四川省成都市第七中学初中学校2026-2027学年九年级上学期数学第三周周练

四川省成都市第七中学初中学校2026-2027学年九年级上学期数学第三周周练（含答案） （考查内容：特殊平行四边形、一元二次方程） （命题人：王茂晓　　审题人：郑婷） 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意） 1．矩形具有而菱形不具有的性质是（　　） A．对角线相等　　B．对角线互相平分　　C．对角线互相垂直　　D．对角相等 2．下列方程中是关于x的一元二次方程的是（　　） A．x^2+=0　　B．ax^2+bx+c=0　　C．(x-1)(x-2)=x^2　　D．1=x^2 3．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，AD=12，DC=5，则△AOB的周长是（　　） A．13　　B．15　　C．17　　D．18 4．如图，在正方形ABCD中，点E在AB边上，连接CE，过点D作DF⊥CE于点F，过点B作BG⊥CE于点G，若BG=3，DF=8，则FG的长为（　　） A．4　　B．5　　C．7　　D．11 5．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于O点，AC=8，BD=6，点P为线段AC上的一个动点，过点P分别作PM⊥AD于点M，作PN⊥DC于点N，则PM+PN的值为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6．如图，小华剪了两条宽均为√3的纸条，交叉叠放在一起，且它们的夹角为60°，则重叠部分的面积为（　　） A．√2　　B．1　　C．　　D．2√3 7．如图，E为正方形ABCD的对角线BD上的一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，已知DE=2，AE=2√5，则BF的长为（　　） A．　　B．√2　　C．　　D．2√2 8．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=3，AO=√2，那么AC的长等于（　　） A．5　　B．6　　C．7　　D．8 二、填空题 9．若关于x的方程(m+1)x^m²+1+5x-4=0是一元二次方程，则m的值是__________． 10．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC、BD相交于点O，若AC=6，BD=5，则菱形ABCD的面积是__________． 11．已知关于x的二次三项式ax^2+bx+c的部分对应值如表： x：3.1　　3.2　　3.3　　3.4　　3.5 ax^2+bx+c：-0.69　　-0.36　　-0.01　　0.36　　0.75 据此可估计关于x的一元二次方程ax^2+bx+c=0的一个根的取值范围为__________． 12．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以O为顶点的正方形OEGF的两边OE、OF分别交正方形的边AB、BC于点M、N．记△AOM的面积为S₁，△CON的面积为S₂，若正方形的边长AB=10，S₁=16，则S₂的大小为__________． 13．若x=1是一元二次方程(a-2)x^2-4x+a^2=0的一个根，则a的值为__________． 14．如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F．若AB=1，∠EBC=30°，则△ABF的面积为__________． 15．如图，菱形ABCD中，∠DAB=60°，BE⊥AB，DF⊥CD，垂足分别为B、D，若AB=6 cm，则EF=__________cm． 16．如图，矩形ABCD中，已知AB=4，AD=2，AE=BE，点F是EC上一动点，点P是DF的中点，连接PB，则PB的最小值为__________． 17．定义：若x、y满足x^2=4y+k，y^2=4x+k（k为常数）且x≠y，则称点M(x，y)为“妙点”，比如点(5，-9)．若函数y=2x+b的图象上的“妙点”在第三象限，则b的取值范围为__________． 18．如图，在矩形ABCD中，AB=2√2，AD=5．折叠矩形ABCD使得点A恰好落在边BC上，折痕与边AD相交于E，与矩形另一边相交于点F．若DE=2，则BF的长为__________． 三、解答题 19．在平面直角坐标系中，若一个点的横纵坐标都为整数，则称该点为“整点”．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点都是整点，其坐标分别为A(1，2)，B(3，1)，C(0，5)．△A₁B₁C₁与△ABC关于整点P(3，4)成中心对称． （1）在网格中作出△A₁B₁C₁； （2）直接写出△A₁B₁C₁内部（不含边界）的“整点”坐标； （3）若在网格区域内（包含边界）存在“整点”Q，且以点C、A₁、B₁、Q为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 20．如图，在△ABC中，D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点，且AF=BC． （1）求证：四边形ADFE是矩形；（2）若∠B=60°，AF=4，求AB的长． 21．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，过点F作FG⊥BC于点G，连接AC．易证：AC=√2(EC+FG)．