2.3 课时2 二次函数与一元二次方程、不等式的应用课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2.3 课时2 二次函数 与一元二次方程、不等式的应用 作者编号：32100 1.什么是一元二次不等式？它与一元二次函数、一元二次方程有什么关系？ 2.如何求解一元二次不等式的求解？我们求解了哪些类型的问题？ 复习导入 作者编号：32100 1.掌握含参数的一元二次不等式的解法. 2.掌握分式不等式的解法. 3.理解一元二次方程、二次函数、一元二次不等式之间的关系. 4.掌握求解一元二次不等式的恒成立、有解问题的方法. 5.能构建一元二次函数模型，并利用一元二次不等式解决实际问题. 学习目标 作者编号：32100 例1 不等式ax2－(a＋2)x＋2≥0(a<0)的解集为_______________． 如果未给出参数a的范围，如何求解呢？ 题型1：求解含参数的一元二次不等式 典型例题 作者编号：32100 解含参数的一元二次不等式的步骤： 归纳总结 作者编号：32100 练1 求关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0的解集，其中a是常数. 解:依题意知方程x2+(1-a)x-a=0的实数根为x1=-1，x2=a，且一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象是开口向上的抛物线. (1)当a<-1时，如图①，一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(a，0)与(-1，0). 所以原不等式的解集为{x|a<x<-1}. 练一练 作者编号：32100 (2)当a=-1时，如图②，一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴只有一个交点(-1，0).所以原不等式的解集为⌀. (3)当a>-1时，如图③，一元二次函数y=x2+(1-a)x-a的图象与x轴从左至右有两个交点(-1，0)与(a，0).所以原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 综上所述，当a<-1时，原不等式的解集为{x|a<x<-1}; 当a=-1时，原不等式的解集为⌀; 当a>-1时，原不等式的解集为{x|-1<x<a}. 作者编号：32100 题型2：分式不等式的解法 例2 解不等式： (1) ≥0； (2) ＜3. 典型例题 作者编号：32100 可将这个不等式转化成2(x－1)(x＋1)<0， 解得－1<x<1. 所以原不等式的解集为{x|－1<x<1}. (2) ＜3. 作者编号：32100 练2 不等式≥0的解集为( ) A.{x|-6≤x≤1} B.{x|x≥1，或x≤-6} C.{x|-6≤x<1} D.{x|x>1，或x≤-6} C 故解集为{x|-6≤x<1}. 练一练 作者编号：32100 题型3 应用三个“二次”之间的转化关系解不等式 例3 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的不等式cx2＋bx＋a<0的解集. 解:由不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}可知a<0， 且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 又由a<0知c<0，故不等式cx2＋bx＋a<0， 作者编号：32100 练3 不等式的解集为，则（ ） A. B. C. D. B 解：∵，开口向上， 而解集为，∴ 由韦达定理可得， 解得 ∴ 故选B. 练一练 作者编号：32100 解：（方法一） 例4 （方法二） 在R上恒成立问题 题型4 一元二次不等式的恒成立、有解问题 作者编号：32100 变式 .当1≤x≤2时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求实数m的取值范围. 解：令y＝x2＋mx＋4， ∵y<0在1≤x≤2上恒成立， ∴y＝0的根一个小于1，另一个大于2. ∴实数m的取值范围是{m|m<－5}. 练一练 在给定范围内的恒成立问题 请尝试求解，与同学比较你们的方法是否相同. 作者编号：32100 例5 某地年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元.为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样木材的年销售量减少t万m3.为了既减少 木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是　　　　 　.  {t|3≤t≤5} 解： 设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元， 令y≥900，即60(8t-t2)≥900，解得3≤t≤5. 故t的取值范围是{t|3≤t≤5}. 题型5 建立一元二次不等式模型解决实际问题 作者编号：32100 用一元二次不等式解决实际问题的一般步骤： 归纳总结 （1）理解题意，搞清量与量之间的关系； （2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； （3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解. 作者编号：32100 练4.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s(单位：m)与汽车的车速v(单位：km/h)满足下列关系：s=(n为常数且n∈N)，做了两次刹车实验，有关实验数据如图所示，其中. (1)求n的值. (2)要使刹车距离不超过12.6 m，则行驶的最大 速度是多少? 练一练 作者编号：32100 因为n∈N，所以n=6. (2)由于刹车距离不超过12.6 m，即s≤12.6， 解得-84≤v≤60.因为v≥0，所以0≤v≤60， 即行驶的最大速度为60 km/h. 作者编号：32100 (1)求解含参不等式. (2)简单的分式不等式的解法. (3)二次函数与一元二次方程、不等式间的关系及应用. （4）恒成立问题和有解问题. (5)一元二次不等式的实际应用. 针对本节课以下关键词，谈谈你的收获： 本课小结 作者编号：32100 1.不等式 <0的解集为( ) A.{x|x>1} B.{x|x<－2} C.{x|－2<x<1} D.{x|x<－2或x>1} C 当堂检测 作者编号：32100 2.已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|x<－2或x>3}，则(　　) A. a>0 B. 不等式bx＋c>0的解集是{x|x<－6} C. a＋b＋c>0 D 当堂检测 作者编号：32100 3.某商品在最近30天内的价格y1与时间t(单位：天)的关系式是y1＝t＋10(0<t≤30，t∈N)；销售量y2与时间t的关系式是y2＝－t＋35(0<t≤30，t∈N)，则使这种商品日销售金额z不小于500元的t的取值范围为 . {t|10≤t≤15，t∈N} 解：依题意有(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15，t∈N，故t的取值范围为{t|10≤t≤15，t∈N}． 当堂检测 作者编号：32100 【解析】原不等式可以转化为(x－1)(ax－2)≥0. 当a<0时，可知(x－1)≤0，对应的方程的两根为1，， 根据一元二次不等式的解集的特点，可知原不等式的解集为. 即－<x≤1. 故原不等式的解集为. 解：（1）原不等式可化为≤0， ∴，∴， （2）不等式<3可改写为－3<0， 即<0. 解析：不等式≥0等价于解得-6≤x<1. 即x2＋x＋>0，即x2－x＋>0，解得x<或x>， 所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集为. 由根与系数的关系可知＝－5，＝6. 如图，可得 则y=2 400×t%=60(8t-t2). 解 (1)由题意得解得5<n<. 所以≤12.6,因此v2+24v-5 040≤0, D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为 $