3.1 相似多边形 课后作业2026-2027学年北师大版九年级数学上册

3.1 相似多边形 课后作业2026-2027学年北师大版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列各组中的四条线段成比例的是(    ) A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 2．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，她想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（   ） A． B． C． D． 3．下列图形一定相似的是（   ） A．两个矩形 B．两个正方形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 4．两个相似多边形的周长之比为，则它们的面积之比为（    ） A． B． C． D． 5．四条线段、、、是成比例线段，其中、、，则的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．7 6．下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形（   ）    A．   B．   C．   D．   7．一块矩形绸布的长AB＝a米，宽AD＝1米，按照图中所示的方式将它裁成完全相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，那么a的值为（　　） A．3 B． C．3 D． 8．如图所示，矩形纸片被分割成六个小矩形，其中矩形矩形，若已知的面积，则一定能求出（   ） A．矩形的面积 B．矩形的面积 C．矩形的面积 D．矩形的面积 二、填空题 9．在比例尺为的地图上，如果两地的距离是厘米，那么这两地的实际距离是___________千米． 10．“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是________事件．（填“不可能”或“必然”或“随机”） 11．如图，点D、E在线段上，是等边三角形，当时，的度数为_____________． 12．为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形ABCD为矩形，DE＝10m，其坡度为i1＝1：，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2＝1：4，求斜坡AF的长度是___米．（结果精确到0.01m，参考数据：≈1.732，≈4.123） 三、解答题 13．如图，作出与四边形的相似的新四边形，使新图形与原图形的相似比为2：1． 14．已知：线段a，b，c，根据以下条件回答问题． (1)若，，c是a，b的比例中项线段，求c的长； (2)若，，求a，b，c的长． 15．如图，四边形是矩形，点F在对角线AC上运动，，．四边形和四边形一直保持相似吗？证明你的结论． 16．阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D B C B B B C 1．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】线段成比例强调的是线段之间的数量关系，即两条线段的长度之比是否相等，由此计算即可求解． 【详解】解：选项A、 ， ∴ 四条线段不成比例，A错误； 选项B 、，则， ∴ 四条线段成比例，B正确； 选项C 、， ∴ 四条线段不成比例，C错误； 选项D 、， ∴ 四条线段不成比例，D错误； 故选：B． 2．【答案】D 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】解：设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得：． 故选：D． 3．【答案】B 【知识点】相似多边形、正方形性质理解、矩形性质理解、相似图形 【分析】此题考查相似图形的判断，判断图形是否相似需满足对应角相等且对应边成比例，熟记相似图形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：A．两个矩形对应角均为，但边长的比例不一定相等（如长宽比不同的矩形），故不一定相似； B．两个正方形对应角均为，且所有边长成相同比例，因此一定相似； C．若两个等腰三角形有一个角为，该角可能为顶角或底角，导致其余角不相等，无法保证相似； D．两个菱形对应边成比例，但对应角可能不相等（如不同内角的菱形），故不一定相似； 故选B． 4．【答案】C 【知识点】相似多边形的性质 【分析】根据相似多边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵两个相似多边形的周长之比为， ∴两个相似多边形的相似比为， ∴它们的面积之比为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似多边形的性质，熟练掌握相似多边形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】成比例线段 【分析】四条线段a、b、c、d成比例，满足，根据比例的基本性质变形可得，将已知线段长度代入即可计算出d的值． 【详解】解：∵四条线段、、、是成比例线段， ∴， 即， 将，，代入等式，得， 整理得， 解得． 6．【答案】B 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似多边形的定义，对应边成比例且对应角相等的两个多边形相似，解答即可． 本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：∵原始矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角， A中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； B中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形不相似， 此选项符合题意； C中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； D中矩形的长与宽的比值为，且四个角都是直角，与原始矩形相似， 此选项不符合题意； 故选：B． 7．【答案】B 【知识点】相似多边形的性质 【分析】由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意得， ∵使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同， ∴ ∴， 解得或（舍去）， ∴， 故选B． 【点睛】此题考查了相似多边形的性质．熟知相似多边形的对应边成比例是解题的关键． 8．【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似多边形的性质，矩形的性质，设，，的面积为，根据，推出，再由相似多边形的性质得到，即，则，据此证明，再由可以推出，据此可得答案． 【详解】解：设，，的面积为， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵矩形矩形， ∴，即， ∴， ∴， ∴ ， ∴已知的面积，则一定能求出矩形的面积， 故选：C． 9．【答案】17 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了图上距离、实际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算．根据比例尺的含义求解即可． 【详解】解：∵比例尺为，，两地的距离是厘米， 设， 两地的实际距离为， ∴ ， ∴， ． 故答案为：17． 10．【答案】随机 【知识点】相似多边形、事件的分类 【分析】本题考查的是相似多边形的性质，随机事件，根据相似多边形的性质及随机事件的定义解答即可． 【详解】解：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形， ∴任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形不一定相似， 故“任选两个对应角分别相等的四边形，这两个四边形相似”是随机事件． 故答案为：随机． 11．【答案】/120度 【知识点】等边三角形的性质、相似多边形的性质 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和等边三角形的性质，解决此题的关键是熟练运用外角的性质；先根据相似三角形的性质得到角相等，再根据等边三角形的性质和外角的性质即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12．【答案】20.62 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、成比例线段、坡度坡比问题(解直角三角形的应用） 【分析】先求出tan∠DEC＝，得到∠DEC＝30°，则DC＝DE＝5（m），再由矩形的性质得到AB＝CD＝5m，求出BF＝4AB＝20（m），即可利用勾股定理得到答案． 【详解】解：∵DE的坡度为i1＝1：， ∴tan∠DEC＝， ∴∠DEC＝30°， ∴DC＝DE＝5（m）， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AB＝CD＝5m， ∵斜坡AF的坡度为i2＝1：4，AB＝5m， ∴BF＝4AB＝20（m），. 在Rt△ABF中，AF＝＝≈20.62（m）， ∴斜坡AF的长度约为20.62米， 故答案为：20.62． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，坡度，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 13．【答案】 如图，四边形EFGH即为所求， 【知识点】相似多边形 【分析】根据相似图形的性质，分别将四边形的四条边扩大2倍即可． 【详解】略 【点睛】此题主要考查作图（相似变换），解题关键是熟练掌握相似的性质． 14．【答案】(1) (2)，，． 【知识点】成比例线段 【分析】本题考查了比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质求解即可． （1）根据比例中项的定义列式得到，即，然后根据算术平方根的定义求解，即可得到c的长； （2）设，然后用表示a，b，c，再代入，求解得到，即可得到a，b，c的值． 【详解】（1）解：∵c是a，b的比例中项线段， ∴， ∴（负值舍去） 即c的长为； （2）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，． 15．【答案】四边形与四边形一直保持相似．原因是它们的角分别相等、边成比例． 【知识点】相似多边形 【分析】由，证明再证明四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例，从而可得答案. 【详解】解： ，， 即 ，， 四边形与四边形一直保持相似． 【点睛】本题考查的是四边形相似的判定，掌握“四个角分别对应相等，四条边分别对应成比例的两个四边形相似”是解题的关键. 16．【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2) 解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、相似多边形的性质 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $