13.3.1第2课时 直角三角形的两锐角互余 课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3.1 第2课时 直角三角形的两锐角互余 专项练习（人教版八年级上册） 核心知识点梳理 1. 直角三角形性质定理：直角三角形的两个锐角互余。即在Rt△中，两个锐角的度数和为90°，该定理由三角形内角和180°推导得出，是直角三角形角度计算的核心简便结论。 2. 直角三角形判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。可通过三角形两角和为90°，快速判定该三角形为直角三角形，无需计算第三个角度数。 3. 符号表示：直角三角形常用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，表示∠C为直角。解题时可直接利用互余性质运算，简化计算步骤，区别于普通三角形内角和计算。 4. 常见综合应用：结合三角形高、角平分线、对顶角、平角等知识点，进行复合型角度计算；熟练掌握同角或等角的余角相等，是本节课高频解题辅助结论。 一、基础选择题（每题4分，共32分） 1. 直角三角形的两个锐角之和为（） A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° 2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°，则∠B的度数为（） A. 55° B. 65° C. 45° D. 35° 3. 若一个三角形的两个内角分别为42°和48°，则这个三角形是（） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 4. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A与∠C的关系是（） A. 互补 B. 互余 C. 相等 D. 无法确定 5. 直角三角形的一个锐角为28°，则另一个锐角的度数为（） A. 62° B. 72° C. 52° D. 28° 6. 下列条件中，能判定三角形为直角三角形的是（） A. 两个锐角互补 B. 两个锐角互余 C. 三个角相等 D. 两个角相等 7. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A∶∠B=2∶3，则∠A的度数为（） A. 36° B. 54° C. 45° D. 72° 8. 已知△ABC中，∠A=52°，∠B=38°，则下列说法正确的是（） A. △ABC是锐角三角形 B. ∠C=80° C. △ABC是直角三角形 D. 无法判定形状 二、基础填空题（每题4分，共24分） 9. Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=60°，则∠B=________°。 10. 一个三角形中，两个内角互余，则第三个内角为________°。 11. 直角三角形的一个锐角是另一个锐角的2倍，则较小锐角为________°。 12. 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A−∠C=10°，则∠A=________°。 13. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，图中互余的锐角共有________对。 14. 若三角形三内角中，有一个角等于另外两个角的和，则该三角形是________三角形。 三、解答题（共44分） 15.（12分）根据条件求解各直角三角形的未知角度。 （1）Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，求∠A；（2）Rt△ABC中，∠A=90°，∠B∶∠C=1∶5，求∠B、∠C的度数。 16.（16分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，已知∠ACD=35°，求∠B和∠A的度数。 17.（16分）在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=∠DAC，求证：△ABC是直角三角形。 参考答案及详细解析 一、选择题解析 1. B 解析：直角三角形两锐角互余，和为90°，是本节课核心定理。 2. A 解析：Rt△中两锐角互余，∠B=90°−35°=55°。 3. B 解析：42°+48°=90°，两角互余，根据判定定理，该三角形为直角三角形。 4. B 解析：直角三角形剩余两个锐角必然互余，和为90°。 5. A 解析：另一个锐角=90°−28°=62°。 6. B 解析：两角互余可直接判定三角形为直角三角形，其余选项均不成立。 7. A 解析：设∠A=2x，∠B=3x，2x+3x=90°，解得x=18°，∠A=36°。 8. C 解析：∠A+∠B=90°，两角互余，可判定△ABC为直角三角形。 二、填空题解析 9. 30 解析：∠B=90°−60°=30°。 10. 90 解析：三角形内角和180°，两角和为90°，第三角必为90°。 11. 30 解析：设小锐角为x，大锐角为2x，x+2x=90°，x=30°。 12. 50 解析：∠A+∠C=90°，∠A−∠C=10°，联立解得∠A=50°。 13. 4 解析：互余锐角分别为：∠A与∠ACD、∠A与∠B、∠B与∠BCD、∠ACD与∠BCD，共4对。 14. 直角 解析：一个角等于另外两角和，该角度数为90°，为直角三角形。 三、解答题解析 15. 解：（1）∵∠C=90°，∴∠A=90°−46°=44°；（2）设∠B=x，∠C=5x，x+5x=90°，解得x=15°，∴∠B=15°，∠C=75°。 16. 解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，∴∠A+∠ACD=90°，∠A+∠B=90°。∴∠A=90°−35°=55°，∠B=90°−55°=35°。 17. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°。又∵∠B=∠DAC，∴∠DAC+∠BAD=∠BAC=90°。∴△ABC为直角三角形。 （总字数：1321） 人教版数学（新教材）八年级上册 13.3.1第2课时 直角三角形的两锐角互余 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026/9/21 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第十三章 三角形 素养目标 1.理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性质定理.（重点） 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法.（难点） 3.发展推理能力，感受从特殊到一般的思想. 素养目标 知识回顾 1. 三角形内角和定理是什么？ 三角形的内角和等于180° 2.在△ABC中，∠A=80°，∠B=52°，则∠C = . 3.在△ABC中，∠A=70°，∠B=50°，则∠C = . 60° 48° 3 新知导入 如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD. 外角 B A C D 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角. 4 探究新知 外角 B A C D E 外角 1.延长 AC 到 E，∠BCE 是不是△ABC 的一个外角？ 是 2.∠DCE 是不是△ABC 的一个外角？ 不是 三角形的外角应具备的条件: ① 角的顶点是三角形的顶点 ② 角的一边是三角形的一边 ③ 另一边是三角形中一边的延长线 5 1.［厦门调研］在一个直角三角形中，有一个锐角等于 ，则另 一个锐角的度数是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2.在中， ，，则 的 度数为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 7 返回 C 3．如图，某同学在课桌上无意中将一块三角尺叠放在直尺上，则∠1＋∠2＝(　　) A．60° B．75° C．90° D．105° 举一反三 8 练一练 F A B C D E 如图，∠BEC 是哪个三角形的外角？∠AEC 是哪个三角形的外角？∠EFD 是哪个三角形的外角？说一说图中还有外角吗？ ∠BEC 是△AEC 的外角； ∠AEC 是△BEC 的外角； ∠EFD 是△BEF 和△DCF的外角. 9 探究新知 A B C 三角形共有几个外角？ 每一个三角形都有 6 个外角． 每一个顶点相对应的外角都有 2个， 且这2个角为对顶角. 10 探究新知 如图，在△ABC 中，∠A = 70°，∠B = 60°， ∠ACD是 △ABC的一个外角，能由∠A，∠B求出∠ACD的度数吗？如果能， ∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系呢？ 60° 70° B A C D ∠ACD = 180° -∠ACB = 180° - (180°-∠A -∠B) = ∠A +∠B = 130° . ∠ACD =∠A +∠B 11 探究新知 【思考】任意一个三角形的外角与其不相邻的两个内角是否都具有这种关系？ 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 证明： ∵∠A +∠B+∠ACB=180°，∠BCD +∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD. 归纳总结 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论： 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 符号语言 ∵∠ACD 是△ABC 的外角， ∴∠ACD = ∠A +∠B. D C B A 推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据. 探究新知 由推论可知 ∠ACD =∠A+∠B D C B A ∵∠A＞0，∠B＞0， ∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B. 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角. 当堂练习 QING JING YIN RU 1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° B 2. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　） A．∠A + ∠B = ∠C B．∠A - ∠B = ∠C C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3 D．∠A = 2∠B = 3∠C D 3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°， CD⊥AB，则与∠1 互余的角有（　　） A．∠B B．∠A C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD C 当堂练习 QING JING YIN RU 6. 在△ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________. 4. 如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______. 90° 5. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°. 52 第4题图 第5题图 直角三角形 当堂练习 QING JING YIN RU 7.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形. 证明：∵∠B= ∠A=∠C， ∴∠A=2∠B，∠C=3∠B. ∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B =6∠B=180°， ∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90° ∴△ABC为直角三角形. 返回 4.［教材P练习T变式］如图，在中， ， 于点.若 ，则 的度数为_____. 举一反三 18 返回 5.已知 ， ，则 为( ) C A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.以上都有可能 举一反三 19 返回 6.［教材P练习T变式］如图， ，垂 足为，.求证： 是直角三角形. 证明：， ， . ， ， ， 是直角三角形. 举一反三 20 返回 C 7．大同期中如图，直线m∥n，Rt△ABC的顶点A在直线n上，∠C＝90°，若∠1＝25°，∠2＝70°，则∠B的度数为(　　) A．65° B．55° C．45° D．35° 举一反三 21 返回 8.下列条件：； ； ；，其中能确定 是直角三 角形的条件有( ) C A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 举一反三 22 小结 定义：三角形的一边与另外一边的延长线所组成的角 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 三角形外角和：三角形的外角和等于360° 三角形的外角 谢谢观看 THANKS $