2.1.2等式性质与不等式性质课件--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.1 课时2 等式性质 与不等式性质 作者编号：32100 1.理解并掌握不等式的性质. 2.能用不等式的性质证明不等式. 3.会利用不等式的性质求取值范围. 学习目标 作者编号：32100 问题1：你能回忆起等式的基本性质吗？ 性质1 如果，那么； 性质2 如果，，那么； 性质3 如果，那么； 性质4 如果，那么； 性质5 如果，，那么. 性质1，2反映了相等关系自身的性质； 性质3，4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的不变性. 对称性 传递性 加减性 可乘性 可除性 问题导入 作者编号：32100 等式的性质 不等式的性质 别名 a=b⇔b=a a>b⇔b<a 对称性 a=b,b=c⇒a=c a>b,b>c⇒a>c 传递性 a=b⇔a+c=b+c a>b⇔　　 　　  可加性 a=b⇒ac=bc a>b,c>0⇒　　 　;  a>b,c<0⇒　　   可乘性 a=b,c=d⇒a+c=b+d a>b,c>d⇒　　　   同向可加性 a=b,c=d⇒ac=bd a>b>0,c>d>0⇒　 　  同向同正可乘性 a=b≥0⇒an=bn a>b>0⇒an>bn(n∈N+,n≥2) 可乘方性 a+c>b+c ac>bc ac<bc a+c>b+d ac>bd 问题2：类比等式的性质，你能猜想出不等式的性质吗？ 作者编号：32100 归纳总结 归纳总结 不等式性质 性质1：如果a＞b⇒b＜a； 性质2：如果a＞b，b＞c，那么a＞c； 性质3：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c； 性质4：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc ， 如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc； 性质5：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d； 性质6：如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd； 性质7：如果a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N*，n≥2）． 要点归纳 作者编号：32100 例1 下列命题为真命题的是（ ） (A)若a>b>0,则 (B)若a>b>0,则 (C)若a<b<0,则 (D)若a<b<0,则 B 典型例题 作者编号：32100 归纳总结 利用不等式性质判断不等式是否成立的方法： （1）运用不等式的性质判断：要注意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想象捏造性质； （2）特殊值法：取特殊值时，要遵循如下原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算.尤其是在选择题中经常采用这种方法. 方法归纳 作者编号：32100 练1 判断正误，并将错误的加以改正. （1）如果，，那么； （2）如果，，那么； （3）如果，那么； （4）如果，那么； 练一练 ✔ ✔ 作者编号：32100 例2 ∵c>a>b>0， ∴a－b>0，c－a>0，c－b>0， 典型例题 作者编号：32100 练2.已知，，求证：. 证明：， 注意： 若，则； 若，则； 若，则. 练一练 作者编号：32100 利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 方法归纳 作者编号：32100 例3.已知，求下列各式的取值范围： （1）；（2）；（3）. 解：（1）∵ ∴ 又∵ , ∴ ； （2）∵ , ∴, 又∵ ∴ ； （3）∵ , ∴, 又∵ ∴. 典型例题 作者编号：32100 解: 因为－1≤b≤4，所以－8≤－2b≤2，由1≤a≤2，得－7≤a－2b≤4. 练3.已知1≤a≤2，－1≤b≤4，则t＝a－2b的取值范围是(　　) A. {t|－7≤t≤4}　 B. {t|－6≤t≤9} C. {t|6≤t≤9}　 D. {t|－2≤t≤8} A 练一练 作者编号：32100 利用不等式的性质求取值范围时，应注意： 同向不等式具有可加性与可乘性（同正），但是不具有可减性与可除性，应 用时要充分利用所给条件进行适当变形来求取值范围，注意变形的等价性. 方法归纳 作者编号：32100 本课小结 作者编号：32100 本课小结 作者编号：32100 ABD 当堂检测 作者编号：32100 2.与a>b等价的不等式是( ) A.|a|>|b| B.a2>b2 C. >1 D.a3>b3 D 解析：可利用赋值法.令a＝1，b＝－2， 故A，B，C都不正确. 当堂检测 作者编号：32100 3.若1<a<3，－4<b<2，那么a－|b|的范围是( ) A.－3<a－|b|≤3 B.－3<a－|b|<5 C.－3<a－|b|<3 D.1<a－|b|<4 C 解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4， ∴－4<－|b|≤0. 又∵1<a<3，∴－3<a－|b|<3. 当堂检测 作者编号：32100 4.已知，求证：. 解：∵ ∴ ∴ , 则有, 又∵ ， ∴. 当堂检测 作者编号：32100 ＝＝， 已知c>a>b>0，求证：>. 证：－＝ a>c > > < 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔____ ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒_____ ⇒ 3 可加性 a>b⇔a＋c b＋c 可逆 4 可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))⇒ac bc c的符号 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))⇒ac bc b<a > 性质 别名 性质内容 注意 5 同向可加性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))⇒a＋c b＋d 同向 6 同向同正可乘性 eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))⇒ac bd 同向 同正 7 可乘方性 a>b>0⇒an>bn (n∈N*，n≥2) > 1.(多选)已知a，b，c为非零实数，且a－b≥0，则下列结论 正确的有(　　　) A. a＋c≥b＋c　 B. －a≤－b　　　　 C. a2≥b2　 D. ≥ 解：由a－b≥0得a≥b，根据不等式的性质可知A，B正确． 因为a，b的大小不确定，所以C错误．－＝≥0， 故D正确． 满足a>b，但|a|<|b|，a2<b2，＝－<1， $