全国中学生物理竞赛学习讲义 力学综合模型

全国中学生物理竞赛 力学综合模型 全国中学生物理竞赛 力学综合模型 学习讲义 学生自学与教师备课用书 从过程划分与约束到定律的综合运用 概念推导 经典例题 方法总结 分层训练 16 类综合模型　36 道例题　32 道分层练习 每道例题给出分析与解答，独立练习另附完整解析。 含四组多阶段综合详解与完整练习解析。 2026年9月 目录 使用说明与模型地图 3 综合题的统一解题方法 4 模型一 滑块与可动斜面 5 模型二 滑块与有限长木板 7 模型三 绳连接与有惯量滑轮 8 模型四 轻杆约束与铰接刚杆受撞 9 模型五 圆轨道运动与接触失效 10 模型六 碰撞后水平弹簧振动 11 模型七 竖直弹簧与平衡位置突变 12 模型八 两物体与内弹簧 13 模型九 刚体滚动与滑滚转换 14 模型十 刚体碰撞与滚越台阶 15 模型十一 自由底座上的摆与振动 16 模型十二 卫星脉冲变轨 17 模型十三 碰撞后摆动与再碰撞 19 模型十四 传送带与外界做功 20 模型十五 质量交换与链条运动 21 模型十六 旋转约束与有效势稳定性 22 多阶段综合例题 24 跨模型方法总结与易错剖析 26 分层练习 28 分层练习完整解析 30 公式索引与最终自检 33 拓展阅读与来源说明 35 使用说明与模型地图 本讲义面向已经学习运动学、牛顿动力学、功与能、动量与质心、角动量、刚体、振动及万有引力的竞赛学生，也供教师查阅推导与习题解析。核心目标是把分散定律组织成可执行的解题过程：先确定系统和约束，再分段选择方程，最后检验模型是否仍然成立。模型名称可以扩充，基本依据始终是运动学、动力学与守恒定律。 全书包含16类综合模型、36道例题、32道分层练习及逐题解析。每类模型均说明适用条件、关键推导、例题和易错点；后部提供跨模型方法、条件失效后的处理、练习及公式索引。练习与答案分开，适合先独立作答再核对。本书不包含教学课时安排。 阅读次序　先掌握第一章的统一方法；第一至第八模型建立连接体、碰撞和转动的基本综合能力；第九至第十六模型进一步处理约束切换、周期运动、变轨、质量交换与稳定性。进阶题不是单纯增加计算量，而是要求主动判断接触、张力、摩擦与近似条件。 统一约定　除另述外，取地面为惯性系，重力场均匀，绳和杆无质量，绳不可伸长，滑轮轴无摩擦，弹簧满足胡克定律。是否光滑、滑轮是否有转动惯量、碰撞是否弹性，必须由每题给定，不能自行补设。符号在每个模型内重新定义；速度、加速度若写成标量，其正方向由该模型明确规定。 符号 含义 使用提醒 物体质量 碰撞后黏合体质量须相加 弹簧劲度系数 角频率 振幅 振幅相对于相应阶段的平衡位置 静摩擦系数 动摩擦系数 静摩擦为不等式，动摩擦按相对滑动定向 转动惯量 半径 恢复系数 必须注明转轴，沿碰撞法线定义 中心天体的引力参数 避免与摩擦系数或约化质量混用 两体约化质量 当地重力加速度 需要数值时题中统一给定 综合题的统一解题方法 先建立过程图再列方程 综合题往往由“受约束加速—瞬时碰撞—振动—失去接触—自由运动”等阶段组成。每一阶段都要写明起止事件。速度为零、相对速度为零、弹簧恢复原长、法向力为零、绳张力为零是不同事件，不能混同。 第一步，选参考系和系统。碰撞可选所有碰撞物体；求支持力应隔离受力物；研究内弹簧可选两物体整体。第二步，选独立坐标并写几何约束。第三步，列出外力与外力矩，决定哪些方向动量守恒、关于哪个点角动量守恒。第四步，列能量账并区分耗散、外力功和内部能量变化。第五步，求解后代回约束力条件，必要时开始新阶段。 三类时间尺度与连接条件 连续受力阶段使用牛顿方程或机械能关系。极短碰撞阶段使用冲量和角冲量；重力、有限弹簧力的冲量若可忽略，应说明碰撞历时远小于宏观运动时间。碰撞前后位置通常连续，速度可以突变。缓慢驱动过程可近似准静态，但不意味着外力不做功。 冲量近似的量级判断可以写成。若某绳在冲击时突然绷紧，它的冲量可能很大，即使日常运动中的张力有限，也不能忽略冲击约束。遇到固定铰链，系统总动量往往不守恒，而关于铰链的角动量可能在短碰撞中守恒。 定律选择表 任务 优先使用 必须先核对 求某位置速度或最大位移 功与能 所有功及势能是否计全 求接触力 张力 加速度 牛顿方程与约束 方向、参考系与约束状态 求瞬时碰撞后速度 动量 角动量 恢复系数 外冲量 外角冲量及碰撞法线 求首次到达时间 运动方程或时间积分 初相位、分段与转向点 求系统最大相对压缩 质心运动与相对能量 总动量是否守恒 求运动是否可实现 不等式与临界条件 、、 能量与动量的统一拆分 对两质点定义质心速度和相对速度，同一直线运动时有： 这说明“相对速度为零”只表示相对动能为零，并不表示总动能为零。弹簧最大压缩、摩擦后二者共速、完全非弹性碰撞，都可用同一分解理解。 一般恒定质量系统在惯性系满足。机械能不守恒时，应写成；摩擦产热若为两接触表面间的库仑滑动摩擦，可写： 此处积分中的被积量和时间微元属于同一完整表达式。若摩擦力大小恒定，则。不能把某一物体的地面位移直接当作两表面的相对滑移。 六种结果自检 量纲检查：周期应为时间，振幅应为长度。极限检查：让底座质量趋于无穷，结果应退化为固定底座。符号检查：支持力不能为负。初值检查：把初始时刻代回运动函数。能量检查：黏合碰撞不能凭空增加机械能。事件顺序检查：算出的“最大压缩”若发生在物体已经离开木板以后，就不属于原模型的解。 模型一 滑块与可动斜面 建模与两条耦合方程 质量的斜面置于光滑水平地面，斜角，上表面向右降低；质量的滑块与斜面间光滑。令为斜面向右位移，为滑块沿斜面向下的相对位移。滑块坐标满足、。二者不是沿同一直线运动，不能把地面速度直接相减后当作沿斜面的相对速度。 水平外力为零，初始均静止，所以： 把滑块加速度投影到斜面向下方向，得： 联立消去，得到： 相对加速度大于固定斜面时的。原因是斜面向左退，改变了滑块的地面加速度与相对运动之间的关系。支持力由法向投影给出： 在且时，支持力为正。地面对斜面及滑块系统的竖直作用并不为零，因此系统竖直动量不守恒。 图1 可动斜面坐标与滑块相对位移 例题1 从给定高度滑下 题目　令、，滑块从静止相对斜面下降高度。求相对速率、斜面速度及滑块地面速率。 分析　能量守恒，但必须把滑块与斜面的动能都计入。设，水平动量给出。 解答　把代入总动能，得。于是： 滑块速度分量为、，所以。核对斜面动能、滑块动能，相加等于。 例题2 用位移求时间与底座退让 题目　仍取例题1参数，滑块沿斜面下滑距离，求所需时间和斜面位移。 解答　为常量，由得。积分水平质心不动关系，。这里求底座位移不必先求支持力，也不必积分其加速度。 规律与易错　可动斜面的核心是“一个水平自由度加一个相对自由度”。光滑只意味着无摩擦，不意味着支持力对每个物体不做功；运动的斜面可以通过支持力与滑块交换能量，但二者总机械能守恒。若地面有摩擦，水平动量方程必须改写。 模型二 滑块与有限长木板 相对滑动到共同运动 质量的滑块在质量的长木板上向右滑，木板与地面光滑；初始滑块速率，木板静止。滑动摩擦系数，木板不翻转。滑块加速度，木板加速度。因此： 相对速度到零时两者共同速度。无其他水平外力时，之后无需摩擦即可共速，不能仍把摩擦力写成。 若滑块距木板右端的初始可用距离小于，滑块会先掉出。此时应在到达边缘时截断滑动方程；“最终共速”是一个未发生的假想状态。 例题3 摩擦耗散与实际位移 题目　、、、、，木板足够长。求共速时间、两者位移、产热。 解答　、，，。滑块位移，木板位移，相对滑移。故。初动能，末总动能，一致。 例题4 长度限制先发生 题目　例题3中，滑块距右端只有，求离板时两者速度。 解答　相对位移为。令其等于1，取首次到达的较小根。于是，，单位均为。两者仍有正的相对速度，所以离板确实早于共速。若另一个代数根存在，它已越过模型有效区间，不能选取。 易错剖析　摩擦对木板做正功，对滑块做负功；二者之和等于，不是各自都做。静摩擦与动摩擦的切换取决于相对速度和维持共速所需的力，不取决于某物体是否对地静止。 模型三 绳连接与有惯量滑轮 绳长约束是运动关系的来源 不可伸长绳约束的是总绳长。若自由端坐标与动滑轮中心坐标均向下为正，常见布置满足，所以、。应先画出各绳段，不能只看到“同一根绳”就认定所有端点速率相等。 理想无质量绳在光滑无惯量滑轮上张力相等。若滑轮有转动惯量，绳与轮不打滑，则两侧张力差提供转矩。对定滑轮两端质量、轮半径，取重端向下为正： 联立得到： 其中是转动对线性运动贡献的等效惯量。动力学和能量法会得到同样的分母，这是交叉核对的好方法。 图2 有惯量定滑轮与动滑轮的绳长约束 例题5 阿特伍德系统加上转动 题目　、，滑轮为质量的均匀圆盘。求加速度与两侧张力，并求重端从静止下降后的速率。 解答　，所以。轻侧；重侧。速率满足。 能量核对　重力势能净减少，平动动能为，转动动能为，总计，与上式一致。把两侧张力设相等会遗漏滑轮动能。 例题6 动滑轮的加速度倍数 题目　一根轻绳一端固定，绕过吊有质量物体的无质量动滑轮，再绕过固定的理想定滑轮，自由端挂质量物体。各活动绳段竖直，求动滑轮向下加速度及张力。 解答　，。自由端满足；动滑轮及负载满足。故： 当时可平衡；当时，表示动滑轮向上加速。分母中的来自速度倍数的平方，而不是绳的根数。 规律与易错　先约束后受力。轮缘无滑动与绳不可伸长是两条独立假设。若算得张力为负，轻绳不能执行该运动，应转入松绳阶段。 模型四 轻杆约束与铰接刚杆受撞 绳与杆的根本差异 轻绳只能拉，轻杆通常既能拉也能推。固定长度约束给端点相对速度沿杆方向的分量为零，但不意味着两端速度大小相等。对长度的杆连接两质点，若相对位置为，则；再求导可得： 这条式子揭示沿杆的相对加速度不一定为零，它负责改变相对速度的方向。对于有质量刚杆，还需计入转动惯量。 例题7 子弹嵌入铰接杆 题目　均匀细杆质量、长，一端铰接，起初竖直向下静止。子弹质量、速度，垂直杆击中距铰点处并嵌入。碰撞极短，求角速度及刚能到达水平位置的入射速度下限。 分析　铰链提供外冲量，线动量不守恒；其关于铰点的力矩为零，重力角冲量可忽略。碰撞中机械能不守恒；碰撞后摆动阶段机械能守恒。 解答　令，角动量守恒给。到达水平时重力势能增加。阈值是水平位置角速度恰为零，因此： 铰接杆可承受拉压，因此无轻绳在上方必须维持正张力的附加条件。这里仅要求到水平，不是完成一周。碰撞损失可由另算。 例题8 冲量与打击中心 题目　在例题7中求铰链的水平冲量，找出使该冲量为零的撞击位置。 解答　碰撞后杆质心速度为，子弹速度为。总水平动量变化等于铰链冲量： 代入角速度并令，得到，即。这一位置与子弹质量无关，是此几何和初态下的打击中心。不能把“关于铰点角动量守恒”误读成“铰链不施加冲量”；只有这个特殊位置的水平冲量为零。 规律　带固定支点的短碰撞，优先选支点取矩；摆动随后再用能量。