培优专题01 投影与视图核心综合专题（专项训练）数学新教材湘教版九年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 培优专题01投影与视图核心综合专题 常考题型精准突破 。考点一投影●— ◆题型1投影相关概念辨析 1.B 2.c 3.C 4.中心 5.平行 ◆题型2投影作图 1. 【答案】(1)解：所求图形，如图所示： B G D H (2)解：由题意可得ED⊥CH,GF⊥CH, ..EDGF, .aGFH∽aPDH, FG FH .DP DH' 设小亮的影子长为m,即FH=xm,则DH=DF+FH=x+13(m), 1.2x 12x+13 1/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 解得x13 , 1 经检验，x= 9是该方程的解。 13 答：小亮影子的长度为gm 2. 【详解】解：(1)2x2-3x+1=0 x231 x+=0 2 2 x23x1 2x=-2, x2-3x+91,9 一X十一=- 216216 3 1 x =土 424 1 x=1x=2: (2)①如图，CD即为所求： ②如图，点P,线段EF即为所求. 太阳光线 D 木杆 图1 图2 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3. (1如图，点P即为路灯灯泡的位置. (2)如图，CN即为小明在路面的影子 D A M (3)在RtAOMP和R△AMB中， ∠MOP=∠BAM, ∠OMP=∠AMB ∴.△OMPAAMB, AB AM 可得OP0M' :OPOM:4B12.5x18=9m) AM 2.5 答：路灯灯泡P到地面的距离是9m, 4. ) 如图，分别连接CA、DE并延长，交于点P,则点P即为所求。 M N (2) 如图，连接PO并延长交地面于点N,连接MN,则线段MW即为所求. 3/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D T ◆题型3投影实际应用 1.A 2.B 3.A,B,G,E 4.0<ys2.5 5. 【答案】 从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨， 王芹 杨雨 P 根据题意画出盲区即可判断出答案， ●考点二三视图● ◆题型1已知几何体识别三视图 1.A 2.A 3.B 4.主视图 俯视图 左视图 5.(1)左视图 (2)俯视图 (3)主视图 ◆题型2根据三视图还原几何体 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.C 2.C 3.A 4.圆柱 5.圆锥 ◆题型3小正方体堆叠视图计数（最多、最少、确定个数） 1.B 2.D 3.8 4.9 13 【详解】(1)解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为 5+1=6 该几何体有6个小立方块搭成 (2) 主视图 左视图 俯视图 (3)解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方 块： 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方 块， 因此最多添加3个. ◆题型4三视图求几何体表面积、体积 1.C 2.A 3.π 4.14 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 5. 【详解】(1)解：该几何体是一个三棱柱， (2)解：如图，底面等边三角形边长为2cm,过点A作AD⊥BC于点D, B D 1 ∴.BD=-BC=lcm ∴AD=VAB2-BD2=V3cm, 2×V 底面三角形的面积为2 2=5cm2, :该几何体的表面积为2×V3+2×3×3=(2V3+18)cm2 ·考点三直棱柱、圆锥的侧面展开图●—一 ◆题型1识别直棱柱、圆锥侧面展开图 1.D 2.D 3.C 4.三棱柱 5.3 ◆题型2由展开图计算几何体的表面积、体积 1.C 2.A 3.90cm3 4.250元 5. 【详解】(1)解：由图1可知，制作的收纳盒形状为三棱柱 (2)解：由图1可知，三棱柱的底面积为2×3×4=6，高为9， 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .三棱柱的容积为6×9=54， 由图2可知，制作的收纳盒形状为长方体，长方体的高为7-5=2， 底面宽b=5-2=3,长a=8-3=5, .长方体的容积为3×5×2=30， 54>30. .图1收纳盒的容积更大 ◆题型3圆锥侧面展开图扇形圆心角计算 1.B 2.B 3.D 4.120° 5.216° ◆题型4圆锥的实际问题 1.D 2.D 3.22 4.240元 5. 【详解】(1)解：设∠ABC的度数为n, 底面圆的周长等于2πx2="r×6 180 解得n=120° (2)解：连接AC,过B作BD⊥AC于D, :.CD=AD,AC=2AD.∠BDA=90° 由(1)得n=120° ∴.∠ABD=60 ∠BDA=90° 则∠DAB=30° 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由AB=6, .BD=3 .AD=V6-32=3√5， .AC=2AD=63. 即这根绳子的最短长度是6√3， Dn. 综合攻坚知能拔高 1.D 2.D 3.C 4.B 5.c 1. 2W6 8.180° 9.25 10.18 11. 【详解】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内 设M=则壳-#05，解得x=105,散至少与楼相面106m, 105 10V33,所以 Q=30°，此时视角为30°. 【点睛】此题考查了盲区、视角的知识，关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化 8110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 为数学问题. 12 (1)月 主视图 左视图 俯视图 (2)解：(（1×1)×(6×2+6×2+6×2+2)=1x38=38(cm), 故该几何体的表面积是38cm2. 13. 【详解】(1)解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴.若将一个长方体沿某些棱剪开展成(1)中的平面图形，需要剪开7条棱. 故答案为：12,7： (2)解：，该长方体的宽和高为：12÷4=3(cm, ·.该长方体的长为15-3×2=9(cm). 表面积为3×3×2+3×9×4=18+108=126(cm2), 体积为9x3×3=81(cm)）. 答：长方体的表面积为l26cm2,长方体的体积为81cm3 14. 【详解】解：如图，将圆柱体侧面展开，AC是蚂蚁爬行的最短路线。 B 由圆柱体的底面周长为 ,可得侧面展开图中长方形的长为 20cm AD ×20=10(cm), 2 ·CD=AB=4cm, 9110 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .在RtAACD中，∠D=90°，AD=10cm,CD=4cm,则由勾股定理可得 AC=√AD2+CD2=√42+102=2√29≈10.77(cm), 答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为l0.77cm 15. 【详解】(1)解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱， (2)解：如图，过点B作BD⊥AC于点D, D :△ABC是等边三角形，AC=2, :4D=DC=号4C=1, 2 ∴.BD=VAB2-AD2=V√22-12=V5, 85=2xAC×BD=x2x5=5, ∴该几何体的体积为：5×2=2V3(cm). 10/10 培优专题01 投影与视图核心综合专题 常考题型·精准突破 考点1 投影 题型1：投影相关概念辨析 题型2：投影作图 题型3：投影实际应用（重） 考点2：三视图 题型1：已知几何体识别三视图 题型2：根据三视图还原几何体 题型3：小正方体堆叠视图计数（最多、最少、确定个数）（难） 题型4：三视图求几何体表面积、体积（高频） 考点3：直棱柱、圆锥的侧面展开图 题型1：识别直棱柱、圆锥侧面展开图 题型2：由展开图计算几何体的表面积、体积（重） 题型3：圆锥侧面展开图扇形圆心角计算 题型4：圆锥的实际问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 投影 ◆题型1投影相关概念辨析 1．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查正投影的判断，掌握正投影是平行光线且与投影面垂直的投影，据此逐一判断投影类型是解题的关键． 根据正投影的定义，判断每个投影是否为平行光线且与投影面垂直的投影． 【详解】解：正投影是平行光线且与投影面垂直的投影． 第一个投影是中心投影，不是正投影； 第二个投影是平行投影但光线不垂直于投影面，不是正投影； 第三个投影是平行光线且垂直于投影面，是正投影； 所以正投影有1个． 故选：B． 2．图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了投影的概念，理解投影的定义，数形结合分析是关键． 根据立体图形的特点，投影的定义，数形结合分析即可． 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 3．下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【分析】本题需区分中心投影与平行投影的概念，中心投影由点光源发出的光线形成，平行投影由平行光线形成，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 4．一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 【答案】中心 【分析】在投影中，由平行光线形成的投影是平行投影，由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影，判断光源类型即可得出结论． 【详解】解：∵灯光属于点光源， ∴该投影属于中心投影． 5．体育课上，小刚和同学在操场上打篮球，则投篮时篮球在太阳光下形成的影子属于_____投影．（填“中心”或“平行”） 【答案】平行 【分析】本题考查了平行投影，中心投影，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 太阳光线是平行光，因此形成的投影属于平行投影． 【详解】解：太阳距离地球很远，其发出的光线可视为平行光线， 根据投影的定义，平行光线形成的投影是平行投影． 故答案为：平行． ◆题型2 投影作图 1．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 【答案】(1)解：所求图形，如图所示； (2) 【分析】（1）连接，延长交于点P，连接，延长交于点，点P，线段即为所求； （2）利用相似三角形的性质构建方程求解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，， ∴， ∴， ， 设小亮的影子长为，即，则， ∴， 解得， 经检验，是该方程的解． 答：小亮影子的长度为． 2．（1）用配方法解方程：； （2）①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段表示） ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段表示）． 【答案】（1） （2）①如图，即为所求； ②如图，点，线段即为所求． 【分析】本题考查解一元二次方程，平行投影和中心投影： （1）利用一除，二移，三配，四变形的方法，进行配方，再进行求解即可； （2）①根据平行投影，过木杆的顶点，画太阳光的平行线，即可得到线段； ②先确定光源的位置，再画出人在此光源下的影子即可． 【详解】解：（1） ， ， ， ∴， ∴， ∴； （2）①略 ②略 3．如图，身高的小明站在距路灯底部O点10m远的A处，他的身高（即）在路灯下的影子为，路灯灯杆垂直于水平路面．（以下画图画出示意图即可） (1)画出路灯灯泡P在灯杆的位置； (2)小明沿AO方向走到C处，画出此时小明在路面的影子； (3)若，求路灯灯泡P到地面的距离． 【答案】(1)如图，点P即为路灯灯泡的位置． (2)如图，即为小明在路面的影子． (3)9m 【分析】本题考查投影的性质，相似三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握投影的性质以及相似三角形的判定及性质． （1）根据投影的性质作图即可； （2）根据投影的性质作图即可； （3）证明，利用相似的性质即可求出． 【详解】（1）略 （2）略 （3）在和中， ， ∴， 可得， ∴（m）． 答：路灯灯泡P到地面的距离是9m． 4．两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． 【答案】(1) 如图，分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求． (2) 如图，连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，中心投影，解题的关键是理解题意，掌握中心投影的性质． （1）分别连接、并延长，交于点，则点P即为所求； （2）连接并延长交地面于点，连接，则线段即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 ◆题型3 投影实际应用 1．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据视角的定义，由物体两端射出的两条光线在眼球内交叉而成的角，即可判断． 【详解】如图所示，根据视角的定义，建筑物两端发出的光线在眼球内交叉的角为， 故选：A． 【点睛】本题考查了视角的定义，解题的关键是熟悉并掌握视角的定义． 2．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 【答案】B 【分析】若不能看到建筑物PD，则PD位于此线段的盲区内，可据此进行判断． 