甘肃天水市麦积区部分校2027届高三上学期诊断考试（一）数学试题

高三诊断考试 数学参考答案 1.C2.B3.A4.D5.B6.D7.C8.C9.ABD 10.ABC 11.ACD 6 12.[0,+o13.714.3 15.(1)证明：取BC的中点F,连接EF,AF.… …1分 在△PBC中，E,F分别为PB,BC的中点，所以EFIIPC 因为EF￠平面PCD,PCC平面PCD,所以EF∥平面PCD. …2分 又AD∥BC,AD=CF=1,所以四边形AFCD是平行四边形，所以AFIICD 因为AF丈平面PCD,CDC平面PCD,所以AF∥平面PCD. …3分 因为EF∩AF=F,EFc平面AEF,AFc平面AEF,所以平面AEF∥平面PCD.4分 因为AEC平面AEF,所以AE∥平面PCD, …5分 (2)解：连接DF,以D为坐标原点，DA,DF,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系，则4〔L.0,0）,Bv5,0）,F0,v5.0,P00,V) 6分 AB=(0,5,0).AP=(10,5.BF=(1,5,).BF=(←1,00) ，…7分 E D B 设平面PAB的法向量为元=(x,,名). 元·AB=3y=0, 则风P=-+5=0,取=V5,则元=(5,0，】 …9分 元·BP=-x2-V5y2+V3z2=0, 设平面PBC的法向量为元=（化，少，2），则元·BF=-x=0, 取=1，则元2=(01,1) …1l分 设平面PAB与平面PBC所成的角为B, cos8=os(元，元》= i_1V2 历m,2√24 sin0=14 4 14 所以二面角A-PB-C的正弦值为4 13分 [注]第(1)问另证如下： 取PC的中点G,连接EG,DG(图略).…1分 在△PBC中，E,G分别为PB,PC的中点，所以EG/BC. EG=IBC=1=AD 2 ·因为ADIIBC 所以AD/EG,所以四边形ADGE为平行四边形，AEDG …3分 因为AE丈平面PCD,DGC平面PCD,所以AE∥平面PCD.5分 16.解：(1)设甲组在三个项目中得胜的事件依次为A,B,C, 甲组得分比乙组得分高的概率P=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)+P(ABC) …4分 =0.5×0.4×0.3+0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.35 。…6分 (2)X的可能取值为30,40,50,60.… …7分 P(X=30)=0.5×0.6×0.7=0.21 ……8分 P(X=50)=0.5×0.4×0.3+0.5×0.6×0.3+0.5×0.4×0.7=0.29 …10分 P(X=60)=0.5×0.4×0.3=0.06 …11分 P(X=40)=1-P(X=30)-P(X=50)-P(X=60)=0.44 …13分 X的分布列为 X 30 40 50 60 P 0.21 0.44 0.29 0.06 E(X)=30×0.21+40×0.44+50×0.29+60×0.06=42 …15分 a sin(C+B) sin A sin A 17,(1)证明：因为bsin(C-B)）,所以sin B sin(C-B …3分 因为sinA≠0，所以sin(C-B)=sinB …4分 所以C-B=B或C-B+B=元（舍去），所以C=2B. … 6分 (2)解：在△ABC中，作BC边上的高AD(图略)· 1 因为△ABC的面积为2 5:AD-22=重.所以4DE4 …8分 设BD=x,则CD=I1-x tanB=AD 4 tanC= AD 4 BD x, CD11-x..... …10分 2tan B tan C=tan 2B= 1-tan2 B....... …12分 4 2x4 11-x 2 x=- 所以 化简得3x2-22x-16=0,解得x=8(3舍去).…14分 CD=11-x=3,AC=AD2+CD2=5,b=5 .…15分 圆M的圆心为M(2,0）,半径r=1.…1分 FN的最大值为 2舍去)，…3分 所以抛物线C的方程为少=x】 …4分 (2)(i)因为AB⊥PM,直线AB的斜率为1，所以直线PM的斜率为-1，…5分 所以直线PM的方程为y=-x+2: …6分 y=-x+2, x=1,∫x=4, 由=x得=1或=-2，所P,)或P(4,-2)】 …8分 (i)记AB与PM交于点E. PB PE BE BE-IPB-MB PB Rt△PBE∽Rt△PMB PMPB MB PM PMPM S=PEBE- (PM-BM)_(PM-月 △PAB的面积 PMPMPM PM PM .…12分 rlw-6-或854-（医.z3 =±6 2时， 等号成立4分 S=x-1)月 ()-1) 7 =PMYz4则 x，令函数 则 )上单调递增，…16分 35 35 14,所以△PAB面积的最小值为14· 17分 19.