第30章直线与圆的位置关系单元测试卷 2026-2027学年人教版数学九年级上册

第三十章《直线与圆的位置关系》单元模拟卷 满分：120分　　考试时间：120分钟 注意事项： 1．本试卷共三大题、23小题，满分120分．考试时长120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 4．填空题请直接将结果填写在横线上；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1.的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是（　　） A. 相交　　　B. 相切　　　C. 相离　　　D. 无法确定 2.（2026湖北·改编） 如图，PA是的切线，切点为A，PO交于点B（O在P、B之间），连接AB．若，则的度数为（　　） A.B.C.D. 3．（2026·河南）团扇始于汉代，盛于唐宋，寓意“团圆友善”．劳动课上，小红想在自己制作的团扇边缘选一段弧进行装饰．如图，已知扇面边缘为⊙O，扇柄所在直线经过圆心，她过扇柄端点作，分别与⊙O相切于点，，得到．若⊙O的半径为，，则小红想要装饰的的长为（  ） A． B． C． D． 4.（2026河北·改编） 在平面直角坐标系中，的圆心为原点，半径为3．若直线y=x+b与相交，则b的取值范围是（　　） A.B.C.D. 5.已知的半径为4，点P在外且OP=8，PA切于点A，则PA的长为（　　） A. 4　　　B.C.D. 6.在中，，AC=3，BC=4，以点C为圆心、2为半径作，则与斜边AB所在直线的位置关系是（　　） A. 相交　　　B. 相切　　　C. 相离　　　D. 无法确定 7.从外一点P引两条切线PA、PB，切点分别为A、B，且．点C是上与O分别在弦AB两侧的一点，则的度数为（　　） A.B.C.D. 8.正六边形ABCDEF内接于半径为2的，则该正六边形的周长为（　　） A. 6　　　B. 12　　　C.D. 24 9.已知的半径为2，圆心O到直线l的距离d是方程的一个根，则直线l与的位置关系是（　　） A. 相交　　　B. 相切　　　C. 相切或相离　　　D. 相交或相切 10.在中，，点I是的内心，则的度数为（　　） A.B.C.D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11.的半径为3，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与的位置关系是________． 12.已知的半径为5，PA切于点A，且OP=13，则切线长PA=_____. 13.（2026四川甘孜·改编） 如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，PO=4，，则切线长PA=_____． 14.直角三角形的两条直角边长分别为3和4，则该直角三角形内切圆的半径为_____． 15.正方形ABCD的边长为4，以该正方形的中心为圆心作圆，使圆与正方形的四条边都相切，则该圆的面积为______．（结果保留） 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16.(本小题8分） 在中，，AC=6，BC=8． （1）求点C到斜边AB的距离；（3分） （2）以点C为圆心、r=4为半径作，判断与直线AB的位置关系，并说明理由；（3分） （3）若与直线AB相切，求半径r的值．（2分） 17.（2026广东·改编）（本小题8分） 如图，点A在上，直线l经过点A，且于点A．在l上取一点P，使AP=6，连接OP． （1）求证：l是的切线；（3分） （2）若的半径为4，求OP的长．（5分） 18.（2026山东·改编）（本小题8分） 如图，在中，AB=AC，以AB为直径的交BC于点D，交AC于点E．过点D作于点F． （1）求证：DF是的切线；（4分） （2）若AB=AC=10，BC=12，求的半径及DF的长．（4分） 19.（本小题8分） 如图，的内切圆分别与BC、CA、AB相切于点D、E、F． （1）若，连接OE、OF，求的度数，并求的度数；（4分） （2）若AB=10，AC=8，BC=12，求AF、BD的长．（4分） 20.（2026河南·改编）（本小题10分） 如图，的半径为10 cm，PA、PB分别与相切于A、B两点，．由射线PA、PB及弧AB围成的区域（图中阴影）为团扇扇面． （1）求弧AB的长；（5分） （2）求扇面（阴影部分）的面积．（5分） 21.（2026湖北·改编）（本小题10分） 如图，PA、PB是的切线，切点分别为A、B，PO交AB于点C，交于点D．若PA=6，． （1）求的半径；（5分） （2）求弦AB的长．（5分） 22.（2026四川眉山·改编）（本小题11分） 如图，AB是的直径，C、D是上的两点，连接AC、AD、CD．过点C作直线CE，交AD的延长线于点E，且． （1）求证：CE是的切线；（5分） （2）若的半径为5，，过点D作于点F，求DF的长．（6分） 23.（2026江西·改编）（本小题12分） 如图，AB是的直径，C是上的一点（不与A、B重合），过点C作的切线l，交AB的延长线于点D． （1）若，求的度数；（4分） （2）若AB=10，AD=13，求CD的长；（4分） （3）在（1）的条件下，过点A作于点E，连接DE．探究线段AE与AD的数量关系，并说明理由．（4分） 答案与解析 一、选择题 1.【答案】A 【考查知识点】直线与圆位置关系的判定（d与r比较）． 【解题步骤】d=3<r=5，直线与圆相交． 【易错说明】牢记：d<r 相交，d=r 相切，d>r 相离． 2.【答案】B 【考查知识点】切线性质（切线过切点的半径）、圆周角定理． 【解题步骤】PA切于A，则，．又，故．O在P、B之间，所以．是弧AO所对的圆周角，． 【易错说明】易把误算成；注意O在P、B之间，与互补． 3.【答案】 B 【考查知识点】切线的性质，弧长公式． 【解题步骤】解：连接，如图所示： ∵，分别与相切于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵⊙O的半径为， ∴的长为：． 4.【答案】A 【考查知识点】直线与圆位置关系、点到直线的距离（面积法）． 【解题步骤】直线y=x+b与两坐标轴的交点为(0,b)、(-b,0)，它与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，两直角边均为|b|． 用面积法求圆心O到该直线的距离d：三角形面积，又， 故，解得． 相交需 d<3，即→→． 【易错说明】点到直线距离用"等面积法"求（直角三角形面积的两种表达），勿使用高中点线距离公式；相切取等号，相交为严格不等号，D选项含等号不选． 5.【答案】B 【考查知识点】切线性质与勾股定理． 【解题步骤】连接OA，则，．中，OA=4，OP=8，． 【易错说明】切线长、半径、圆外点到圆心的连线构成直角三角形；勿把OP当直角边． 6.【答案】C 【考查知识点】点到直线的距离（等面积法）、直线与圆位置关系． 【解题步骤】斜边．设C到AB的距离为h，由等面积法：，得． 半径r=2<2.4=d(C,AB)，故与直线AB相离． 【易错说明】判定依据是"圆心到直线的距离"与半径比较，距离用面积法求；勿误用CB=4作距离． 7.【答案】B 【考查知识点】切线长定理相关对称性（）、圆周角定理、圆内接四边形对角互补． 【解题步骤】连接OA、OB，则、，四边形AOBP中． C与O在弦AB两侧，故C在劣弧AB上，所对的是优弧AB，其度数，． （另法：优弧上任一点C′对′，C与C′为圆内接四边形对角，．） 【易错说明】本题若C在优弧上答，在劣弧上答，审题看"C与O在弦AB两侧"即C在劣弧上，勿漏讨论． 8.【答案】B 【考查知识点】正六边形与圆的关系（30.3）：边长等于外接圆半径． 【解题步骤】正六边形每边所对圆心角，且两半径夹角的三角形是等边三角形，故边长=半径=2，周长． 【易错说明】"正六边形边长等于外接圆半径"的依据是等边三角形判定，勿死记而不会证． 9.【答案】C 【考查知识点】一元二次方程求解、直线与圆位置关系（分类讨论）． 【解题步骤】解得x=2或x=3，故d=2或3． d=2=r → 相切；d=3>r=2 → 相离．故位置关系为相切或相离，选C． 【易错说明】方程有两个根，对应两种位置关系，易只取一根而漏解． 10.【答案】C 【考查知识点】内心的定义（内切圆圆心、三条角平分线交点）、三角形内角和． 【解题步骤】I是内心，则BI、CI分别平分、， ， ． 【易错说明】内心是角平分线交点，勿与外心（垂直平分线交点）混淆；一般地，可作了解． 二、填空题 11.【答案】相切 【考查知识点】直线与圆位置关系判定． 【解题步骤】d=3=r，直线与圆相切（直线是圆的切线）． 【易错说明】d=r 是"相切"的充要条件，勿与"相离"混淆． 12.【答案】12 【考查知识点】切线性质、勾股定理． 【解题步骤】连接OA，．中，． 【易错说明】常考勾股数5-12-13，勿把13当作切线长． 13.【答案】 【考查知识点】切线性质、等腰三角形"三线合一"、含角的直角三角形． 【解题步骤】PA、PB为切线，，，OP平分，． 中，，角所对直角边（角所对直角边等于斜边的一半）， ． 【易错说明】勿把当成；先用"对边为斜边一半"求OA，再用勾股求PA，勿引入三角函数记号． 14.【答案】1 【考查知识点】直角三角形内切圆半径公式 r=(a+b-c)/2（两直角边之和减斜边的一半）． 【解题步骤】斜边． 方法一（面积法）：，解得r=1． 方法二（切线长定理+公式）：直角三角形内切圆半径r=(a+b-c)/2=(3+4-5)/2=1． 【易错说明】面积法周长对任意三角形都适用，是通用方法，勿死记公式而不会推导；勿把r误算成斜边的一半（那是外接圆半径）． 15.【答案】 【考查知识点】正方形与内切圆（切线性质）． 【解题步骤】圆与正方形四边相切，圆心到各边距离等于半径r．正方形中心到边距离=边长的一半=2，故r=2，． 【易错说明】勿把对角线一半（）当半径；半径是"中心到边的距离"而非"到顶点的距离"． 三、解答题 16.