【详解】由图知：当乘车在BC段行驶时，建筑物PD位于自己的盲区内，因此看不到建筑物PD的路段是BC段. 故选B． 【点睛】理解视点、视角和盲区的定义是解答此类题目的关键． 3．如图，一只小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在________处才不会被小猫发现． 【答案】，，， 【分析】观察图形，利用视角和盲区的知识，只有老鼠在盲区才不会被小猫发现． 【详解】解：老鼠要想不被猫发现就必须在猫的盲区内，小猫的盲区应该有B、G、A、E点，因此老鼠呆在这四点才不会被猫发现． 故答案为，，， 【点睛】本题是结合实际问题来考查学生对视点，视角和盲区的理解能力． 4．直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是________． 【答案】0＜y≤2.5 【分析】根据题意作图，过D作DF⊥OC于F，交BE于H，利用tan∠BDH＝BH∶DH= CF∶DF，进行求解，即可求出OC的长. 【详解】过D作DF⊥OC于F，交BE于H，OF＝1.5，BH＝0.5， 三角形DBH中，tan∠BDH＝BH∶DH＝0.5∶5， 因此三角形CDF中，CF＝DF·tan∠BDH＝1， 因此，OC＝OF＋CF＝1＋1.5＝2.5.因此盲区的范围在0＜y≤2.5. 【点睛】此题主要考查中心投影的应用，解题的关键是熟知中心投影的特点及三角函数的应用. 5．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 【答案】 从点P开始进入盲区，即开始看不见杨雨． 根据题意画出盲区即可判断出答案． 【分析】根据题意画出盲区即可判断出答案． 【详解】略 【点睛】本题考查盲区的知识，难度不大，注意掌握盲区的寻找方法． 考点二 三视图 ◆题型1 已知几何体识别三视图 1．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 【答案】A 【分析】根据几何体的三种视图解答． 【详解】解：观察几何体主视图和左视图相同，而俯视图与两者不同． 2．如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】几何体的主视图就是从几何体的正面观察到的平面图形，根据几何体的形状画出主视图即可． 【详解】解：从“T”字形零件的正面观察应是三个矩形， 如下图所示： 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据主视图的定义，从正面观察几何体，确定看到的平面图形形状及可见轮廓线. 【详解】解：从正面观察该几何体，下层是长方体，主视图为长方形，上层左侧竖直，右侧为斜面，主视图上部轮廓为直角梯形；上下层交界处有一条可见的水平线段； 综合可得，主视图由下方的长方形和上方的直角梯形组成，且中间有横线分隔，对比各选项，B选项符合． 4．图中是由四个相同的小长方体堆成的物体，试指出三个平面图形分别是这个物体的三视图中的哪个视图． ( )       ( )      ( ) 【答案】 主视图 俯视图 左视图 【分析】根据三视图的定义进行求解即可． 【详解】解：左边数第一个图为主视图，左边数第二个图为俯视图，左边数第三个图为左视图． 5．如图是一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，图(1)～(3)是它的三视图，试标出各个视图的名称________，______，_________. 【答案】 (1)左视图 (2)俯视图 (3)主视图 【分析】根据从正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，可得答案． 【详解】解：根据题意可知，主视图是（3），左视图是（1），俯视图是（2）， 故答案为(1)左视图，(2)俯视图，(3)主视图. 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看到的图是俯视图，从左边看到的图是左视图，从正面看到的图是主视图． ◆题型2 根据三视图还原几何体 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由俯视图是“凸”字形，可知该几何体为“凸”字形柱体，排除A、B． 由主视图是矩形且内部有两条虚线，可知该几何体前宽、后窄，后方棱被遮挡不可见． C选项符合题意．D选项不符合题意． 2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥 【答案】C 【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状． 【详解】解：由俯视图可知有六个棱，再由主视图和左视图分析可知为六棱柱. 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 【答案】A 【分析】根据主视图和左视图确定是柱体，再结合俯视图确定具体形状即可． 【详解】解：∵主视图和左视图都是长方形， ∴该几何体为柱体， ∵俯视图为圆形， ∴该几何体为圆柱． 4．如图表示某几何体的三视图，则该几何体的名称是______． 【答案】圆柱 【分析】此题考查了由三视图判断几何体，能识别三视图表示的几何体是解本题的关键．根据几何体的三视图确定出几何体的名称即可． 【详解】解：根据主视图和左视图为长方形判断出是柱体，根据俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆柱， 故答案为：圆柱． 5．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是______． 【答案】圆锥 【分析】本题主要考查了根据三视图还原几何体，解题的关键是熟练掌握各个几何体的三视图．主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．结合图形即可解答． 【详解】解：由三视图可知：这个几何体是圆锥. 故答案为：圆锥． ◆题型3 小正方体堆叠视图计数（最多、最少、确定个数） 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】观察几何体的主视图和俯视图，可知该几何体有三层两列，最下面一层有3个小正方体，中间一层最少有2个小正方体，最上面一层最少有1个小正方体，由此即可得出结果． 【详解】解：观察几何体的主视图和俯视图，可知该几何体有三层两列，最下面一层有3个小正方体，中间一层最少有2个小正方体，最上面一层最少有1个小正方体， 故搭成该几何体的小正方体的个数最少是． 2．将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 【答案】D 【详解】解：根据题意，标注正方体最少的情况如下： ∴这些正方体至少有个 3．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有______个． 【答案】8 【详解】解：组成这个几何体的小正方体的个数最少有（个）． 4．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 【答案】 【分析】根据三视图的特点分析即可求解． 【详解】解：俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最少是个， 俯视图中， 能组成这个几何体的小正方体的个数最多是个． 5．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． 【答案】(1)6 (2) (3)3 【分析】（1）先分层统计底层和上层的小立方块数量，再求和得到总数． （2）主视图从正面观察，确定列数和每列的最高层数；左视图从左面观察，确定行数和每行的最高层数；俯视图从上面观察，确定行列分布和底层小立方块的位置，按对应规则绘制； （3）因为要保持俯视图和左视图不变，所以先根据俯视图确定可添加方块的位置范围，再根据左视图确定每个位置允许的最大层数，结合原有方块的层数，计算可添加的总数． 【详解】（1）解：底层能看到5个小立方块，上层仅在底层左数第2个方块上方搭有1个，总数为． 该几何体有6个小立方块搭成． （2） 略 （3） 解：要保持俯视图不变，说明底层小立方块的摆放位置不能新增，只能在已有底层方块的上方加方块； 要保持左视图不变，说明几何体前后两行的最大层数限制为：靠前行最大层数为1，靠后行最大层数为2． 原本仅靠后行左数第2个位置有2层方块，靠后行剩下的3个位置都可以各加1个方块，靠前行不能加方块， 因此最多添加3个． ◆题型4 三视图求几何体表面积、体积 1．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，半圆柱的直径为4，高为4， 故其表面积为 2．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解高，再由圆锥的体积公式求解即可． 【详解】解：由三视图可得该几何体为圆锥，如图， 由题意得， ∴ ∴， ∴这个几何体的体积为． 3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【答案】 【分析】观察可知，几何体为底面半径为1，高为2的圆柱体的一半，根据圆柱体的体积公式进行求解即可. 【详解】解：由题意，该几何体的体积为. 4．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【分析】根据三视图确定几何体的形状及小正方体的排列情况，利用几何体表面积等于主视图、左视图、俯视图面积之和的2倍进行计算． 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 5．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【答案】(1)三棱柱 (2) 【分析】（1）首先，应分别根据主视图、左视图和俯视图想象几何体的前面、左侧面和上面的形状，然后综合起来考虑整体形状； （2）根据形状求表面积即可． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 考点三 直棱柱、圆锥的侧面展开图 ◆题型1 识别直棱柱、圆锥侧面展开图 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：可以作为三棱柱的展开图的是． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 【答案】D 【分析】根据展开图的组成特征，再结合常见几何体展开图的判定规则，确定对应的几何体即可． 【详解】解：根据几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为：正方体，圆锥，圆柱，三棱柱． 3．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】C 【分析】上下底面是三角形，侧面是长方形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：由题意得，该几何体是三棱柱． 4．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 【答案】三棱柱 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，该几何体的侧面是长方形，则该几何体是柱体，上下底面是三角形，则该几何体是三棱柱． 【详解】解：该几何体的侧面是三个长方形，上下底面是两个三角形，故该几何体是三棱柱， 故答案为：三棱柱． 5．若将一个三棱锥的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，那么我们需要剪开______条棱． 【答案】3 【分析】本题考查了几何体的展开图． 根据三棱锥面数结合展开后面与面之间的需要的棱连接的条数即可求解． 【详解】解：∵三棱锥有4个面，6条棱，展开成平面图形需要3条棱将面连接起来， ∴需要剪开3条棱． 故答案为：3． ◆题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积 1．如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了圆柱的有关计算，本题中半圆形截面的弧长就是塑料薄膜的一边，弄清了这点，计算薄膜的面积就容易多了．由图可知，需要的塑料膜的面积应该是以大棚长为长，以半圆形截面的弧长为宽的矩形的面积，半圆形截面弧长为：，再加上前后两个半圆面积，进而得出塑料膜的面积． 【详解】解：塑料膜的面积． 故选：C． 2．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 【答案】A 【详解】解：， ∴这个盒子的容积为． 3．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积_____． 【答案】90 【分析】本题考查长方体的展开图，一元一次方程的应用；设长方体宽为x，则长为，高为，根据题意列方程求解即可. 【详解】解：设长方体宽为x，则长为，高为， 由题意得， 解得， 则，， ∴药品包装盒的体积为()． 故答案为： 4．右图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是______． 【答案】 【分析】根据展开图可知，这是一个圆柱体的展开图，由此求解即可． 【详解】解：由图形可知：圆柱的底面半径，高， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆柱体的展开图的表面积计算，解题的关键在于能够准确确定这是圆柱体的展开图． 5．某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． 【答案】(1)三棱柱 (2)图1收纳盒的容积更大 【分析】本题考查简单几何体的表面展开图，掌握常见的表面展开图的特征是解决问题的关键． （1）根据三棱柱的展开图特征即可判断． （2）根据三棱柱和长方体的容积计算即可得解． 【详解】（1）解：由图1可知，制作的收纳盒形状为三棱柱． （2）解：由图1可知，三棱柱的底面积为，高为9， 三棱柱的容积为， 由图2可知，制作的收纳盒形状为长方体，长方体的高为， 底面宽，长， 长方体的容积为， ， 图1收纳盒的容积更大． ◆题型3圆锥侧面展开图扇形圆心角计算 1．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用圆锥的性质：侧面展开图为扇形，扇形弧长等于圆锥底面周长，扇形半径等于圆锥母线长，列方程求解即可． 【详解】解：设侧面展开图的圆心角为 ， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥底面半径 ，母线长 ， ∴圆锥底面周长 ，扇形弧长公式为，据此列方程得 ， 解得 ， ∴圆心角为． 2．一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥的底面周长、侧面展开图的扇形弧长，设圆锥底面半径为，则母线长为，根据圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，结合弧长公式求解圆心角. 【详解】解：设圆锥底面半径为，则母线长， ∵圆锥底面周长等于侧面展开图的扇形弧长. ∴， 将代入得：， 故选：B. 3．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了圆锥体侧面展开图的圆心角，先根据圆锥全面积公式求出母线长，再根据侧面展开图的弧长等于底面周长，建立方程求解圆心角． 【详解】解：∵圆锥全面积，其中，， ∴ 即 ∴ ∴ 设侧面展开图的圆心角为，则弧长 ∵弧长等于底面周长 ∴ ∴ 故侧面展开图的圆心角为， 故选D． 4．已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 【答案】/120度 【分析】利用圆锥底面周长等于侧面展开扇形的弧长，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：设该扇形的圆心角度数为， 圆锥底面圆半径为，可得圆锥底面圆周长为 ， 圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥母线长，即， 由圆锥底面周长等于扇形弧长，根据扇形弧长公式得 ， 解得． ∴该扇形的圆心角的度数为． 5．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． 【答案】/216度 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据圆锥的底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，利用弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为，底面半径为，高为，由题意可知，， 根据勾股定理，得母线长， 圆锥的底面周长， 设扇形的圆心角为，根据弧长公式，得，即， 解得． ◆题型4圆锥的实际问题 1．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 2．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查圆锥的侧面展开图，弧长公式，勾股定理，最短路径问题，正确求出圆锥的侧面展开图圆心角的大小是解题关键．由题意可求出圆锥的侧面展开图的圆心角大小，再结合勾股定理求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为2， 底面周长为， 圆锥的侧面展开图是一个扇形，设该扇形圆心角为， 根据题意有：， 解得：，如图， ∴，且为最短路径． 圆锥的母线长为， ， ∴， 故最短路径长是． 故选：D． 3．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．    【答案】22 【分析】根据米堆的底部的弧度即底面圆周的四分之一为8尺，可求出圆锥的底面半径，从而计算出米堆的体积，用体积除以每斛的体积即可求得斛数． 【详解】解：设米堆所在圆锥的底面半径为尺，由题意，得：， ∴， ∴米堆的体积为：， ∴米堆的斛数为：； 故答案为：22． 【点睛】本题考查了圆锥的计算及弧长的计算，解题的关键是从实际问题中抽象出圆锥的知识，难度不大． 4．某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 【答案】 【分析】求出圆锥的底面周长，再根据扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：圆锥形小丑帽子的底面半径为， 圆锥的底面周长为， 扇形木纸板的半径为， 扇形木纸板的面积为， 5．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 【答案】(1) (2)这根绳子的最短长度为 【分析】（1）结合侧面展开图是以6为半径，为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角； （2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为的距离． 本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题． 【详解】（1）解： 设的度数为， 底面圆的周长等于， 解得． （2）解：连接，过作于， ∴， ∵由（1）得 ∴ ∵ 则 由， ∴， ∴， ∴， 即这根绳子的最短长度是． 综合攻坚·知能拔高 1．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（    ） A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】根据光线相交的是灯光光线，光线平行的不是灯光光线逐个判断． 【详解】连接并延长每个标杆影子的末端与标杆的顶端，射线相交的是灯光下形成的影子，不相交的不是灯光下形成的影子． 故选：D． 【点睛】本题考查了中心投影，熟练掌握中心投影的定义是解决此类问题的关键． 2．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三棱柱的表面展开图的特点，由三个长方形的侧面和上下两个三角形的底面组成．从而可得答案． 【详解】解：A．选项是圆锥展开图，不符合题意； B．选项是正方体的展开图，不符合题意； C．选项是圆柱的展开图，不符合题意； D．选项是三棱柱的展开图，符合题意； 3．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ）． A．3米 B．米 C．5米 D．4米 【答案】C 【分析】将长方体展开，根据两点之间线段最短，利用勾股定理计算不同展开方式下的路径长度，比较即可得出答案． 【详解】解：第一种情况：把我们所看到的前面和上面组成一个平面， 则这个长方形的长和宽分别是5米和2米， 则所走的最短线段是， 第二种情况：把我们看到的左面与上面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是5米和 2米 ， 所以走的最短线段是； 第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形， 则这个长方形的长和宽分别是4米和3米， 所以走的最短线段是； ∵， ∴蚂蚁爬行的最短距离是5米． 4．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据底面周长求出底面半径，再利用勾股定理求出母线长，最后根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面周长为 ， ∴圆锥的底面半径， ∵圆锥的高， ∴圆锥的母线长， ∴该吊灯外罩的侧面积． 5．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过主视图的列数与俯视图的列数相同，每列的高度等于俯视图中该列小正方形内数字的最大值，从而求解． 【详解】解：由俯视图可知主视图共有列，第一列数字为，最大值为；第二列数字为，，，最大值为；第三列数字为，，最大值为； ∴主视图从左到右的列数分别为，，， 故选项符合题意． 6．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 【答案】 【分析】连接并延长交轴于，连接并延长交轴于，待定系数法求出直线的解析式为，求出，即可求解． 【详解】解：连接并延长交轴于，连接并延长交轴于， 设直线的解析式为，则有 ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 解得， ， 同理可求， ， 木杆在x轴上的投影长为． 7．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【分析】本题考查了几何体的展开图，关键是掌握圆锥的侧面展开图的弧长等于底面周长；弧长公式为：． 根据扇形的弧长公式可得圆锥的底面周长，进而得出底面半径，再根据勾股定理求出圆锥的高，然后根据圆锥的体积公式计算即可． 【详解】解：由题意得，圆锥的底面圆周长为， 故圆锥的底面圆的半径为， 所以圆锥的高为：， 该圆锥的体积是：． 8．如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 【答案】/180度 【分析】本题考查了弧长公式．利用“圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长”这一核心等量关系，先根据底面半径求出底面圆的周长，再设侧面展开图扇形的圆心角为，结合扇形弧长公式建立方程，最后求解方程得到圆心角的度数． 【详解】解：设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为． ∵圆锥底面半径，圆锥母线长， ∴由圆锥底面圆的周长等于侧面展开图扇形的弧长，可得， 解得， 故答案为：． 9．如图，一个无盖的长方体盒子的长为，宽为，高为，点离点的距离为．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 【答案】25 【分析】本题主要考查几何体的展开图及勾股定理，由题意得：①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，然后利用勾股定理进行求解最短路径即可．解题的关键是熟练掌握几何体的展开图及勾股定理． 【详解】解：由题意得： ①当把长方体按照正面和右侧进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ②当沿长方体的右侧和上面进行展开时，如图所示： ， ∴在中，； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B， 需要爬行的最短距离是25， 故答案为：25． 10．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 【答案】 【分析】过点A作于点D，利用三线合一定理和勾股定理求出的长，根据题意可知该三棱柱的左视图是一个长方形，确定其长和宽即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点D， ∵，， ∴， 在中，由勾股定理得， 由题意得，该三棱柱的左视图是一个长方形，其长为6，宽为3， ∴这个三棱柱的左视图的面积为． 11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 【答案】（1）不能；（2）AM至少为10m，此时视角为30°. 【分析】（1）连接点A与M楼的顶点，则可得出能否看到后面那座高大的建筑物； （2）构造直角三角形，设AM=x，则根据，可得出AM的长度，继而也可求出视角α的度数． 【详解】解：(1)不能，连接点A与M楼的顶点，因为建筑物在A点的盲区范围内 　(2)设AM＝x，则，解得x＝10，故至少与M楼相距10 m，tanα=，所以α=30°，此时视角为30°. 【点睛】此题考查了盲区、视角的知识，关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 12．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 【答案】(1) (2)该几何体的表面积是 【分析】（1）由已知条件可知，主视图有3列，每列小正方形数目分别为3，1，2；左视图有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；俯视图有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形； （2）分别得到各个方向看的正方形面数，相加后乘1个面的面积即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， 故该几何体的表面积是． 13．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 【答案】(1)12，7 (2)长方体的表面积为，长方体的体积为 【分析】本题主要考查了长方体的展开图、长方体体积计算等知识，熟练掌握长方体及其展开图的性质是解题关键． （1）根据长方体及其展开图的性质，即可获得答案； （2）结合题意确定长方体的长、宽和高，然后根据长方体的表面积公式和体积公式求解即可． 【详解】（1）解：长方体共有12条棱，观察图形，可知，还有5条棱没有剪开， ∴若将一个长方体沿某些棱剪开展成（1）中的平面图形，需要剪开7条棱． 故答案为：12，7； （2）解：∵该长方体的宽和高为：， ∴该长方体的长为， 表面积为， 体积为． 答：长方体的表面积为，长方体的体积为． 14．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点．求这只蚂蚁爬行的最短路程．（精确到） 【答案】这只蚂蚁爬行的最短路程约为 【分析】先将圆柱侧面展开成平面图形，然后由两点之间线段最短得到蚂蚁爬行的最短路程，再根据勾股定理求解，最后按照精确要求取近似值即可得到答案． 【详解】解：如图，将圆柱体侧面展开，是蚂蚁爬行的最短路线． 由圆柱体的底面周长为，可得侧面展开图中长方形的长为， ， 在中，，，，则由勾股定理可得， 答：这只蚂蚁爬行的最短路程约为． 15．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【答案】(1)正三棱柱 (2) 【分析】本题主要考查的是几何体的知识 （1）由三视图判断几何体， （2）根据几何体的形状，求体积，即可． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专题01 投影与视图核心综合专题 常考题型·精准突破 考点1 投影 题型1：投影相关概念辨析 题型2：投影作图 题型3：投影实际应用（重） 考点2：三视图 题型1：已知几何体识别三视图 题型2：根据三视图还原几何体 题型3：小正方体堆叠视图计数（最多、最少、确定个数）（难） 题型4：三视图求几何体表面积、体积（高频） 考点3：直棱柱、圆锥的侧面展开图 题型1：识别直棱柱、圆锥侧面展开图 题型2：由展开图计算几何体的表面积、体积（重） 题型3：圆锥侧面展开图扇形圆心角计算 题型4：圆锥的实际问题 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 投影 ◆题型1投影相关概念辨析 1．下列投影中，正投影有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 3．下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 4．一盏灯的光，落在《几何原本》的书页上，书在灯光下投下一片轮廓清晰的影子，这属于________投影．（填“平行”或“中心”） 5．体育课上，小刚和同学在操场上打篮球，则投篮时篮球在太阳光下形成的影子属于_____投影．（填“中心”或“平行”） ◆题型2 投影作图 1．如图，在路灯下，小明的身高如图中线段所示，他在地面上的影子如图中线段所示，小亮的身高如图中线段所示，路灯灯泡在线段上． (1)请你确定灯泡P所在的位置，并画出表示小亮在灯光下形成的影子线段（请将线段用铅笔加粗）； (2)如果灯泡到地面距离为，小亮的身高，小亮与灯杆的距离，请求出小亮影子的长度． 2．（1）用配方法解方程：； （2）①一木杆按如图1所示的方式直立在地面上，请在图中画出它在阳光下的影子；（用线段表示） ②图2是两根标杆及它们在灯光下的影子，请在图中画出光源的位置（用点P表示），并在图中画出人在此光源下的影子（用线段表示）． 3．如图，身高的小明站在距路灯底部O点10m远的A处，他的身高（即）在路灯下的影子为，路灯灯杆垂直于水平路面．（以下画图画出示意图即可） (1)画出路灯灯泡P在灯杆的位置； (2)小明沿AO方向走到C处，画出此时小明在路面的影子； (3)若，求路灯灯泡P到地面的距离． 4．两根立柱及其在路灯下的影子如图所示． (1)在图中画出路灯的位置，并用点P表示； (2)画出旗杆在该路灯下的影子． ◆题型3 投影实际应用 1．如图，从点观测建筑物的视角是（    ） A． B． C． D． 2．当你在笔直的公路上乘车由A至E的过程中(如图所示)，发现路边有两栋建筑物，那么不能看到较高建筑物PD的路段是(　　) A．AB B．BC C．CD D．DE 3．如图，一只小猫在一片废墟中玩耍，一只老鼠呆在________处才不会被小猫发现． 4．直角坐标系内，身高为1.5米的小强面向y轴站在x轴上的点A(－10,0)处，他的前方5米处有一堵墙，已知墙高2米，则站立的小强观察y(y＞0)轴时，盲区(视力达不到的地方)范围是________． 5．王芹家住在A楼5层，杨雨家住在A楼正前方的B楼里，B楼没有A楼高．一天，站在自己家窗口的王芹，看见杨雨正从B楼的正前方往自己住的楼走去，一会儿就看不见杨雨了，请你在如图所示中找出从哪点开始，王芹看不见杨雨． 考点二 三视图 ◆题型1 已知几何体识别三视图 1．如图，白釉牡丹纹罐于1996年在银川宁东镇马跑泉村一带出土，现馆藏于灵武博物馆，是研究西夏陶瓷工艺和文化交流的重要实物资料．下列关于其三视图描述正确的是（     ） A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同 C．左视图与俯视图相同 D．三个视图都相同 2．如图是一个“T”字形零件，它的主视图是（     ） A． B． C． D． 3．如图所示的几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 4．图中是由四个相同的小长方体堆成的物体，试指出三个平面图形分别是这个物体的三视图中的哪个视图． ( )       ( )      ( ) 5．如图是一个由一些相同的小正方体搭成的立体图形，图(1)～(3)是它的三视图，试标出各个视图的名称________，______，_________. ◆题型2 根据三视图还原几何体 1．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（     ） A． B． C． D． 2．如图是某个几何体的三视图，该几何体是（     ） A．三棱柱 B．圆柱 C．六棱柱 D．圆锥 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（     ） A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．棱柱 4．如图表示某几何体的三视图，则该几何体的名称是______． 5．若一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是______． ◆题型3 小正方体堆叠视图计数（最多、最少、确定个数） 1．由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是（     ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．将几个完全相同的正方体，堆放在桌面上，从上面看到的图形是图1，从正面和侧面看到的图形都是图2，这些正方体至少有（     ）个． A．6 B．8 C．9 D．7 3．如图，是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有______个． 4．如图是一个由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则能组成这个几何体的小正方体的个数最少是_____，最多是_____． 5．如图是由棱长都为1的小立方块搭成的几何体． (1)该几何体有______个小立方块搭成； (2)请画出这个图形的三视图； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小立方块，并保持从上面和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小立方块． ◆题型4 三视图求几何体表面积、体积 1．如图是某几何体的三视图，已知主视图是边长为4的正方形，左视图是宽为2的矩形，俯视图是直径为4的半圆，这个几何体的表面积是（     ） A． B． C． D． 2．如图是一个几何体的三视图，这个几何体的体积为（   ） A． B． C． D． 3．一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 4．某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 5．已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 考点三 直棱柱、圆锥的侧面展开图 ◆题型1 识别直棱柱、圆锥侧面展开图 1．如图是三棱柱的立体图形，下列图形中可以作为三棱柱的展开图的是（     ） A． B． C． D． 2．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为（     ） A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱 B．正方体，圆锥，四棱锥，圆柱 C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱 D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱 3．如图是一个几何体的表面展开图，则该几何体是（     ） A．正方体 B．长方体 C．三棱柱 D．四棱柱 4．如图是某个几何体的表面展开图，那么这个几何体是_________． 5．若将一个三棱锥的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形，那么我们需要剪开______条棱． ◆题型2 由展开图计算几何体的表面积、体积 1．如图是农村常搭建的横截面为半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚．如果不考虑塑料薄膜埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是（    ） A． B． C． D． 2．小明想送给同桌一套迷你文具，他找到了一个长方体纸盒，其表面展开图及尺寸如图（单位：），为了确定能否装下这套文具，需要计算盒子的容积．这个盒子的容积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．15 3．某药业集团生产的某种药品包装盒的侧面展开图如图所示．如果长方体盒子的长比宽多4，这种药品包装盒的体积_____． 4．右图是某包装盒的表面展开图，这个几何体的表面积是______． 5．某数学兴趣小组开展综合实践活动，活动的任务是制作收纳盒，该小组给出了两种设计，收纳盒的展开图如图1、图2所示．请你和该小组一起完成以下探究任务： (1)利用图1所示的图形，制作的收纳盒形状为______； (2)哪一种收纳盒的容积更大？请根据图中所给信息计算说明． ◆题型3圆锥侧面展开图扇形圆心角计算 1．已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是（     ）度 A． B． C． D． 2．一个圆锥的母线长是底面半径的倍，则该圆锥侧面展开图的圆心角是（   ） A． B． C． D． 3．圆锥体的底面半径为2，全面积为，则其侧面展开图的圆心角为（    ） A． B． C． D． 4．已知一个圆锥的底面圆半径为2，其侧面展开图是一个半径为6的扇形，该扇形的圆心角的度数________． 5．如图，为研究圆锥与扇形的关系，小方同学利用扇形纸片恰好围成一个底面半径为，高为的圆锥的侧面，那么这个扇形纸片的圆心角大小为___________． ◆题型4圆锥的实际问题 1．如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，圆锥的母线长为4，底面圆半径为2，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是（   ）cm A． B． C． D． 3．《九章算术》中有如下问题：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆高5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有___________斛．    4．某同学用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的面积是________（结果保留）． 5．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6． (1)求这个圆锥的侧面展开图中的度数； (2)如果A是底面圆周上的一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根绳子的最短长度． 综合攻坚·知能拔高 1．如图所示是两根标杆在地面上的影子，根据这些投影，在灯光下形成的影子是（    ） A．①和② B．②和④ C．③和④ D．②和③ 2．下列图形是三棱柱的展开图的是（   ） A． B． C． D． 3．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ）． A．3米 B．米 C．5米 D．4米 4．如图，吊灯外罩呈圆锥形，它的底面周长为，高为，则该吊灯外罩的侧面积是（   ） A． B． C． D． 5．如图表示一个由相同小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上小立方块的个数，那么该几何体的主视图为：（     ） A． B． C． D． 6．如图，在直角坐标系中，点是一个点光源．木杆两端的坐标分别为，．则木杆在x轴上的投影长为_______． 7．如图，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为72°的扇形，若扇形的半径是5，则该圆锥的体积是________． 8．如图，已知圆锥顶点为，底面圆心为，为底面圆周上一点，且，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为___________． 9．如图，一个无盖的长方体盒子的长为，宽为，高为，点离点的距离为．一只蚂蚁如果要沿着该盒子的表面从点爬到点，那么需要爬行的最短路程为___________． 10．如图一个三棱柱的俯视图是一个等腰三角形，其中，；若此三棱柱的高为6，则这个三棱柱的左视图的面积为 ______ ． 11．(1)如图所示，如果你的位置在点A，你能看到后面那座高大的建筑物吗？为什么？ (2)如果两楼之间相距MN＝20 m，两楼的高各为10 m和30 m，则当你至少与M楼相距多少米时，才能看到后面的N楼，此时你的视角α是多少度？ 12．如图所示，是由10个完全相同的棱长为的小正方体组成的几何体． (1)请分别画出该图形的三视图； (2)求这个几何体的表面积．（包括底部） 13．如图，在学习了《展开与折叠》相关知识后，老师给同学们一块画有若干个正方形和长方形的纸板，让同学们沿着线条将纸板折叠，折叠后小张同学发现正好是一个长方体． (1)长方体共有______条棱，将一个长方体沿某些棱剪开，展成平面图形，需要剪开______条棱； (2)根据图中的数据，求出纸板所折叠而成的长方体的表面积和体积． 14．如图，一个圆柱体的底面周长为，高为是上底面的直径．一只蚂蚁从点出发，沿着圆柱的侧面爬行到点．求这只蚂蚁爬行的最短路程．（精确到） 15．已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $