精品解析：湖南省长沙市明德中学2026-2027学年高二上学期9月阶段测试数学试卷

明德中学2026年下学期阶段测试 高二年级数学试卷 2026年9月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以复数在复平面内对应的点的坐标为. 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ） A. 平均数变小，中位数变大 B. 平均数不变，众数不变 C. 平均数变大，中位数不变 D. 平均数不变，众数变大 【答案】C 【解析】 【详解】真实数据的平均数为，中位数为，无众数； 记错的数据的平均数为，中位数为，众数为; 所以平均数变大，中位数不变. 4. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线一般式方程判断两条直线平行的方法即可求解. 【详解】因为直线：，：．且， 所以，即，解得. 因此实数. 5. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式判断. 【详解】根据基本不等式选项B显然正确； 当时，，，AC均错；时，，D错. 所以只有B正确. 6. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】设，， 已知，故， 整理得， 故的轨迹是圆心为，半径为的圆， ， ， 是到轴的距离，圆上， 故． 7. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由锐角，，得,,即,得，， 由正弦定理得. 8. 已知函数，则（ ） A. 函数为单调递减函数 B. C. 若，恒成立，则 D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数的单调性及单调性的性质判断A；结合指数运算得即可判断B；结合函数的对称性，参变分离得在有解，然后利用指数函数的单调性求得函数最值即可判断C；画出两个函数在同一坐标系下的图象，根据对称性和周期性求和判断D. 【详解】对于A，易知当时，；当时，， 由单调递增可得在以及上分别为单调递减函数，故A错误； 对于B，易知函数满足， 因此可得关于对称， 由于，所以，故B错误； 对于C，由，，即， 即在有解，因为，所以， 所以，所以可得，解得，故C错误； 对于D，函数以及的如下图所示： 易知也关于对称，所以， 且的周期 ，一个周期与有两个交点， 所以与在共对交点（个交点）， 每对交点的纵坐标之和为， 即，故D正确. 二、多选题（本小题共3小题，共18分.全答对得6分，有错得0分，答对部分得部分分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【详解】选项A：，则，故A正确； 选项B：已知，则，解得，故B错误； 选项C：若，则， ，故C正确； 选项D：已知，则，解得，故D错误． 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项即可得到结论． 【详解】已知函数， 对于A，由图象可知，函数的最大值为 ，所以，此时， 图象经过点，代入解析式得，又因为，所以或， 观察图象，在轴右侧（即时），函数值是先上升达到最大值的， 若，函数图象在轴右侧应是先下降后上升，不符； 若 ，函数图象在轴右侧先上升后下降，符合图象走势；所以，故 A 正确； 对于B，由图可知，函数图象经过且在处于下降趋势， 所以，解得：， 又因为图像从到经历了不到半个周期，即，解得，因此，故 B 正确； 对于C，由选项AB可知，，对称轴满足， 代入，得，解得，符合条件，所以的图象关于直线对称，故C正确. 对于D，当时，， 由正弦函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增， 由于，， 所以的最大值为，最小值为， 即在的值域为，故D错误. 11. 如图，若正方体的棱长为2，点M是正方体侧面上的一个动点（含边界），点P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PCD截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则线段长度最小值为 D. 若点Q为棱BC中点，点M在线段上移动（含端点），则与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A ，利用面面平行性质确定截面为矩形，求出矩形邻边长，直接计算矩形面积完成判断；对B ，等体积转化，找到到平面距离的最大值，代入体积公式算出体积上限，对照选项判断正误；对C，由推出侧面内动点是以为圆心、半径为的圆弧，利用圆外一点到圆上点距离最小值判断；对D ，找出与平面线面角，建立三角函数表达式，分析函数单调性，得到正弦值的取值范围. 【详解】对于A：由面面平行的性质可知截面如图，其中为中点，四边形为矩形， 在直角三角形ADP中，，，所以， 所以矩形CDPH的面积，A正确； 对于B：因为，设点到平面CDPH的距离为，如图： 设过点作交CH于． 因为在正方体中，平面，平面，所以． 又因为，，平面CDPH，所以平面CDPH． 所以就是点到平面的距离，当且仅当M与重合时，到平面的距离有最大值． 在直角三角形中，，所以． 所以三棱锥的体积 ，B错误； 对于C：连接，平面，，所以 在侧面中，动点到定点的距离为，动点在一段圆弧上， 由圆的几何性质，线段，C正确； 对于D：取棱的中点，连接，，再过点作． 因为，因此平面． 又因为，，所以，且是动点， 所以平面或平面，且平面， 故就等于与平面所成角． 在直角三角形中，，， 当时，； 当时，在单调递增，所以． 