1.3.2 带电粒子在匀强磁场中的运动 学案-2026-2027学年高二下学期物理人教版选择性必修第二册

1.3　　带电粒子在匀强磁场中的运动 情景导入 生活提问：为什么绚丽的极光多出现在两极上空？为什么质谱仪能“称量”出原子核的质量？ 这些都跟带电粒子在磁场中的运动有关。带电粒子进入匀强磁场后会做怎样的运动？本节课我们一起来探究。 学习目标 1. 知道带电粒子在匀强磁场中的几种运动情况，会用洛伦兹力提供向心力分析匀速圆周运动。［重］ 2. 会推导带电粒子做匀速圆周运动的半径和周期表达式，理解周期与速度无关。［重］ 3. 会确定圆心、求半径、算时间，求解带电粒子在有界磁场中的运动问题。［难］ 4. 了解电偏转与磁偏转的区别，会分析带电粒子在叠加场及临界问题中的运动。［难］ 知识点一　临界极值、磁聚焦、动态圆 一、带电粒子在有界匀强磁场中的临界极值问题 1．出现临界状态的常见情况 带电粒子通常都在有界磁场中运动，当带电粒子射入匀强磁场的速度大小或方向变化时，会出现恰好不射出磁场边界、在磁场中的运动时间最长等临界与极值问题。 2．判断临界状态的常用结论 (1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切 (2)当速度v一定时，弧长越长，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 (3)当速度v变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长 二、带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题 多解类型 多解原因 示意图 带电粒子电性不确定 带电粒子可能带正电，也可能带负电，粒子在磁场中的运动轨迹不同 磁场方向不确定 题目只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，必须考虑磁感应强度方向有两种情况 临界状态不唯一 带电粒子在飞越有界磁场时，可能直接穿过去了，也可能从入射界面反向飞出 运动的往复性 带电粒子在空间运动时，往往具有往复性 三、磁聚焦与磁发散 1．带电粒子的聚焦 如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，水平平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹圆半径与磁场圆半径相等(r＝R)，则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出。(聚焦) 证明：四边形OAO′B为菱形，对边平行，OB必平行于AO′(即竖直方向)，可知从A点入射的带电粒子必然经过B点。 2．带电粒子的发散 如图乙所示，圆形磁场区域的磁感应强度为B，圆心为O，从最高点P点有大量质量为m、电荷量为q的正粒子，以大小相等的速度v沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒子轨迹圆半径与磁场圆半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行。(发散) 证明：所有粒子运动轨迹的圆心与磁场圆圆心O、入射点、出射点的连线为菱形，由几何知识可知O1A、O2B、O3C均平行于PO，则出射速度方向相同(即水平方向) 四、动态圆 1、平移圆 适用：入射点在同一直线上，且速度大小、方向均相同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则运动半径r＝ 轨迹圆圆心特点:轨迹圆圆心共线,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在与入射点所在直线平行的同一直线上 2、放缩圆 适用：入射点相同，速度方向一定、大小不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的增大而增大，如图所示 轨迹圆圆心特点：轨迹圆圆心共线，运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP′上 3、旋转圆 适用：入射点相同，速度大小一定、方向不同 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射速度大小为v0，则圆周运动半径为r＝ 轨迹圆圆心特点：轨迹圆圆心共圆，带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点O为圆心、半径r＝的圆上 知识点二 复合场（组合场+叠加场） 一、组合场磁场磁场组合、先磁场后电场、先电场后磁场 【例1】在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电量为+q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为µ，重力加速度为g，小球由静止开始下滑直到稳定的过程中（　　） A．