第十四章 全等三角形《高频考点讲义》单元复习2026-2027学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形《高频考点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：全等三角形的性质 题型2：用SSS证明三角形全等(SSS) 题型3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 题型4：全等的性质和SSS综合(SSS) 题型5：用SAS证明三角形全等(SAS) 题型6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 题型7：全等的性质和SAS综合(SAS) 题型8：尺规作一个角等于已知角 题型9：尺规作角的和、差 题型10：过直线外一点作已知直线的平行线 题型11：尺规作图——作三角形 题型12：用ASA (AAS) 证明三角形全等 题型13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 题型14：用HL证全等(HL) 题型15：角平分线性质定理及证明 单元拔高卷 必备知识 考点01 全等形、全等三角形及其相关概念 1. 全等形的概念： 形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的概念： 形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的对应点。 能够重合的边叫做全等三角形的对应边。 能够重合的角叫做全等三角形的对应角。 用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。 【针对训练】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 考点02 三角形的性质与判定 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。 【针对训练】 1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 2. 已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 2. 边角边（SAS）： （1）概念：若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【针对训练】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 3. 角边角（ASA）： （1）概念若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A． SSA B．SAS C．SSS D．ASA 4. 角角边（AAS）： （1）概念：若两个三角形的两个角及其其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　 　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 2．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 5边边边（SSS）： （1）概念：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【针对训练】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 6 斜边与直角边（HL）： （1）概念：直角三角形的斜边与其中一条直角边对应相等的两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 【针对训练】 1．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 考点03 尺规作图 1. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 3. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 4. 尺规作图作角的平分线： 已知 ∠AOB 求作 作∠AOB的平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 （3）连接OP即为角平分线 【针对训练】 1. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 4. 如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 考点04 角的平分线 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 ∠AOC＝∠BOC等于∠AOB的一半。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即PD＝PE 2. 角平分线的判定： （1）角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 （2）数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【针对训练】 1．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 典例精析 题型1：全等三角形的性质 【典例】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 题型2：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例】小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分，可将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．      题型3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 【典例】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 题型4：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 题型5：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 【典例】如图，、分别在、上，是的中点，，求证：．    题型7：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例】如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 题型8：尺规作一个角等于已知角 【典例】（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 题型9：尺规作角的和、差 【典例】已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 题型10：过直线外一点作已知直线的平行线 【典例】如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．    题型11：尺规作图——作三角形 【典例】如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 题型12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例】如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 题型13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 【典例】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 题型14：用HL证全等(HL) 【典例】【提出问题】 在本学期的学习中，我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，数学兴趣小组组长小唐带领小组成员继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【探索研究】成员小凡根据三角形的分类提出以下探索路径： 已知：在和中，，，． （1）如图①，当时，可知，判定全等的方法是____． （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与_________全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明；若不全等，请举出反例． 【归纳总结】成员悦悦对以上探索进行总结： （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是_____时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【结论应用】智多星小崔根据以上探究结果，提出以下问题： （5）如图④，为等边三角形（，），是外角的平分线，点E在边上，点F在上，且，求的度数． 题型15：角平分线性质定理及证明 【典例】如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 第十四章《全等三角形》单元拔高卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 4．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 10．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 12．如图，已知，若，，则的值为_____． 13．如图，在中，，平分，，，则的面积是 _____ ． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 三、解答题（共78分） 15．如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：，且． 16．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 17．如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使，测得，，在CD的延长线上取点E，使．这时测得的长就是A，B两点的距离，为什么？ 18．如图，已知相交于点，且．求证：． 19．如图，已知的周长是，分别平分和，于点D，且，求的面积． 20．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝3ED＝6，求AB的长． 21． “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 22．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页（共2页） 试卷第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 全等三角形《高频考点讲义》单元复习 资料板块目录表 知识梳理 针对训练 题型1：全等三角形的性质 题型2：用SSS证明三角形全等(SSS) 题型3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 题型4：全等的性质和SSS综合(SSS) 题型5：用SAS证明三角形全等(SAS) 题型6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 题型7：全等的性质和SAS综合(SAS) 题型8：尺规作一个角等于已知角 题型9：尺规作角的和、差 题型10：过直线外一点作已知直线的平行线 题型11：尺规作图——作三角形 题型12：用ASA (AAS) 证明三角形全等 题型13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 题型14：用HL证全等(HL) 题型15：角平分线性质定理及证明 单元拔高卷 必备知识 考点01 全等形、全等三角形及其相关概念 1. 全等形的概念： 形状和大小完全一样的两个图形叫做全等形。即能够完全重合的两个图形叫做全等形。 2. 全等三角形的概念： 形状和大小完全一样的两个三角形叫做全等三角形。即能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 3. 全等三角形的相关概念： 如图，若△ABC与△DEF全等。则其中： 能够重合的点叫做全等三角形的对应点。 能够重合的边叫做全等三角形的对应边。 能够重合的角叫做全等三角形的对应角。 用符号“≌”连接，读作全等于。表示△ABC≌△DEF。对应点必须写在对应的位置。 【针对训练】 1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； B、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； C、两个图形不属于全等图形，故此选项不合题意； D、两个图形属于全等图形，故此选项符合题意； 故选：D． 2．如图，已知△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点．写出这两个三角形的对应边和对应角． 【答案】对应边是BC和EF，AB和DE，AC和DF；对应角是∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 【解答】解：∵△ABC≌△DEF，点A与点D，点B与点E，点C与点F是对应顶点， ∴这两个三角形的对应边是：BC和EF，AB和DE，AC和DF； 对应角是：∠ABC和∠DEF，∠ACB和∠DFE，∠BAC和∠EDF． 考点02 三角形的性质与判定 1. 全等三角形的性质： 由全等三角形的性质及其相关概念可知： ①全等三角形的对应边相等。对应角也相等。 ②全等三角形对应边上的中线、高线、角平分线分别对应相等。 ③全等的两个三角形它们的周长和面积分别对应相等。 针对训练】 1．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 【答案】A 【解答】解：∵△ABD≌△ACE， ∴BD＝CE， ∴BE＝CD，B成立，不符合题意； ∠ADB＝∠AEC， ∴∠ADE＝∠AED，C成立，不符合题意； ∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠CAD，D成立，不符合题意； AC不一定等于CD，A不成立，符合题意， 故选：A． 2. 已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（　　） A．50° B．58° C．60° D．72° 【答案】A 【解答】解：∵两个三角形全等， ∴α＝50°． 故选：A． 2 .边角边（SAS）： （1）概念：若两个三角形有两边及其夹角对应相等，则这两个三角形全等。可以简写成“边角边”或“SAS”。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SAS）。 注意：在列“SAS”的全等条件时，角一定写在中间的位置。强调对应关系。 【针对训练】 1．如图，AC和BD相交于O点，若OA＝OD，用“SAS”证明△AOB≌△DOC还需（　　） A．AB＝DC B．OB＝OC C．∠A＝∠D D．∠AOB＝∠DOC 【答案】B 【解答】解：A、AB＝DC，不能根据SAS证两三角形全等，故本选项错误； B、∵在△AOB和△DOC中 ， ∴△AOB≌△DOC（SAS），故本选项正确； C、两三角形相等的条件只有OA＝OD和∠AOB＝∠DOC，不能证两三角形全等，故本选项错误； D、根据∠AOB＝∠DOC和OA＝OD，不能证两三角形全等，故本选项错误； 故选：B． 2．如图，AB＝AD，AC＝AE，则△ABC≌△ADE的判定依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】B 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS）， 故选：B． 3. 角边角（ASA）： （1）概念若两个三角形的两个角及其夹边对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 【针对训练】 1．如图，AE∥DF，AE＝DF，若利用“ASA”来判定△AEC≌△DFB，则需添加的条件是（　　） A．∠E＝∠F B．AC＝BD C．∠E＝∠DBF D．EC＝BF 【答案】A 【解答】解：添加条件：∠E＝∠F，理由如下： 由平行线性质可知∠A＝∠D， 又AE＝DF，∠E＝∠F， ∴△AEC≌△DFB（ASA）， 故选：A． 2．如图，在△ABC和△DEF中，点A，E，B，D在同一直线上，AC∥DF，AC＝DF，∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF的依据是（　　） A．SSA B．SAS C．SSS D．ASA 4. 角角边（AAS）： （1）概念：若两个三角形的两个角及其其中一个角的对边 对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图，在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF。 1．如图，∠C＝∠D，再添加条件 　∠ABD＝∠BAC　 可以用AAS定理判定△ABD≌△BAC． 【答案】∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABD＝∠BAC， ∴△ABD≌△BAC； 同理，∠C＝∠D，AB＝AB，∠ABC＝∠BAD， ∴△ABD≌△BAC． 故答案为：∠ABD＝∠BAC（或∠ABC＝∠BAD）． 2．如图，AC与BD相交于点O，AB＝DC，∠A＝∠D，不添加辅助线，能直接判定△AOB≌△DOC的依据是（　　） A．SSS B．ASA C．AAS D．HL 【答案】C 【解答】解：根据题意，在△AOB和△DOC中， ， ∴△AOB≌△DOC（AAS）， 综上所述只有选项C正确，符合题意， 故选：C． 5边边边（SSS）： （1）概念：若两个三角形的三条边分别对应相等，则这两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在△ABC与△DEF中： ∴△ABC≌△DEF（SSS）。 【针对训练】 1．如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF，要利用“SSS”判定△ABC≌△DEF，则还需添加的条件为（　　） A．BF＝CF B．BF＝CE C．CF＝CE D．∠A＝∠D 【答案】B 【解答】解：∵△ABC和△DEF中，AB＝DE，AC＝DF， ∴利用“SSS”判定△ABC≌△DEF的条件是BC＝EF，即添加BF＝EC． 故选：B． 2．如图，AC＝AD，BC＝BD，这样可以证明△ABC≌△ABD．其依据是（　　） A．SSS B．SAS C．SSA D．ASA 【答案】A 【解答】证明：在△ABC和△ABD中， ， ∴△ABC≌△ABD（SSS）， ∴证明△ABC≌△ABD，其依据是SSS． 故选：A． 6斜边与直角边（HL）： （1）概念：直角三角形的斜边与其中一条直角边对应相等的两个三角形全等。 （2）数学语言： 如图：在Rt△ABC与Rt△DEF中： ∴Rt△ABC≌Rt△DEF。 【针对训练】 1．如图，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件（　　） A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD C．AC＝BD D．∠ABC＝∠ABD 【答案】B 【解答】解：∵∠ACB＝∠ADB＝90°，AB＝AB， ∴当添加AC＝AD或BC＝BD时，根据“HL”可判断Rt△ABC≌Rt△ABD． 故选：B． 2．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，若BE＝CF，则Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是（　　） A．AAS B．HL C．SAS D．ASA 【答案】B 【解答】证明：∵BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F， ∴∠BEC＝∠BFC＝90°， 在Rt△BCF和Rt△CBE中， ， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE（HL）， ∴Rt△BCF≌Rt△CBE的理由是HL． 故选：B． 考点03 尺规作图 1. 用直尺和圆规作三角形 已知 线段a，b，c 求作 △ABC，使其三边的长分别为a，b，c 作法 步骤： （1）作线段BC＝a； （2）以点C为圆心，以b为半径画圆弧，再以B为圆心，以c为半径画圆弧，两弧交于点A； （3）连接AC和AB，则三角形即为所求作三角形。 依据 SSS证全等 2. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 ∠AOB 求作 ∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB 作法 步骤： （1）以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于C，D； （2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于C′； （3）以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与（2）中所画的弧相交与点D′； （4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′即为所求角。 依据 SSS证全等 3. 尺规作图作一个角等于已知角： 已知 直线AB及直线外一点C 求作 过C作直线AB的平行线CD 作法 步骤： （1）过C作一条直线与直线AB相交于点E； （2）在点C处作∠CEB的同位角∠FCD，使∠CEB＝∠FCD； （3）反向延长CD得到直线CD，则CD∥AB。 4. 尺规作图作角的平分线： 已知 ∠AOB 求作 作∠AOB的平分线 作法 步骤： （1）以角的顶点O为圆心，一定长度为半径画圆弧，交角的两边与点M和点N。 （2）以点M和点N为圆心，大于MN的长度为半径画圆弧，两弧交于点P。 （3）连接OP即为角平分线 【针对训练】 1. 仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，请根据三角形全等有关知识，说明作出∠CPD＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【解答】解：由作图可得： ， ∴△OGH≌△PMN（SSS）， ∴∠AOB＝∠CPD， 故选：A． 2. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠O＝∠O'的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】C 【解答】解：由作法易得OD＝O′D′，OC＝O′C′，CD＝C′D′，依据SSS可判定△COD≌△C'O'D'，∠O＝∠O' 故选：C． 3. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则要说明∠AOB＝∠A′O′B′，需要证明△COD和△C'O'D'，则这两个三角形全等的依据是（　　） A．SAS B．AAS C．SSS D．ASA 【答案】C 【解答】解：由尺规作图可知，OC＝O'C'，OD＝O'D'，CD＝C'D'， 在△COD和△C'O'D'中， ， ∴△COD≌△C'O'D'（SSS）， 即这两个三角形全等的依据是SSS， 故选：C． 4. 如图，已知∠AOB，点P为OA上一点，小明借助无刻度的直尺和圆规，经过点P作PM∥OB，根据尺规作图的痕迹，判断小明得出这一结论的依据是（　　） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．内错角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】B 【解答】解：∵∠APM＝∠AOB， ∴PM∥OB（同位角相等，两直线平行）， 故选：B． 考点04 角的平分线 1. 角平分线的性质： （1） 性质1：平分角。 ∠AOC＝∠BOC等于∠AOB的一半。 （2） 性质2：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。即PD＝PE 2. 角平分线的判定： （1）角的内部到角两边距离相等的点一定在角平分线上。 （2）数学语言： 点P在∠AOB的内部，PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD，则点P在∠AOB的平分线上。 即：∵PE⊥OA于E，PD⊥OB于D，且PE＝PD ∴∠AOC＝∠BOC 【针对训练】 1．如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，若PD＝3，则PE的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵OC是∠AOB的角平分线，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PD， ∵PD＝3， ∴PE＝3． 综上所述，只有选项B正确，符合题意， 故选：B． 2．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA于点C，点D在OB上，若PC＝3，OD＝6，则△POD的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】C 【解答】解：过P点作PE⊥OB于E点，如图， ∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PE⊥OB， ∴PE＝PC＝3， ∴S△POD6×3＝9． 故选：C． 典例精析 题型1：全等三角形的性质 【典例】如图，已知，点在上，与相交于点． (1)若，，则 ， ． (2)若． ①求的度数； ②求的度数． 【答案】(1)5，3 (2)①；② 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，，结合图形计算，即可得到答案； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据三角形内角和定理求出，计算即可求得． 【规范解答】（1）解：，，， ，， ； （2）解：① ≌， ∴， ∵ ∴ ∴ ②∵是的外角， ∴ ∵是外角， ∴. 题型2：用SSS证明三角形全等(SSS) 【典例】小明制作了一个平分角的仪器，如图所示，其中，．现要利用该仪器平分，可将仪器上的点A与的顶点R重合，调整和，使它们落在的两边上，沿画一条射线，则就是的平分线．请说明其道理．      【答案】理由见详解 【思路引导】根据，，结合即可得到即可得到证明； 【规范解答】证明：在与中， ∵， ∴， ∴， ∴是的平分线； 【考点剖析】本题主要考查三角形全等的性质，解题的关键是找到公共边条件． 题型3：用SSS间接证明三角形全等 (SSS) 【典例】已知：如图，在和中，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④．    (1)请选择其中的三个条件，使得（写出一种情况即可）； (2)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)①②③或①③④（写出一种情况即可） (2)见解析 【思路引导】（1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，可以选择的条件为：①②③； 或者选择的条件为：①③④； （2）证明：当选择的条件为①②③时， ， ， 即， 在和中， ， ； 当选择的条件为①③④时， ， ， 即， 在和中， ， ． 【考点剖析】本题考查了全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． 题型4：全等的性质和SSS综合(SSS) 【典例】如图，在和中，点在边上，交于点．若，，，，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定，三角形的外角，解题的关键是掌握这些知识点．根据题意可用判定，即可得，根据三角形的外角即可得． 【规范解答】解：在和中， ， ， ， 故答案为：． 题型5：用SAS证明三角形全等(SAS) 【典例】如图，在中，D是延长线上一点，满足，过点C作，且，连接并延长，分别交于点F，G． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)4 【思路引导】本题考查全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形的判定和性质． （1）根据证明与全等即可； （2）证明，再由可得结论． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴, 又 ∴ ∴． 题型6：用SAS间接证明三角形全等 (SAS) 【典例】如图，、分别在、上，是的中点，，求证：．    【答案】见解析 【思路引导】由是的中点，得，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得，所以，则． 【规范解答】证明：是的中点， ， 在和中， ， ≌， ， ， ． 【考点剖析】此题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且证明≌是解题的关键． 题型7：全等的性质和SAS综合(SAS) 【典例】如图，在四边形中，，过点作于点，，在上截取，连接，平分交的延长线于点，连接． 【问题解决】（1）证明：； 【问题探究】（2）探索线段之间的数量关系并说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）．理由见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明得出，再由角平分线的定义得出，即可得证； （2）由得出，证明，得出，即可得出结论． 【规范解答】证明：（1）∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴． （2）．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型8：尺规作一个角等于已知角 【典例】（1）尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，若，是边上的中线，，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）8 【思路引导】本题考查尺规作一个角等于已知角，三角形全等的判定与性质， （1）根据尺规作一个角等于已知角的方法求解即可； （2）根据中线得到，然后证明出，得到，，然后证明出，求出． 【规范解答】（1）图形如图所示： （2）∵是边上的中线， ∴，， 由（1）作图知 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ 在与中 ∴ ∴． 题型9：尺规作角的和、差 【典例】已知：线段，，，．    求作：（要求：仅用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹） (1)线段； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）首先作射线，然后截取线段，，则即为所求； （2）首先作射线，然后利用尺规作，，则即为所求． 【规范解答】（1）如图所示，线段即为所求的线段．   ； （2）解：如图所示，即为所求作的角．    【考点剖析】此题主要考查根据已知线段作另外一条线段，作一个角等于已知角．解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行作图． 题型10：过直线外一点作已知直线的平行线 【典例】如图，在△ABC中，点E是AB延长线上一点，且BE＝AB． （1）尺规作图：在∠CBE内作射线BD，使BD∥AC．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在BD上取点F，使BF＝AC，连接EF，求证△ABC≌△BEF．    【答案】（1）详见解析；（2）详见解析． 【思路引导】（1）利用尺规作∠CBD=∠C即可． （2）根据SAS证明三角形全等即可． 【规范解答】解：（1）如图，射线BD即为所求．    （2）∵BD∥AC， ∴∠EBD＝∠A， ∵BE＝AB，BF＝AC， ∴△EBF≌△BAC（SAS）． 