第四单元圆(讲义)-2026-2027学年六年级数学上册人教版

第四单元圆(讲义) 2026-2027学年六年级数学上册人教版 思维导图 · 知识点归纳 · 经典例题 · 课堂练习 — 学好圆,把握"一个核心,三种关系" — 【一、思维导图】 本单元以"圆"为核心,围绕圆的"认识 → 测量 → 计算 → 应用"展开学习。下面是本单元的思维导图: 【二、知识点归纳】 ▶ (一)圆的认识 ▶ 1. 圆的定义及基本概念 • 圆心(O):圆中心的一点,决定圆的位置。 • 半径(r):从圆心到圆上任意一点的距离,所有半径都相等。决定圆的大小。 • 直径(d):通过圆心,两端都在圆上的线段,所有直径都相等。 • 直径与半径的关系:在同一圆(或等圆)中,d = 2r,r = d ÷ 2。 • 圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴,圆有无数条对称轴。 ▶ 2. 用圆规画圆的方法 步骤:①定圆心(用图钉固定);②定半径(两脚张开距离为r);③旋转一周。 口诀:"针尖固定,两脚张开,旋转成圆"。 ▶ 3. 圆的特征及性质 • 同一圆内,半径无数条且都相等。 • 同一圆内,直径无数条且都相等。 • 直径是圆内最长的线段。 • 圆的位置由圆心决定,圆的大小由半径(直径)决定。 • 等圆的半径相等;同一个圆的半径都相等。 ▶ (二)圆的周长 ▶ 1. 圆周率 π • 定义:任意一个圆的周长与它的直径的比值,是一个固定的数,叫作圆周率,用字母 π 表示。 • 取值:π ≈ 3.14159265…,是一个无限不循环小数。 • 在实际计算中,一般取 π ≈ 3.14。 • 我国古代数学家祖冲之,早在1400多年前就精确计算出 π 在3.1415926和3.1415927之间。 ▶ 2. 圆的周长公式 C = πd 或 C = 2πr 推导思路:把圆剪开、拉直,得到一个近似的长方形;长方形的长是圆周长的一半,宽是圆的半径。 半圆周长 = πr + 2r(注意:半圆周长 ≠ πr,而是弧长加直径) ▶ (三)圆的面积 ▶ 1. 圆的面积公式 S = πr² 推导方法(化圆为方):把圆等分成若干份,拼成一个近似的长方形。长方形的长是圆周长的一半(πr),宽是半径(r),所以面积 = πr × r = πr²。 ▶ 2. 已知直径求面积 S = π(d ÷ 2)² = πd² ÷ 4 ▶ 3. 已知周长求面积 步骤:① 先求 r = C ÷ π ÷ 2;② 再求 S = πr²。 ▶ 4. 常见图形面积公式对比 图形 面积公式 字母公式 长方形 长 × 宽 S = ab 正方形 边长 × 边长 S = a² 平行四边形 底 × 高 S = ah 三角形 底 × 高 ÷ 2 S = ah ÷ 2 ▶ (四)扇形 ▶ 1. 弧与扇形 • 弧:圆上任意两点之间的部分叫作弧,弧是圆的一部分。 • 扇形:由两条半径和弧所围成的图形叫作扇形。 • 圆心角:顶点在圆心的角。扇形的大小由圆心角决定。 ▶ 2. 扇形面积公式 S扇 = (n ÷ 360) × πr² 其中 n 为圆心角的度数。 重要结论:在同一个圆中,扇形的面积与圆心角的度数成正比。 ▶ (五)环形面积 定义:两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作环形(圆环)。 S环 = πR² - πr² = π(R² - r²) 其中 R 为外圆半径,r 为内圆半径(R > r)。 ▶ (六)解决问题 • 已知圆的半径或直径,求周长和面积。 • 已知圆的周长,先求半径,再求面积。 • 求组合图形(圆与三角形、长方形等组合)的面积,常用"割补法"。 • 求环形(外圆半径R,内圆半径r)的面积。 • 求扇形面积:已知半径和圆心角。 • 滚铁环、压路机压过地面面积等实际应用问题(用周长或面积解决)。 【三、精典例题】 ▶ 例题1 [圆的认识] 一个圆形花坛,它的直径是 8 米,它的半径是多少米?沿着它的边缘走一圈,大约走多少米?(结果保留整数) 分析:本题考查"直径与半径的关系"及"圆的周长公式"。 