【答案】（1）；（2）相离；（3）． 【考查知识点】勾股定理、等面积法求距离、直线与圆位置关系的判定． 【解题步骤】 （1）．设C到AB的距离为h，由等面积法：，得． （2）圆心C到直线AB的距离，故与直线AB相离． （3）相切时d=r，即． 【易错说明】距离用"两倍面积相等"求，勿直接取短直角边；判定时要比较的是"圆心到直线的距离"与半径． 17.【答案】（1）略；（2）． 【考查知识点】切线判定（经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线）、勾股定理． 【解题步骤】 （1）∵OA是的半径，直线l经过点A且于A，∴l是的切线（经过半径外端且垂直于这条半径）． （2）由（1），中，OA=4，AP=6，． 【易错说明】切线判定须同时满足"过半径外端"与"垂直"，缺一不可；OP计算勿漏化简． 18.【答案】（1）略；（2）半径r=5，（或4.8）． 【考查知识点】切线判定、等腰三角形三线合一、三角形中位线、面积法． 【解题步骤】 （1）连接OD．∵AB是直径，D在上，∴，即．又AB=AC，故AD是等腰底边BC上的中线，D为BC中点．O为AB中点，在中OD为中位线，∴．又，∴．OD为半径且D在圆上，故DF是的切线． （2）半径 r=AB/2=5．BC=12，D为中点，DC=6；中．面积法：·DC··AC·DF →→． 【易错说明】易忽略"AB=AC"才使D为中点；求DF用面积法比勾股更简便，注意等式方向． 19.【答案】（1），；（2）AF=3，BD=7． 【考查知识点】切线性质（切线过切点半径）、四边形内角和、圆周角定理、切线长定理． 【解题步骤】 （1）连接OE、OF．∵、（切线性质），四边形AEOF中． 是弧FE所对的圆周角，D与A分居弦FE的两侧，故所对的弧是靠近A一侧、不含D的弧FE，其圆心角为， ∴． （2）由切线长定理：AF=AE，BF=BD，CD=CE． 设AF=AE=x，则BF=AB-AF=10-x，CE=AC-AE=8-x，BC=BD+CD=BF+CE=(10-x)+(8-x)=18-2x=12， 解得x=3，故AF=3，BD=BF=10-3=7． 【易错说明】第（1）问由"四边形内角和"得，是同弧所对圆周角、取其一半得，注意D与A分居弦FE两侧，勿取成相关的钝角；第（2）问只设一个未知数x=AF即可，切勿三个切线长各设各的． 20.【答案】（1）弧；（2）扇面面积（）． 【考查知识点】切线性质、弧长公式、扇形面积、含角的直角三角形、等面积法． 【解题步骤】 （1）连接OA、OB，则、，OP平分，，中，圆心角． 弧（cm）． （2）中，角所对直角边→ OP=2OA=20，， ，两三角形面积和为． 扇形AOB（）面积． 扇面（阴影）=两直角三角形面积和-扇形面积（）． 【易错说明】阴影是"切线与弧围成"的区域，应为两直角三角形之和减去扇形，易误加扇形；求PA用"对边为斜边一半+勾股"，勿引入三角函数记号． 21.【答案】（1）半径；（2）AB=6． 【考查知识点】切线长定理相关对称性、含角的直角三角形、勾股定理． 【解题步骤】 （1）PA切于A，，（OP平分）． 中，，设OA=r，则角所对直角边，即OP=2r． 由勾股定理：→→，，即半径为． （2）由对称性（切线长定理），OP垂直平分弦AB于C． 中，，，角所对直角边，故AB=2AC=6． 【易错说明】PO平分且垂直平分AB是"切线对称性"的关键；直接来自"角所对直角边为斜边一半"，勿再用等三角函数记号． 22.【答案】（1）证明见下；（2）． 【考查知识点】切线判定（证垂直）、圆周角与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形． 【解题步骤】 （1）连接OC、OD． ∵是弧CD所对的圆周角，∴（同弧的圆心角等于圆周角的2倍）． ∵OC=OD（半径），∴． ∴，即． 又OC是半径、C在上，∴CE是的切线． （2）由（1），OC=OD=5，有一个角是的等腰三角形是等边三角形， ∴是等边三角形，CD=OC=5，，（已知）． 于F，在中，， 角所对直角边． 【易错说明】第（1）问标准路径是"圆周角→圆心角→等腰三角形底角→角的和差凑出"，全程不使用弦切角定理（人教版初中教材未编排该定理）；第（2）问先证等边得CD=5，再用"对边为斜边一半"得DF，勿用等记号． 23.【答案】（1）；（2）；（3）． 【考查知识点】切线性质、等腰三角形、圆心角与圆周角、勾股定理、含角的直角三角形． 【解题步骤】 （1）连接OC．∵OA=OC（半径），∴，∴，（A、O、B共线）． ∵DC切于C，∴，． D在AB的延长线上，， 在中：． （2）AB=10 → 半径R=OC=5，OD=AD-OA=13-5=8． 中，． （3）于E，D在l上，故为直角三角形（）． 由（1），角所对直角边AE为斜边AD的一半，即． 【易错说明】第（1）问必须用"连半径证垂直+等腰三角形底角"求角，人教版初中教材没有弦切角定理，勿用"弦切角等于所夹弧对的圆周角"作答；第（2）问OD=AD-OA=8而非13；第（3）问中角是，所对直角边是AE，勿取成． 学科网（北京）股份有限公司 $