26.4 实际问题与二次函数（培优讲义）2026-2027学年人教版九年级数学上册

本讲义聚焦实际问题与二次函数的应用，先系统梳理解决实际问题的一般步骤（审、设、列、解、检），再细化利润最值、拱桥/隧道/拱门类、面积最值等专项方法，构建从通用流程到具体场景的学习支架，帮助学生逐步掌握二次函数建模与求解。 资料亮点在于题型贴近生活且层次分明，涵盖销售利润、投球轨迹、拱桥高度等实例，通过例题与变式训练培养数学思维。探究式学习如“不动点函数”探究，激发创新意识，符合数学眼光的培养。课后检测与复盘笔记助力巩固，课中辅助分层教学，课后帮助查漏补缺，提升应用意识。

简一数理 初中专题讲义 专题26.4 实际问题与二次函数（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 2 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 2 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 2 【题型1 图形问题】 3 【题型2 图形运动问题】 7 【题型3 拱桥问题】 12 【题型4 销售问题】 16 【题型5 投球问题】 19 【题型6 喷水问题】 22 【题型7 增长率问题】 25 【题型8 其他问题】 27 【探究式学习】 32 【课后检测】 39 【复盘笔记】 57 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法： 巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法： 先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型1 图形问题】 【例1】如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为，根据题意得，然后通过二次函数的性质即可求解． 【详解】解：设裁去的小正方形边长为，该纸盒侧面积为， ∴ ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为． 【变式1-1】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，设，铺设草坪的面积为，种花的面积为，根据矩形的性质结合图形列出关于x的函数关系式，进而根据各选项逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：设，铺设草坪的面积为，种花的面积为， ∴， ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为450， ∴种花的面积的最大值为；故②正确 当，即， ∴， ∴， ∴铺设草坪的面积可以是；故①正确 当时，则， ∴ 解得， ∵， ∴， ∴的长只有一个值满足种花的面积为，故③错误； 综上分析可知：正确的结论有2个． 故选：C． 【变式1-2】．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【答案】C 【分析】本题考查的是抛物线和x轴的交点，全等三角形的判定和性质，证明，得到，同理可得：，即可求解． 【详解】解：令，则或6， 即点A、B的坐标分别为：、， ∴， 设点P的横坐标为：m， 分别过点P、G作x轴的垂线，垂足分别为点N、H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理可得：， 则与的面积之和， 即与的面积之和始终不变，面积为32． 故选：C． 【变式1-3】如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 【题型2 图形运动问题】 【例2】如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】①当时，根据题意求出，，然后求出，即可判断①正确； ②首先表示出，，然后得到，然后表示出的面积，利用二次函数的性质即可判断②错误； ③根据题意得到，解得，，即可判断③正确． 【详解】解：①当时，， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ②根据题意得，，， ∴， ∵， ∴的面积 ∵ ∴抛物线开口向下， ∴当时，面积的最大值为，故②错误； ③∵的面积 ∴当的面积为时， 解得， ∴t有两个不同的值满足的面积为，故③正确． 综上所述，正确结论的个数是2． 故选：C． 【点睛】此题考查了二次函数的应用，三角形面积，动点问题，解题的关键是正确表示出三角形面积． 【变式2-1】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，动点问题与函数图象，含30度角直角三角形的性质，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：，， ∴． 如图，当点M在上运动时，，． 过点M作于点F． 在中，， ． ． 当点M在点A时，，即， 解得（负值已舍去）． ； 如图，当点M在AC上运动时，，． 过点M作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 故选：D． 【变式2-2】如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据实际问题抽象二次函数解析式的知识，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键，需注意的值的求法． 根据是等腰直角三角形，则重叠部分也是等腰直角三角形，根据三角形的面积公式即可求解，即可作答． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴重叠部分也是等腰直角三角形， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∴重叠部分的面积为． 故选：B． 【变式2-3】如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题考查了动点的函数图象，根据题意解直角三角形算出，再分为①当时，正方形与的重合部分的图形是三角形，②当时，正方形与的重合部分的面积是梯形，分别解答即可． 【详解】解：， ， ①当时，；图象为开口向上的二次函数，且只有对称轴右半部分； ②当时，；图象为一次函数； 综上，可得：， ∴正方形与的重合部分的面积与运动时间之间的函数关系图象大致是B图象． 故选：B． 【题型3 拱桥问题】 【例3】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握待定系数法求解析式，自变量的值的计算是关键． 根据题意建立平面直角坐标系，运用待定系数法得到解析式为，结合题意把代入计算即可求解． 【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系， ∴抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入得，，即， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∵水面下降，即， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴， ∴水面宽度为， 故选：B ． 