26.4 实际问题与二次函数 随堂练习2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 随堂练习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．如图，某农场计划修建三间矩形饲养室，饲养室一面靠现有墙（墙可用长），中间用两道墙隔开，已知计划中的修筑材料可建围墙总长为，设饲养室宽为，占地总面积为，则三间饲养室总面积有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最大值 D．最大值 2．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为时，水面宽度为，那么水位上涨时，水面的宽度为（   ） A． B． C． D． 3．某文学书的售价为每本30元．每星期可卖出200本，书店准备在年终进行降价促销．经市场调研发现，单价每下降2元，每星期可多卖出10本．设每本书降价元后，每星期售出此文学书的销售额为元，则与之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 4．如图，足球训练中，小辉从球门正前方处射门，球射向球门的路线呈抛物线，对应的函数解析式为（米），已知球门高为米，忽略其他因素，能满足球能射进球门的可能的值是（　　） A． B． C． D． 5．为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 6．四边形的对角线，且，则四边形的面积（    ） A．有最大值64 B．有最小值64 C．有最大值32 D．有最小值32 7．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   8．某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 9．飞机着陆后滑行的距离（单位：）关于滑行的时间（单位：）的函数解析式为．有下列结论： ①滑行的时间为时，滑行的距离是； ②飞机停下前最后内滑行的距离是； ③飞机着陆后滑行了才停下来． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 10．剪纸是我国的民间传统艺术，能为节日增加许多喜庆的氛围．将如图所示的剪纸“鱼”置于平面直角坐标系中，使得外轮廓上的点均落在抛物线（a、c为常数，）上，已知点B在第一象限，且到y轴的距离为，则点B到x轴的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用长为的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，当_______m时窗户的透光面积最大（铝合金条遮光部分忽略不计）． 12．从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，距离地面的高度是______． 13．某厂七月份的产值是10万元，设第三季度每个月产值的增长率相同，都为x（x＞0），九月份的产值为y万元，那么y关于x的函数解析式为_______．（不要求写定义域） 14．某宾馆有120间标准房，当标准房价格为100元时，每天都客满，市场调查表明标准房价格在元之间（含100元，150元）浮动时，每提高10元，日均入住数减少6间．如果不考虑其他因素，该宾馆将标准房价格提高到________元时，客房的日营业收入最大． 15．某温室大棚的拱架呈抛物线型（图），如图，以拱架底部的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，轴与抛物线交于顶点．已知，现要在距离底部高处安装一根与平行的通风管，通风管的长度为，则拱架最高点距底部的高度为_______． 三、解答题 16．如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． (1)写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； (2)当运动多少秒时五边形的面积最小?并求出最小面积． 17．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 18．如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：）与飞行时间x（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： (1)在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ (2)在飞行过程中，当小球的飞行高度为时，飞行时间是多少？ (3)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ (4)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？ 19．某幢建筑物，从米高的窗口用水管向外喷水（米），喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），如图，如果抛物线的最高点离墙米，离地面米，求水流落地点到墙的距离． 20．近几年城市建设快速发展，对花木的需求逐年提高，某园林专业户计划投资万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润 (万元)与投资量 (万元)成正比例关系：；种植花卉的利润 (万元)与投资量 (万元)的函数关系如图所示(其中是抛物线的一部分，为抛物线的顶点，轴)． (1)写出种植花卉的利润关于投资量的函数关系式； (2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润 (万元)关于投入种植花卉的资金 (万元)之间的函数关系式； (3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的总利润最大，最大利润是多少万元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A A D A C C C C D 1．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，设饲养室宽为，则长为，根据长方形面积公式即可得，由墙可用长可得的范围，再根据二次函数的性质进行求解． 【详解】解：设饲养室宽为，则长为， ， ， ； 在时，随的增大而减小， 当时，， 即最大值为， 故选：C． 2．【答案】A 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位上涨时，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：A． 3．【答案】A 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，设每本书降价元，则每星期可售出本，根据每星期的销售总额销售单价每星期的销售数量，即可得出与之间的函数关系式． 【详解】解：设每本书降价元，则每星期可售出本， 每星期售出此文学书的销售额． 故选：A． 4．【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数图象性质和解析式求解，准确计算是解题的关键． 根据球门高为米，可得当时，，即可得解． 【详解】球门高为米， 当时，， ， 可能是． 故选． 5．【答案】A 【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 6．【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】对角线互相垂直的四边形面积为对角线乘积的一半，据此即可求解． 【详解】解：如图： 设 则四边形的面积 ∴当时，四边形的面积有最大值32 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数在几何图形中的应用．掌握对角线互相垂直的四边形面积计算公式是解题关键． 7．【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 8．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 9．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，将函数解析式配方成顶点式再逐个分析即可得． 【详解】解：∵， ∴当时，， 即滑行的时间为时，滑行的距离是； 当时，s有最大值，此时， ∴飞机从落地到停下来共需20秒，滑行距离为600m， ∴飞机前10秒滑行的距离为， 即飞机停下前最后内滑行的距离是 当时，y取得最大值600， 即飞机着陆后滑行600米才能停下来， 所以，正确的结论是①③，共2个， 故选：C． 10．【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用． 依据题意，由点在抛物线上，则，可得抛物线为，结合点在抛物线上，从而求出a后可得抛物线的解析式为抛物线为，又点B在第一象限，到y轴的距离为，则B的横坐标为，令，则，即点B到x轴的距离为，进而可以得解． 【详解】解：∵点在抛物线上， ∴． ∴抛物线为． 又∵点在抛物线上， ∴． ∴． ∴抛物线为． ∵点B在第一象限，到y轴的距离为， ∴B的横坐标为． ∴令，则， 即点B到x轴的距离为． 故选：D． 11．【答案】2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设AB=xm，则 ，根据矩形的面积公式，可得到关于x的函数关系式，然后根据二次函数的性质判断面积的最大值，即可求解． 【详解】解：设AB=xm，则 ， 则窗框的透光面积为 ， ∴当x=2时，窗框的透光面积最大， 即AB=2m时，窗框的透光面积最大． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键． 12．【答案】20 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，已知高度h与时间t的关系式为，抛物线开口向下，最大值出现在顶点处．需要先求出顶点的横坐标t，再代入原式求出对应的最大高度h． 【详解】解：∵， ∴顶点的横坐标为， 把代入得， ∴当小球到达最高点时，距离地面的高度是， 故答案为：20． 13．【答案】y＝10(1+x)2 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】利用该厂九月份的产值=该厂七月份的产值×（1+增长率）2，即可得出结论． 【详解】解：∵该厂七月份的产值是10万元，且第三季度每个月产值的增长率相同，均为x， ∴该厂八月份的产值是10（1+x）万元，九月份的产值是10（1+x）2万元， ∴y＝10（1+x）2． 故答案为：y＝10（1+x）2． 【点睛】本题考查了由根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，正确列出二次函数关系式是解题的关键． 14．【答案】150 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，通过建立日营业收入与房价提高量之间的二次函数关系，利用二次函数的性质求最大值，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：设房价提高个10元，则房价为元，日均入住数为间．设日营业收入为， 由题意可得：． 由于二次项系数，函数图象开口向下， 所以在对称轴处取得最大值． 此时房价为元，且150在元范围内． 故答案为：150． 15．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意得，，求出抛物线解析式为，得，从而求出拱架最高点距底部的高度． 【详解】解：由题意得，，， 设抛物线解析式为， ∴，解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴拱架最高点距底部的高度为米． 16．【答案】(1)； (2)当秒时，S有最小值． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）先表示出第t秒钟时的长，根据三角形的面积公式即可得到的面积的函数关系式，再用矩形的面积减去的面积即可得到结果； （2）先把配方为顶点式，再根据二次函数的性质即可求得结果． 【详解】（1）解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴； （2）解：， ∵， ∴当秒时，S有最小值． 17．【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 18．【答案】(1) (2)或 (3) (4)小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）求出当时y的值即可得到答案； （2）求出当时x的值即可得到答案； （3）求出当时x的值即可得到答案； （4）把函数解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， 答：当小球的飞行时，飞行高度是； （2）解：在中，当时，解得或， 答：当小球的飞行高度为时，飞行时间是或； （3）解：在中，当时，解得或， 答：小球从飞出到落地所用时间是； （4）解：∵， ∴小球飞行高度在飞行时间是时最大，最大高度为． 19．【答案】水流落地点到墙的距离为米 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，理解题意，确定二次函数的顶点坐标，设抛物线的函数解析式为，运用待定系数法即可求解，掌握运用待定系数法求二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴抛物线的函数解析式为， 令，得，， ∴， ∴水流落地点B到墙的距离OB为5米． 20．【答案】(1) (2) (3)当时，取得最大值为万． 【知识点】最大利润问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； (1)从 (万元)与投资量 (万元)的函数关系图可知，当时与的关系式为二次函数图像的一部分，当时，，故应分两种情况； (2)由题意可知 及共投资万元，列出关于、的函数关系式； (3)由(2)中、的关系式求出的最大值即可． 【详解】（1）解：由函数图像可知，当 时，与的关系式图像为 抛物线的一部分， 设此抛物线的解析式为： 把代入解析式为： 解得． 则 当时， ； 所以 （2）因为投入种植花卉万元，则投入种植树木万元． 当 时， ， 则 ； 当时， 则． 所以、的函数关系式为：； （3） 根据二次函数的性质， 当 万元时，W取得最大值， 万． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $