果灯离地面的高度不超过8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 解：(1)根据题意得C（0，4），把C（0，4）， 代入y＝﹣ x2+2x+c得c＝4， 所以抛物线解析式为y＝﹣ x2 +2x+4. 当堂检测 提升 22051 所以这辆货车能安全通过. (2)抛物线解析式为y＝﹣ x2+2x+4 （x﹣6）2+10， 所以对称轴为x＝6， 由题意得货运汽车最外侧与地面OA的交点为（2，0）或（10，0）， 当x＝2或x＝10时，y＝ ＞6， (3)令y＝8，则 （x﹣6）2+10＝8， ，x2＝6﹣2 解得x1＝6+2 则x1﹣x2＝4 所以两排灯的水平距离最小是4 m. 当堂检测 提升 22051 $