3.1 二次根式的概念及性质课时1课件2026-2027学年湘教版数学八年级上册

3.1 二次根式的概念及性质 课时1 二次根式的概念及性质 3.什么数有算术平方根? 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 1.什么叫做平方根? 一般地，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根. 2.什么叫做算术平方根? 如果x2=a(x≥0),那么x称为a的算术平方根.用 表示. 探究1：二次根式的概念及有意义的条件 活动1：思考并完成下列问题. (1) 2，3，5的算术平方根分别是怎样表示的? (2) 用运载火箭发射航天飞船时，火箭必须达到一定的速度 (称为第一宇宙速度)，才能克服地球的引力，将飞船送入环地球运行的轨道，第一宇宙速度 v 与地球半径 R 之间存在如下关系：v² = gR，其中 g 为重力加速度. 若已知地球的半径 R，则第一宇宙速度 v 是多少？(用带有根号的式子表示). 因为速度一定大于 0，所以第一宇宙速度 v＝. (3) 比较 (1)(2) 的结果，它们在表达形式上有什么共同特征？ 与 都是形如 的式子. v＝. 一般地，形如 的式子叫作二次根式，根号下的数叫作被开方数. 注意：由于在实数范围内，负实数没有平方根，因此，只有当被开方数是非负实数时，二次根式才在实数范围内有意义. 根号 被开方数 × × × × 判断下面各式中哪些是二次根式？ √ √ √ √ 被开方数是否为非负数 二次根式 不是二次根式 是 是 否 否 方法提炼 是否含二次根号 活动2：请解答下列问题，尝试归纳二次根式有意义的条件. (1) 当 x 是怎样的实数时, 在实数范围内有意义? (2) 当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 解：(1)由 x-1≥0，得x≥1. 当 x≥1 时，在实数范围内有意义. (2)因为3 + x≥0，所以 x≥-3. 因为x - 1≠0，所以 x≠1. 所以当 x≥-3 且 x≠1时， 在实数范围内有意义. (1)单个二次根式：如 有意义的条件：A≥0； (2)二次根式作为分式的分母：如 有意义的条件： A＞0； (3)二次根式与分式的和：如 有意义的条件：A≥0且B≠0. 二次根式有意义的条件 若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 . x ≥0且x≠2 此类题要注意结合二次根式的概念和分式的意义，即被开方数大于等于0且分母不等于0这两个条件，列不等式(组)求解． 方法提炼 思考： 是哪个非负实数的平方根？等于什么？ 对于非负实数a，由于是a的一个平方根，因此 即一个非负数的算术平方根的平方等于它本身. 计算： （1） （2） 解：（1）=5 （2）==22×=4×2=8 探究2：二次根式的性质 活动：根据算术平方根的意义填空，再分别观察这些式子，尝试用式子表示出你发现的规律. (1) ＝ ； (2) ＝ ； (3) ＝ ； (4) ＝ . 2 1.2 2 1.2 由(1)(2)可知，当 a≥0 时，根据算术平方根的意义，有 = a，由此得出： = a ( a≥0). 由(3)(4)可知，当 a＜0 时，，根据算术平方根的意义，可以得到： = = －a ( a＜0). 一般地，根据算术平方根的意义，有 特别注意： 与()2既有联系又有区别，()2是先开方后平方，a不能为负数；是先平方后开方，a能取任意实数. 只有当a≥0时，才有()2＝＝a. a (a≥0)， a (a＜0). 即任意一个实数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值. 例1 计算： (1) ； (2) . 解：(1) ＝|3－π|＝π－3. (2) ＝||＝. 二次根式 二次根式的概念 二次根式的表示 二次根式有意义的条件 被开方数≥0 → 性质 应用 1. 已知下列各式：，，，， ，， , ,其中二次根式有( ). C A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 2.若式子 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( ). A．x≥0　　　　　　 B．x＞0　　　　　　 C．x＜0　　　　　　 D．x为全体实数 D 随堂小练 3.当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ （1） ； （2） ； （3） 解：(1)由题意得-a≥0， ∴a≤0 . ∴当a≤0时， 在实数范围内有意义. (2)由题意得5-a＞0， ∴a＜5 . ∴当a＜5时， 在实数范围内有意义. (3)由题意得x+3≥0，x-1≠0， ∴x≥-3，x≠1. ∴当x≥-3且x≠1时， 在 实数范围内有意义. （2）原式= （3）因为a2 ≥0，所以 解：（1）原式= （1） ； （2） ； （3） . 4.计算： 5.若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值. 解：根据题意得 所以 x = 1. 因为 y＜ ， 所以 y＜ 所以 . $