【考点剖析】本题考查作图-复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 题型11：尺规作图——作三角形 【典例】如图，在中，点D 是线段延长线上的点，点E 是线段延长线上的点．请利用无刻度直尺和圆规作，使（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【思路引导】本题考查的是全等三角形的判定及尺规作图，掌握全等三角形的判定方法及作一条线段等于已知线段是解题关键，在延长线上截取，在延长线上截取，连接即可得出． 【规范解答】解：如下图，即为所求作． 题型12：用ASA (AAS) 证明三角形全等(ASA或者AAS) 【典例】如图，被弄污了，请你重新作一个，使（要求：用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【思路引导】此题主要考查了复杂作图以及全等三角形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 先作射线，然后作，在射线上作，再作，即可． 【规范解答】解：如图，即为所求． 题型13：全等的性质和ASA （AAS) 综合(ASA或者AAS) 【典例】如图，在中，，是的平分线，于E，F在上，，试证明： (1)． (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定． （1）先证明得到，再证明即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差关系证明即可． 【规范解答】（1）证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 题型14：用HL证全等(HL) 【典例】【提出问题】 在本学期的学习中，我们已经知道了三角形全等的判定方法和直角三角形全等的判定方法，数学兴趣小组组长小唐带领小组成员继续对“两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形”的情形进行探究． 【探索研究】成员小凡根据三角形的分类提出以下探索路径： 已知：在和中，，，． （1）如图①，当时，可知，判定全等的方法是____． （2）如图②，当时，请用直尺和圆规作出，通过作图，可知与_________全等．（填“一定”或“不一定”） （3）如图③，当时，与是否全等？若全等，请加以证明；若不全等，请举出反例． 【归纳总结】成员悦悦对以上探索进行总结： （4）如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是_____时，这两个三角形一定全等．（填序号） ①锐角；②直角；③钝角． 【结论应用】智多星小崔根据以上探究结果，提出以下问题： （5）如图④，为等边三角形（，），是外角的平分线，点E在边上，点F在上，且，求的度数． 【答案】（1）；（2）图见解析，不一定；（3）全等，证明见解析；（4）②③；（5） 【思路引导】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和全等三角形对应边相等，对应角相等． （1）根据即可解答； （2）以点为圆心，为半径画弧，即可得出，根据图形，即可得出结论； （3）过点A，点D作、的垂线，垂足为点G和点H，通过证明，得出，进而求证，则，即可求证， （4）由（1）（2）（3）可知，即可得出结论； （5）过点E作交于点M，过点E作于点P，作延长线于点Q，先证明，即可推出，则，进而求证，得出，即可得出结论． 【规范解答】解：（1）∵， ∴在和中， ， ∴， 故答案为：； （2）如图所示：即为所求， 由图可知，与不一定全等， 故答案为：不一定； （3）过点A，点D作、的垂线，垂足为点G和点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， （4）由（1）（2）（3）可知，如果两个三角形的两边分别相等且其中一组等边的对角相等，那么当这组对角是直角或钝角时，这两个三角形一定全等， 故答案为：②③； （5）过点E作交于点M，过点E作于点P，作延长线于点Q， ∵，为等边三角形，是外角的平分线， ∴， ∵，， ∴， 即平分， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型15：角平分线性质定理及证明 【典例】如图，在中，为边上的高，是的角平分线． (1)若，则=_____； (2)请用无刻度的直尺和圆规，在线段上作一点，使平分（不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数； (3)在（2）的条件下，连接交于点，若，且，，求线段的长． 【答案】(1) (2)作图见解析， (3) 【思路引导】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的高． （1）先利用为边上的高得到，再根据是的角平分线，得到，最后利用外角求； （2）先根据尺规作图作出图形，再根据角平分线得到，，最后根据求解即可； （3）作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，则根据三角形面积公式得到，接着证明得到，，，再证明，从而得到，接着证明得到，所以，得到． 【规范解答】（1）解：∵为边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，在线段上作一点，使平分， ∵为边上的高， ∴， ∵， ∵是的角平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：在（2）的条件下，连接交于点，过点作于点，于点， 平分，，， ， ∵， ∴， ， ∵平分， ∴， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ． 第十四章《全等三角形》单元拔高卷 注意事项： 1.本次考试是数学，建议用时120分钟完成。数学满分120分。 2.考试范围：八年级数学第十四章 第一部分 选择题(共30分) 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一个是正确的） 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】图形的全等 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合） 【详解】解：A选项，只给出和，缺少其他边或角的条件，不能画出唯一，不符合题意； B选项，，，属于两边及其中一边对角相等的情况，不符合全等三角形的判定定理，不能画出唯一，不符合题意； C选项，，，，是两角及其夹边，符合全等三角形的判定定理，能画出唯一，符合题意； D选项，，不满足三角形两边之和大于第三边的三边关系，不能画出三角形，不符合题意． 