【变式3-1】如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线形的实际问题，建立恰当坐标系得出抛物线解析式是解决问题的关键； 如图建立平面直角坐标系，求出解析式，然后代入的横坐标即可． 【详解】解：如图建立坐标系： ∵抛物线最高点到的距离为，，， ∴， 设 将代入得， ∴ 即： 当时， 即点到的距离为：． 故选：C ． 【变式3-2】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确地求出函数解析式是解题的关键．先建立直角坐标系，再根据题意设抛物线的解析式，然后根据点在抛物线上，可求出抛物线的解析式，最后将代入求出x的值，即可得的长． 【详解】解：以底部所在的直线为x轴，以线段的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系， ， 设抛物线的解析式为， 将代入， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ， 故选：A． 【变式3-3】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系，求出经过A、B、三点的抛物线解析式，再求出该抛物线的顶点纵坐标即可得到答案． 【详解】解：如图所示，以的中点O为原点，以直线为x轴，以过点O且与直线垂直的直线为y轴建立坐标系， 由题意得，，，， 设经过A、B、三点的抛物线解析式为， ∴， ∴， ∴经过A、B、三点的抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为． 故选：C． 【题型4 销售问题】 【例4】中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【分析】根据利润（售价进价）销售量列出y关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， ∵ 该二次函数的二次项系数 ， ∴ 函数图象开口向下，有最大值， 配方得， ∴ 当时，取得最大值. 【变式4-1】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【答案】B 【分析】本题考查二次函数在实际销售问题中的最值应用，通过设变量建立利润与销售价格的二次函数关系式，利用二次函数开口向下的性质，求顶点对应的销售价格即为利润最大时的价格． 【详解】解：设销售价格定为元/千克，日销售利润为元， ∵每千克利润为元， 售价较35元上涨了元，每涨元日销量减少15千克，故日销量减少千克， ∴实际日销售量为千克， 则， 展开整理得， ∵二次项系数，函数图象开口向下，存在最大值， ∴当时，取得最大值． 即销售价格应定为40元/千克． 故选：B． 【变式4-2】将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”的含义．根据利润计算公式，每个商品的利润为售价减进货价，上涨元后每个商品的利润为元，销售数量因上涨元减少个，那么现在的销量为个，然后利用利润等于每个商品的利润乘以销售数量，列出式子即可． 【详解】解：设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元， 那么， 故选：B． 【变式4-3】某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【答案】B 【分析】本题涉及二次函数的实际应用，核心是根据利润的构成建立二次函数模型，再利用二次函数的顶点式（或顶点坐标公式）求利润的最大值，其中利润 每个房间利润 入住房间数是建立函数的关键。设房价定为元，根据利润 （房价 支出费用） 入住房间数，列出利润的函数表达式，再根据二次函数的性质求最值． 【详解】设房价定为元，宾馆的利润为元， 当房价为元时，每个房间的定价增加了元， 因为每增加元就有一个房间空闲，所以空闲的房间数为，则入住的房间数为， 每个房间的利润为元， 所以利润， 化简： ， 对于二次函数（），当时，函数在处取得最大值， 在中，，， 则． 故选：B． 【题型5 投球问题】 【例5】如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】先求出抛物线的解析式，再求出它与轴的正半轴的交点的横坐标即可． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 又它与轴的交点坐标为， 所以， 解得：， 所以抛物线的解析式为， 当时，， 解得：，， 所以铅球落地点到出手点的时间为秒． 【变式5-1】．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【答案】A 【分析】求羽毛球最大高度即求二次函数的最大值，可化为顶点式求解． 【详解】解：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为米． 【变式5-2】．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，对于A，设抛物线的表达式为，依题意可知图象经过的点的坐标，由此可得a的值，据此将得到的解析式与A选项对照，即可得到其正误；对于B、C，根据函数图象判断，即可得到其正误；对于D，设这次跳投时，球出手处离地面，将代入计算即可求得结论． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数关系式为． ∵， ∴篮球框中心在抛物线上，故选项B错误； ∴，解得， ∴此抛物线的解析式是，故选项A正确， ∴抛物线的顶点坐标是．故选项C错误； 设篮球出手时离地面的高度是， 当时，， 所以，篮球出手时离地面的高度是，故选项D错误． 故选：A． 【变式5-3】若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动的时间（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：（   ） ①小球在空中经过的路程是； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据图象，求出二次函数的解析式，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点，顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入，得，解得， ∴；故②错误； ∴当时，解得或；故④错误； 由图象可知：小球在空中经过的路程是，小球运动的时间为；故①③正确； 故选B． 【题型6 喷水问题】 【例6】广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际进行求解． 由题意可得，抛物线经过点和，把上述两个点坐标代入二次函数表达式，可求出a和c的值，则抛物线的解析式可求出，再把抛物线解析式化为顶点式即可求出水流喷出的最大高度． 【详解】解：由题意可得，抛物线经过点和， 把上述两个点坐标代入二次函数表达式得： ， 解得：， ∴函数表达式为：， ∵， ∴函数有最大值， ∴当时，y取得最大值，此时， 即水流喷出的最大高度为． 故选：B． 【变式6-1】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，把代入求出点坐标即可求解，求出点坐标是解题的关键． 【详解】解：把代入得， ， 解得，（不合，舍去）， ∴点， ∴， ∴， 故选：． 【变式6-2】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式． 根据题意可得，设抛物线的表达式为．将代入，求出a的值，即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 设抛物线的表达式为． 将代入，得， 解得． 抛物线的表达式为． 令，则． 解得，（不合题意，舍去）． 的长为． 故选：D． 【变式6-3】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】该题主要考查了二次函数实际应用中的喷泉问题，解题的关键是根据题意得到点的坐标； 设解析式为由题意得到顶点坐标及与轴交点的坐标，代入求解即可得到抛物线解析式；令，代入求解即可得到答案； 【详解】选择图2中第一象限内的抛物线求其对应的函数关系式， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， 设抛物线对应的函数关系式为6， 将点代入，得，解得， ∴抛物线对应的函数关系式为， 当时，， ∴点的纵坐标为； 则的高度是， 故选：B． 【题型7 增长率问题】 【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】主要考查增长率问题，列函数关系式，正确理解题意是关键；一般用增长后的量=增长前的量增长率，如果设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，然后根据已知条件可得答案． 【详解】解：设该公司投放垃圾桶数量的月平均增长率为x， 依题意得第三个月投放垃圾桶个， 则 故选：A. 【变式7-1】某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 【变式7-2】某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意利用增长率公式表示出与的函数解析式进而判断即可. 【详解】解：根据题意得y=2（1-x）2， 所以y与x之间的函数解析式为y=2（1-x）2． 故选：B. 【点睛】本题考查根据实际问题列二次函数关系式，注意掌握根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． 【变式7-3】据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【答案】C 【分析】根据平均每个季度GDP增长的百分率为x，第二季度季度GDP总值约为2.4（1+x）元，第三季度GDP总值为2.4（1+x）2元，则函数解析式即可求得． 【详解】解：设平均每个季度GDP增长的百分率为x， 则y关于x的函数表达式是：y=2.4（1+x）2． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题关键． 【题型8 其他问题】 【例8】小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【答案】B 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入抛物线解析式，得到，则，又，则可知杯子高度． 【详解】解：， 点的坐标为，抛物线的对称轴为， ， ， 点的横坐标为：， 当时，， 点纵坐标为14， 点的纵坐标为， ， ，即杯子的高度为11． 【变式8-1】老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，将，，代入得，进而求出解析式，结合二次函数的性质即可求解，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得，把，，代入得， ，解得：， ∴， ∵, ∴ 当时，P有最大值为， ∴最佳的洒水量， 故选：． 【变式8-2】如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，二次函数的实际应用．设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接，根据题意得圆E的直径为，，可得到半径，从而得到，在中，利用勾股定理可得，从而得到，再求出抛物线的解析式即可求解． 【详解】解：设圆心为点E，过点E作于点F，交圆于点G，连接， 根据题意得圆E的直径为，， ∴半径， ∴，即，故A选项错误； ∴ 在中，， ∴，即， ∴点C的纵坐标为20，故B选项错误； 设抛物线的解析式为， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即点不在该函数图象上，故C选项错误； 当时，，即点在该函数图象上，故D选项正确； 故选：D 【变式8-3】有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质与判定，由点A的坐标和点B的坐标可得这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里，当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里，利用勾股定理即可判断A；当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里，利用勾股定理求出即可判断B；求出航行10分钟时这艘船的路程，即可判断C；根据对称性可求出这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔，据此可判断D． 【详解】解：∵在该函数图象上， ∴当时，，即或（舍去）； ∴当时，这艘船与灯塔的距离为20海里，即这艘船初始位置与灯塔的距离为20海里， ∵二次函数的最低点B的坐标为， ∴这艘船航行距离为m海里时，该船与灯塔的距离最近，且为海里， ∴当这艘船在灯塔的正南方时，该船与灯塔的距离为12海里， 如图所示，设灯塔的位置用点E表示，船的初始位置用点O表示， 过点E作船行进路线所在的直线的垂线，垂足为H，则海里，海里， ∴由勾股定理得，即，故A说法错误； 当时，设此时这艘船的位置用点F表示，连接，则海里， ∴海里， ∴， ∴点在函数图象上，故B说法正确； 设10分钟后这艘船的位置用G点表示，连接，则， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， ∴船行速度为海里/小时，故C说法错误； 由点B的坐标可知，对称轴为直线， ∴由对称性可知点在函数图象上， ∴这艘船航行32海里后，船只不可以观测到灯塔， ∴船只可以观测到灯塔的持续时间可达小时，故D说法错误； 故选：B． 【探究式学习】 1．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1：（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）． 探究2：（2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该二次函数上的一个不动点，求b、c满足的关系式． 探究3：（3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 【答案】（1）②③；（2）；（3）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等 【分析】本题考查了一次函数、二次函数和一元二次方程的应用．正确理解“不动点函数”的定义是解题的关键． （1）根据“不动点函数”的定义，代入点，计算即可判断； （2）先求得顶点坐标为，根据“不动点函数”的定义，即可得到； （3）根据题意得，令解方程即可求解． 【详解】解：（1）①对于， 由于， 所以不是“不动点函数”，原说法错误； ②对于，代入点， 得， 解得， 所以是“不动点函数”，且不动点是，原说法正确； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点，说法正确． 故答案为：②③； （2）由抛物线得， 顶点坐标为， ∵抛物线的顶点为该函数图像上的一个不动点， ∴； （3）根据题意得，， 令，得， 整理得， 解得，， 因为存在这样的x值，所以该函数是“不动点函数”．不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等． 2．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 【答案】（1）①1；②；（2）①16；②（），最大值为；（3） 【分析】（1）①作于点，求出的长，根据平行四边形的性质，求出面积即可；②同①法计算即可； （2）①把代入（1）②中的解析式，计算即可；②待定系数法求出函数解析式即可； （3）根据当时，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：（1）①点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．设运动时间为， 当时，，， 作于点E，如图1，    ∵， ∴， ∴平行四边形的面积为：； ②由题意，得：，， ∴， ∴； （2）①由图象可知，当时，此时点P恰好运动到点C， 由（1）②可知：， 故； ②由图象和①可知，抛物线过，， 将两点坐标分别代入，得：， 解得， ∴S关于t的函数解析式为（）； 当时，S取得最大值，最大值为； （3）由题图2可知，点P与点C重合时，，点P与点B重合时，， ∴，， 由题意可知，， ∴， 当时，则：， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴，， 当时，， ∴当时，的值为． 3．数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．    活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出 ；此次试验中实心球达到的最大高度是 ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点．   （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩： ．（填“”“”或“”） 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，实数大小比较，解题的关键是读懂题意，能够从表格中获取有用信息列出函数关系式． （1）先根据表格中的数据找到对称轴，然后根据对称性求得，找到顶点坐标，即可得出实心球竖直高度的最大值； （2）已知顶点坐标，利用待定系数法代入顶点式即可求出函数解析式； （3）设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，得出和，再比较即可． 【详解】解：（1）∵根据表格可知，当与时相等，所以对称轴为直线， ∴故当时，其对称点为，， ∴顶点坐标为， ∴此次试验中实心球达到的最大高度是； （2）∵两次试验实心球所达到的最大高度相同， ∴为第二次试验抛物线的顶点为， ∴设第二次试验的抛物线的解析式为， ∵把代入，得， ∴； （3）设第一次抛物线为， ∵把代入，得， 解得， ∴， ∵在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴； 在中， 令得：， 解得，（舍去）， ∴， ∵， ∴． 【课后检测】 1．如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数解析式等内容，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．利用二次函数的图象和性质以及待定系数法逐项进行判断即可． 【详解】解：A、小球从刚开始接触弹簧速度并未开始减速，该选项错误，故不符合题意， B、由图象，抛物线的对称轴为直线， ∴的对称点为， 假设抛物线的解析式为， 将代入解析式得，， 解得：， ∴抛物线解析式为， 当时，函数值最大，最大值为， ∴若，在小球压缩弹簧的过程中，最大速度为，该选项错误，不符合题意； C、由图象，可知当弹簧被压缩的长度为时，小球的速度最大，此时弹簧的长度为，该选项正确，符合题意； D、当弹簧的长度为时，被压缩了，即， 由图象可知，二次函数的对称轴是，则与对应的速度相等， ∴时，小球的速度与小球刚接触弹簧时速度不等，该选项错误，故不符合题意． 故选：C． 2．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的应用，求出二次函数表达式是解题的关键．已知顶点坐标，设顶点式，将代入求出的值，即可求出函数表达式，再求出时的值，即点的坐标，则可知的长． 【详解】解：设行进高度与水平距离之间的函数关系式为， 将代入得：， 解得， ， 当时，， 解得，（不合题意，舍去）， 点的坐标为， 的长为， 该男生此次掷实心球的成绩是． 故选：B． 3．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 4．如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数的性质．解决本题的关键是利用分类讨论的思想求出与的函数关系式． 分类讨论：当时，利用可得；当时，直接根据三角形面积公式得到，于是根据二次函数可对四个选项进行判断． 【详解】解：当时，如图， ， 此时抛物线开口向下，且顶点为； 当时，如图， ， 此时抛物线开口向上，且顶点为． 选项中只有D选项图象，符合条件． 故选：D． 5．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是正确理解题意求出二次函数解析式． 由题意得，，，然后将点，代入求出此时的，再将点，代入求出此时的，即可求解范围． 【详解】解：由题意得，，， 将点，代入，则， 解得； 将点，代入，则， 解得； ∴要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是， 故选：A． 6．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式，解二元一次方程组，直角三角形的两个锐角互余，等角对等边，求一次函数解析式，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键．先以的中点为原点建立平面直角坐标系，然后求解轮廓线、所在抛物线的解析式，再求解直线的解析式，最后求解抛物线与直线的交点的坐标即可． 【详解】解：建立如图所示坐标系，作轴于点E， 各点坐标为：，，，， 设， 把点C坐标代入解析式得：， 解得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设， ∴，， ∴， 即， 解得（舍去），， ∴， ∴． 故选：D． 7．公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（   ） A．汽车滑行2秒时停止 B．汽车可以滑行4秒后才停止 C．滑行速度先变大后变小 D．滑行的最远距离是30米 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，将路程函数配方成顶点形式，当s有最大值时，汽车停止，据此确定汽车停止滑行的时间和最远距离，根据实际情形可知，刹车滑行过程中速度应该逐渐减小，据此可得答案． 【详解】解：∵，且， ∴当时，s有最大值，最大值为20， ∴汽车滑行2秒时停止，滑行的最远距离是20米， 从实际出发，刹车滑行过程中，汽车的速度应该逐渐变小， ∴只有A选项的说法正确，符合题意， 故选：A． 8．加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）的函数解析式为．如图，，，三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的应用，根据图像的对称性，推出点关于对称轴对称的点是介于、两点之间，从而求出对称轴的取值范围，从而得到正确选项．解题的关键在于求出点关于对称轴对称的点的坐标． 【详解】解：设抛物线的对称轴为，点关于对称轴的对称点为，设点的横坐标为，观察图像可知点的横坐标为， ∴， ∴， 观察图像可知：点对应的高度大于点对应的高度且小于点对应的高度， ∴点关于对称轴的对称点是介于，两点之间的， ∴，即， ∴， ∴实心球行进到最高点时水平距离可能为． 故选：B． 9．体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实际问题与二次函数（投球问题），弄清篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系是解题的关键． 根据篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系及所给图象进行判断即可解答． 【详解】解：由题意可知：，故排除C、D选项， 只有从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系，即B选项符合题意． 故选：B． 10．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的实际应用，求出矩形的另一边长，根据矩形的面积公式，列出二次函数关系式，根据矩形与墙平行的一边的长度大于0，小于等于20，求出自变量的范围即可． 【详解】解：由题意，矩形的另一边长为， 则：， ∵， ∴， ∴； 故选B． 11．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 【答案】1690 【分析】设降价金额为元，根据“总利润=每罐利润×销售量”列出二次函数关系式，利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】解：设商家降价元，每天获得的利润为元， ∵ 每罐进价为元，原售价为元， ∴ 降价后每罐利润为元． ∵ 售价每降低元，销量增加罐，原销量为罐， ∴ 降价元后，销售量为罐， 又∵销售单价不低于进价， ∴， 解得， 总利润， ∵ ，二次函数开口向下，在顶点处取得最大值，顶点的横坐标为，满足， 将代入得， 因此商家降价能获得的最大利润为元． 12．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 【答案】5 【分析】根据羽毛球飞出的水平距离即为抛物线与x轴正半轴交点到原点的距离求出即可． 【详解】解：当时，， 解得（舍去），， ∴羽毛球飞出的水平距离为5米． 13．大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置为原点O建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为．一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动________的距离才能击中昆虫． 【答案】或 【分析】首先确定原始抛物线的解析式为，设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫，得到平移后的抛物线解析式为，把代入解析式求解即可． 【详解】解：根据题意，得y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为， 故抛物线的解析式为， 由抛物线经过原点， ， 解得， 故抛物线的解析式为． 当时，， 故点不在抛物线上， 设需要水平向右游动的距离才能击中昆虫， 故平移后的抛物线解析式为， 把代入解析式，得， 整理，得， 或， 解得或， 故需要水平向右游动或的距离才能击中昆虫． 14．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 【答案】(1)， (2)的整数值为， 【分析】（1）待定系数法求出抛物线表达式即可求出的值，再利用，求出函数值即可求出的值． （2）根据题意确定的坐标范围是，代入坐标求出的取值范围，根据为整数要求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 将代入抛物线，得 ， 解得． ∴抛物线＋2， ∴时，， ∴． （2）解：∵小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包， ∴此时，点的坐标范围是． 当抛物线经过点时， ， 解得 当抛物线经过点时， ， 解得 ∴ ∵为整数， ∴符合条件的的整数值为，． 15．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 【答案】(1)12或16 (2) 【分析】（1）根据题意可以列出相应的方程，再求出解即可； （2）根据题意可得到S关于x的关系式，然后化为顶点式，再根据题意列出关于x的不等式组，从而可以得到围成的花园的最大面积． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得， 即x的值是12或16； （2）解：设矩形花园的面积为，则， ， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小． 由题意，得解得． 当时，取得最大值，． 答：能围成的花园的最大面积是． 16．