（提示：取AB的中点M，连接EM） 图1 图2 图3 （1）当点E是BC边上任意一点时，如图2；当点E在BC延长线上时，如图3．请直接写出AC、EC、FG的数量关系，并对图2进行证明； （2）已知正方形ABCD的面积是27，连接AF，当△ABE中有一个内角为30°时，求AF的长． 22．在平面直角坐标系中，直线l₁：y=x+b分别交x轴、y轴于A、C两点，直线l₂：y=-x+4分别交x轴、y轴于B、D两点，l₁与l₂相交于点E(，a)，点M为线段BE上一动点． （1）求a和b的值； （2）作M关于x轴的对称点M₁，M关于y轴的对称点M₂，连接M₁M₂和CM，若线段M₁M₂与直线l₁互相垂直，求M的坐标和△CEM的面积； （3）如果四边形的一条对角线把这个四边形分成面积相等的两个三角形，那么这个四边形叫做对等四边形．将点A沿射线DB方向平移2√2个单位到点F，连接FM、CM，当四边形AFMC是对等四边形时，求点M的坐标． 参考答案 四川省成都市第七中学初中学校2026-2027学年九年级上学期数学第三周周练 一、选择题（每小题4分，共32分） 1．A　2．D　3．D　4．B　5．C　6．D　7．D　8．A 3题：AC=√(12^2+5^2)=13，AO=BO=，又AB=DC=5，故周长为++5=18． 5题：菱形面积为×8×6=24，S△ADC=12，又AD=DC=5，由S△ADC=×5×PM+×5×PN，得PM+PN=． 6题：重叠部分为菱形，面积===2√3． 二、填空题（每小题4分，共40分） 9．1　　10．15　　11．3.3＜x＜3.4　　12．9 13．-3　　14．　　15．2√3　　16．2√2 17．-4＜b＜8且b≠2　　18．1或 9题：由m^2+1=2且m+1≠0，得m=1． 11题：ax^2+bx+c的值在x=3.3时为-0.01＜0、在x=3.4时为0.36＞0，故根在3.3与3.4之间． 13题：代入得a^2+a-6=0，解得a=-3或a=2，又a-2≠0，故a=-3． 14题：在Rt△BCE中，tan∠EBC=，得CE=，BE=；由面积法得CF==，故BF=√(BC^2-CF^2)=，∠ABF=60°，S△ABF=×1××sin60°=． 15题：∠BAE=∠DCF=30°，AE=CF==4√3，AC=6√3，故EF=AE+CF-AC=2√3． 16题：点P的轨迹是线段（端点(1，1)、(2，2)对应的半线段），B到该线段的最小距离为2√2． 17题：两式相减得x+y=-4，与y=2x+b联立得x=，y=；由第三象限x＜0、y＜0得-4＜b＜8，又x≠y得b≠2． 18题：A落在BC上有两个位置，分别求得BF=1（F在BC上）或BF=（F在AB上）． 三、解答题（共78分） 19．（1）A₁(5，6)，B₁(3，7)，C₁(6，3)，图略． （2）△A₁B₁C₁内部（不含边界）的整点坐标为(4，6)、(5，5)． （3）Q的坐标为(2，4)、(-2，6)或(8，8)． 20．（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且DE=BC． 又F是BC的中点，∴BF=FC=BC，且DF∥AC、EF∥AB． ∴AD∥EF，AE∥DF，即四边形ADFE是平行四边形． 又AF=BC，DE=BC，∴AF=DE． 平行四边形ADFE的两条对角线相等，∴四边形ADFE是矩形． （2）∵AF=BC且F为BC中点，∴AF=BF=FC，即F为△ABC的外心，BC为外接圆直径， ∴∠BAC=90°．又∠B=60°，AF=4，∴BC=2AF=8． 在Rt△ABC中，AB=BC×cos60°=8×=4． 21．（1）图2：AC=√2(EC+FG)；图3：AC=√2(FG-EC)． 证明（图2）：设正方形边长为a，则BE=a-EC． ∵点F在正方形外角的平分线上，∴点F到直线BC与直线CD的距离相等． 由∠AEF=90°可证△ABE≌△EGF，得FG=BE=a-EC． ∴EC+FG=EC+(a-EC)=a． 在正方形ABCD中，AC=√2a=√2(EC+FG)，结论成立． （2）正方形面积为27，∴边长AB=3√3，AC=3√6． 在△ABE中，∠B=90°，若有一内角为30°，分两种情况： ①∠BAE=30°，则AE===6，BE=AB×tan30°=3，此时E在BC上． 由AE=EF且∠AEF=90°，得AF=√2AE=6√2． ②∠AEB=30°，则∠BAE=60°，AE==6√3，BE=AB×tan60°=9＞3√3，此时E在BC的延长线上． 同理AF=√2AE=√2×6√3=6√6． ∴AF的长为6√2或6√6． 22．（1）点E(，a)在直线l₂上，∴a=-+4=． 又点E在直线l₁上，∴=×+b，解得b=3． ∴a=，b=3． （2）由l₁：y=x+3得C(0，3)；由l₂：y=-x+4得B(4，0)、D(0，4)． 设M(m，n)，则M₁(m，-n)、M₂(-m，n)，直线M₁M₂的斜率为-． 由M₁M₂⊥l₁得(-)×=-1，即n=． 又点M在线段BE上，设M=(4-，)（0≤t≤1），代入得t=， ∴M(，)． S△CEM=×=． （3）由l₁得A(-4，0)．射线DB的方向为(1，-1)，平移2√2个单位的位移为(2，-2)， ∴F(-2，-2)．四边形AFMC的对角线为AM、FC．设M(m，n)在线段BE上，则m+n=4． ①若对角线AM分得的两个三角形面积相等，即S△AFM=S△ACM： S△AFM=×16=8，S△ACM=|24-7n|，令|24-7n|=8得n=或n=（舍去）． 此时M(，)． ②若对角线FC分得的两个三角形面积相等，即S△AFC=S△FMC： S△AFC=7，S△FMC=|26-7n|，令|26-7n|=7得n=或n=（舍去）． 此时M(，)． ∴点M的坐标为(，)或(，)． 学科网（北京）股份有限公司 $