25.2.2 公式法 课件2026--2027学年人教版九年级数学上册

2026-2027学年人教版数学九年级上册 第25章 一 元二次方程 25 . 2 . 2公式法 问题 上节课，我们学习了用配方法解数字系数的一元二次方程，请 同学们回顾一下配方法的具体步骤. 适用于任意 配方 开方 求解 一个一元二 次方程. 二次项系数 化为1 任意一个一元二次 方程都能用配方法 求解吗? 新课导入 移项 问题 运用配方法确实能求解任意一个一元二次方程，但每解一个 方程，都要重复一遍配方的步骤，十分繁琐.我们知道，任何一 个一元二次方程都能化成一般形式 ax²+bx+c=0(a≠0), 那么, 能不能对这个带字母系数的一般形式进行配方，直接推导出通用 结果? 新课导入 新知探究 问 题 配方法解方程：ax²+bx+c=0(a≠0). 分析：移项 → 二次项系数化为1 → 配方 → 开方 → 求解 . 解 ：移项，得ax²+b x=— c. 两边同时加上一次项 数一半的平方 二次项系 配方时，方程两边应该 同时加上怎样的常数? 如何开平方? 配方，得 亢 新知探究 问题 方程① 如何开平方? 因为a≠ 0, 所以4a²>0. b²—4ac 的值有三种情况. ( 1 ) 当b2²-4ac>0 时。 ,由①得 方程有两个不相等的实数根 新知探究 问 题 方程① 如何开平方? 因为a≠0, 所以4a²>0. b²—4ac 的值有三种情况. ( 2 ) 当b²-4ac=0 时 ， ,由①可知， 方程有两个相等的实数根 方程是否有解取决于 b²—4ac 的符号 如何开平方? 因为a≠0, 所以4a²>0. ( 3 ) 当b²-4ac <0 时 ， 由①可知 问 题 方 程 ① 成立，因此方程无实数根. 而 x 取任何实数都不能使 b²— 4ac 的值有三种情况. 新知探究 新知 式子b²—4ac 可以判别一元二次方程的根的情况， 因此把它叫作一元二次方程ax²+bx+c=0 的根的判别 (1)若一元二次方程存在实数根，则需同时具备两个 条件：①二次项系数a≠ 0;②△≥0. (2)判别式只能用于判断一元二次方程根的情况. 式 ，通常用希腊字母“△”表示，即△= b²—4ac. 新知探究 归纳 一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0) 实数根的情况. (1) 当 △ > 0 时 ，方 程 ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个不相等的 实数根； (2)当△=0时，方程 ax²+bx+c=0(a≠0) 有两个相等的实 数根； (3) 当△<0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0) 无实数根. 新知探究 (1)当△=b²—4ac>0时 ， (2)当△=b²—4ac=0时， 当 △≥0时， 新知探究 问题 解一个具体的一元二次方程时，把各系数代入求根公式，可 以直接得出方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法. 新 知 当△≥0时，方程ax²+bx+c=0(a≠0) 的实数根可写为 的形式，我们把这个式子叫作一元二次方程ax²+bx+c=0 的 求根公式. 新知探究 练习 用公式法解本章章引言中列出的一元二次方程x²+5x—25=0. 解：因为a=1,b=5,c=- 25,所 以 △=b²—4ac=5²—4×1× ( 一25)=125>0 . x表示雕像腰部以下的身长， 只有x₁≈3.09符合实际意义. 这两个根都符合问题的实际意义吗? 新知探究 即 例 用公式法解下列方程： (1)x²—4x-7=0; (2)2x²—2√2x+1=0; 解： (1)因为a=1,b=-4,c=-7, 所 以 △=b²—4ac=(—4)²—4×1×(-7)=44>0. 方程有两个不相等的实数根 即x₁=2+√ 11, x₂=2- √ 11. 例题精讲 例 用公式法解下列方程： (1)x²—4x-7=0; (2)2x²—2√2x+1=0; 解：(2)因为a=2,b=-2√2,c=1, 所以 △=b²—4ac=(一2√2)²—4×2×1=0. 方程有两个相等的实数根 例题精讲 例 用公式法解下列方程： (3)5x²—3x=x+1; (4)x²+17=8x. 解 ： (3)方程化为5x²—4x-1=0, 此时a=5,b=-4,c = -1, 所 以 △=b²—4ac=(—4)²—4×5×(-1)=36>0. 方程有两个不相等的实数根 例题精讲 即 x₁=1, 例 用公式法解下列方程： (3)5x²—3x=x+1; (4)x²+17=8x. 解： (4)方程化为x²—8x+17=0, 此时a= 1,b =—8, c=17, 所以 △=b²—4ac=(—8)²—4×1×17=-4<0. 方程无实数根. 例题精讲 归纳 用公式法解一元二次方程的一般步骤 (1)先把方程化为一般形式ax²+bx+c=0(a≠0); (2) 确定a,b,c 的值(注意符号); (3) 计算△=b²—4ac的值，判断方程根的情况； (4)当△≥0时，把a,b,c 的值代入一元二次方程 的求根公式，求得方程的根；当4<0时，方程无实数根. 简记为：一化、二定、三算、四求. --- 例题精讲 课堂练习 1. 用公式法解下列方程： (1)x²+x—6=0; (2) 解： (1)因为a=1,b=1, c=—6, 所 以 △=b²—4ac=1²—4×1×(—6)=25>0. 方程有两个不相等的实数根 即x₁=2, x₂=-3. 1. 用公式法解下列方程： (1)x²+x—6=0; 9 课堂练习 即 1. 用公式法解下列方程： (3)3x²—6x+4=0; (4)2x²—3x=0; 解： (3)因为a=3,b=—6,c=4, 所 以 △=b²—4ac=(—6)²—4×3×4=-12<0. 方程无实数根. 课堂练习 1. 用公式法解下列方程： (3)3x²—6x+4=0; (4)2x²—3x=0; 解： (4)因为a=2,b=-3,c=0, 所 以 △=b²—4ac=(—3)²—4×2×0=9>0. 方程有两个不相等的实数根. 课堂练习 即 1. 用公式法解下列方程： (5)x²+4x+8=4x+11; (6)x(2x—4)=5—8x. 解： (5)方程化为x²—3=0, 此时a=1,b=0,c=-3, 所以△=b²—4ac=0²—4×1×(—3)=12>0. 方程有两个不相等的实数根 即x=√ 3, x₂=— √3. 课堂练习 1. 用公式法解下列方程： (5)x²+4x+8=4x+11; (6)x(2x—4)=5—8x. 解： (6)方程化为2x²+4x—5=0, 此时a=2,b=4, c=- 5, 所以△= b²—4ac=4²—4×2×(一5)=56>0. 方程有两个不相等的实数根 课堂练习 即 △>0时，方程有两个不相等的实数根 △=0时，方程有两个相等的实数根 △<0 时，方程无实数根 求根公式 二二次±12-4 一化、二定、三算、四求 公式法解一 元二次方程 根的判别式 △=b²—4ac 解方程的步骤 课堂小结 | 谢 谢 $