角动量的取矩点必须在碰撞前后保持一致。 模型五 圆轨道运动与接触失效 能量给速度 法向方程判接触 小球在半径的竖直圆轨道内侧运动，轨道固定、光滑。以最低点为高度零，令从最低点向上计。能量关系与向心方向方程为： 要保持内侧接触，必须。最高点最严格，因此完整绕行要求，从最低点出发的阈值。若是双侧封闭细管，管壁可从不同侧施力，不能套用同一单侧条件。 例题9 绳与杆完成竖直圆周 题目　质量的小球分别由轻绳和可承受拉压的轻杆连接到固定点，长度均为。从最低点水平发射。比较完成一周的速度条件。 解答　绳模型要求绳不松弛，故，临界最高点张力为零而速率非零。轻杆没有“只能拉”的限制，只需越过最高点的势能障碍；，即。等号只对应到达顶部的能量分界，理想条件下趋近顶部所需时间发散，不应说以有限时间完成一周。通常所谓“最小速度”是下确界。 例题10 球面外侧脱离 题目　质点从固定光滑球面最高点附近由静止开始下滑，半径。求脱离处与竖直向上方向夹角及速率。 解答　设夹角。下降高度，故。指向球心方向的合力为，所以。令得： 精确处在最高点且完全静止时会保持不稳定平衡；题目“最高点附近”表示取微小扰动的极限。脱离后小球做抛体运动，轨道曲率半径不再固定为，不能继续用球面约束计算。 易错剖析　最高点速度为零不是绳不断开的临界条件；“法向加速度”不等于某一个支持力除以质量；脱离要由约束力为零确定，不能由切向速度是否为零确定。 模型六 碰撞后水平弹簧振动 碰撞映射与振动初值 质量的物块连接水平弹簧，位于光滑水平面，初始在自然长处静止。质量的小块以速度撞来并黏合。碰撞短到可忽略弹簧冲量时，。碰撞后令为弹簧伸长，以初速度方向为正，得： 能量分两段记账：碰撞发生非弹性损失，碰后振动无损耗。不能从入射动能直接推得弹簧最大势能。 图3 瞬时碰撞给出振动的初速度与初位移 例题11 碰后振幅与最大弹力 题目　、、、。求振幅、首次最大压缩时间和最大弹力。 解答　黏合后，，。以压缩方向为正也可直接用上述正弦形式，首次最大压缩，最大弹力。碰撞前动能8 J，碰后2 J，损失6 J；最大弹性势能2 J。 例题12 在非平衡位置发生黏合 题目　质量的振子在位置、速度时被质量、速度的物体沿同一直线撞上并黏合。求新振幅。 解答　位置在碰撞中连续，故新振动初位移仍是；新初速度。水平弹簧的平衡位置不因质量改变而改变，但角频率变为。于是： 碰撞损失。即使碰后，只要仍会振动；这时碰撞发生在新振动的端点。入射物要确实追上或迎面接触振子，不能只凭代入任意速度就宣称碰撞能发生。 规律　振幅由初位移和初速度共同决定：。质量变化后必须重新计算。 模型七 竖直弹簧与平衡位置突变 两次平衡位置不能混用 竖直弹簧上端固定，原挂质量静止，下方取正，原伸长。质量的小物体以向下速度落到托盘并黏合，碰后总质量。新平衡伸长，故以新平衡点为原点的初位移为，初速度。 重力可以通过平衡位置平移并入势能：。所谓“重力不影响振幅”只在初始条件以新平衡位置正确给定时才有意义；这里平衡点改变本身就产生振幅。 例题13 落物黏附托盘 题目　托盘质量，小物体从托盘上方高度自由落下并黏合。求新振幅和最大向下伸长。 解答　碰前，碰后，新平衡伸长。因此： 最大向下位移若相对于碰撞时托盘位置计，应为，不能与相对于自然长的混淆。题设要求黏合；若仅接触，上升阶段可能分离。 例题14 仅接触时是否会分离 题目　物块放在可竖直振动的托盘上，无黏合。假设共同简谐运动的角频率为、振幅为，以平衡点向下位移计。求始终接触的条件。 解答　物块受力，共同运动时，所以。最小值在上端，故： 当时，在向上越过时法向力先到零。此后物块自由落体，托盘独自振动，不能继续沿同一简谐轨道“算出负支持力”。临界等号在顶端瞬时，理想运动仍可保持接触。 易错剖析　向上速度最大不等于最容易脱离。支持力取决于加速度，而简谐加速度由位移决定；最大速度处恰在平衡点，。 模型八 两物体与内弹簧 质心平动和内部振动分开 光滑水平面上，质量的两物体通过轻弹簧相连。令为弹簧伸长，质心速度恒定，内部方程为： 推导时两物体所受弹力方向相反：、，相减即得。总能量分为质心动能和相对振动能： 最大压缩时，两物体等速为，总动能一般不为零。 例题15 自由底座上的弹簧缓冲 题目　质量的块以速率撞上质量小车前端的轻弹簧，车初静止；弹簧只在压缩时接触小块，不黏连。求最大压缩及分离速度。 解答　开始压缩时、相对速率大小，全部相对动能转为弹性势能，故。回到自然长时弹簧不再施力，相对速度反号。结合动量守恒得： 这是通过无耗散弹簧实现的一维弹性碰撞。缓冲全过程的时间为半个相对振动周期，不是四分之一周期；四分之一周期只到最大压缩。 例题16 约束释放与内能释放 题目　两物体由弹簧永久连接，初始弹簧压缩，二者静止。解除固定后，求第一次到自然长时两者速度大小。 解答　质心保持静止，。相对速度大小。因此： 两速度方向相反，轻者速率较大。若把初始弹性势能全分给某一个物体，会同时违背动量守恒与能量守恒。对永久连接，过自然长后继续拉伸；对仅接触弹簧，则此处会分离，后续模型不同。 规律　看到“两个自由物体加内部弹簧”，先换为质心和相对坐标。只有另一物体固定、或质量趋于无穷时，才可把相对振动质量直接取为。 模型九 刚体滚动与滑滚转换 纯滚动并不是没有摩擦 轴对称刚体质量、半径，质心轴转动惯量。沿固定斜面向下纯滚动时，设静摩擦大小沿斜面向上： 所以、。维持纯滚动需要。固定表面上的理想纯滚动接触点瞬时静止，因此静摩擦总功率为零；它仍影响平动与转动之间的能量分配。 例题17 圆柱滚下斜坡 题目　均匀实心圆柱从高度静止滚下，斜角。求底端速率及所需最小静摩擦系数。 解答　，能量，得；。速度结果不含半径，但这只对相同形状、同样纯滚动且无滚动阻力的刚体成立。 滑动阶段用接触点相对速度定摩擦方向 在水平地面，取质心向右速度为正、顺时针角速度为正。接触点相对地面的切向速度为。若，摩擦向左，、；若，两式同时反号。切换到后，要重新求静摩擦，而不是延续原来的动摩擦。 例题18 无初转的圆盘滑到纯滚动 题目　均匀圆盘以向右平移、初角速度为零，进入粗糙水平地面。求进入纯滚动的时间、速度及耗散。 解答　，所以，。此时、。末动能，故。相对滑移，乘摩擦力亦得到同一耗散。 图4 滑滚转换中质心速度与底点相对速度 易错剖析　滚动瞬心可用于瞬时速度和动能计算，但任意加速移动点不自动满足简单的。求动力学时以质心取矩最稳妥。摩擦反对相对滑动，不一定反对质心运动。 模型十 刚体碰撞与滚越台阶 冲击瞬间的取矩点选择 刚体以纯滚动状态接触台阶棱角后，可能发生短促冲击。只有明确“冲后棱角处瞬时无滑动、旧地面无显著冲量、刚体不反弹”时，才可按棱角取矩，得到关于该固定点角动量守恒，并用接触后的转动初态分析爬升。这个模型不能仅凭“粗糙”两字默认成立。 例题19 圆盘滚越低台阶 题目　质量、半径的均匀圆盘以速率纯滚动，碰到高度的台阶，。碰撞满足上述理想冲击假设，随后绕棱角转动，求越过棱角顶部所需入射速率的下确界。 解答　关于棱角的碰前角动量大小为。冲后转动惯量为，因而： 圆心上升到棱角正上方还需增高。由碰后转动能至少等于，得到分界： 真正越过取；等号对应顶端能量分界。式中已经包含碰撞损失，不能直接把碰前全部动能等同于。若棱角不能提供所需接触冲量或后续接触力，或者冲后滑动，需给出摩擦和恢复规律重新建模。 例题20 旋转杆端碰固定挡块 题目　均匀细杆长、质量，绕一端固定轴在水平面内以角速度转动。另一端与固定光滑挡块正碰，碰撞法线垂直杆，法向恢复系数。求碰后角速度、挡块冲量和损失。 解答　挡块静止，杆端法向速度碰后为碰前的倍，故。关于铰链取矩，挡块冲量大小满足，所以。能量损失为。 辨析　挡块冲量对铰链有非零力矩，所以这一次关于铰链的角动量并不守恒。正确的做法是写角冲量方程，不能因为“有铰链”便条件反射地写角动量守恒。 模型十一 自由底座上的摆与振动 平移与摆动耦合 质量的小车在光滑水平地面上，车上悬挂长、摆球质量的单摆。令车坐标、摆角从竖直向下向右计。摆球位置、。水平动量初始为零时： 动能为。利用质心约束消去，得到： 小角度下可把分子中的视为高阶量，势能近似。因此： 车会退让，所以周期小于固定悬点单摆周期。该结论要求摆绳始终绷紧、车只做水平平移且小角度近似成立。 例题21 轻车上的小振动 题目　，从小角度静止释放。求周期、车位移振幅与摆球水平位移振幅。 解答　。相对于系统平衡构型，，摆球，所以车与球的水平位移振幅均约为，方向相反。位移振幅相等不意味着竖直坐标也相反；车无竖直自由度。 例题22 大角度到底端的速率 题目　小车摆从静止释放，求到底端时角速度及车速，不作小角近似。 解答　到底端，，势能下降，得： 车速大小为，摆球水平速率为。这里只求经过底端的速度，能量法足够；若求大角度周期，还需对随角度变化的有效惯量积分，不能继续使用小角周期公式。 方法提炼　自由支架使原来的“固定势阱”变成耦合系统。先用守恒的质心运动消去一个自由度，再研究剩余的内部运动，是滑块斜面、自由弹簧和小车摆的共同思路。 模型十二 卫星脉冲变轨 变轨前后与飞行阶段分别守恒 在固定球对称中心天体外，记。无推力飞行阶段，比机械能与比角动量守恒。瞬时切向加速时位置连续、速度突变，能量和角动量通常都改变；不能把变轨前的守恒量跨越发动机点火直接沿用。 对椭圆轨道，，于是速度关系为： 圆轨道速度。在圆轨道某点瞬间顺行加速而仍保持束缚，点火处成为近地点；瞬间减速且未失去轨道可行性时，点火处成为远地点。 图5 两次切向脉冲完成同平面圆轨道抬升 例题23 一次切向加速后的远地点 题目　卫星原在半径圆轨道，瞬时加速到，其中。求新轨道半长轴和远地点。 解答　点火后，所以： 当退化为原圆轨道；当时远地点发散。飞到远地点时速率由求出，而不是用当地圆轨道速度，因为此时尚未圆化。 例题24 霍曼转移的两次脉冲 题目　在同一平面内从圆轨道转移到圆轨道，采用与两圆相切的半椭圆转移。求两次顺行速度增量及飞行时间。 解答　转移半长轴。第一次使卫星从内圆进入椭圆近地点，第二次在远地点圆化： 例如，以为单位，有，。总速度增量约。这里只讨论这一两脉冲转移方案，不将其无条件称为所有转移策略中的最优方案。 易错剖析　升轨时在远地点还要再次加速；到达目标半径不等于进入目标圆轨道。燃烧阶段不能机械能守恒；变轨飞行时间只取半个椭圆周期，椭圆的半长轴不等于远地点半径。 模型十三 碰撞后摆动与再碰撞 弹道摆的两阶段方法 子弹击中摆球后，先用短时水平动量或关于悬点的角动量求共同速度，再用摆动阶段能量求上升高度。悬绳初始竖直时，其冲量沿竖直方向，故不妨碍水平方向动量守恒；摆动时张力持续改变动量方向，不能再守恒水平动量。 例题25 用摆高反推子弹速度 题目　质量的子弹以水平速度嵌入质量、绳长的摆球，摆起最大角且绳始终绷紧。求及碰撞损失比例。 