专题06 实际问题与二次函数 同步培优讲义 2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题06实际问题与二次函数同步培优讲义 ✺知识框架 1.最值类应用：结合销售、几何面积等实际情境建立二次函数，依据自变量的实际取值范围求解最大值或最小值； 2.抛物线建模应用：针对拱桥、隧道、抛物运动等曲线场景，通过建立平面直角坐标系求解函数解析式，解决对应实际问题。 ✅本节始终以数学建模、数形结合为核心思想，将实际问题转化为函数问题，同时注重自变量的现实约束，保证解题严谨、结果合规。 ✺学习目标 1.理解二次函数解决实际问题的原理，掌握标准化解题步骤，明确自变量取值范围的实际意义。 2.能根据销售利润、几何面积、抛物线轨迹三类经典题型，准确建立二次函数模型，熟练运用函数性质求解对应数值与最值。 3.能区分二次函数的理论最值与实际最值，结合自变量取值范围准确判断最值是否可取，规范解题过程。 4.形成建模思想与数形结合思维，提升将实际问题转化为函数问题的分析能力与解题能力。 ✺题型归纳 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、列二次函数解决实际问题的基本步骤 1.审题定变量：分析题目情境，梳理常量与变量，确定自变量和因变量； 2.建模列解析式：根据数量关系，列出二次函数 ； 3.限定取值范围：结合实际意义确定自变量取值范围（长度、数量、时间均非负，部分取值为正整数）； 4.性质求解：依据抛物线开口方向、对称轴与增减性，求解最值或对应变量值； 5.验证作答：结合取值范围检验结果合理性，规范写出答案。 知识点二、二次函数实际最值判定规则 ▲二次函数顶点为理论最值点，实际最值必须结合自变量取值范围判定，是本节核心考点： 1.二次函数对称轴公式：； 2.，开口向上，函数有最小值；，开口向下，函数有最大值； 3.若对称轴落在自变量取值范围内，顶点处可取最值；若超出取值范围，最值在区间端点处由函数增减性确定。 知识点三、常见三大题型 题型一：销售利润问题 依据“总利润=单件利润×销售数量”建立函数模型。 商品调价会造成单件利润与销量反向变化，形成二次函数关系，可用于求解最大利润、最优销售定价等问题。 题型二：几何面积问题 以矩形等规则图形为载体，根据周长、边长约束条件，建立面积与边长的二次函数模型，结合边长的非负约束，求解图形面积的最值。 题型三：抛物线轨迹问题 适用于拱桥、隧道、投篮、抛体运动等抛物线型场景。 通过合理建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解抛物线解析式，进而求解高度、跨度、水平距离等实际物理量。 【易错点提醒】 1.忽视自变量取值范围：直接套用顶点最值，导致结果不符合实际情境，是本节最主要丢分点； 2.最值判断失误：混淆理论最值与实际最值，未根据取值范围和增减性综合判断； 3.建模列式错误：利润、面积等量关系梳理不清，导致函数解析式建立错误； 4.建系不合理：抛物线问题坐标系选取不当，增加计算复杂度，易出现计算错误。 ✺题型精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 2．用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．当是________时，场地的面积最大，最大面积是________． 【答案】 15 225 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．根据矩形周长公式得出另一边长，建立面积关于一边长的二次函数模型，通过配方求其最大值即可． 【详解】解：设矩形一边长为 米，则另一边长为 米，则矩形面积为 ， ∵ ∴当时，取得最大值，最大面积为平方米． 故答案为 15，225． 3．如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 【答案】y与x之间的关系式为． 【分析】根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为，然后列式计算即可． 【详解】解：根据题意得，变化后的矩形的长为，宽为， ∴． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 2．如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，由图2可得：当点运动到点处时得出，勾股定理即可求解，当点P运动到点A处时，，由此可得的长，进而可得的长．理解题意，结合图象，运用数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图2可得：当点在点处时，，即 如图，连接，在中，， 当点运动到点处时，， ∴， ∴． 故答案为：，． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，求出抛物线当时的值即可得解． 【详解】解：根据题意，当时，得：， 解得：或． ∴水面宽度为：（米）． 故选：B． 2．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线解析式即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，垂直于方向为轴建立直角坐标系， 由题意得点，点， 设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线解析式为， 由题意得线段上离中心M处1米的地方， 将代入得， ∴在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是米． 3．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次函数的应用，主要考查待定系数法求二次函数解析式，已知自变量值求函数值等．正确理解题意是关键； （1）先求出顶点坐标，再设该抛物线的表达式，再将代入即可得到； （2）将代入（1）中求得的解析式中即可求出答案． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线状沙丘的顶点坐标为， 故设抛物线的函数表达式为． 将点代入，得， 解得， 抛物线状沙丘的函数表达式为． （2）解：令，得， 解得，， ， 、两点之间的距离为． 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 【答案】A 【分析】先根据题意得到年收入的表达式，再分别计算出和，再逐一判断各选项即可． 【详解】解：由题意得，软件年收入，且，（租金为正数）． 当时， ， ， 判断选项A：令，即， ， ， ， ，存在满足条件的（如），使得 所以A正确，B错误， 当时， ， ， 判断选项C：解不等式， 解得：，这与相矛盾 则不存在使得， 所以C错误，D错误． 2．某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 【答案】40 【分析】本题考查二次函数的应用，利润函数为二次函数，通过求顶点坐标得到最大值． 【详解】解：设利润为P，则． 由于二次项系数为负， 所以，抛物线开口向下，顶点处取得最大值．顶点横坐标． 故答案为：40． 3．某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． (1)求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)售价 元时最大利润 元 【详解】（1）解：根据题意得： ∴， ∴每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式为． （2）解：根据（1）得： ∴此抛物线开口向下，对称轴为，有最大值， ∵在范围， ∴当时，， ∴当每件售价定为50元时，每天的销售利润最大，最大利润是800元． 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据表格数据和二次函数的性质逐项判断可得答案． 【详解】解：①根据表格数据，当时，，即发球机出球口离地面竖直高度为，故①正确； ②根据表格数据，当和时，， ∴该抛物线的对称轴为直线， 由题意，该抛物线的开口向下， ∴当时，y取得最大值， 即当篮球飞行水平距离为时，达到最大高度，故②错误； ③根据表格数据，当时，， 故当篮球飞行水平距离为时，篮球离地面竖直高度为，未落地，故③错误； ④设该抛物线的解析式为， 将时，，时，代入， 得，解得， ∴该抛物线的解析式为， ∴当时，，满足， 小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球，故④正确， 综上，正确的是①④，共2个． 2．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 【答案】 【分析】将代入抛物线解析式，求出正根后与表格对比，即可求出得分． 【详解】解：将代入，得， ， 解得，（负值，舍去）， ∵， ∴小明此次投掷的成绩得分为分． 3．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 【答案】(1)解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线的顶点坐标是，且经过点， 设抛物线的解析式为，其中， 将点代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴沙包不能正好命中靶心． (2)沙包达到最高点时距离地面米 【分析】（1）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线的顶点坐标是，且经过点，再求出抛物线的解析式，求出时，的值，由此即可得； （2）先建立平面直角坐标系，则可得抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4，再求出抛物线的解析式，求出其最大值即可． 【详解】（1）略． （2）解：建立如图所示的平面直角坐标系： 由题意可知，抛物线经过点，，且它的顶点的横坐标为4， 设抛物线的解析式为，其中， 将点，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为， 由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，最大值为， 即沙包达到最高点时距离地面米． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求出点B的坐标，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：对于， 当时，， 解得：， ∴点， ∵水流是关于轴对称的两条抛物线， ∴点A，B关于y轴对称， ∴点， ∴． 2．2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 【答案】20 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，根据题意求得函数解析式是解题的关键． 根据顶点式求得抛物线解析式，进而求得与轴的交点坐标即可求解． 【详解】解：∵喷水头的高度（即的长度）是1米，当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米， 设抛物线解析式为， 将点代入，得： 解得， ∴抛物线解析式为：， 令，则， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ． 故答案为：20． 3．综合与实践 如图①所示的雾炮车是一种应用于市容环境卫生作业的高科技空气净化设备，如图②是某数学活动小组绘制的雾炮车的工作截面图（水雾上边缘近似看作抛物线），以雾炮车在路面上的正投影所在直线（宽度忽略不计）为轴，过雾炮车喷口与轴垂直的直线为轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知喷口距路面的高度为，水雾颗粒在距离水平距离处达到最大高度． (1)求抛物线的函数解析式； (2)出租车张师傅这天正好在该型雾炮车的后面行驶，两车之间的距离为n米，若要保证水雾颗粒不落在出租车上，求n的取值范围（结果保留根号）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查求二次函数解析式和二次函数的应用，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意知，抛物线的顶点坐标为，且经过点， 设抛物线的函数解析式为， 将代入，得， 解得， 抛物线的函数解析式为； （2）解：当时，， 解得，（舍去）， 水雾颗粒最远能喷到处， 若要保证水雾颗粒不落在出租车上，则n的取值范围为． 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的增长率问题．本题需要注意第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的． 根据题意可知，原价为，第一次降价后的价格是，第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：，则即可求得函数关系式． 【详解】解：原价为18， 第一次降价后的价格是， 第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的为：， 则函数解析式为：， 故选：C 2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查二次函数的增长率问题，掌握知识点是解题的关键． 根据题意，2025年我国新能源汽车销售量约为万辆，则2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，列出二次函数表达式即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为：． 3．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 【答案】 【分析】本题考查了根据实际问题列函数关系式，根据十月份医用防护服的产量等于八月份医用防护服的产量乘以（月平均增长率）的平方，即可得解． 【详解】解：根据题意得：y与x之间的关系应表示为． 十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式为：． 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 1．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 2．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 【答案】 4 【分析】将给定二次函数配方为顶点式，二次项系数小于0，开口向下，顶点横坐标即为所求引爆时间． 【详解】解：， ∵， ∴当，即时，有最大值，最大值为18， ∴从点火升空到引爆需要的时间为． 3．如图，根据物理学规律，现把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直向上抛，且物体离地时间x（秒）与物体离地面的高度h（米）之间的关系式为请解答下列问题： (1)物体经过_______秒落回地面； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）当时，，解方程即可求出答案； （2）根据题意列出一元二次方程并解方程即可． 【详解】（1）解：当时，， 解得，（不合题意，舍去） 即物体经过秒落回地面； （2）解：由题意，得， 即， ， ， 解得。 ∴当时，x的值为或2． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解一元二次方程，准确理解题意，列出二次函数解析式是解题的关键． 设，矩形菜园的面积为，根据矩形的面积公式列二次函数解析式，再分别根据的长不能超过，二次函数的最值，解一元二次方程求解即可． 【详解】解：设，矩形菜园的面积为，根据题意得： ， ∵的长不能超过， ∴， ∴， ∴的长不可以为，故①错误； 当时，， 解得：， ∴的长有两个不同的值满足菜园面积为，故②正确； ∵， ∴菜园面积的最大值为，故③正确． 故选：B 2．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 二、填空题 3．五芳斋粽子是嘉兴特产．已知某店在线上销售的某款五芳斋粽子的成本价为90元／包，在销售过程中发现，五芳斋粽子的月销售量（包）与销售单价（元）之间满足．若想要月销售利润最大，则销售单价应为______． 【答案】 180元 【分析】本题主要考查二次函数的运用，理解数量关系，正确列式，掌握二次函数图象与性质是关键． 根据销售利润公式，结合销售量与单价的关系，建立二次函数模型，通过求顶点坐标确定最大利润对应的销售单价． 【详解】解：设月销售利润为P元， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴销售单价应为元， 故答案为：元． 4．已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 【答案】7 【分析】本题考查了二次函数的性质． 根据竖直上抛运动的高度公式，代入已知值得到二次函数顶点式，利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴当时，函数有最大值， 即该小球达到的离地面的最大高度为． 故答案为：7． 三、解答题 5．某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）设水流所在抛物线的表达式为，把代入求出a的值即可； （2）设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为，把点代入求出c的值即可． 【详解】（1）解：由题意可知，第一次灭火时水流最高点的坐标为 设水流所在抛物线的表达式为． 点在抛物线上， ， 解得， 消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式为． （2）解：两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，且水流的最高点到高楼的水平距离均为 可设第二次灭火时水流所在抛物线的解析式为． 该抛物线过点， ， 解得， ． 令，则， ． ， ． 答：两点之间的距离为． 6．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 【答案】(1)①；② (2)丙的平均速度为 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）①由题意易得抛物线的顶点C的坐标为，，则可设抛物线的解析式为，然后利用待定系数法进行求解即可； ②由题意可把，代入①中函数解析式进行求解即可； （2）由题意易得花枪落地所需的时间为，然后根据“速度=路程÷时间”进行求解即可． 【详解】（1）解：①由题意可知：抛物线的顶点C的坐标为，则可设抛物线的解析式为， ∴将点代入解析式得：， 解得：， ∴关于的函数表达式为； ②由题意可得：当时，则有， 解得：； 当时，则有， 解得：； ∵花枪在下落过程中，即， ∴当时，；当时，， ∴的取值范围为． （2）解：当花枪落地时，则有， ∴， 解得：（舍去）， ∴花枪落地所需的时间为， ∴丙的平均速度为； 答：丙的平均速度为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06实际问题与二次函数同步培优讲义 ✺知识框架 1.最值类应用：结合销售、几何面积等实际情境建立二次函数，依据自变量的实际取值范围求解最大值或最小值； 2.抛物线建模应用：针对拱桥、隧道、抛物运动等曲线场景，通过建立平面直角坐标系求解函数解析式，解决对应实际问题。 ✅本节始终以数学建模、数形结合为核心思想，将实际问题转化为函数问题，同时注重自变量的现实约束，保证解题严谨、结果合规。 ✺学习目标 1.理解二次函数解决实际问题的原理，掌握标准化解题步骤，明确自变量取值范围的实际意义。 2.能根据销售利润、几何面积、抛物线轨迹三类经典题型，准确建立二次函数模型，熟练运用函数性质求解对应数值与最值。 3.能区分二次函数的理论最值与实际最值，结合自变量取值范围准确判断最值是否可取，规范解题过程。 4.形成建模思想与数形结合思维，提升将实际问题转化为函数问题的分析能力与解题能力。 ✺题型归纳 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 题型9.课堂小练 ✺知识清单 知识点一、列二次函数解决实际问题的基本步骤 1.审题定变量：分析题目情境，梳理常量与变量，确定自变量和因变量； 2.建模列解析式：根据数量关系，列出二次函数 ； 3.限定取值范围：结合实际意义确定自变量取值范围（长度、数量、时间均非负，部分取值为正整数）； 4.性质求解：依据抛物线开口方向、对称轴与增减性，求解最值或对应变量值； 5.验证作答：结合取值范围检验结果合理性，规范写出答案。 知识点二、二次函数实际最值判定规则 ▲二次函数顶点为理论最值点，实际最值必须结合自变量取值范围判定，是本节核心考点： 1.二次函数对称轴公式：； 2.，开口向上，函数有最小值；，开口向下，函数有最大值； 3.若对称轴落在自变量取值范围内，顶点处可取最值；若超出取值范围，最值在区间端点处由函数增减性确定。 知识点三、常见三大题型 题型一：销售利润问题 依据“总利润=单件利润×销售数量”建立函数模型。 商品调价会造成单件利润与销量反向变化，形成二次函数关系，可用于求解最大利润、最优销售定价等问题。 题型二：几何面积问题 以矩形等规则图形为载体，根据周长、边长约束条件，建立面积与边长的二次函数模型，结合边长的非负约束，求解图形面积的最值。 题型三：抛物线轨迹问题 适用于拱桥、隧道、投篮、抛体运动等抛物线型场景。 通过合理建立平面直角坐标系，代入已知点坐标求解抛物线解析式，进而求解高度、跨度、水平距离等实际物理量。 【易错点提醒】 1.忽视自变量取值范围：直接套用顶点最值，导致结果不符合实际情境，是本节最主要丢分点； 2.最值判断失误：混淆理论最值与实际最值，未根据取值范围和增减性综合判断； 3.建模列式错误：利润、面积等量关系梳理不清，导致函数解析式建立错误； 4.建系不合理：抛物线问题坐标系选取不当，增加计算复杂度，易出现计算错误。 ✺题型精讲 题型1.图形问题(实际问题与二次函数) 1．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 2．用总长为的篱笆围成矩形场地，矩形面积随矩形一边长的变化而变化．当是________时，场地的面积最大，最大面积是________． 3．如图所示，一个矩形的长为，宽为，如果将这个矩形的长与宽都增加，那么这个矩形的面积增加．求y与x之间的关系式． 题型2.图形运动问题(实际问题与二次函数) 1．如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图，在中，，为上一点，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿的方向匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形．设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经研究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象． （1）___________；（2）____________． 3．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 题型3.拱桥问题(实际问题与二次函数) 1．如图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为，当水面离桥顶的高度为时，水面的宽度为（        ）米． A．7 B．8 C．9 D．10 2．如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是4米，跨度是8米，在线段上离中心M处1米的地方，桥的高度是____米． 3．如图1是该沙漠边缘地区常见的抛物线状沙丘（一种风积地貌），其平面轮廓呈抛物线状．如图2，已知某一抛物线状沙丘两翼端点的水平距离，沙丘弧顶最高点P到的距离为，抛物线的对称轴垂直于，以所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系，现计划从点M到点N种植一排胡杨（M、N在抛物线上，点M在点N的左侧）． (1)求抛物线状沙丘的函数表达式； (2)轴于点E，轴于点F，若，求M、N两点之间的距离． 题型4.销售问题(实际问题与二次函数) 1．软件的经营，主要是服务器租用和软件销售．服务器的月租金支出固定为a元，软件销售按份按年收费（即：服务器租金按月支付，软件按年收费）．经过一段时间的试运营后，发现：某款软件年销售的份数n（份）与售价x（元/份）的关系为：．设该款软件经营的年销售收入为v（元）．当元时，年收入记为元；当元时，年收入记为元，则下列判断正确的是（　　） A．可以找到一个a，使得 B．无论a为多少，都有 C．可以找到一个a，使得 D．无论a为多少，都有 2．某商店购入一批白洋淀咸鸭蛋进行销售．已知每盒咸鸭蛋进价为30元，售价为x元，每星期可卖出(250-5x)盒，当x=___时，该商店每星期销售咸鸭蛋的利润最大． 3．某商店销售一种成本为每件 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 元．经市场调查发现：当每件售价定为 元时，每天可售出 件；当每件售价提高1元时，每天的销售量就减少 件． (1)求每天销售利润 （元）与每件售价 （元）之间的函数关系式； (2)当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 题型5.投球问题(实际问题与二次函数) 1．篮球自动发球机是用于日常投篮、传球等技术训练的一种辅助设备，篮球从发球机发出后，把球看成点，其飞行路线可以看成抛物线的一部分．一位教练为了获得篮球飞行过程中离地高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系，测得一些数据如下表： 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 … 0.500 1.268 1.652 1.652 1.268 0.500 … 根据以上数据，下列结论： ①发球机出球口离地面竖直高度为；②当篮球飞行水平距离为和时，达到最大高度；③当篮球飞行水平距离为时，篮球落地；④若球离地高度满足时，接球较为舒适，则小明站在距发球机水平距离处，能舒适地接到球． 其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．大庆市中考掷实心球（男生）成绩及得分对照表如下表（满分分，球重）． 成绩（米） 及以下 及以上 得分 为了在体育中考中取得更好的成绩，小明积极训练，体育老师结合录像对小明投掷实心球的运动轨迹进行技术分析，得到下图，发现实心球在行进过程中高度与水平距离之间的关系为，由此可知小明此次投掷的成绩得分是__________ 分． 3．综合与实践——丢沙包中的数学 【活动背景】小红参加了一个丢沙包的游戏，游戏要求将沙包丢向位于数米外的地面目标靶，若能命中靶心，则获得游戏奖励． 小红所在的数学兴趣小组以研究沙包的运动轨迹为主题，开展了如下综合与实践活动． 【活动过程】 活动1：发现模型 兴趣小组通过学习发现：沙包在空中的运动轨迹为抛物线（只考虑沙包受到的重力，不考虑其他外力的作用）． 活动2：应用模型 (1)如图，小红丢沙包时的出手高度为，出手点与地面目标靶靶心的水平距离为．沙包在距离出手点的水平距离为时达到最高点，最高点距离地面．请通过计算说明沙包能否正好命中靶心． (2)若将目标靶改为悬挂式，靶心距离地面． 小红出手高度仍为，出手点与靶心的水平距离仍为．小红调整发力角度，使得沙包距离出手点的水平距离为时达到最高点，这样沙包正好能命中靶心．求沙包达到最高点时距离地面多少米． 题型6.喷水问题(实际问题与二次函数) 1．如图为喷泉某一截面的水流可看作关于轴对称的两条抛物线，右侧水流的竖直高度与距水管的水平距离之间满足，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．2025年下半年，吉首市把一块块城市闲置空地，变身绿意盎然的“口袋公园”，得到广大市民的一致好评．为确保绿地的质量，工作人员需要用喷灌喷水进行养护．如图，一个移动喷灌架喷射出的水流可以近似的看成抛物线，喷水头的高度（即的长度）是1米．当喷射出的水流距离喷水头8米时，达到最大高度米，水流喷射的最远水平距离是____________米． 3．综合与实践 如图①所示的雾炮车是一种应用于市容环境卫生作业的高科技空气净化设备，如图②是某数学活动小组绘制的雾炮车的工作截面图（水雾上边缘近似看作抛物线），以雾炮车在路面上的正投影所在直线（宽度忽略不计）为轴，过雾炮车喷口与轴垂直的直线为轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系，已知喷口距路面的高度为，水雾颗粒在距离水平距离处达到最大高度． (1)求抛物线的函数解析式； (2)出租车张师傅这天正好在该型雾炮车的后面行驶，两车之间的距离为n米，若要保证水雾颗粒不落在出租车上，求n的取值范围（结果保留根号）． 题型7.增长率问题(实际问题与二次函数) 1．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为，该药品原价为元，降价后的价格为元，则与的函数关系式为（    ） A． B． C． D． 2．近年来我国新能源汽车发展迅速，据中国汽车乘联会统计，2024年我国新能源汽车销售量约为1150万辆，假设我国新能源汽车每年销售增长率保持不变，预计2026年我国新能源汽车销售量约为万辆，则关于的函数表达式为________．（不用写自变量的取值范围） 3．某工厂今年八月份医用防护服的产量是60万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，求十月份医用防护服的产量y（万件）与x之间的函数表达式． 题型8.其他问题(实际问题与二次函数) 1．电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 2．一种礼炮的升空高度与飞行时间的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为________________． 3．如图，根据物理学规律，现把一个物体从地面以10米/秒的速度竖直向上抛，且物体离地时间x（秒）与物体离地面的高度h（米）之间的关系式为请解答下列问题： (1)物体经过_______秒落回地面； (2)当时，求x的值． ✺课堂小练 一、单选题 1．如图，要围一个矩形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的三边用篱笆，且这三边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积的最大值为．其中不正确结论有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．五芳斋粽子是嘉兴特产．已知某店在线上销售的某款五芳斋粽子的成本价为90元／包，在销售过程中发现，五芳斋粽子的月销售量（包）与销售单价（元）之间满足．若想要月销售利润最大，则销售单价应为______． 4．已知在高度处以初速度竖直向上抛某物体，抛出后该物体离地面的高度（单位：）与运动时间（单位：）之间的关系可以近似的用公式表示，其中为重力加速度，．若小明将一个小球从距离地面的高处以的初速度竖直向上抛出，则该小球达到的离地面的最大高度为_______． 三、解答题 5．某消防中队进行技能比赛，在一栋废弃高楼的10米高处的点和正上方的点处设置了火源．消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分（水流出口与地面的距离忽略不计），第一次灭火时，站在水平地面上的点处，水流恰好到达点处，且水流的最大高度为．待处火熄灭后，消防员退到点处，调整水枪进行第二次灭火，使水流恰好到达点处，已知点到高楼的水平距离为，假设两次灭火时水流的最高点到高楼的水平距离均为．建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求消防员第一次灭火时水流所在抛物线的表达式． (2)若两次灭火时水流所在抛物线的形状相同，求，两点之间的距离． 6．综合与实践 “踢枪”是京剧中的经典环节，通过踢、接、抛花枪等动作呈现故事场景（如图．甲、乙、丙三人在表演“踢枪”时，花枪在飞行中始终与水平地面平行且不转动，忽略空气阻力，花枪的中点运动路线近似是抛物线的一部分（以下“花枪”均指花枪的中点）． (1)如图，甲站在地面的点处，从距离地面高的点踢出花枪，点与点的水平距离是，花枪飞行到与点水平距离的处达到最高，高度为． ①以点为坐标原点，以地面为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设花枪离地面的高度为，到点的水平距离为，求关于的函数表达式； ②花枪下落过程中，乙在与点水平距离处接花枪，能接到的高度最大为，最小为，求的取值范围． (2)乙再抛出花枪，同时丙开始运动，恰好在花枪落地前接到花枪．已知花枪飞行高度与时间之间的关系式是，丙在距花枪落地点处沿直线运动到花枪落地点，求丙的平均速度． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $