江苏省南通市海安市2026-2027学年高三上学期开学数学试题

数学参考答案与评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1～4 CBAD 5～8 BBCD 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9．ACD 10．ABD 11．AB 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．4 13． 14．22，40 四、解答题：本题共5小题，共77分． 15．解：（1）依题意，在中，． 由正弦定理得，． 3分 因为， 所以． 6分 （2）由，，得．设，则． 在中，由余弦定理得， ． 9分 在中，由余弦定理得， ． 11分 因为，所以，解得， 所以． 13分 16．解：（1）满足“每类至少选修1门”的选法总数为． 2分 恰好选修1门体育类、3门艺术类的选法数为． 4分 所以甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率． 答：甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率为． 6分 （2）满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余3门体育类、4门艺术类共7门中选3门，且至少选1门艺术类．”的选法总数为． 8分 依题意，的可能取值为1，2，3． 9分 则， ， ． 12分 所以． 答：甲同学剩余三门课中艺术类选修课门数的数学期望为． 15分 17．证明：（1）连接与交于点，连接． 易知为的中点，又因为为的中点， 所以为的中位线，所以． 2分 又因为平面，平面， 所以平面． 4分 （2）因为是二面角的平面角， 所以，． 又因为，，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 7分 在中，，，， 由余弦定理得． 所以，得． 又因为，，平面， 所以平面． 10分 （3）以为原点，为轴，为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系． 则，，． 设，则，． 所以，． 设平面的法向量为， 所以 令，得，，所以． 12分 又因为， 所以点到平面的距离为． 15分 18．解：（1）依题意，函数的定义域为． 因为， 所以为上的奇函数． 3分 若，则必有． 又，故函数的所有零点之和为0． 6分 （2）令． 7分 则，，． 因为，所以在上恒成立，故在上单调递增，有，故在上单调递增，有，故在上单调递增，有， 所以，． 10分 （3）依题意，．因为，又由（2）可得，． 所以，，有． 14分 当时，， 令，则， 故在恒成立， 所以在上递减，故． 所以的取值范围是． 17分 19．解：（1）当时，，解得； 当时，，解得， 所以． 3分 （2）必要性：，则． 因为是偶函数，则，所以． 所以是对称集． 5分 充分性：，记． 由，则，又是对称集， 所以，从而． 7分 记， 由，则，又是对称集， 所以，从而． 9分 所以． 所以是偶函数． 11分 （3）是偶函数，证明如下： 设，假设，不妨设． 因为函数的值域为， 所以存在，使得． 从而． 14分 因此，所以． 则有． 又， 所以． 因此，所以． 则有，这与矛盾， 故假设不成立，即有， 所以是偶函数． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．满足的整数的个数是 A．4 B．5 C．6 D．7 2．已知复数，则在复平面内对应的点所在象限是 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知集合，，则 A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程是 A． B． C． D． 5．在以下四个区间中，函数的零点所在的区间是 A． B． C． D． 6．某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是 A． B． C． D． 7．已知函数，不等式的解集为 A． B． C． D． 8．设函数．若满足对任意的，都存在唯一实数使得，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设，，表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．，，可能交于一点 10．设二次函数满足：，且，则 A． B． C． D． 11．已知定义域为的函数不恒为0，，且，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知二项式的展开式中，的系数为24，则________． 13．据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍．设该期间月度投资额的月均增长率为，则________． 14．设集合，函数同时满足条件：①当时，；当时，；②，；③，则________，所有符合题设的函数的个数是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平面凸四边形中，，，与相交于点，． （1）若，求； （2）若，，求． 16．（15分） 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，甲同学从这8门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修1门． （1）甲同学恰好选修1门体育类选修课的概率； （2）在已知甲同学首选1门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数的数学期望． 17．（15分） 如图，在三棱柱中，为的中点，，二面角的平面角的大小为． （1）证明：平面； （2）证明：平面； （3）求点到平面的距离． 18．（17分） 已知，函数． （1）求函数的所有零点之和； （2）证明：，； （3），，求的取值范围． 19．（17分） 已知函数的定义域和值域均为．对于，定义集合． （1）若求； （2）若，总有，则称是对称集．证明：“是偶函数”的充要条件是“，是对称集”； （3）设，函数的定义域和值域均为，非空点集满足，总有，判断并证明的奇偶性． 学科网（北京）股份有限公司 $