专题1.1 集合讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.1 集合 知识点1：元素与集合 1、集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2、集合元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3、元素与集合的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 4、集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 5、常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）满足的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴，解得 不成立，即方程无解， 即方程的解构成的集合为. 知识点2：集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作． （4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，解得，所以，满足. 知识点3：集合的基本运算 （1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即． （2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 知识点4：集合的运算性质 （1），，，，． （2），，，，． （3），，． （4） 【跟踪训练】 4．（26-27高三上·全国·课后作业）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 【答案】(1) ，； (2). 【分析】（1）由集合的交并运算求集合； （2）由集合的补运算得，再由并集结果列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，， 则 ， ； （2）由题设，若 ，则 ，解得， 故的取值范围是. 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 题型一：集合的表示方法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：元素与集合间的关系 题型四：集合间的基本关系 题型五：集合的基本运算 题型六：利用集合的运算求参数 题型七：容斥原理 题型八：集合中新定义问题 题型一：集合的表示方法 1．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得，化简得， 所以或， 所以或， 所以或， 阴影部分表示的集合为，而， 所以. 2．（25-26高三下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】不小于2的所有整数构成的集合可表示为. 3．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】A 【详解】若，则，即,所以． 若，当时，，即； 当时，由及，得， 从而，即，所以． 因此，故，其元素个数为0． 4．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 【答案】 子集：， 真子集：. 【详解】， 子集：， 真子集：. 题型二：集合元素的三大特征 5．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 6．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 7．（26-27高三上·全国·课后作业）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知得：或，注意检查集合元素的互异性. 【详解】由，得，则，故， 要使，只需，若，则，不满足互异性； 若，则或（舍去）， 综上． 故选：C 8．（26-27高三上·全国·课堂例题）由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 【答案】2 【详解】当时，各个式子都为0，所组成的集合里面元素只有1个； 当时，由于， 因此，时，所组成的集合里面元素只有个； 时，所组成的集合里面元素有2个. 综上所述，所组成的集合中的元素最多有2个. 题型三：元素与集合间的关系 9．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，故选项A不正确； 因为，故选项B不正确； 因为，故选项C正确； 因为，故选项D不正确. 10．（26-27高三上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 11．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若，则，不符合题意； 若，则， 所以集合中的元素为、、、、， 故集合中的元素个数为，解得，符合题意. 综上所述，. 12．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）（多选）若集合，则实数a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－3 【答案】ACD 【分析】对分情况讨论，结合方程无实根的条件确定的范围，再判断选项. 【详解】当时，方程，即为，此时方程无解，所以； 当时，方程即为二次方程， 若，则方程无实根， 所以，解得; 综上，. 题型四：集合间的基本关系 13．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 【答案】 【详解】因为集合满足，可知集合必包含元素，可能包含元素， 则符合条件的集合个数即为集合的子集个数，即为. 14．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合中元素的特征，变形的元素表达式，结合整数性质判断集合间的包含关系. 【详解】集合，代表所有奇数构成的集合，所有奇数都可以写成的形式. 对集合中任意元素，变形得，因为，所以， 因此符合中元素的形式，即任意都有，可得，A正确； 取奇数，（时），但若，得，因此，说明， ， 取奇数，（时）且（时，），即和有公共元素，交集不为空， 因此B、C、D错误. 15．（26-27高三上·天津和平·开学考试）设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【答案】 1536 或 【分析】由写出集合，由集合中的元素个数求得中每个元素在其子集中出现的次数，从而求得的所有子集中的元素之和；讨论集合是否为空集，然后由集合的包含关系建立不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解得，即， 当时，，所以集合中有个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而， 所以的所有子集中的元素之和为. ，当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以当时，的取值范围是或. 