小球的加速度一直减小 B．小球的机械能和电势能的总和保持不变 C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是 【答案】CD【详解】A．小球静止时只受电场力、重力、支持力及摩擦力，电场力水平向左，摩擦力竖直向上；开始时，小球的加速度应为小球速度将增大，产生洛仑兹力，由左手定则可知，洛仑兹力向右，故水平方向合力将减小，摩擦力减小，故加速度增大，故A错误；C．当洛仑兹力等于电场力时，摩擦力为零，此时加速度为g，达到最大；此后速度继续增大，则洛仑兹力增大，水平方向上的合力增大，摩擦力将增大；加速度将减小，故最大加速度的一半会有两种情况，一是在洛仑兹力小于电场力的时间内，另一种是在洛仑兹力大于电场力的情况下，则解得故C正确；D．同理有解得故D正确；B．而在下降过程中有摩擦力做功，故有部分能量转化为内能，故机械能和电势能的总和将减小，故B错误。故选CD。 【例2】如图所示，在无限长的竖直边界AC和DE间，上、下部分分别充满方向垂直于平面ADEC向外的匀强磁场、上部分区域的磁感应强度大小为，OF为上、下磁场的水平分界线，质量为、带电荷量为的粒子从AC边界上与O点相距为的P点垂直于AC边界射入上方磁场区域，经OF上的Q点第一次进入下方磁场区域，Q与O点的距离为，不考虑粒子重力。 （1）求粒子射入时的速度大小； （2）要使粒子不从AC边界飞出，求下方磁场区域的磁感应强度应满足的条件； （3）若下方区域的磁感应强度，粒子最终垂直DE边界飞出，求边界DE与AC间距离的可能值。（结果用表示） 【答案】（1）；（2）；（3）（，，） 【详解】（1）设粒子在OF上方做圆周运动半径为，如图所示 由几何关系可得解得由洛伦兹力提供向心力得解得 （2）当粒子恰好不从AC边界飞出时，设粒子在OF下方做圆周运动的半径为，如图所示由几何关系得又联立解得由洛伦兹力提供向心力得解得要使粒子不从AC边界飞出，下方磁场区域的磁感应强度应满足 （3）当下方区域的磁感应强度，粒子的运动轨迹如图所示由洛伦兹力提供向心力得所以粒子在OF下方的运动半径为设粒子的速度方向再次与射入磁场时的速度方向一致时的位置为P1，则P与P1的连线一定与OF平行，根据几何关系知所以若粒子最终垂直DE边界飞出，边界DE与AC间的距离为（，，） 二、配速法 【例3】霍尔推进器某局部区域可抽象成如图所示的模型。Oxy平面内存在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度为。质量为、电荷量为的电子从点不断地沿轴正方向以大小不同的速度水平入射，速度大小在0到范围内变化。入射速度大小为的电子，入射后沿轴做直线运动；入射速度小于时，电子的运动轨迹如图中的虚线所示，且在最高点与在最低点电子所受的合力大小相等。不计重力及电子间相互作用。 (1)求电场强度的大小； (2)若电子入射速度为，求运动到速度为时位置的纵坐标； (3)若一段时间内入射电子的总数为，且电子数随速率的变化均匀分布，求能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的百分比。 【答案】(1)(2)(3)90% 【详解】（1）由题知，入射速度为时，电子沿轴做直线运动则有解得 电子在竖直向下的匀强电场和垂直坐标平面向里的匀强磁场的复合场中，由于洛伦兹力不做功，且由于电子入射速度为，则电子受到的电场力大于洛伦兹力，则电子向上偏转，根据动能定理有解得 （3）若电子以入射时，设电子能达到的最高点位置的纵坐标为，则根据动能定理有由于电子在最高点与在最低点所受的合力大小相等，则在最高点有在最低点有联立有，要让电子达纵坐标位置，即解得则若电子入射速度在范围内均匀分布，能到达纵坐标位置的电子数占总电子数的90%。 【例4】沿水平方向和竖直方向建立xOy坐标系，在第一象限内(包括y轴)存在大小未知、方向沿水平向右的匀强电场E1；在第三、四象限内存在大小未知、方向沿竖直向上的匀强电场E2和大小未知、方向沿垂直于纸面向里的匀强磁场B。一质量为m、电荷量为+q的带电小球由S点（0，h）处水平向左射出，经过x上的a点进入x轴下方做匀速圆周运动，由x轴上b点第一次进入第一象限，做匀减速直线运动，刚好可以到达S点，粒子从a点运动到第一次到达b点的过程中，速度的方向改变270°。已知重力加速度为g，不计空气阻力。求： (1)小球经过a点时的速度大小； (2)匀强电场E2的电场强度大小和匀强磁场B的磁感应强度大小； (3)小球第11次经过x轴时的横坐标。 1．(1)(2)，(3) 【详解】（1）设小球过a点时速度方向与x轴负方向成θ角，作出小球的运动轨迹，如图所示根据几何关系可得360°-2θ=270°解得θ=45°  由S点到a点，小球做平抛运动，在竖直方向有解得   所以小球在a点的速度为（2）由题知，小球在x轴下方做匀速圆周运动，则有 解得  由S点到a点，小球做平抛运动，则有，且 联立解得  由b点到S点，小球做匀减速直线运动，根据几何关系可得  根据几何关系有  解得 在第三、四象限，根据洛伦兹力提供向心力 解得（3）由将小球在第一象限电场中的运动分解为水平方向和竖直方向运动的叠加，结合小球在x轴下方做匀速圆周运动的特点，可知小球在第一象限电场中沿竖直方向做竖直上抛运动，且每次过x轴时的vy都一样大，且；   小球在第一象限电场中沿水平方向做匀加速直线运动，且在任意相邻两点的水平位移满足   在磁场中，根据牛顿第二定律有 取，则即全过程则有    解得 则小球第11次经过x轴时的横坐标为 知识点三 交变场、空间立体场 【例5】平行金属极板MN之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场，取垂直纸面向外为磁场正方向，磁感应强度随时间周期性变化的规律如图乙所示，取垂直极板向上为电场正方向，电场强度随时间周期性变化的规律如图丙所示。时，一不计重力、 带正电的粒子从极板左端以速度沿板间中线平行极板射入板间，最终平行于极板中线射出，已知粒子在时速度为零，且整个运动过程中始终未与两极板接触，则下列说法正确的是（　　） A．粒子可能在时刻射出极板 B．极板间距不小于 C．极板长度为（，，） D． BD【详解】根据题意可知，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，且转了周，在内，粒子在电场中向下做减速运动到速度为零，在内，粒子在电场中向上做加速运动到速度为，在内，粒子在磁场中做匀速圆周运动，转了周，粒子回到极板中线，速度平行于极板中线，接下来粒子周期性地重复以上运动，粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示A．粒子一个运动周期为故粒子射出极板的时刻可能为（，，）A错误；B．粒子在磁场中，设粒子的轨迹半径为，则有解得粒子在电场向下减速的位移为故极板间距应满足B正确；C．极板长度可能为（，，）C错误；D．粒子在磁场中，有解得粒子在电场中，有解得可得D正确；故选BD。 【例6】空间中水平方向存在相互垂直的匀强电场和匀强磁场，电场强度E和磁感应强度B已知，建立空间直角坐标系如图所示。一已知质量为m、电荷量为q的带正电小球在此空间运动，且速度大小恒定不变，已知重力加速度为g。 (1)若小球仅在xOz平面内运动，求此时小球运动的速度大小； (2)在（1）的情况下，若小球经过坐标原点O时，撤去磁场，求小球再次回到x轴时沿x方向的位移大小； (3)若某一时刻撤去电场，已知此后该小球在空间运动过程中的最大动能为其初始动能（即电场刚要撤去时的动能）的1.5倍，试求电场刚要撤去时小球的动能。 (1)(2)(3)【详解】（1）小球做匀速直线运动，则电场、磁场和重力场对其作用力的合力为0，即，解得速度大小为（2）撒去磁场后，小球在平面内做类平抛运动，设沿轴的方向位移为，速度方向与轴正方向夹角为，小球加速度为，则有，沿速度方向，小球做匀速直线运动垂直于速度方向，小球做匀加速直线运动解得（3）撤去电场后，小球受重力和洛伦兹力做一般曲线运动，撤去电场前，小球做匀速直线运动，水平方向的洛伦兹力与电场力平衡，即，即，解得方向的洛伦兹力与重力平衡，即，解得因此初动能为撤去电场后，利用配速法，轴方向的洛伦兹力仍平衡重力，所以小球沿轴做匀速直线运动。使小球做匀速圆周运动，当方向与轴同向时，合速度最大，动能最大，此时有联立解得 【例7】如图所示，空间直角坐标系内有一由正方体和半圆柱体拼接而成的空间区域，立方体区域内存在沿轴负方向的匀强电场，半圆柱体区域内存在沿轴负方向的匀强磁场、分别为、的中点，、分别为、的中点，、分别为半圆弧、的中点，为的中点。质量为、电荷量为的带正电粒子在竖直平面内由点斜向上射入匀强电场，入射的初速度大小为，方向与轴正方向夹角为。一段时间后，粒子垂直于竖直平面射入匀强磁场。已知正方体的棱长和半圆柱体的直径均为，匀强磁场的磁感应强度大小为，不计粒子重力，， (1)求匀强电场的电场强度的大小； (2)求粒子自射入电场到离开磁场时的运动时间； (3)若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，求粒子离开匀强磁场时的位置坐标 (1)(2)(3)（，，）【详解】（1）粒子在电场中运动时，设运动时间为，沿轴方向有解得沿轴方向有由牛顿第二定律可知粒子在电场中的加速度大小解得（2）粒子进入匀强磁场后，由牛顿第二定律可知解得轨迹半径由几何关系可知，粒子在磁场中运动的轨迹所对的圆心角为，粒子在磁场中运动的周期粒子在匀强磁场中运动的时间故（3）若粒子以相同的初速度自点射入匀强电场，在匀强电场中运动的时间 进入磁场时，沿轴方向的速度大小为沿轴方向的速度大小为粒子在水平面做匀速圆周运动，轨迹半径沿轴方向做匀速直线运动，因粒子做圆周运动的轨迹半径不变，故在磁场中运动的时间不变，在磁场中沿轴方向运动的位移大小为在电场中沿轴方向运动的位移大小为故粒子离开磁场时，坐标为坐标为坐标为即粒子离开磁场时的位置坐标为（，，）。 学科网（北京）股份有限公司 $