(1)解：当a=l时，f()=sinx+x2,f(0)=0 …1分 f(x)=cosx+2x f(0)=1 2分 由线”=f()在点(0，/(0》处的切线方程为y=x …4分 (2)证明：∫'(x)=cosx+2ax 令函数8(x)=/'(),则8(x)=-sinx+2a>0,所以8()=∫()是增函数 ，…5分 …6分 所以存在 …7分 所以当x∈(-o,)时，f'()<0,当x∈(，to)时，f'()>0, 所以f(:)在(0，)上单调递减，在（任，+切）上单调递增。 …8分 fd2西m5+m6osm+m42晚 因为 所以 …10分 因为函数 )2 1>-1x1+1=31 4in+sin6+40>4a×424a1602.…1分 -X- 所以 （3)证明：令m()=f(x+)-f(x>0）,则m()=f'(+）-f'()=g(+)-g().13分 因为1>0，所以x+1>x>0.因为8()在(0，+0)上单调递增，所以8(x+)>8(:),则 m(x)=g(x+t)-g(x)>0,m(x)在(0，+)上单调递增 .…15分 因为5>0，所以m(6)>m(0),即f(+)-f(6)>f0-f(0）.…16分 因为f(0)=0,所以f(6+)>f(s)+f() …17分 高三诊断考试数学 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则 A． B． C． D． 2．复数的实部为 A． B． C． D． 3．若，则 A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，，则 A． B． C． D． 5．在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要的时间，其中为常数．在此条件下，训练个单位的数据量所需要的时间是训练个单位的数据量所需要的时间的 A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．8倍 6．已知平行直线，分别过点和，则这两条直线之间的距离的最大值为 A． B． C． D． 7．某科研院校培育新品种西瓜，抽取新培育的西瓜10个，称出各西瓜的质量（单位：）如下：4.8，4.9，4.9，5.0，5.0，5.0，5.0，5.1，5.1，5.2．这10个西瓜中，质量在以平均数为中心，1倍标准差范围内的有 A．4个 B．6个 C．8个 D．10个 8．四棱台的各顶点都在球的球面上，其上、下底面分别是边长为和的正方形，高为3，则球的体积为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的部分图象如图所示，则 A． B．的图象关于点中心对称 C．函数的图象可以由的图象向左平移个单位长度得到 D．函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到 10．已知是定义在上的奇函数，且当时，，则 A． B．的值域为 C．当时， D．的解集为 11．已知为坐标原点，椭圆：的右焦点为，，为上两点， 且关于原点对称，，分别为线段，的中点，下列结论正确的是 A．的取值范围为 B．若，则直线的斜率为0 C．若，则的离心率的取值范围为 D．若，则，，，四点共圆 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．函数的值域为 ▲ ． 13．已知点在双曲线：上，则点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积为 ▲ ． 14．已知有穷整数数列共有项．若对任意的，在中存在，使得，则的最小值为 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 如图，在四棱锥中，平面，，，，． （1）若为的中点，证明：平面． （2）求二面角的正弦值． 16．（15分） 甲组与乙组进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目决出胜组、负组，胜组得20分，负组得10分．已知甲组在三个项目中得胜的概率依次为0.5，0.4，0.3，各项目的比赛结果相互独立． （1）求甲组得分比乙组得分高的概率； （2）用表示甲组的总得分，求的分布列与期望． 17．（15分） 在中，角，，的对边分别为，，，． （1）证明：． （2）若为钝角，，的面积为22，求． 18．（17分） 已知是抛物线：的焦点，是圆：上的动点， 的最大值为． （1）求抛物线的方程． （2）过抛物线上一点作圆的两条切线，，切点分别为，． （ⅰ）若直线的斜率为1，求点的坐标； （ⅱ）求面积的最小值． 19．（17分） 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）证明：． （3）证明：对任意的，，有． 学科网（北京）股份有限公司 $