3．如图，在中，，平分，若，则点D到的距离为（     ） A．4.5 B．4 C．3.5 D．3 【答案】D 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】先作，再根据角平分线的性质定理解答即可． 【详解】解：过点D作，交于点E， ∵平分，， ∴， 所以点D到的距离是3． 4．如图，已知，点在边上，平分，与交于点．若，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、三角形内角和定理的应用、全等三角形的性质 【分析】根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，根据三角形的外角性质求出，再求出，然后利用全等三角形的性质求即可． 【详解】解：∵平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．如图，在中，，为边上的中线，延长到点，使，连接，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据中线和已知条件，利用证明，推出，根据三角形内角和定理和等量代换即可求出度数． 【详解】解：为边上的中线， ． ，， （）， ． ， ， ． 6．如图，在四边形中，，平分，，，，则四边形的面积是（     ） A．40 B．42 C．46 D．48 【答案】A 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作交的延长线于点，根据角平分线的性质得到，然后将四边形的面积转化为与的面积之和进行计算即可． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ． 7．如图，综合实践小组的甲、乙两名同学分别站在地面上的点和点处，甲看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，乙看向地面上点处的视线与他自己身体的夹角为，已知于点，于点，图中所有的点都在同一平面内．当，时，根据全等三角形的知识可得到，这里直接判定和全等的依据是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS） 【详解】根据题意整理已知条件： 由 ，，可得 ， ∵ ，， 且 恰好是 和 的夹边，恰好是 和 的夹边， 满足两角及其夹边对应相等，符合全等三角形的 （角边角）判定依据． 8．如图所示，这是设计师绘制的一组智能通道闸机的截面图，点A，C，F，D在同一直线上，，，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】先求出，再证出，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 解得． 9．如图，一块三角形造型的花坛，想要在花坛中心位置安装一处自动喷水装置，要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在（     ） A．三角形最长的边的中点处 B．三角形三条中线的交点处 C．三角形三条高线的交点处 D．三角形三条角平分线的交点处 【答案】D 【知识点】角平分线性质的实际应用 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，角平分线上的点到角的两边距离相等，根据角平分线的性质即可得出答案． 【详解】解：要求喷水头到三角形花坛三条边的距离全都相等，喷水装置应安装在三角形三条角平分线的交点处． 10．如图，中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点，画射线与相交于点，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．到的距离是 【答案】B 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、直角三角形的两个锐角互余 【分析】利用直角三角形两锐角互余结合尺规作图得到的角平分线推导即可． 【详解】解：由题意得为的平分线， ，， ， ， ，故C不正确； ，故B正确； 如图，过点作，垂足为， 由角平分线定理可得，无法推出，到的距离是，故A、D不正确． 第二部分 非选择题 (共90分) 二、填空题(本题共4个小题。每空3分。共12分) 11．如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接并延长到D，使；连接并延长到E，使，由和全等得到．那么判定其全等的依据是 ________ 【答案】 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】根据三角形全等的判定定理，解答即可； 【详解】解：在和中， ， . 12．如图，已知，若，，则的值为_____． 【答案】 4 【知识点】全等三角形的性质 【分析】直接利用全等三角形的性质得出对应边相等，即，进而利用线段的和差关系得出的长 ． 【详解】解：， ， ． 13．如图，在中，，平分，，，则的面积是 _____ ． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】过点作于，然后由角平分线的性质推出，最后计算三角形的面积． 【详解】解：过点作于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴的面积． 14．如图，的面积为，平分，过点作于点，连接，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据三角形中线求面积 【分析】延长交于点，根据角平分线的定义和垂直的定义，利用证明，从而得到，即为的中点，再根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，可得的面积等于面积的一半； 【详解】解：延长交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 三、解答题（共78分） 15．如图，是等腰直角三角形，． (1)尺规作图：作的角平分线，交于点D（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图形中，延长至点E，使，连接．求证：，且． 【答案】(1) 如图，即为所作， (2) 解：如图，延长，交于， ∵是等腰直角三角形， ∴ 又∵ ∴ ∴，， ∴， ∴，即． 【知识点】作角平分线(尺规作图)、用SAS间接证明三角形全等（SAS） 【分析】（1）利用基本尺规作图作角平分线即可； （2）证明解题即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查基本作图—作角平分线，三角形全等的判定，解题的关键是掌握用尺规基本作图的步骤． 16．如图，在中，为的平分线，于E，于F，的面积是，，，求的长． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质得出，根据三角形面积公式推出，代入数据求解即可． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴， ∴ ， ∵的面积是，，， ∴， ∴． 17．如图，要测量河两岸上A，B两点的距离，在点B所在河岸一侧平地上取一点C，使A，B，C在一条直线上，另取点D，使，测得，，在CD的延长线上取点E，使．这时测得的长就是A，B两点的距离，为什么？ 【答案】 证明：，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 即， 测得的长就是A，B两点的距离． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】证明，推出，进一步得出． 【详解】略 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用全等三角形的性质解决问题． 18．如图，已知相交于点，且．求证：． 【答案】 证明：如图，连接， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，连接，证明，得到，再证明即可求证，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】略 19．如图，已知的周长是，分别平分和，于点D，且，求的面积． 【答案】 【知识点】角平分线的性质定理、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质定理（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）是解题的关键．通过角平分线的性质得知，点到三角形三边的距离相等，从而将三角形的面积问题转化为周长与高的乘积问题，即可求解． 【详解】如图所示，连接，过点O作于点E，作于点F． 分别平分和，，， ． ，，，， ． 20．如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E． （1）求证：AC平分∠DAB； （2）若AE＝3ED＝6，求AB的长． 【答案】 （1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F． ∵CE⊥AD， ∴∠DEC＝∠CFB＝90°， ∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°， ∴∠D＝∠CBF， ∵CD＝CB， ∴△CDE≌△CBF（AAS）， ∴CE＝CF， ∴AC平分∠DAB． （2）4. 【知识点】全等三角形综合问题 【分析】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证； （2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得BF＝DE， ∵CE＝CF，CA＝CA， ∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL）， ∴AE＝AF， ∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE， ∵AE＝6，DE＝2， ∴AB＝4． 【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质,关键在于熟练掌握相关知识点. 21． “截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形中，，，，E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系．探究的方法是，延长到点G．使，连接，先证明，再证明，可得出的结论是 ． 探索问题： （2）如图2，若四边形中，，E，F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【答案】（1）；（2）成立，见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，构造全等三角形求证是解题的关键． （1）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题； （2）延长到点G，使．连接，即可证明，可得，再证明，可得，即可解题． 【详解】解：（1）， 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：结论仍然成立； 理由：延长到点G，使，连接， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．如图，在长方形中，，，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒： (1)______．（用的代数式表示：） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发，以秒的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，． (3)存在；当或2时与全等． 【知识点】列代数式、动点问题（一元一次方程的应用）、全等三角形的性质 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，关键是掌握全等三角形全等的条件，找准对应边． （1）根据P点的运动速度可得的长，再利用即可得到的长； （2）当时，根据三角形全等的性质可得，进而得出答案； （3）题干未指明全等三角形边的对应情况，需要分两种情况①当时；②当时，分别讨论计算出t的值，进而得到v的值． 【详解】（1）解：点P从点B出发，以秒的速度沿向点C运动，点P的运动时间为t秒时，， 则； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴当时，． （3）①如图1，当时，再由，可得， ∵， ∴， ， 解得， ， ， 解得． ②如图2，当时，再由，可得， ∵， ∴， ∴， ， 解得， ， ， 解得； 综上所述：当或2时与全等． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $