16.3.1 平方差公式 课件 2026-2027学年人教版八年级数学上册

16.3乘法公式 16.3.1 平方差公式 R · 八年级上册 1 学 习 目 标 【 1. 掌握平方差公式的推导及应用. 2. 了解平方差公式的几何意义，体会 数形结合的思想方法. 从前有一个狡猾的地主， 他把一块边长x 米的正方形的 土地租给老张种植。有一天， 他对老张说：“我把这块地的 一边减少5米，另一边增加5 米，继续租给你，你也没有吃 亏，你看如何?”老张答应了。 你认为老张吃亏了吗? 情境导入 探究新知 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律? (1)|(x+1(x-1)= x²-1 x²-1 (2)(m+2(m-2)= m²-4 ; m²-22 (3)(2m+1(2m= 1= 4m²-1 .(2m)²-1 都是形如a+b 的多项式 与 a-b 的多项式相乘 猜想：(a+b)(a-b)=a²-b² 运算结果都是这两 个数的平方的差 证明一：利用多项式乘多项式的法则 . (á+ba-b)= a² (-b²) = a²-b² a²-b² (a- b)(a+b)=a²-b² 拼成的长方形面积： (a-b(a+b) 证明二：利用几何图形. 纸片剩余面积： 两个数的和与这两个数的差的积 ，等 于这两数的平方差 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q) 中 p=a, q=-b 的特殊情形. (a- b)(a+b)=a²-b² 平方差公式： 注意用谁减谁 等号左边的两个二项式中的每一项 有什么联系? (a- b)(a+b)=a²-b² 相同项为a 相反项为b,-b 结构特征：(相同项)²-(相反项)² (a+b)(a-b) a b a²-b² (1+x)(1-x) 工 x 1²-x²=1-x² (-3+a)(-3-a) -3 a (-3)²-a²=9-a² (1+a)(-1+a) a 1 a² -1²=a²-1 (0.3x-1)(1+0.3x) 0.3x 1 (0.3x)²-1²=0.09x ²-1 练习 填一填： 例1 运用平方差公式计算： (1(3x+2(3x-2; (2)(-x+2y)(-x-2y). 分析：(1) a= 3x ,b= 2 (2)a= —x ,b= 2y 解：(1)(3 x+2)(3x-2) (2)(-x+2y)(-x-2y) =(3x)²-2² =(-x)²-(2y)² = 9x²-4 =x²-4y² 如作为因式的二项式的首项是负号， 可连符号一起作为一项，也可以把一 个因式里的两项颠倒位置观察思考. 练习 计算： (1)(5+a)(-5+a);(2)(-2x²-y)(-2x²+y); (3) 解： (1) 原式=a²-5²=a²-25 (2) 原式=(-2x²)²-y ²=4x⁴-y² (3) 原式= (2)(y+2)(y-2)-(y-1(y+5 (2(y+2(y-2)-(y-1(y+5) =y²-2²-(y²+4y-5) =y²-4-y²-4y+5 =-4y+1 例2 计算：(1 (x-1)(x+1)(x²+1); 解：(1) (x-1(x+1(x²+1)=(x²-1(x²+1)=x⁴-1 只有符合公式条 件的乘法，才能运 用公式简化运算， 其余的运算仍按乘 法法则进行. ); 能用平方差 公式计算吗? (3)102×98. (3)102×98 =(100+2)(100-2) =100²—2² =10000—4 = 9996 通过合理变形， 利用平方差公式， 可以简化运算. 变化形式 举例 ①位置变化 (a+b)(-b+a)= a²-b² ②符号变化 (- a-b)(a-b)=b²-a² ③系数变化 (2a+b)(2a-b)= 4a²-b² ④指数变化 (a²+b²)(a²-b²)= a⁴-b⁴ ⑤增项变化 (a+b+c)(a-b+c)=(a+c)²-b² ⑥连用公式 (a+b)(a-b)(a²+b²)= a⁴-b⁴ 平方差公式的变形举例： 练习 计算： (1)(a-1(a+1(a²+1(a⁴+1; 解：(1)原式=(a²-1(a²+1(a⁴+1) =(a⁴-1)(a⁴+1)=a⁸-1 (2)201×199; (2)原式=(200+1)(200-1) =200²-1²=40000-1=39999 (3)(9x-2y)(x+y)-(-3x+y)(-3x-y). (3)原式=9x²+9xy-2xy-2y²-(9x²-y²) =9x²+9xy-2xy-2y²-9x²+y² =7xy- y² 1.下列算式不能运用平方差公式计算的是 ( C) A.(x+a)(x-a) B.(x+a)(-a+x) C.(a+b)(-a-b) D.(-x-b)(x-b) 随堂练习 【教材P113练习第1题】 2.下面的计算是否正确?如果不正确，应当怎样改正? (1)(x+2)(x-2)=x²- X 原式= x²-2²=x²-4 (2)(-a-2)(a-2)=a²X4; 原式=(-2)²- a²=4-a² (3)(x+2y)(-x-2y)=x²-²; 原式=x·(-x)+x·(-2y)+2y·(-x)+2y-(-2y) =-x²-2xy-2xy-4y²=-x²-4xy-4y² (4)(3a+4b)(3a-4b)=9a²-4. 原式=(3a)²-(4b)²=9a²-16b² 3.计算：【教材P114 练习第2题】 (1)(a+3b)(a-3b); (2)(3+2a)(-3+2a); 解：(1) (a+3b)(a-3b)=a²-(3b)²=a²-9b² (2)(3+2a)(-3+2a)=(2a)²-3²=4a²-9 (3)(xy+1(x²y²+1(xy-1; (3)(xy+1(x²y²+1(xy-1) =(xy+1)(xy-1)(x²y²+1)=[(xy)²-1²](x²y²+1) =(x²y²-1(x²y²+1)=(x²y²)²-1²=x⁴y⁴-1 (4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2; (4)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2) =(3x)²-4²-(6x²-4x+9x-6) =9x²-16-6x²-5x+6 =3x²-5x-10 4.运用平方差公式计算：【教材P114练习第3题】 (1)51×49; 解：(1)51×49=(50+1)(50-1)=50²-1² =2500-1 =2499 (2)200 199 200 200 24 25 D39999 25 4 一 S 一 S 两个数的和与这两个数的差的积 ，等 于这两数的平方差 平方差公式： (a- b)(a+b)=a²- b² 课堂小结 平方差公式 整式的乘法 特殊情形 回想一下，这 节课你学到了哪些 知识?和大家一起 分享说一说! 今天你学会了 什么? 让学生以小组为 单位，交流学习 心得，派出代表 进行汇报 总结回顾 评价反思 你有什么 感想? 课后作业 1. 基础型作业：梳理本节课知识点。 2. 发展型作业：完成本课时练习。 同学们，这节课你们表现得都非常棒 。在以后的学习中，请相信你们是存在着 巨大的潜力的，发挥想象力让我们的生活 更精彩吧。 总结点评反思 谢 谢 观 看 $