16．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】解方程可得，因此或或或，分情况讨论即可求出的取值范围． 【详解】由方程，解得或，即， 因为，可得或或或， 当时，满足，解得， 将代入方程，可得， 此时，满足条件， 将代入，得到，上面已经验证满足条件， 综上所述，的取值范围是． 题型五：集合的基本运算 17．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意得，集合， 集合 所以. 18．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由一元二次不等式解法化简集合，再由绝对值不等式的解法化简集合，再由交集运算得出答案. 【详解】， 或， 或. 19．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 集合，， 所以，. 20．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 【答案】（1），；（2），. 【详解】（1）因为全集，集合，， 所以，故， 因为，，故； （2）因为全集，，， 所以， 因为或，故. 题型六：利用集合的运算求参数 21．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解出集合及其补集，代入得到集合，再按照交集、并集定义运算； （2）根据，分为空集和不为空集两种情况，建立不等式，讨论求解即可. 【详解】（1）已知集合， 解，即，可得或， 所以， 则． 当时，， 所以． （2）①若，即，则； ②若，则， 解得， 综上可得实数的取值范围为． 22．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 【答案】 【分析】分析可知，分类讨论的符号，结合包含关系运算求解. 【详解】因为集合，， 若，则， 对于方程，则， 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则，符合题意； 当，即时，则中有两个元素， 可知，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故答案为：. 23．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）求得集合，由分类讨论可得值； （2）由得，，求得，再求得，从而得集合，最后可得值． 【详解】（1）若，可得，因为，所以． 当，则；当，则；当，． 综上，可得实数a组成的集合为． （2）因为，， 且，，所以，，所以， 解得，解，得或，所以， 所以，所以，解得． 24．（25-26高三上·河北承德·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解二次不等式求出集合A，再由补集定义和交集定义即可计算求解； （2）先由并集结果得到，接着分和两种情况进行分析即可计算求解. 【详解】（1）因为， 所以，所以或， 当时，， 所以． （2）因为，所以， 当时，，即，符合条件； 当时，要使，则有，不等式组无解， 综上，实数的取值范围是． 题型七：容斥原理 25．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 【答案】C 【详解】设集合，， . 由题可知， ， 所以，即三项都参加的有2人，故A正确； 只参加100米的有人，故B正确； 只参加400米的有人，故C错误； 只参加1500米的有人，故D正确. 26．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 【答案】8 【分析】根据给定条件，借助韦恩图，结合容斥原理列式计算即可得. 【详解】如图，设该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有人， 则由图可得，解得， 故该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有8人. 故答案为：. 27．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 【答案】4 【分析】根据题意设参加各类活动的学生的集合，找出各类运动的人数，然后代入定义中求解即可. 【详解】设集合{参加足球队的学生}，集合{参加排球队的学生}， 集合{参加游泳队的学生}， 则，，，， ，，， 设三项都参加的有人，即， 由， 则，解得，即三项都参加的有4人. 故答案为：4. 28．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高三（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合，关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合，利用韦恩图求解. 【详解】设关注了“九章三号”的同学构成集合，关注了“可重复使用试验航天器” 的同学构成集合， 关注了“紫东太初3.0” 的同学构成集合， 由题可得，，，，，， 如图，可得 ， ，即得， 所以只关注了“紫东太初3.0”的人数为. 故选：C. 题型八：集合中新定义问题 29．（25-26高三下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算，再计算，然后根据的定义求解. 【详解】， ， 根据，所以. 30．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】D 【分析】根据定义先求，进而求解. 【详解】由题意得：，所以. 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 【答案】 2 13 【分析】根据“累积值”的定义，结合间接法与集合子集个数的求法得解即可. 【详解】（1）若，据“累积值”的定义得或，这样的集合共有2个； （2）集合的子集共有个， 其中“累积值”为奇数的子集为、、，共3个，所以“累积值”为偶数的集合共有13个． 32．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 【答案】50 【分析】解法一利用组合数的性质并分类讨论求解即可，解法二列举出具体集合，再分类讨论求解即可. 【详解】解法一：若中各含1个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含2个元素时，“互斥子集组”有个， 若中一个含1个，一个含3个元素时，“互斥子集组”有个， 若中各含2个元素时，“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 解法二：当集合中有1个元素时，有，共4种情况， 集合是由集合中去除这个元素后，剩下的3个元素组成的非空子集， 可得这样的“互斥子集组”有个， 当集合中有2个元素时，有， 共6种情况，而集合是由集合中去2个元素后， 剩下的2个元素组成的非空子集，此时“互斥子集组”有个， 当集合中有3个元素时，有，共4种情况， 而集合是由集合中去除3个元素后，剩下的1个元素组成的非空子集， 则此时“互斥子集组”有个， 综上，不同“互斥子集组”的个数是50个． 1．（2026·广东广州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，解得或， 因此集合，则. 2．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确； 故正确的个数是3. 3．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求解分式不等式得到集合，再求出集合在实数集上的补集，最后逐一判断选项中集合的关系与运算是否正确 【详解】集合： 对不等式移项通分，得，等价于，解得或，因此， 集合： 对不等式移项通分，得，等价于且，解得，因此， 所以， 选项A：不含元素，含元素，故，A错误； 选项B：中所有元素均属于，故，B正确； 选项C：集合均有元素，故，C错误； 选项D：，D错误. 4．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 5．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为集合A和B都表示奇数集，所以． 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，若，则的值不可能为（   ） A．或 B．1 C． D．0 【答案】D 【分析】根据集合的定义以及集合中元素所具有的几何意义求解． 【详解】当时，，满足，则； 当时，集合表示一条直线，集合也表示一条直线（去掉一点）， 若直线过点，则，解得或， 若两直线平行，则（），解得， 所以的可能值为. 7．（25-26高三上·甘肃庆阳·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【详解】设三个科创社团都参加的学生有人.将参加三个科创社团的人数情况画出韦恩图，如图所示. 故参加科创社团的总人数， 解得. 故选：A 8．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 【答案】C 【分析】将所有非空子集的元素乘积之和看作 展开式中除常数项 外各项之和，直接计算即可． 【详解】由乘法分配律， 展开后，每一项都对应集合 的一个子集：选择因式中的元素项表示该元素被选入子集，选择 表示该元素不被选入． 因此，包含常数项在内的展开式各项之和为 其中常数项 对应不选任何元素，而题目只统计非空子集，所以 9．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 【答案】ACD 【详解】集合是模3余1的整数， 是模3余2的整数，则，故A正确； 3的倍数既不属于集合，又不属于集合，故，故B错误； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故C正确； 对任意，，满足集合的元素特征， 则，故D正确． 10．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】ABC 【分析】根据的情况，分类讨论即可求解. 【详解】由题意得：， 当时，，故B正确； 当时，，故C正确； 当时，，故A正确； 当时，，故D错误. 11．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数，使得 B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 【答案】BCD 【详解】对于A，若，则对任意实数，恒成立，需. 又，不存在实数使得，故A错误； 对于B，当时，； ，则，故B正确； 对于C，； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，此时，不符合题意； 当时，，要使，需，即. 综上，时，的取值范围是，故C正确； 对于D，； 由，得. 当时，，此时，符合题意； 当时，，此时，符合题意； 当时，，要使，需，即,所以. 综上， ，的取值范围是，故D正确. 12．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知集合，，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】由，所以， 因此. 13．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________. 【答案】 / 【详解】集合，， 由，可得， 所以实数的取值组成的集合为. 14．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则______. 【答案】 【分析】利用集合的交集和并集的运算求出集合，结合一元二次方程根的性质求解即可. 【详解】由 且 因为，而，所以在内的部分为， 又，而，说明还必须包含， 且不能包含左侧或右侧的点，因此 所以二次不等式的解集为， 即方程的两根为和， 由韦达定理： 因此 15．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先确定集合B非空，再根据子集定义列不等式组求解m的取值范围；（2）分集合B为空集、非空集两种情况，结合子集定义分别求解后取并集得到m的取值范围. 【详解】（1）由于为非空集合，若，则必为非空集合，因此首先满足，解得， 又，所以且 ，得，结合，得实数的取值范围为. （2）若，，首先满足，即， 又，所以且，解得且，两个不等式无公共解，因此无解， 所以不存在实数，使得. 16．（2026·广东梅州·模拟预测）对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． (1)判断，和是否为完全集合（无需证明）； (2)若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； (3)设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 【答案】(1)和是完全集合，不是完全集合. (2)中的元素个数的最小值为7. (3)对于任意满足的完全集合M：完全集合必然包含元素1，否则无法表示正整数1； 集合中所有元素的和为100，因此除1之外的元素总和为99，这些元素都属于，该集合共有98个元素； 则构造49个两两不交二元组： ，，所以49个两两不交二元组为， 定义映射将每个满足条件的完全集合映射为集合，是集合的一个子集， 每个完全集合最多从每个二元组中选取1个元素，因此满足条件的的总个数不超过每个二元组选或不选1个元素的总情况数：，即. 【分析】（1）根据集合新定义，集合无法表示出正整数2，集合和均可表示所有不大于自身元素和的正整数，属于完全集合； （2）首先推导元素和的上界，再计算当时和当时是否满足最小元素个数； （3）首先推导完全集合的元素特征，确定必然包含元素1，再通过映射可以证明. 【详解】（1）集合的元素和为，可表示出不大于7的所有正整数，满足完全集合定义；同理，集合的元素和为，无法表示出正整数2，不满足完全集合定义；集合的元素和为，可表示出不大于12的所有正整数，满足完全集合定义. （2）设完全集合的元素从小到大依次为，由完全集合定义得： 要能表示1，必须满足，此时可表示的最大连续和为1； 为了能连续表示，故前个元素的和，因此， 当时，，不符合要求； 当时，取，，且满足完全集合定义，所以中的元素个数的最小值为7. （3）略. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.1 集合 知识点1：元素与集合 1、集合的含义与表示 某些指定对象的部分或全体构成一个集合．构成集合的元素除了常见的数、点等数学对象外，还可以是其他对象． 2、集合元素的特征 （1）确定性：集合中的元素必须是确定的，任何一个对象都能明确判断出它是否为该集合中的元素． （2）互异性：集合中任何两个元素都是互不相同的，即相同元素在同一个集合中不能重复出现． （3）无序性：集合与其组成元素的顺序无关． 3、元素与集合的关系 元素与集合之间的关系包括属于(记作)和不属于(记作)两种． 4、集合的常用表示法 集合的常用表示法有列举法、描述法、图示法(韦恩图)． （1）列举法 把集合的元素一一列举出来，并用花括号括起来. （2）描述法 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 5、常用数集的表示 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 或 【跟踪训练】 1．（26-27高三上·河北沧州·开学考试）满足的实数构成的集合为（   ） A． B． C． D． 知识点2：集合间的基本关系 （1）子集：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集 ，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）. （2）真子集：对于两个集合与，若，且存在，但，则集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于 ”或“真包含 ”. （3）相等：对于两个集合与，如果，同时，那么集合与相等，记作． （4）空集：把不含任何元素的集合叫做空集，记作；是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集. 【跟踪训练】 2．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，，则（     ） A． B． C． D． 知识点3：集合的基本运算 （1）交集：由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合，叫做与的交集，记作，即． （2）并集：由所有属于集合或属于集合的元素组成的集合，叫做与的并集，记作，即． （3）补集：对于一个集合，由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集，简称为集合的补集，记作，即． 【跟踪训练】 3．（26-27高三上·全国·课后作业）已知全集，集合，则集合（    ） A． B． C． D． 知识点4：集合的运算性质 （1），，，，． （2），，，，． （3），，． （4） 【跟踪训练】 4．（26-27高三上·全国·课后作业）设全集，集合，. (1)当时，求，； (2)若 ，求实数的取值范围. 【常用结论】 （1）若有限集中有个元素，则的子集有个，真子集有个，非空子集有个，非空真子集有个． （2）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． （3）． （4）,． 题型一：集合的表示方法 题型二：集合元素的三大特征 题型三：元素与集合间的关系 题型四：集合间的基本关系 题型五：集合的基本运算 题型六：利用集合的运算求参数 题型七：容斥原理 题型八：集合中新定义问题 题型一：集合的表示方法 1．（2026·广东广州·三模）已知集合，则如图所示的阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·湖南永州·期中）不小于2的所有整数构成的集合可表示为（    ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·广东揭阳·开学考试）设，，则的元素个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 4．（26-27高三上·河南新乡·阶段检测）已知集合，请写出集合的子集及其真子集. 题型二：集合元素的三大特征 5．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 7．（26-27高三上·全国·课后作业）已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（26-27高三上·全国·课堂例题）由实数所组成的集合里面元素最多有________个. 题型三：元素与集合间的关系 9．（26-27高三上·全国·课后作业）设集合，则（ ） A． B． C． D． 10．（26-27高三上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 11．（26-27高三上·河南南阳·开学考试）若集合内的元素个数为，则（    ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·河北衡水·开学考试）（多选）若集合，则实数a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．－1 D．－3 题型四：集合间的基本关系 13．（26-27高三上·山西临汾·阶段检测）已知集合满足，则符合条件的集合有__________个． 14．（2026·四川遂宁·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 15．（26-27高三上·天津和平·开学考试）设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 16．（26-27高三上·北京西城·阶段检测）已知集合，，若，求实数的取值范围是______． 题型五：集合的基本运算 17．（26-27高三上·广东深圳·阶段检测）已知集合 ，则 （   ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 19．（26-27高三上·陕西商洛·开学考试）设全集，集合，，则（    ） A． B． C． D． 20．（25-26高三上·四川广安·阶段检测）（1）已知全集，集合，，求：和； （2）设全集，，，求、. 题型六：利用集合的运算求参数 21．（25-26高三上·四川泸州·阶段检测）已知集合，集合． (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 22．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知集合，求实数的取值范围__________． 23．（25-26高三上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，，且. (1)若，求实数组成的集合； (2)若，求，的值. 24．（25-26高三上·河北承德·期末）已知集合． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型七：容斥原理 25．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）某校“五一田径运动会”上，共有12名同学参加100米、400米、1500米三个项目，其中有8人参加“100米比赛”，有7人参加“400米比赛”，有5人参加“1500米比赛”，“100米和400米”都参加的有4人，“100米和1500米”都参加的有3人，“400米和1500米”都参加的有3人，则下列说法错误的是（    ） A．三项比赛都参加的有2人 B．只参加100米比赛的有3人 C．只参加400米比赛的有3人 D．只参加1500米比赛的有1人 26．（25-26高三上·江苏无锡·期中）已知某班有50名同学，据统计发现同学们喜欢的奥运比赛项目都集中在乒乓球、跳水、射击这三个，其中有13名同学只喜欢乒乓球比赛，10名同学只喜欢跳水比赛，8名同学只喜欢射击比赛，同时喜欢乒乓球与跳水比赛的同学有13名，同时喜欢乒乓球与射击比赛的同学有12名，同时喜欢跳水与射击比赛的同学有10名，则该班同时喜欢乒乓球、跳水、射击比赛的同学有___________人． 27．（25-26高三上·山西晋中·阶段检测）我们把含有有限个元素的集合A叫做有限集，用表示有限集合A中元素的个数.例如，，则.容斥原理告诉我们，如果被计数的事物有A，B，C三类，那么，某校初一四班学生46人，寒假全都参加体育训练，其中足球队25人，排球队22人，游泳队24人，足球排球都参加的有12人，足球游泳都参加的有9人，排球游泳都参加的有8人，问：三项都参加的人数为____. 28．（25-26高三上·河北沧州·阶段检测）“量子计算机原型机‘九章三号’”“可重复使用试验航天器”“新一代人工智能大模型‘紫东太初3.0’”是2025年我国三大前沿科技成果，某校高三（1）班共有28名同学，每名同学至少关注一项科技成果，其中有15人关注了“九章三号”，有8人关注了“可重复使用试验航天器”，有14人关注了“紫东太初3.0”，有3人同时关注了“九章三号”和“可重复使用试验航天器”，有3人同时关注了“九章三号”和“紫东太初3.0”，没有人同时关注这三大科技成果.则只关注了“紫东太初3.0”的人数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 题型八：集合中新定义问题 29．（25-26高三下·河北邢台·阶段检测）定义一种运算：.设集合，，则（    ） A． B． C． D． 30．（2026·辽宁·三模）定义集合运算：，设集合，，则集合的所有元素之和为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 31．（25-26高三·全国·一轮复习）已知集合，，集合中所有元素的乘积称为集合的“累积值”，且规定：当集合只有一个元素时，其累积值即为该元素的数值，空集的累积值为0．设集合的累积值为． （1）若，则这样的集合共有________个； （2）若为偶数，则这样的集合共有________个． 32．（2026·福建漳州·三模）已知是集合的非空子集，若，则称是集合的“互斥子集组”，并规定与为不同的“互斥子集组”．集合的不同“互斥子集组”的个数是___________．（用数字作答） 1．（2026·广东广州·模拟预测）集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（26-27高三上·贵州遵义·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·陕西渭南·阶段检测）已知集合，，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（26-27高三上·黑龙江·开学考试）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·广东深圳·开学考试）已知集合，，若，则的值不可能为（   ） A．或 B．1 C． D．0 7．（25-26高三上·甘肃庆阳·期中）某班50名学生参加三个科创社团：机器人社、编程社、航模社，其中参加机器人社的有30人，参加编程社的有20人，参加航模社的有30人，同时参加机器人社和编程社的有10人，同时参加机器人社和航模社的有15人，同时参加编程社和航模社的有13人，则三个科创社团都参加的学生人数为（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 8．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）集合有5个元素，设的所有非空子集为，每一个中所有元素的乘积记为.则（    ） A．0 B．1 C．-1 D．2 9．（25-26高三上·湖南·阶段检测）（多选）设集合，，则（    ） A． B． C．若集合，则 D．若集合，则 10．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）（多选）已知，均不为0，记的所有可能取值组成的集合为，则中的元素为（    ） A． B．0 C．2 D．4 11．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）（多选）已知集合，，则下列结论正确的是（    ） A．存在实数，使得 B．若，则 C．若，则的取值范围是 D．若，则的取值范围是 12．（26-27高三上·上海徐汇·开学考试）已知集合，，则________． 13．（26-27高三上·宁夏银川·阶段检测）设集合，，且，则实数的值组成的集合为_____________. 14．（26-27高三上·河南安阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为，集合，且，，则______. 15．（26-27高三上·宁夏银川·开学考试）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 16．（2026·广东梅州·模拟预测）对于由个正整数组成的集合，记为集合中所有元素的和． 定义：若对任意不大于的正整数，都存在的子集，满足，则称集合为“完全集合”． (1)判断，和是否为完全集合（无需证明）； (2)若是完全集合，且，求中的元素个数的最小值； (3)设所有满足的完全集合的个数为，证明：． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $