13.3.1 第1课时 三角形的内角和（教学课件）--2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3.1 第1课时 三角形的内角和 专项练习（人教版八年级上册） 核心知识点梳理 1. 三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°。这是三角形角度计算的核心依据，适用于所有三角形，不受三角形形状、大小影响。 2. 定理推导思路：常用剪拼法、平行线推证法。通过将三角形三个内角平移拼接成一个平角，利用平角为180°的性质，证明三角形内角和为180°，初步掌握几何定理的推理证明思维。 3. 核心推论与应用：任何三角形中，最多有一个直角或一个钝角，至少有两个锐角；已知三角形两个内角度数，可直接求出第三个内角度数；可结合三角形高、角平分线等知识点，进行角度综合计算。 4. 解题易错点：计算角度时忽略内角和固定值，角度加减计算失误；综合题型中未结合三角形基本性质，导致解题逻辑漏洞。 一、基础选择题（每题4分，共32分） 1. 任意三角形的内角和为（） A. 90° B. 120° C. 180° D. 360° 2. 在△ABC中，已知∠A=50°，∠B=60°，则∠C的度数为（） A. 50° B. 60° C. 70° D. 80° 3. 一个三角形的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，若∠A:∠B:∠C=1:2:3，则该三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 下列角度组合中，能作为三角形三个内角的是（） A. 30°、40°、80° B. 50°、50°、80° C. 45°、45°、90° D. 20°、30°、120° 5. 在△ABC中，∠A=2∠B，∠C=60°，则∠A的度数为（） A. 40° B. 60° C. 80° D. 100° 6. 下列说法正确的是（） A. 三角形三个内角一定都是锐角 B. 三角形最多有一个钝角 C. 直角三角形有两个直角 D. 钝角三角形的内角和大于180° 7. 已知△ABC为锐角三角形，∠A=45°，则∠B的度数不可能是（） A. 50° B. 60° C. 80° D. 95° 8. 在△ABC中，AD是角平分线，∠B=40°，∠C=60°，则∠BAD的度数为（） A. 40° B. 50° C. 60° D. 80° 二、基础填空题（每题4分，共24分） 9. 在△ABC中，∠A=90°，∠B=35°，则∠C=________°。 10. 已知三角形两个内角分别为25°和75°，则第三个内角为________°。 11. 等腰三角形的一个内角为80°，且为顶角，则它的两个底角均为________°。 12. 若三角形三个内角度数相等，则每个内角的度数为________°。 13. 在△ABC中，∠A−∠B=10°，∠C=70°，则∠A=________°。 14. 一个三角形中，最大内角为89°，则该三角形是________三角形。 三、解答题（共44分） 15.（12分）根据已知条件，求下列三角形未知内角的度数。 （1）△ABC中，∠A=72°，∠B=38°，求∠C；（2）△ABC中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求三个内角的度数。 16.（16分）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=28°，∠C=52°，求∠BAD与∠CAD的度数。 17.（16分）在△ABC中，已知∠A=60°，∠B、∠C的平分线交于点O，求∠BOC的度数。 参考答案及详细解析 一、选择题解析 1. C 解析：三角形内角和定理为固定结论，任意三角形内角和均为180°。 2. C 解析：根据内角和定理，∠C=180°−50°−60°=70°。 3. B 解析：设三个内角为x、2x、3x，x+2x+3x=180°，解得x=30°，最大角3x=90°，为直角三角形。 4. C 解析：逐项验证内角和，A项150°、B项180°（角度组合不符合常规题型）、C项180°且符合三角形角度特征、D项170°，只有C项满足条件。 5. C 解析：由∠A+∠B+∠C=180°，2∠B+∠B+60°=180°，解得∠B=40°，∠A=80°。 6. B 解析：三角形内角和固定180°，最多一个直角或钝角，至少两个锐角。 7. D 解析：锐角三角形所有内角小于90°，95°为钝角，不符合条件。 8. A 解析：∠BAC=180°−40°−60°=80°，AD平分∠BAC，∠BAD=40°。 二、填空题解析 9. 55 解析：∠C=180°−90°−35°=55°。 10. 80 解析：180°−25°−75°=80°。 11. 50 解析：等腰三角形两底角相等，底角=(180°−80°)÷2=50°。 12. 60 解析：等边三角形三内角相等，180°÷3=60°。 13. 60 解析：∠A+∠B=110°，结合∠A−∠B=10°，解得∠A=60°。 14. 锐角 解析：最大内角小于90°，三角形为锐角三角形。 三、解答题解析 15. 解：（1）∠C=180°−72°−38°=70°；（2）设三内角为2x、3x、4x，2x+3x+4x=180°，解得x=20°，三内角分别为40°、60°、80°。 16. 解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°。在Rt△ABD中，∠BAD=180°−90°−28°=62°；在Rt△ACD中，∠CAD=180°−90°−52°=38°。 17. 解：∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°。∵BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠OBC+∠OCB=60°。∴∠BOC=180°−60°=120°。 （总字数：1322） 人教版数学（新教材）八年级上册 13.3.1 第1课时 三角形的内角和 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 三角形 素养目标 1. 探索并证明三角形的内角和定理.(重、难点) 2.三角形内角和定理及其运用.(重点) 3. 学会解决与求角度有关的实际问题. 4. 体会转化的数学思想. 素养目标 新知导入 1.一个三角形的三个内角有怎样的数量关系呢？ 在小学我们就已经知道，三角形的内角和等于180°. 2.我们是怎样得到三角形内角和是180°的？ （1）度量法 （2）剪拼法 这样的方法获得的结论可靠吗？ 3 探究新知 由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°，不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°.因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°. 4 探究新知 将三角形的任意两个内角剪下，试着拼拼看. 你有什么发现？ 5 探究新知 如图所示，∠B 和∠C 分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点 A 的直线 l，直线 l 与边BC有什么位置关系？ B B C C A l 直线 l 与边 BC 平行 你能由这个图发现证明“三角形内角和等于180°”的方法吗？ 6 探究新知 启发：过△ABC的顶点A作直线l平行于△ABC的边BC，由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论. B B C C A l 探究新知 已知：△ABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°. 证法：过点A作l∥BC， ∵ l ∥BC ， ∴∠2 = ∠4，∠3 = ∠5 （两直线平行，内错角相等） ． ∵∠1 + ∠4 + ∠5 = 180°（平角定义）， ∴∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°（等量代换）． A B C 2 4 1 5 3 　 l 即∠A+∠B+∠C=180°. 归纳总结 三角形内角和定理：　 三角形的内角和等于180° . 符号表示：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180° A B C 9 例题练习 如图，在△ABC中，∠BAC = 40°，∠B = 75°，AD是△ABC 的角平分线，求∠ADB 的度数 C B D A 解：∵∠BAC = 40°，AD是△ABC的角平分线， 在△ABD中， ∠ADB=180°- ∠B - ∠BAD =180°-75°-20°= 85° ∴∠BAD = ∠BAC =20° 例题练习 如图是A、B、C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？ 北 北 C A B D E 分析：∠ACB是△ABC的一个内角， 求∠ACB需先求 ∠CAB 、∠ABC. 例题练习 解： ∠CAB= ∠BAD - ∠CAD = 80°- 50°= 30° 由 AD//BE，得∠BAD + ∠ABE = 180° 所以∠ABE = 180°-∠BAD =180°- 80°=100° ∠ABC =∠ABE -∠CBE = 100°- 40°= 60° 在△ABC中，∠ACB = 180°-∠ABC -∠CAB = 180°- 60°- 30° = 90° 答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°. 北 北 C A B D E 1.在中， ， ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 13 返回 2．如图，在△ABC中，∠A＝50°，∠C＝72°，BD是△ABC的角平分线，则∠ABD的度数为(　　) A．28° B．29° C．30° D．32° 3．教材P13练习T2变式如图，点E，D分别在AB，AC上，若∠B＝30°，∠C＝55°，则∠1＋∠2的度数为(　　) A．85° B．80° C．75° D．70° B A 举一反三 14 4.在中， ，，则 _____. 返回 举一反三 15 探究新知 【思考】如图，在直角△ABC 中，∠C = 90°，两锐角的和等于多少？ 三角形内角和定理 ∠A +∠B +∠C = 180° ∠A + ∠B = 90° ∠C = 90° ∠A +∠B +90° = 180° A B C 归纳总结 直角三角形的性质： 直角三角形的两个锐角_____. 互余 几何语言： 在 Rt△ABC 中， ∵∠C = 90°， ∴∠A +∠B = 90°． “Rt△” A B C 17 例题练习 如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点E．比较∠CAE与∠DBE的大小． 解：在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90°- ∠AEC. 在 Rt△BDE中，∠DBE = 90°- ∠BED. ∵∠AEC =∠BED， ∴∠CAE=∠DBE. 探究新知 【思考】如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余，反之，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图，在 △ABC 中，∠A +∠B = 90°， 那么△ABC 是直角三角形吗？ 三角形内角和定理 ∠A +∠B +∠C = 180° ∠C + 90°=180° ∠A +∠B=90° ∴△ABC 是直角三角形 ∠C = 90° A B C 归纳总结 直角三角形的判定： 有两个角_____的三角形是直角三角形. 互余 几何语言： 在△ABC 中， ∵∠A +∠B=90°， ∴△ABC 是直角三角形． A B C 20 当堂练习 QING JING YIN RU 2. 在△ABC 中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则△ABC 按角分是_______三角形. 1. 在△ABC 中，∠A = 35°，∠B = 43°，则∠C = °. 3. 在△ABC 中，∠A =∠B + 10°，∠C =∠A + 10°，则 ∠A = °， ∠B = °，∠C = °. 102 直角 60 50 70 4. 如图，则∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 =______°. B A C D 4 1 3 2 E 40° （ 280 当堂练习 QING JING YIN RU 5. 如图，四边形 ABCD 中，点 E 在 BC 上，∠A +∠ADE = 180°，∠B = 78°，∠C = 60°，求∠EDC 的度数． 解：∵∠A +∠ADE = 180°， ∴ AB∥DE. ∴∠CED =∠B = 78°. 又∵∠C = 60°， ∴∠EDC = 180° - (∠CED +∠C ) = 180° - (78°+ 60°) = 42°. 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，∠A＝40°，∠B＝80°，求∠EDC，∠BDC 的度数． 解：∵∠A＝40°，∠B＝80°， ∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝60°. ∵ CD 是∠ACB 的平分线， ∴∠BCD＝ ∠ACB＝30°. ∵ DE∥BC， ∴∠EDC＝∠BCD＝30°. 在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝70°. 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，在△ABC 中，∠A＝∠B＝∠ACB，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的平分线，求∠DCE 的度数． 解：由于∠A＝∠B＝∠ACB， 故可设∠A＝x，∠B＝2x，∠ACB＝3x. ∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°， ∴ x＋2x＋3x＝180°，解得 x＝30°. ∴∠A＝30°，∠ACB＝90°. ∵ CD 是△ABC 的高，∴∠ADC＝90°. ∴∠ACD＝180°－90°－30°＝60°. ∵ CE 是∠ACB 的平分线， ∴∠ACE＝ ×90°＝45°. ∴∠DCE＝∠ACD－∠ACE＝60°－45°＝15°. 5. ［教材 探究变式］数学课上，同学们通过撕、拼 的方法，探索、验证三角形的内角和等于 .下面是小彬的课堂笔记， 请阅读操作方法，补全证明过程. 举一反三 25 如图①，的三个内角分别为，，.将和 撕下，按图 ②的方式摆拼，使和的顶点均与的顶点重合，的一边与 重合，的一边与 重合. _________________________________________________________________________________________________ 证明：由操作可知 ， 举一反三 （________________________）. 同理，， ____//____. 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， 点，， 在同一条直线上， _____ ， 即________ ______. 内错角相等，两直线平行 180 返回 举一反三 6.如图，在中， ， . （1）求 的度数； 解： ， ， . 举一反三 28 （2）若 ，交于点，求 的度数. 解：， ， . 又 ， . 返回 举一反三 29 小结 三角形的内角和等于180° 直角三角形的两个锐角互余 有两个角互余的三角形是直角三角形 三角形的内角 谢谢观看 THANKS 素养目标 $