综上所述，，即与平面DPC所成角正弦值的取值范围为，D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】已知，， 当时，单调递增； 则； 当时，单调递增； 故； 综上可得，斜率k的取值范围是． 13. 甲、乙两个转盘均标有数字，，甲转盘指向的概率为；乙转盘指向的概率为，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】先设事件为“甲转盘指向”，事件为“两个转盘指向相同的数字”，再分别计算的值，再根据事件的相互独立的性质解得. 【详解】设事件为“甲转盘指向”，事件为“两个转盘指向相同的数字”，由题意得. 因为“两转盘指向相同数字” 包含“都指向”和“都指向”两种互斥情况， 因此. 事件：即甲指向且两转盘数字相同，等价于甲指向、乙也指向， 因此 . 根据相互独立的性质， 代入得：，由于，， 所以 ，，， 又因为，，两边约去，得​，即. 因此. 14. 已知函数有零点，则的最小值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】将看作是直线上的点，是点到点的距离的平方，的最小值是点到点的距离的平方的最小值，等价于点到动直线的距离平方的最小值，求出点到直线的距离的平方，再求这个平方的最小值，然后检验在这个最小值下，原函数有零点即可（只要找到一个零点即可）. 【详解】是直线上的点， 的最小值，等价于点到动直线上的点距离平方的最小值， 也即等价于点到动直线的距离平方的最小值， 记点到动直线的距离平方为，则 ，令， 有， 由对勾函数的性质知函数在上是增函数，所以， 所以，故所求的最小值为1， 且当，即，即时可取到，此时， 代入原函数得，是它的一个零点，满足条件． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知点，； （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出两点的中点及斜率，然后结合垂直的斜率关系，利用点斜式方程即可求得； （2）根据圆的几何性质求出圆心坐标，利用两点距离公式求解半径，进而求出标准方程，再化为一般方程即可. 【小问1详解】 因为，， 所以AB中点坐标为，又直线的斜率， 所以线段的垂直平分线的斜率为， 即的直线方程为，化简得. 【小问2详解】 由垂径定理得，圆心在的垂直平分线上， 联立方程得：，解得，所以圆心坐标为， 所以半径，所以圆的标准方程为， 所以圆的一般式方程. 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助频率之和为计算即可得； （2）借助平均数计算即可得； （3）借助分层抽样的性质可得这6名员工中成绩在与的人数，再借助列举法计算即可得解. 【小问1详解】 ，解得； 【小问2详解】 ， 故可估计这100名员工的竞赛成绩的平均数为； 【小问3详解】 ，， 则这6名员工中成绩在的有人，设这四人分别为、、、， 这6名员工中成绩在的有人，设这两人人分别为、， 则从抽取的这6名员工中随机抽取2名员工的不同情况有：、、、、 、、、、、、、、、、，共种， 其中这2名员工的成绩都在内情况有： 、、、、、，共种； 故这2名员工的参赛成绩都在内的概率为. 17. 在中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为的面积，且满足如下条件：． （1）求角A； （2）若，，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用边角转化结合余弦定理计算求解； （2）应用向量的线性关系结合面积公式计算，最后应用基本不等式求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理，得，整理得， 由余弦定理，得，又，所以． 【小问2详解】 由，得， 化简得到：． 从而， 由余弦定理，可得， 因为，所以，当且仅当时取等号． 从而，所以面积的最大值为． 18. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面． （1）证明：； （2）若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； （3）平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 【答案】（1）证明：如图，连结，因为E为矩形两条对角线的交点，所以E为的中点． 取的中点M，连结，则，且， 因为，所以． 因为平面，平面，平面平面， 所以，且，所以四边形是平行四边形， 所以． （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）应用线面平行性质定理得出，再应用平行四边形计算边长关系； （2）建立空间直角坐标系，结合线面角正弦公式计算求解边长； （3）应用柱体及锥体体积公式计算求解比值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直四棱柱中，且，故以D为原点， 为正交基底建立如图空间直角坐标系． 则，，设，则，，． 所以，，． 设平面的一个法向量，则即， 令，则，，所以． 设直线与平面所成角为，则， 化简整理得，得或，解得或． 所以或． 【小问3详解】 取的中点N，CD的中点F，连结BF，EF，NF． 由（1）证明过程可知，平面ABE截四棱柱的截面为四边形， 截得下面部分为直三棱柱和四棱锥． 设，，，则． 所以三棱柱的体积 ， 四棱锥的体积， 所以下面部分的体积为． 而四棱柱的体积， 所以上面部分的体积为， 所以上､下两部分的体积之比为． 19. 已知函数的定义域为，对于给定实数和，定义集合． （1）若，求； （2）设，若，求实数的取值范围； （3）设集合，证明：“对于任意给定实数和，若，均有”的充要条件是“是奇函数”． 【答案】（1） （2） （3）充分性： 当是奇函数时，若，则， 即， 即，所以． 必要性： 由实数和的任意性，取，， 显然和满足， 即、，则必有、， 即有， 若，则，， 由同向相加性，可得，矛盾， 若，则，，即，矛盾， 所以， 同理可证，当时，取，，有， 取，，则，有，即； 取，，则，有，即； 由于，故， 由同向相加性，得，即， 因此，对于任意实数，均有，即是定义在上的奇函数． 【解析】 【分析】（1）解一元二次不等式，即可得； （2）根据题设，分析有在上的最大值为，最小值为，再分类讨论，结合二次函数的性质及确定参数范围； （3）从充分、必要性两个方面求证，利用奇函数的性质及集合新定义得到研究充分性，利用任意性，取，，结合新定义有，再依次讨论、得到矛盾，从而有，同理分析的情况研究必要性，即可证. 【小问1详解】 由题，由，可得，故； 【小问2详解】 注意到，且、是的零点， 由题意，在上的最大值为，最小值为， ①当时，在上严格增，即， 从而对恒成立，即； ②当时，在上严格增，同①分析有； ③当时，在上的表达式为， 在中的最大值为，最小值为， 若，则在上严格增，同①分析有， 若，则，在上的最大值为， 所以满足要求，即即， 若，则，此时恒成立， 故不是上的最大值，不满足要求，舍去， 综上，实数的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 明德中学2026年下学期阶段测试 高二年级数学试卷 2026年9月 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 为防范新型毒品对青少年的危害，某校开展青少年禁毒知识竞赛，小星所在小组5个学生的真实成绩分别为80，86，95，96，98，由于小星将其中一名成员的96分错记为98分，则与所在小组的真实成绩相比，统计成绩的（ ） A. 平均数变小，中位数变大 B. 平均数不变，众数不变 C. 平均数变大，中位数不变 D. 平均数不变，众数变大 4. 已知直线：，：．且，则实数（ ） A. B. C. D. 5. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，，，点P满足，则面积的最大值是（ ） A. B. C. 8 D. 4 7. 在锐角 中，角 的对边分别为 ，已知 ，，则 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 函数为单调递减函数 B. C. 若，恒成立，则 D. 函数，与函数的图象所有交点纵坐标之和为 二、多选题（本小题共3小题，共18分.全答对得6分，有错得0分，答对部分得部分分．） 9. 已知，，则（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. C. 的图象关于直线对称 D. 在上的值域为 11. 如图，若正方体的棱长为2，点M是正方体侧面上的一个动点（含边界），点P是棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 平面PCD截该正方体的截面面积为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 若，则线段长度最小值为 D. 若点Q为棱BC中点，点M在线段上移动（含端点），则与平面DPC所成角正弦值的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 设直线l的倾斜角为，且，则直线l的斜率k的取值范围是______． 13. 甲、乙两个转盘均标有数字，，甲转盘指向的概率为；乙转盘指向的概率为，其中．现独立地转动两转盘各一次，若“甲转盘指向”与“两个转盘指向相同的数字”相互独立，则______． 14. 已知函数有零点，则的最小值为______． 四、解答题（本题共5小题，共77分．） 15. 已知点，； （1）求线段的垂直平分线的方程； （2）若圆经过两点，且圆心在直线上，求圆的一般式方程. 16. 2024年底我国一家公司的发布，引起全球轰动.某单位引入该，并对员工进行了该应用的培训，为了激发员工的培训积极性，提升员工的应用能力，单位还举行了该应用相关知识竞赛.竞赛成绩出来后随机抽取了名员工的成绩（单位：分），根据这名员工的成绩（成绩均在之间），将样本数据分为，，，，五组，绘制出频率分布直方图（如图所示）. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名员工的竞赛成绩的平均数（同一组中的数据以该组数据所在区间中点的值作代表）； （3）在样本中，从成绩在和内的员工中按分层抽样抽取6人，再从抽取的6人中随机抽取2人进行再培训，求这2人的成绩都在内的概率. 17. 在中，a，b，c为角A，B，C对应的边，S为的面积，且满足如下条件：． （1）求角A； （2）若，，求面积的最大值； 18. 如图，在直四棱柱中，四边形ABCD是梯形，，，E为矩形两条对角线的交点，且平面． （1）证明：； （2）若，直线与平面ABE所成角的正弦值为，求； （3）平面ABE将该四棱柱分成上､下两部分，求上､下两部分的体积之比． 19. 已知函数的定义域为，对于给定实数和，定义集合． （1）若，求； （2）设，若，求实数的取值范围； （3）设集合，证明：“对于任意给定实数和，若，均有”的充要条件是“是奇函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $