27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 学案 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九 年级 数学 学科学案（附页1） 九 年级 数学 学科学案（正页） 主备人： 审核人： 二次备课人： 时 间： 姓 名： 班级： 第 页 学习内容：27.3 实际问题与反比例函数（第3课时） 课型：新授课 教学随笔 课标要求： 1. 能根据实际问题中变量之间的反比例关系，建立反比例函数模型，并利用函数解决实际问题。 2. 经历收集数据、建立模型、检验模型的过程，体会数学建模的基本方法。 学科素养： 1. 数学建模：由实际数据抽象出反比例函数模型。 2. 数据分析：借助散点图直观判断函数类型。 3. 数学运算：求常数 k 的值并用模型进行估计。 课后反思： 学习目标： 1. 能通过画散点图，根据数据与图象特征判断两个变量之间的函数关系，选择反比例函数建立函数模型。 2. 能根据实验数据求出常数 k 的值，写出函数解析式，并用模型估计未知量的值。 3. 经历"收集数据—画散点图—选择模型—求出模型—检验—求解"的建模过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 学习重难点： 重点：利用实验数据建立反比例函数模型，并用模型进行估计与计算。 难点：理解由数据近似确定函数模型与以往直接给出解析式的不同，体会检验模型的必要性。 学习过程： 一、温故知新 1. 反比例函数 （k≠0）的图象是双曲线：当 k＞0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限；当 k＜0 时，两支分别位于第＿＿、＿＿象限。 2. 当 k＞0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿；当 k＜0 时，在每个象限内，y 随 x 的增大而＿＿。 3. 已知点 A(2, m) 在双曲线 上，则 m＝＿＿；若点 B(n, 3) 也在该双曲线上，则 n＝＿＿。 二、合作探究 函数是刻画现实世界中变量关系和变化规律的数学模型。面对不同的实际问题，我们需要根据数据和图象特征选择合适的函数模型，确定函数解析式，利用函数解决问题。 某物理实验小组研究气体的压强 p（单位：kPa）与体积 V（单位：mL）的关系，在温度不变的条件下，通过实验得到了 6 组数据（表27.3-1）。 表27.3-1 序号 1 2 3 4 5 6 体积 V/mL 20 18 16 14 12 10 压强 p/kPa 100 112 123 145 163 201 问题：气体的压强 p 与体积 V 是否存在一定的函数关系？如果存在，请你建立函数模型，并估计当压强为 132 kPa 时，气体的体积为多少（结果保留小数点后两位）。 (1) 为直观分析这组数据的变化规律，可以先画出＿＿图。观察点的分布状况，用一条光滑曲线尽量靠近所有点，发现曲线形似＿＿曲线的一支。由此猜想 p 与 V 之间的函数关系，并说明猜想依据。 (2) 建立模型：设函数解析式为 （V＞0），根据表27.3-1中的数据，分别求出对应的 k 值，填入表27.3-2，再计算所有 k 值的平均值。 表27.3-2 V 20 18 16 14 12 10 p 100 112 123 145 163 201 k (3) 检验模型：将已知数据代入所得解析式（或画出所得函数的图象），判断这个函数模型与实际数据是否吻合。 (4) 求解问题：将 p＝132 代入所得解析式，求出 V 的值（结果保留小数点后两位）。 三、课堂练习 回顾"探究"，回答以下问题： 1. 表27.3-1中的有些数对只能近似满足 （V＞0），即图中的点并没有完全落在函数图象上。这种建立函数模型的方式与你以往所学有什么不同？ 2. 结合"探究"和上面问题1所涉及的分析与解决问题的过程，归纳建立函数模型解决实际问题的一般步骤。 四、达标训练 1.（选择）下列函数关系中，是反比例函数关系的是（　　） A. 温度不变时，一定质量气体的压强 p 与体积 V B. 周长为 20 的长方形中，长 x 与宽 y C. 圆的面积 S 与半径 r D. 正方形的周长 C 与边长 a 2.（选择）在温度不变的条件下，一定质量的气体满足 （V＞0），当 V 从 10 mL 增大到 20 mL 时，压强 p（　　） A. 增大到原来的 2 倍　　B. 减小到原来的一半 C. 保持不变　　D. 无法确定 3.（填空）一定质量的气体在温度不变时满足 pV＝2000，则 p 关于 V 的函数解析式是＿＿＿。 4.（填空）已知 （V＞0），当 p＝250 kPa 时，V＝＿＿＿mL。 五、课堂小结 1. 建立函数模型解决实际问题的一般步骤：收集数据→画散点图→选择函数模型→求出模型→＿＿＿→求解作答。 2. 本节课你的收获与疑惑：＿＿＿。 六、作业布置 课本本章习题中与"建立反比例函数模型解决实际问题"相关的题目。 学科网（北京）股份有限公司 $