【解】 半径:r = d ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4 (米) 走一圈的长度即圆的周长: C = πd = 3.14 × 8 = 25.12 ≈ 25 (米) 答:半径是 4 米,沿边缘走一圈大约走 25 米。 ▶ 例题2 [圆的周长] 一辆自行车轮胎的外直径约 70 厘米,如果每分钟转 100 圈,这辆自行车 1 小时能行多少米?(结果保留整数) 分析:本题考查"圆的周长"在生活中的应用,关键在于"周长 × 圈数 = 路程"。 【解】 先求轮胎的周长: C = πd = 3.14 × 70 = 219.8 (厘米) = 2.198 (米) 再求每分钟走的路程: 219.8 厘米 × 100 = 21980 厘米 = 219.8 米 最后求 1 小时(60分钟)的路程: 219.8 × 60 = 13188 (米) ≈ 13188 (米) 答:这辆自行车 1 小时大约能行 13188 米。 ▶ 例题3 [圆的面积] 一个圆形草坪,半径是 5 米。这个草坪的面积是多少平方米? 分析:直接运用公式 S = πr² 计算。 【解】 S = πr² = 3.14 × 5² = 3.14 × 25 = 78.5 (平方米) 答:这个草坪的面积是 78.5 平方米。 ▶ 例题4 [已知周长求面积] 一个圆形鱼池的周长是 25.12 米,这个鱼池的占地面积是多少平方米? 分析:已知周长求面积,需先由 C = 2πr 求出 r,再代入 S = πr²。 【解】 由 C = 2πr 得: r = C ÷ (2π) = 25.12 ÷ (2 × 3.14) = 25.12 ÷ 6.28 = 4 (米) S = πr² = 3.14 × 4² = 3.14 × 16 = 50.24 (平方米) 答:这个鱼池的占地面积是 50.24 平方米。 ▶ 例题5 [扇形面积] 一个圆形蛋糕的半径是 10 厘米,小明切下一块圆心角为 90° 的扇形,这块扇形的面积是多少平方厘米? 分析:扇形面积 = 圆心角度数占 360° 的几分之几 × 圆的面积。 【解】 S扇 = (n ÷ 360) × πr² = (90 ÷ 360) × 3.14 × 10² = (1/4) × 3.14 × 100 = 78.5 (平方厘米) 答:这块扇形的面积是 78.5 平方厘米。 ▶ 例题6 [环形面积] 一个环形铁片,外圆半径是 8 厘米,内圆半径是 5 厘米,这个环形铁片的面积是多少平方厘米? 分析:直接运用公式 S环 = π(R² - r²)。 【解】 S环 = π(R² - r²) = 3.14 × (8² - 5²) = 3.14 × (64 - 25) = 3.14 × 39 = 122.46 (平方厘米) 答:这个环形铁片的面积是 122.46 平方厘米。 ▶ 例题7 [组合图形] 如图,在一个边长为 4 厘米的正方形内画一个最大的圆,求阴影部分(正方形内圆外部分)的面积。 分析:阴影面积 = 正方形面积 - 圆的面积。最大圆的直径 = 正方形的边长。 【解】 正方形面积: 4 × 4 = 16 (平方厘米) 最大圆的半径: 4 ÷ 2 = 2 (厘米) 圆的面积: 3.14 × 2² = 12.56 (平方厘米) 阴影面积: 16 - 12.56 = 3.44 (平方厘米) 答:阴影部分的面积是 3.44 平方厘米。 【四、课堂练习】 同学们,学完本单元,请完成以下练习,检验自己的学习效果吧! ▶ 【基础过关】 1. 在同一个圆里,所有的半径都( ),所有的直径都( ),直径是半径的( )。 2. 一个圆的半径是 6 dm,直径是( )dm,周长是( )dm,面积是( )dm²。 3. 一个圆的周长是 18.84 m,它的直径是( )m,半径是( )m,面积是( )m²。 4. 一根绳子长 12.56 m,围成一个圆,这个圆的直径是( )m,面积是( )m²。 5. 把一个圆平均分成若干份,拼成一个近似的长方形,长方形的长相当于圆的( ),长方形的宽相当于圆的( )。 ▶ 【应用提升】 6. 一个圆形花坛,周长是 50.24 米。这个花坛的占地面积是多少平方米? 7. 一个半圆形零件,半径是 4 cm。它的周长是多少厘米?面积是多少平方厘米? 8. 一台压路机的前轮直径是 1.2 m,轮宽 1.5 m。如果它每分钟转 20 圈,1 小时压过的路面面积是多少平方米? 9. 一个圆形钟表的分针长 10 cm,从 12 时走到 3 时,分针针尖走过的路程是多少厘米?(提示:分针走了整圆的 1/4) 10. 一个扇形的半径是 6 cm,圆心角是 60°,这个扇形的面积是多少平方厘米? ▶ 【拓展挑战】 11. 一个环形铁片,外圆半径是 12 cm,内圆半径是 8 cm。这个环形铁片的面积是多少平方厘米? 12. 一个正方形的边长是 10 cm,在它内部画一个最大的圆,剩下部分的面积是多少平方厘米? 13. 在一个直径是 10 米的圆形水池周围,修一条宽 2 米的环形小路,小路的面积是多少平方米? 14. 一块长方形草地的长是 12 m,宽是 8 m,中间有一条 2 m 宽的十字形小路(如图),草地的面积是多少平方米? 15. 一根铁丝可以围成一个半径是 6 cm 的圆。如果把它围成正方形,正方形的面积是多少平方厘米?(结果保留两位小数) 【五、参考答案】 ▶ 【基础过关】 1. 相等;相等;2 倍 2. 直径:12 dm;周长:37.68 dm;面积:113.04 dm² 3. 直径:6 m;半径:3 m;面积:28.26 m² 4. 直径:4 m;面积:12.56 m² 5. 周长的一半(πr);半径(r) ▶ 【应用提升】 6. 解:r = 50.24 ÷ 3.14 ÷ 2 = 8(米),S = 3.14 × 8² = 200.96(平方米)。 答:花坛占地 200.96 平方米。 7. 解:半圆周长 = πr + 2r = 3.14 × 4 + 2 × 4 = 12.56 + 8 = 20.56(厘米); 半圆面积 = πr² ÷ 2 = 3.14 × 16 ÷ 2 = 25.12(平方厘米)。 答:周长 20.56 厘米,面积 25.12 平方厘米。 8. 解:前轮周长 = 3.14 × 1.2 = 3.768(m);每分钟压面积 = 3.768 × 1.5 × 20 = 113.04(m²); 1 小时压面积 = 113.04 × 60 = 6782.4(m²)。 答:1 小时压过路面 6782.4 平方米。 9. 解:分针走了整圆的 1/4,路程 = 2πr × 1/4 = 2 × 3.14 × 10 ÷ 4 = 15.7(cm)。 答:针尖走过 15.7 厘米。 10. 解:S扇 = (60/360) × 3.14 × 6² = (1/6) × 113.04 = 18.84(平方厘米)。 答:扇形面积 18.84 平方厘米。 ▶ 【拓展挑战】 11. 解:S环 = 3.14 × (12² - 8²) = 3.14 × (144 - 64) = 3.14 × 80 = 251.2(平方厘米)。 答:环形面积 251.2 平方厘米。 12. 解:正方形面积 = 10 × 10 = 100(平方厘米); 最大圆面积 = 3.14 × 5² = 78.5(平方厘米); 剩下面积 = 100 - 78.5 = 21.5(平方厘米)。 答:剩下部分的面积是 21.5 平方厘米。 13. 解:外圆半径 = 10 ÷ 2 + 2 = 7(米); 小路面积 = 3.14 × 7² - 3.14 × 5² = 3.14 × (49 - 25) = 3.14 × 24 = 75.36(平方米)。 答:小路的面积是 75.36 平方米。 14. 解:平移法 — 把两条小路平移到边上, 草地实际面积 = (12 - 2) × (8 - 2) = 10 × 6 = 60(平方米)。 答:草地的面积是 60 平方米。 15. 解:铁丝长 = 圆周长 = 2 × 3.14 × 6 = 37.68(cm); 正方形边长 = 37.68 ÷ 4 = 9.42(cm); 正方形面积 = 9.42² ≈ 88.74(平方厘米)。 答:正方形面积约为 88.74 平方厘米。 学科网（北京）股份有限公司 $