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． （2）解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． （3）解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 【复盘笔记】 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 专题26.4 实际问题与二次函数（举一反三讲义） （新教材人教版） 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤 2 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法 2 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法 2 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法 2 【题型1 图形问题】 3 【题型2 图形运动问题】 4 【题型3 拱桥问题】 6 【题型4 销售问题】 7 【题型5 投球问题】 8 【题型6 喷水问题】 9 【题型7 增长率问题】 10 【题型8 其他问题】 11 【探究式学习】 13 【课后检测】 17 【复盘笔记】 24 知识点一、用二次函数解决实际问题的一般步骤： 1.审：仔细审题，理清题意； 2.设：找出题中的变量和常量，分析它们之间的关系，与图形相关的问题要结合图形具体分析，设出适当的未知数； 3.列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，建立二次函数模型，写出二次函数的解析式； 4.解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、图象和性质等求解实际问题； 5.检：检验结果，进行合理取舍，得出符合实际意义的结论. 【注意】二次函数在实际问题中的应用通常是在一定的取值范围内，一定要注意是否包含顶点坐标，如果顶点坐标不在取值范围内，应按照对称轴一侧的增减性探讨问题结论． 知识点二、利用二次函数解决利润最值的方法： 巧设未知数，根据利润公式列出函数关系式，再利用二次函数的最值解决利润最大问题。 知识点三、利用二次函数解决拱桥/隧道/拱门类问题的方法： 先建立适当的平面直角坐标系，再根据题意找出已知点的坐标，并求出抛物线解析式，最后根据图象信息解决实际问题。 知识点四、利用二次函数解决面积最值的方法： 先找好自变量，再利用相关的图形面积公式，列出函数关系式，最后利用函数的最值解决面积最值问题。 【题型1 图形问题】 【例1】如图，有一张长，宽的矩形纸板，在它的四个角处分别裁去一个同样的小正方形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（      ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，有一块矩形空地，学校规划在其中间的一块四边形空地上种花，其余的四块三角形空地上铺设草坪，其中点E，F，G，H分别在边，，，上，且，已知．有下列结论： ①铺设草坪的面积可以是； ②种花的面积的最大值为； ③的长有两个不同的值满足种花的面积为． 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1-2】．如图，抛物线与轴交于、两点（在的左侧），与轴交于点，点是抛物线上位于轴上方的一点，连接、，分别以、为边向外部作正方形、，连接、．点从点运动到点的过程中，与的面积之和（    ） A．先增大后减小，最大面积为32 B．先减小后增大，最小面积为24 C．始终不变，面积为32 D．始终不变，面积为24 【变式1-3】如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【题型2 图形运动问题】 【例2】如图，中，，，，动点M从点A出发，以的速度沿边匀速运动；同时动点N从点B出发，以的速度沿边匀速运动．当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为．有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③t有两个不同的值满足的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2-1】如图（1），在中，，，点M从点B出发沿路径以的速度运动至点C，点N同时从点B出发沿射线方向以的速度运动至点C，设点M运动的时间为x（单位：s），的面积为y（单位：），已知y与x之间的函数图象如图（2）所示，则a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图，已知等腰直角三角形的直角边长与正方形的边长均为，与在同一条直线上，开始时点与点重合，让以的速度向左运动，当点与点重合时停止运动，则重叠部分的面积与时间之间的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】如图，在中，，，，以3为边长的正方形的一边在直线上，且点与点重合，现将正方形沿的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，当点与点重合时，停止运动．设在这个运动过程中，运动时间为秒，正方形与的重合部分的面积为，则与之间的函数关系图象大致是（   ） A． B． C． D． 【题型3 拱桥问题】 【例3】如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，则水面下降时，水面宽度为（   ）． A． B． C． D． 【变式3-1】如图是小明借助工具设计的抛物线型帐篷．在抛物线上取四点、、、，且线段，都与地面平行，抛物线最高点到的距离为，，，则点到的距离为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图1是我国著名建筑“东方之门”，它通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为了一体，最大程度地传承了中国的历史文化．“门”的内侧曲线呈抛物线形，如图2．已知其底部宽度为，高度为，则离地面处的水平宽度（即的长）为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】内蒙古自治区第十一届少数民族传统体育运动会于2025年7月20日至7月31日在赤峰市举办．在运动场入口安装了一座充气拱门，拱门呈抛物线状（如图所示）．数学小组想了解拱门的高度，先测量拱门底端距离，再用两根长度为的标杆垂直于地面且让标杆端点C、D在拱门上，再测量出两标杆间的距离，则此拱门（不考虑拱门自身的粗细大小）的高度为（   ） A． B． C． D． 【题型4 销售问题】 【例4】中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，是中华传统文化的表达方式之一，也是各地传统风俗的体现．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利x元，一天可售出个，为了使一天出售该种手工艺品的总利润y（元）最大，则x的值为（     ） A．4 B．5 C．6 D．8 【变式4-1】某公司销售一种藜麦，成本价为30元/千克，若以35元/千克的价格销售，每天可售出450千克．当售价每涨元/千克时，日销售量就会减少15千克．若使日销售利润最大，则销售价格应定为（    ）元/千克． A．42 B．40 C．38 D．35 【变式4-2】将进货价格为40元的商品按单价45元售出时，能卖出150个，已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个，设这种商品的售价上涨元时，获得的利润为元，则下列关系式正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】某宾馆有20个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出40元的各种费用．则房价定为多少时，宾馆利润取得最大值是（    ） A．210 B．220 C．230 D．240 【题型5 投球问题】 【例5】如图，铅球的出手点C距地面1米，出手后的运动路线是抛物线，出手后4秒钟达到最大高度3米，则铅球落地点到出手点的时间为（     ） A． B．8 C． D．9 【变式5-1】．杭州世界羽联巡回赛总决赛，我国运动员勇夺混双冠军，羽毛球在空中行进的高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系为，则羽毛球飞出的最大高度为（     ） A．2米 B．2.5米 C．2.8米 D．3米 【变式5-2】．一位篮球运动员在距篮球框中心水平距离处起跳投篮，篮球沿抛物线运动．当球运动的水平距离为时，达到最大高度，随后准确落入篮球框．已知篮球框中心距地面，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（    ） A．抛物线表达式为 B．篮球框中心坐标是 C．抛物线顶点坐标是 D．篮球出手时离地面高度是 【变式5-3】若从地面竖直向上抛一小球，小球的高度（单位：）与小球运动的时间（单位：）之间的函数关系如图所示，有以下结论：（   ） ①小球在空中经过的路程是； ②与之间的函数关系式为； ③小球运动的时间为； ④当小球的高度时，．以上结论中正确的有 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 喷水问题】 【例6】广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管喷出，长为．水流在各个方向上沿抛物线路径落到水池．某方向上抛物线路径的形状如图所示，已知落点B到点O的距离为．建立如图所示的平面直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间满足函数关系，则水流喷出的最大高度是（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】某游乐场的圆形喷水池中心有一雕塑，从点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点、为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为．则的长为（   ）． A． B． C． D． 【变式6-2】如图1是某城市广场音乐喷泉，出水口A处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度与水平距离之间的关系如图2所示，点B为该水流的最高点，点C为该水流的落地点，且，垂足为点D，．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】小明周末外出游玩时看到某公园有一圆形喷水池，如图1，简单测量得到如下数据：圆形喷水池直径为，水池中心处立着一个圆柱形实心石柱，在圆形喷水池的四周安装了一圈喷头，喷射出的水柱呈拋物线型，水柱在距水池中心处到达最大高度为，从各方向喷出的水柱在石柱顶部的中心点处汇合，小明根据图示建立了平面直角坐标系，如图2，则的高度是（）    A． B． C． D． 【题型7 增长率问题】 【例7】为方便市民进行垃圾分类投放，某环保公司第一个月投放a个垃圾桶，计划第三个月投放垃圾桶y个，设该公司第二、三两个月投放垃圾桶数量的月平均增长率为x，那么y与x的函数关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】某种商品的价格是元，准备进行两次降价．如果每次降价的百分率都是，经过两次降价后的价格（单位：元）随每次降价的百分率的变化而变化，则关于的函数解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】据省统计局公布的数据，合肥市2021年第一季度GDP总值约为2.4千亿元人民币，若我市第三季度GDP总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝2.4（1+2x） B．y＝2.4（1-x）2 C．y＝2.4（1+x）2 D．y＝2.4+2.4（1+x）+2.4（1+x）2 【题型8 其他问题】 【例8】小明以二次函数的图象为灵感设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高为（     ） A．14 B．11 C．6 D．3 【变式8-1】老师带领学生进行“校园农业项目式学习”，实施无土栽培．通过观察，同学们发现：洒水少了，发芽率低，洒水多了要烂根，也会影响发芽率．通过实验与分析，同学们进一步发现：在温度一定的条件下，发芽率与洒水量（单位：）近似地满足二次函数关系（为常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得知最佳的洒水量为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图1，是积水管道的圆形截面，水面为．排水过程中，设水面下降的高度为x（单位：），为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最高点，且经过．下列选项正确的是（   ） A． B．点C的纵坐标为24 C．点在该函数图象上 D．点在该函数图象上 【变式8-3】有一艘船在海上自西向东匀速行驶的过程中（如图1），在某一时刻观测到了一座灯塔，10分钟后测得灯塔位于船的北偏东方向处，已知该灯塔的可视范围为20海里．经过持续测量船只与灯塔之间距离d（海里），发现与船行路程x（海里）之间满足二次函数的数量关系（如图2），其中最低点为点B，以下说法正确的是（   ） A． B．点在函数图象上 C．船行速度为25海里/小时 D．船只可以观测到灯塔的持续时间可达2小时 【探究式学习】 1．问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图像上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究． 探究1：（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论： ①是“不动点函数”，且只有一个不动点； ②是“不动点函数”，且不动点是； ③是“不动点函数”，且有无数个不动点． 以上结论中，你认为正确的是 （填写正确结论的序号）． 探究2：（2）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该二次函数上的一个不动点，求b、c满足的关系式． 探究3：（3）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义． 2．如图1，在中，，点P从点A出发以的速度沿路线运动，点Q从点A出发以的速度沿运动．P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．以，为边在的上方作平行四边形，设运动时间为，平行四边形的面积为（当点A，P，Q重合或在一条直线上时，不妨设）．探究S与t的关系． 【初步感知】 （1）当点P由点A运动到点C时， ①若， ； ②S关于t的函数解析式为 ； 【深入探究】 （2）当点P由点C运动到点B时，经探究发现S关于t的函数解析式为，其图象如图2所示． ①m的值为 ； ②求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； 【延伸探究】 （3）在（2）的条件下，当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为；当点P在上运动时记为，运动时间记为，平行四边形的面积记为，当，且时，求的值． 3．数学兴趣小组尝试利用抛物线的知识，探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响，下面是此次课外实践活动的试验报告： 活动主题 探究投掷实心球的出手角度对投掷距离影响 活动过程 数学兴趣小组为了探究此问题，做了两次投掷试验（出手角度不同）．实心球出手后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从投掷到着地的过程中，实心球的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足二次函数关系．    活动说明 实心球着地点到出手点的水平距离分别为、（即两次试验的掷球成绩），且两次试验实心球所达到的最大高度相同． 测量数据 第一次试验 第二次试验 实心球的水平距离x与竖直高度y的几组对应数据如下： 水平距离 0 1 2 3 4 5 6 竖直高度 2 2.7 3.2 3.5 3.6 3.5 （1）根据上述数据，直接写出 ；此次试验中实心球达到的最大高度是 ． 实心球的竖直高度与水平距离的函数图象的一部分如图所示，其中为第二次试验抛物线的顶点．   （2）求第二次试验的抛物线的解析式． 探究结论 （3）比较两次投掷的成绩： ．（填“”“”或“”） 【课后检测】 1．如图1，小球从某一高度由静止下落到正下方竖直放置的弹簧上，并压缩弹簧（自然状态下，弹簧的初始长度为）．从小球刚接触弹簧到将弹簧压缩至最短的过程中（不计空气阻力，弹簧在整个过程中始终发生弹性形变），小球的速度和弹簧被压缩的长度之间的函数关系可近似看作二次函数，图象如图2所示，根据图象，下列说法中正确的是（    ） A．小球从刚开始接触弹簧就开始减速 B．若，则小球的最大速度为 C．当小球的速度最大时，弹簧的长度是 D．当弹簧的长度为时，小球的速度与刚接触弹簧时的速度相同 2．掷实心球是中考体育考试项目之一，如图是一名男生投实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示．掷出时起点处高度为．当水平距离为时，实心球行进至最高点处．则该男生此次掷实心球的成绩是（　　） A． B． C． D． 3．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为，点、同时从点出发，均以的速度运动，其中，点沿路径运动，点沿运动，两点均在到达点停止．设运动时间为（），的面积为（），则下列图像中能正确反映（）与（）之间函数关系的是（    ） A． B． C． D． 5．沙包投箱游戏：将无盖圆柱体箱子放在水平地面上，沙包从点处抛出，其竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系．建立如图所示的坐标系（正方形为箱子主视图，其边长为，x轴经过箱子底面中心），点的坐标为，点的坐标为，若要使得沙包能落入箱内，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．一种玻璃水杯的截面如图①所示，其左右轮廓线，为某一抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深，如图②若盛有部分水的水杯倾斜（即），水面正好经过点B，则此时点P到杯口的距离为（　　） A． B． C． D． 7．公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为，则下列说法正确的是（   ） A．汽车滑行2秒时停止 B．汽车可以滑行4秒后才停止 C．滑行速度先变大后变小 D．滑行的最远距离是30米 8．加强青少年体育训练，提升青少年体质健康，是教育部对中学生强身健体的明确要求．体育课上，一名男生掷实心球，实心球行进的路线可以看作是抛物线，其行进的高度（单位：）与水平距离（单位：）的函数解析式为．如图，，，三点在抛物线上，当实心球行进到最高点时，推断所对应的水平距离x可能为（   ） A． B． C． D． 9．体育课上，同学们进行投篮比赛，小明在投篮（如图）过程中，从篮球出手到篮球未落地期间篮球离地面的高度（h）与投球时间（t）的函数关系可用以下哪个图象表示 （    ） A． B． C． D． 10．某农户用一段长度为的旧围墙（围墙作为矩形一边，长度不可超出），再用总长的篱笆围成一个矩形菜园（篱笆仅围另外三边）．设矩形垂直于旧围墙的一边长为，菜园的面积为，则y与x之间的函数关系式及自变量x的取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 11．信阳毛尖又称豫毛峰，是中国十大名茶之一，也是河南省著名特产之一．已知一批信阳毛尖每罐的进价为30元，售价定为50元/罐时，每天可销售60罐，为了促进销售，商家决定采取适当的降价措施，经调查发现，售价每降低2元，每天销量可增加20罐（销售单价不低于进价），则商家降价能获得的最大利润为_____元． 12．如图，羽毛球的运动路线可以看作是一条抛物线，若不考虑外力因素，羽毛球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间满足关系：，则羽毛球飞出的水平距离为______米． 14．如图，小静和小林在玩沙包游戏，沙包（看成点）抛出后，在空中的运动轨迹可看作抛物线的一部分，小静和小林分别站在点和点处，测得距离为，若以点为原点，所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，小林在距离地面的处将沙包抛出，其运动轨迹为抛物线的一部分，小静恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动轨迹为抛物线的一部分． (1)求，的值． (2)小林在轴上方的高度上，且到点水平距离不超过的范围内可以接到沙包，若小林成功接到小静的回传沙包，求的整数值． 15．在创城活动中，某小区想借助如图所示的互相垂直的两面墙（墙体足够长），在墙角区域用长的篱笆围成一个矩形花园．设． (1)若围成花园的面积为，求的值． (2)已知在点处有一棵树，且与墙体的距离为，与墙体的距离为．如果在围建花园时，要将这棵树围在花园内（含边界上，树的粗细忽略不计），那么能围成的花园的最大面积是多少？ 16．【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． (1)第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； (2)【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； (3)【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【复盘笔记】 第 2 页 共 39 页 第 1 页 共 39 页 学科网（北京）股份有限公司 $