解答　碰后，上升高度，所以。于是： 碰后动能与碰前动能之比为，损失比例为。题设限定转向角不超过水平位置，正是为保证绳约束可实现。若给出超过水平的转向角，不能仍然假定轻绳全程绷紧。若使用刚杆，超过水平的转向点可以成立。 例题26 碰撞是否会再次发生 题目　一维光滑直线轨道上，质量的小球以速度从左撞上质量的弹簧振子，振子初在平衡点静止。正碰完全弹性，碰撞时间可忽略。假设碰后小球不再受力，先判断时的再碰撞可能性。 解答　碰后小球速度，振子初速度，振子频率。把首次碰撞位置取，若没有再次接触，则、。再碰撞候选时刻由： 当，，振子在返回，发生第二次碰撞。当，右边为负，最早候选只能在。仅凭“小球已经向左走”不能排除返回振子的追撞。 进阶判据　令。第一负半周存在位置相遇当且仅当不大于函数在内的最大值。极值点满足，约为，最大值约0.2172。若，首次交点通常为有效碰撞；等号是相切接触，瞬时相对速度也为零，不产生普通冲击。后续负半周的最大值更小，所以第一负半周无解时，以后也无解。该判据还需遵守题设一维几何与无其他接触障碍。 规律　“第一次碰撞后各自怎么动”并不是题目结束。再接触问题必须写相对位置函数，找最早正根，再检查接近方向。位置相等但相对速度为零属于临界接触，要单独辨析。 模型十四 传送带与外界做功 恒速传送带不是封闭能量系统 水平传送带由电机维持恒速。物块质量从地面速度进入，若，摩擦向右并加速物块；若，摩擦向左。滑动时，至才可能转为无滑动。电机在这段中可能做正功或吸收能量，应单独列账。 对足够长的带，达到共速前的相对滑移为，故： 例题27 静止物块放上恒速带 题目　物块初静止，放到速度为的水平传送带上。求共速时间、物块位移、产热及电机因物块而额外做功。 解答　，物块位移。传送带在这段移动，相对滑移为两者之差，故。物块动能增加；电机维持带速而额外做功。电机输入的一半成为物块动能，一半变为热，仅对这一初态成立。 例题28 进入速度大于带速 题目　初速度的物块同向进入恒速带，求共速前热量和电机的额外功。 解答　摩擦对物块向左，。物块动能变化；相对滑移给。维持恒速的驱动装置额外功，表示需吸收能量。传送带本身的动能不变，不能推出电机做功为零。 易错剖析　摩擦对物块做正功时依然可能产热；摩擦产热不是该物块动能减少量。有限长度传送带仍需先比较共速所需位移与带面长度，再决定末速度。 模型十五 质量交换与链条运动 变质量问题先选时间小段系统 固定质量形式不能不加分析地用于正在吸入或喷出质量的对象。若移动物体质量，以速率吸入惯性系水平速度的物质，吸入后立即随物体共速，则动量平衡为： 等价写成。两种形式都来自对“物体加即将吸入微元”这个固定质量小系统列动量方程。喷射需一致定义质量流率与相对排气速度，不能机械改一个正负号。 例题29 小车接住竖直落沙 题目　质量小车以速度在光滑水平轨道上行驶，以恒定速率接住从固定漏斗竖直落下的沙，沙入车前水平速度为零。求后的水平速度。 解答　车和已接沙的质量，水平外力为零、流入水平动量为零，故。于是： 水平动能为，随接沙减少。这里只讨论水平部分，落沙竖直动能的耗散需要另计；不能把竖直势能直接加入水平动量方程。 例题30 光滑桌边滑链 题目　均匀柔软不可伸长链长、线密度，在光滑桌边由静止释放，初垂下长度。理想圆滑导向使链速处处相同且不耗能，求垂下长度为时的速度和加速度。 分析　整条链总质量固定，选整条链可避开桌边的动量流与约束力细节。取桌面势能为零，垂下段势能。 解答　总动能为，能量守恒得： 虽然垂下部分长度变化，但整链加速惯量是。若把垂下段当作质量固定的物体直接写，会错误得到自由落体。真实链从静止堆中被不断带起是另一类带冲击拾取的模型，不能套用本题光滑连续滑链的能量式。 模型十六 旋转约束与有效势稳定性 旋转圆环上的小珠 半径的竖直光滑圆环绕其竖直直径以恒定角速度旋转，小珠质量可沿环滑动。令从环的最低点计。该问题的装置由外界维持转速，小珠在惯性系的机械能一般不守恒。沿环切向的动力学方程为： 可将其写成一维保守形式，构造有效势： 于是为常量，但它不是小珠的惯性系机械能。稳定平衡要求有效势局部极小；在临界点二阶导为零时，还要检查高阶项。 例题31 平衡位置与分岔 题目　求旋转圆环上小珠的稳定平衡位置及出现非最低点平衡的临界转速。 解答　平衡满足。最低点在时稳定，在时不稳定；最高点总不稳定。非最低点平衡满足： 两侧对称位置均稳定。在临界处，有效势最低点附近的首个非零项为，仍为局部极小，但不再具有非零的线性简谐频率。这是区分“线性频率为零”与“不稳定”的重要例子。 例题32 平衡附近的小振动 题目　求最低点稳定区内的微振动频率，以及非零稳定平衡附近的频率。 解答　最低点附近、，所以。对于非零平衡，令，只保留一阶项；右端导数在平衡处为，故： 两式在临界附近都趋于零，说明恢复作用减弱，而不是振幅必为零。驱动圆环所做的功不能忽略；所谓有效势守恒来自约化后的自治方程，不能当作所有能量都守恒的证据。 图6 有效势在临界转速前后的稳定位置变化 多阶段综合例题 例题33 黏合碰撞 弹簧反弹 摩擦与圆环 题目　质量的小滑块置于光滑水平面，右侧为固定墙连接的轻弹簧，滑块恰接触自然长弹簧但未连接。质量的弹丸以速率向右击入滑块并留在其中。滑块压缩弹簧、反弹向左、在自然长处分离，随后通过长、动摩擦系数的水平粗糙段，再由光滑连接进入半径的竖直圆环内侧。忽略物体尺寸，连接不产生冲击。求弹簧最大压缩、压缩至返回自然长所需时间，以及完整绕环所需的最小值。 过程划分　阶段一为弹丸嵌入，动量守恒而机械能损失；阶段二为弹簧压缩与反弹，黏合体机械能守恒；阶段三由滑动摩擦耗散；阶段四能量与单侧接触条件联合判断。必须把“恰能到达最高点”和“全程接触绕环”区分。 解答第一步　设总质量，碰后速率。阶段二的角频率，最大压缩。从开始压缩到回自然长是半周期，。弹簧无耗散，分离速率仍为，方向反转。 解答第二步　粗糙段损失，到圆环最低点速率满足。完整绕环的条件，故： 此条件自动保证能通过粗糙段，因为右侧额外含正的。在阈值下若，物体在粗糙段内停下；若通过粗糙段但，还应区分转向与脱离，不能把“没绕成一周”统一称为在最高点停下。 检验　弹簧劲度系数不出现在绕环阈值中，因为它只决定最大压缩与反弹耗时，不改变无耗散反弹后的速率。但装置必须有足够压缩空间，并保证弹簧在内仍满足胡克定律；若弹簧变形受限，这一可实现性条件会重新引入。 例题34 两车弹簧系统受到黏合冲击 题目　光滑水平面上两小车质量分别，用弹簧连接且初始静止、自然长。质量的物体以速度向右击中左车并黏合，碰撞极短。求两车系统的质心速度、弹簧最大形变量及第一次最大压缩时的共同速度。设小车不会几何碰撞。 分析　第一次短碰撞只在来物与左车之间进行，有限弹簧力来不及给右车显著冲量。碰后才开始新的两质量内部振动。不能把短碰撞直接当作三者完全黏合，也不能把右车当作固定墙。 解答　记，碰后左车速度，右车速度零。后续总质量，质心速度和约化质量为： 相对初速大小，最大压缩： 第一次最大压缩发生在，两车共同速度为。碰撞损失仅为，后续无耗散。极限时质心速度趋零，弹簧相当于固定底座；但有限质量时保留的质心动能不能转为弹性势能。 例题35 偏心冲量 滑滚转换与爬坡 题目　水平粗糙地面上均匀圆盘质量、半径，初静止。对圆盘施加向右的短水平冲量，作用线在质心上方，其中。施加冲量期间地面切向冲量可忽略。之后圆盘滑动至纯滚动，再平滑进入固定斜面并持续纯滚动。求最终滚动速度及所能升高的最大高度。取，忽略连接段的附加损失与滚动阻力。 解答第一步　以顺时针为正，冲量给、。因此初始底点滑动方向由决定。当时直接纯滚动；当更高时，摩擦向右；当更低时，摩擦向左。 解答第二步　滑动阶段质心的线冲量与角冲量联立，或消去摩擦冲量，可得保持不变。末态，因此： 这一式自动覆盖摩擦的两个方向。时最后完全停止；这时不能说圆盘随后仍会爬坡。若，末态向右滚动。 解答第三步　纯滚动动能转为重力势能，所以： 上坡阶段纯滚动仍需足够静摩擦，要求。坡必须足够长，连接处必须无额外冲击。若不满足这些条件，不能把所得当作实际高度。冲量阶段、滑动阶段、纯滚动阶段分别使用角冲量、接触点速度约束和机械能，三个阶段不可合并成一条能量守恒式。 例题36 轨道爆炸与两碎片去向 题目　总质量的卫星在半径的圆轨道飞行，中心天体参数，忽略中心反冲。卫星瞬时爆炸成两个质量相等的碎片，其中一块在爆炸后相对中心天体瞬时静止，另一块仍沿原切线方向。忽略碎片间引力与继续喷射。求另一块速度、两块轨道类型及爆炸增加的总机械能。 解答第一步　爆炸时间极短，外部引力冲量可忽略，局部动量守恒。原圆速，因此，得到。爆炸时位置不变，重力势能总和不变。 解答第二步　静止碎片比角动量为零，随后径向下落；这是退化径向轨道，不是继续沿原圆周运行。若中心有半径，落到表面的速率由能量给。另一碎片的比能为，故为双曲线逃逸，爆炸点是近心点。远处余速。 解答第三步　初总动能，末总动能，增加的机械能： 增加的能量来自卫星内部储能。爆炸阶段可忽略引力冲量而保持总动量，绝不意味着爆炸能量守恒于机械能形式；飞行阶段则两块分别在中心引力场中守恒机械能和关于力心的角动量。 跨模型方法总结与易错剖析 把模型按结构归类 滑块与斜面、自由底座摆、自由内弹簧的共性是外部某方向无合力，可先消去质心平移。弹道摆、子弹击杆、碰撞后振动的共性是碰撞映射接连续运动。滚动、绳杆、动滑轮的共性是几何约束决定速度比，速度比的平方进入等效惯量。接触、松绳、滑滚切换的共性是不等式边界触发方程更换。 求某一速度时，能量法往往简洁；求反作用力时，动力学不可省略；求碰撞速度时，必须补充碰撞规律；求时间时，通常需要运动函数或积分。不能把“会用守恒定律”理解为“不必画受力图”。 有效质量的统一推导 若独立坐标为，各物体速度为、各刚体角速度为，则： 例如动滑轮以动滑轮位移为坐标，自由端速率为其二倍，因此自由端质量贡献。若系数随变化，则有效质量也随位置变化，不能直接把方程写成；正确的一自由度能量导数形式为： 它可由对时间求导得到，并在转向点通过连续性延拓。小车摆的大角度运动就是有效质量依赖坐标的实例。 对常见错误逐条纠正 错误一　“有摩擦就不能能量守恒。”纠正：固定面纯滚动的静摩擦可不耗散；若把内能计入总能量，滑动过程也满足能量守恒。应明确所说的是机械能还是总能量。 错误二　“内力不做功。”纠正：弹簧内力可以改变总动能，对应系统势能变化；摩擦内力可以把机械能转为内能。内力成对抵消的是总力，不是一般情况下的总功。 错误三　“弹簧压到最短时速度都为零。”纠正：这时相对速度为零，质心速度不必为零。自由底座缓冲与固定墙缓冲必须区别。 错误四　“碰撞期间一定动量守恒。”纠正：先看方向和系统，固定轴、突然绷紧的绳、地面冲击都会提供外冲量。可以尝试换系统、换取矩点，但不能无条件消去外冲量。 错误五　“能量方程算出的路径一定存在。”纠正：轨道还须满足、和摩擦能力；负的支持力是原模型失效信号。 错误六　“有相同位移或速度就说明再次碰撞。”纠正：要同一时刻处在同一接触几何位置，且检验相对接近方向，先排除更早发生的其他事件。 错误七　“公式中的换成总质量即可处理新系统。”纠正：弹簧频率、转动惯量、约化质量和平衡位置都可能变化，必须从约束和动能重新推导。 错误八　“取临界等号就一定能有限时间到达。”纠正：势垒顶端的分界轨道常需无限时间到达；绳绕行阈值最高点速率非零，而杆越过顶部的能量分界速率为零，二者不同。 面对陌生融合模型的书面作答模板 先用一段话交代研究对象、坐标和初态；画受力图或几何示意。接着列每个阶段的起止事件和适用定律，写出未知量与独立方程。碰撞前后的状态记为“负”和“正”，用位置连续及冲量映射连接；进入振动前重算平衡点和频率。最后写出参数范围、检验条件和所求量的物理含义。若无法得到初等闭式，给出有确定积分限的积分或有选根规则的方程，也可以是完整答案。 分层练习 B组 基础综合 建议先独立完成B组，要求每题注明守恒定律适用阶段。未特别说明时沿用对应模型的理想条件，各题互相独立。 B1　可动光滑斜面质量、倾角，滑块从静止相对下滑距离。求相对加速度、斜面水平位移及滑块地面速率平方。 B2　质量的块以速率在初静止质量的长板上滑动，地面光滑、动摩擦系数。求共速时间、相对滑移、产热。 B3　定滑轮系统两端为与，滑轮。求加速度、轻重两侧张力。 B4　均匀杆质量、长、一端固定，竖直向下静止，质量子弹以垂直击中杆端并嵌入。求角速度及碰后动能。 B5　小球以从光滑竖直圆环内侧最低点出发。求最高点速率和支持力。 B6　质量物块以速度撞上质量的水平弹簧振子并黏合，弹簧，原振子静止于平衡点。求频率、振幅和碰撞损失。 B7　竖直弹簧挂质量处于平衡，轻放质量并使其立即与原物黏连，冲击速度可视为零。求相对新平衡点振幅及最大伸长。 B8　质量和的自由物体用弹簧连接，初始自然长，速度分别为与0，运动方向朝向彼此。求最大压缩、质心速度及压缩到最大的时间。 B9　均匀实心球从高纯滚下斜面。求末速度与斜面角为时的最低静摩擦系数。 B10　均匀圆盘以平动且不旋转进入粗糙水平面。求纯滚动开始前的质心位移，动摩擦系数为。 B11　小车摆质量关系、绳长，求小振动周期及摆角幅度时小车位移振幅。 B12　圆轨道半径，瞬时顺行加速至原速的倍。求新轨道半长轴、远地点半径。 B13　子弹质量嵌入质量的静止摆球后，系统上升高度。求入射速度与碰撞损失。 B14　速度的水平传送带上轻放静止物块，已知，求达到共速时带面位移、物块位移及二者之差。 B15　小车接住无水平速度的沙，初质量、初速，接沙率。求速率降为一半所需时间及这时的水平动能。 B16　旋转圆环半径，。判断最低点稳定性并求小振动周期。 C组 竞赛进阶 C1　可动光滑斜面模型中与任意。滑块从静止下降高度，求斜面最终动能占的比例，并讨论的极限。 C2　木板质量、块质量，初速度分别为0和，地面光滑。块初距右端。求刚能在不越出右端的条件下达到共速的最小动摩擦系数；说明等号意义。 C3　例题6动滑轮系统取。从静止开始，动滑轮上升高度时，自由端质量的速率多大？分别用动力学和能量核对。 C4　例题7均匀杆取。求子弹刚使系统到水平位置所需，并解释此时“铰链水平冲量为零”是否意味着碰后摆动水平动量守恒。 C5　内侧圆环小球最低点速度满足。求首次失去接触的角度和速率，说明为什么该范围内它在脱离前不会先停下。 C6　质量的水平振子恰在平衡点向右以速度运动，质量来物与之黏合。求能使碰后完全不振动的来物速度，并求碰撞能量损失。 C7　质量物块放在质量的竖直弹簧托盘上，始终接触阶段的频率为。已知共同运动振幅。求首次上行分离位置及共同速度大小。 C8　质量、由轻弹簧永久连接，初伸长，初速度分别。求相对振动振幅、周期与最大弹性势能；判断最大伸长时两物体是否静止。 C9　均匀圆盘在粗糙水平面初速度、初顺时针角速度，且。求摩擦方向、达到纯滚动时间和末速。 C10　例题19台阶模型中取、。求及碰撞动能保留比例。仍假设冲后绕棱角无滑动且接触可实现。 C11　自由小车摆从静止释放，求从释放点到底端的小车位移，结果要求保留正弦函数而非小角近似。 C12　卫星原在圆轨道，将切向速率瞬时降为原速的倍，。中心天体半径。求新近地点及不撞天体的条件。 C13　例题26的一维弹性碰撞取。是否会再碰撞？取又如何？不需求具体碰撞时刻，但要给判据。 C14　物块以进入长为、速度的水平传送带，入口取位移零。求能在出口前共速的条件及未共速时出口速度。 C15　初质量、初速小车接沙率，沙入车水平速度恒为，外力为零。求；再求若要保持车速所需恒定水平外力。 C16　旋转圆环。求稳定平衡角、小振动频率以及小珠处于该平衡时在惯性系中的速率。解释为何此处“平衡”不代表惯性系静止。 分层练习完整解析 B组解析 B1　取沿坡向下，。质心水平不动给。由，滑块分量、，所以。不要把相对速率直接当作地面速率。 B2　相对减速度为，所以、。共速为，热量。也可用初动能减去两物体末动能核对。 B3　等效惯量，驱动力，故。轻侧，重侧。张力差对应转矩，核对成立。 B4　关于固定端，。所以，。不能把杆当作全部质量集中在端点；杆的惯量系数是三分之一。 B5　最高点比最低点高，。最高点向心方向向下，，所以，保持接触。此处写成会把方向弄反。 B6　黏合后总质量，速度；，。损失。这里频率若指通常频率，则；作答时应注明使用角频率。 B7　轻放后速度仍为零，但原伸长比新平衡伸长小。故，。“轻放”不等于把物体缓慢压到新平衡点，前者会振动。 B8　，。最大压缩，相对频率，首次最大压缩。此时两物体均以向右运动。 B9　，，。摩擦方向沿坡向上，它提供让球转得更快的转矩，而非消耗机械能。 B10　纯滚动开始时间，质心位移。相对滑移则为，二者不同；热量应使用后者。 B11　。质心关系给，故车位移振幅。式中须以弧度表示，小角近似才有数值意义。 B12　，，。点火处为近地点，半长轴并非近地点与远地点距离之差的一半。 B13　总质量，碰后，动量给。初动能，碰后，故损失。保证转向角小于水平位置，绳保持正张力。 B14　。带面位移，物块位移，相对滑移。传送带上不是固定的同一段材料始终与物块接触，必须用速度差积分理解滑移。 B15　，得，此时总质量。水平动能为，是初值的一半，并非四分之一，因为质量也增加了。 B16　，最低点稳定。，所以。这里是圆环驱动角速度，是沿环小振动角频率，不是同一物理量。 C组解析 C1　由动量及能量，得到斜面动能比例： 令，比例趋于零，相对速率趋于，回到固定斜面。不能只看斜面速度趋零就完全忽略其质量，要先计算的极限。 C2　不越出要求，所以。等号表示相对速度降为零时恰达右端。理想质点模型可把它视为临界；真实有限尺寸物块还要检查支承重叠、边缘形状和倾覆条件。 C3　代入得动滑轮，即上升加速度。上升后其速率，自由端速率。能量核对：自由端下降、动滑轮负载上升，净势能减少；动能，同样得到结果。 C4　，上升势能，代入并化简： 打击中心只使这一瞬间水平外冲量为零。后续摆动铰链仍提供随时间变化的水平力，所以水平动量一般不守恒；关于固定端的重力矩也不为零，角动量同样不守恒，只有机械能守恒。 C5　把能量代入支持力，。首次时： 给定范围使且，所以脱离发生在上半圈、到脱离仍有非零速率。若用能量算零速角，其余弦更小，对应更晚角度，原接触模型已经失效。 C6　平衡点碰撞后仍在平衡点，完全不振动要求，故。这是一种迎面碰撞。碰后动能零，碰前总动能全部损失： 若碰撞位置不在平衡点，仅使总动量为零不能消除弹簧储能，仍会振动。 C7　以新平衡点向下为正，支持力为，所以分离位置。简谐能量给，因此分离速度向上，大小： 这是上行首次到该位置时的结果。分离以后频率变为托盘单独运动的值，物块走自由落体轨迹，不能把后续再接触当作同一个正弦函数的自然延续。 C8　，初相对速度。所以： 最大弹性势能。最大伸长时，两物体以共速，仅当初始总动量为零才同时静止。最大伸长与最大压缩的绝对形变量相同，理想弹簧需在整个振幅范围仍满足胡克定律。 C9　，底点向左滑，摩擦向右，故圆盘质心加速、顺时针自转减速。，所以： 纯滚动末角速度为。摩擦对平动做正功，但对转动做负功且其绝对值更大，总机械能仍减少。这说明不能根据质心加速就认定摩擦“提供了能量源”。 C10　代入、，分母，得。角速度映射。碰前动能，碰后，故保留比例。碰后能量损失不能再用恢复系数公式随意补加，否则会重复计算同一冲击损失。 C11　释放位置，底端。水平质心关系给： 摆球从右向中间摆动，小车向右移动，符号合理。这个位移关系不要求小角近似；周期近似却要求，两种结论的适用范围不可混淆。 C12　减速点为远地点。由能量，得到： 不穿入球形天体要求，即。若要求不接触表面且有安全高度，应取严格大于或把换成所需最低半径。接触大气后的阻力不在此真空模型内。 C13　令。当时，第一次负半周无交点，后续也无再碰撞。当时，第一负半周有交点，较早交点对应振子向左追上小球，发生再碰撞。此后速度需要再次按碰撞规律更新，不能继续沿首次碰后轨迹穿过彼此。 C14　物块达到所需地面位移，要求。若，出口前仍在加速，。这里长度是物块从入口到出口的地面位移；不能使用相对滑移作比较。 C15　质量，动量流方程。积分得： 若要恒速，代入得。当流入物水平速度比车快时外力向后，这个负号有明确物理意义。不能把无条件当作“阻力”。 C16　，两个稳定位置为。微振动角频率平方。惯性系中小珠随环绕竖直轴转动，速率。平衡指相对于旋转圆环的坐标恒定；惯性系仍做水平圆周运动。 公式索引与最终自检 只记结果不如记住方程来源 模型 优先保留的关系 条件或事件 可动斜面 地面光滑 初始水平动量零 木板摩擦 持续相对滑动阶段 有惯量滑轮 绳轮无滑动 铰接碰撞 是否守恒由外角冲量决定 单侧圆轨道 等号触发接触边界 碰后振动 相对于新平衡位置 内部弹簧 无外部相对驱动力 纯滚动 静止表面 还须检验摩擦 轨道飞行 固定力心 椭圆无推力段 变质量吸入 入流速度在同一惯性系 稳定性 临界二阶项为零需看高阶 完成一道综合题后的核对清单 能否清楚说出每个守恒量对应哪个系统、哪个方向、哪个阶段？是否区分对地速度、相对速度和接触点速度？是否计入所有物体的平动、转动和弹性势能？碰撞或装载后是否重设质量、惯量、平衡位置和频率？是否求了实际最早发生的事件？是否把负约束力当作失效信号而非答案？是否明确临界值能否有限时间到达？是否检查量纲、极限与数值能量账？ 对无法立即求解的新题，先找能减少未知量的结构：对称、质心、相对坐标、固定取矩点、速度比、阶段切换。这些结构比记忆模型名称更有迁移价值。 第 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $