专题01 一元二次方程（期中真题汇编，山东专用）九年级数学上学期

专题01 一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解的意义． 首先把代入一元二次方程中，可得到即可求解． 【详解】 是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 7．【答案】0 【分析】 本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，将根代入方程，得到关于a的方程，解出a的值，并检验二次项系数是否为零以确保方程为一元二次方程． 【详解】 解：将代入方程，得 ， 即， 解得或， 由于原方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴， 故答案为：0． 8．【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 以0和1为根写一个一元二次方程即可． 【详解】 解：是方程的一个根， ∴写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 9．【答案】2024 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 考点02 配方法 1．A 2．B 3．D 4．【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法并正确计算． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (4) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 5．【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）先移项，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （4）整理成一般式，再利用公式法求解即可． (1) 小问详解： ， 或， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： ， ， ， ，即， ， 解得，； (4) 小问详解： 整理成一般式，得：， ，，， ， 则， ，． 6．【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、直接开平方法是解题的关键． （1）对于方程，采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）对于方程，利用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程来求解． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴，． 考点03 公式法 1．C 2．C 3．【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 4．【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 5．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当方程有两个实数根，则”． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出，将其代入原方程，再解一元二次方程，即可求出原方程的解． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． (2) 小问详解： 解：∵，且m为最小正整数， ∴， ∴原方程为， 解得． 故若m为最小正整数时，方程的根为． 6．【答案】且 【分析】 根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案． 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 7．【答案】，且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先将方程整理为一般式，根据方程有两个不相等的实数根，即且，进而得出结果． 【详解】 解：， 即， 根据题意得：，且， ，且， 解得：，且． 考点04 因式分解法 1．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再根据因式分解法求解； 对于（2），根据公式法求解． (1) 小问详解： 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：， 由， ∵， ∴， ∴． 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化为一般式，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 ∴ 解得； 3．【答案】（1），；     （2） 或       【分析】 本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； (1) 小问详解： ， ， ，，， ， ， ，， ，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， 或． 4．【答案】（1），     （2），      【分析】 （）先方程两边除以，再把常数移到右边，然后利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 5．【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法： （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）整理后，利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 因式分解得， 故或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 整理得 因式分解得，即 故或， 解得，． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 或， 解得：． 7．【答案】（1）；     （2），，互为倒数；     （3），      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； (3) 小问详解： 解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．B 2．D 3．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形的面积公式，熟练掌握根与系数的关系，菱形的面积公式是解题的关键． 设一元二次方程的两个根为，根据，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】 解：一元二次方程的两个根为， ∵， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 4．【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】 解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．【答案】 【分析】 根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】 设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 6．【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把一元二次方程化为一般式，再结合，代入数值化简计算，即可作答． （2）先整理，再把代入计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则． 7．【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 8．【答案】（1）见解     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算根的判别式得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先根据根与系数的关系得，，再进行整式的乘法运算得到，然后利用整体代入的方法计算，最后进行分式的运算即可． (1) 小问详解： 证明： ， 该方程总有实数根； (2) 小问详解： 解：方程的两个根分别为，， ，， ， 故答案为：． 9．【答案】（1）     （2）方程的另一个根为，      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握基本知识点是解题的关键． （1）根据方程有两个相等的实数根，得到，即可求解； （2）设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求出，再由两根之积等于求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根与系数的关系得到， 解得， 由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．B 2．A 3．C 4．A 5．B 6．D 7．D 8．A 9．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设长方体盒子高为 ，则宽为 ，剪去的正方形边长为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设长方体盒子高为 ，则宽为 ，剪去的正方形边长为 ， 由题意得，， 化简得，， 解得，（不合，舍去）， ∴长方体盒子高为， 故答案为：． 10．【答案】3或或3 【分析】 设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是，根据两数之积为12，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是， 根据题意得：， 解得：，． 故答案为：3或 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．【答案】0或4 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个数为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这个数为，则根据题意得． 移项得， 提取公因式得， 所以或． 故答案为：0或4． 12．【答案】（1）她应当选择用的铁丝，因为用的铁丝无法折成面积为的矩形．     （2）折成的矩形的边长为和．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）当选择用的铁丝时，设矩形的长为，则矩形的宽为，依题意列出一元二次方程，此时方程无实数根；当选择用的铁丝时，设矩形的长为，则矩形的宽为，依题意列出一元二次方程，此时方程有解，即可得出她应当选择用的铁丝； （2）根据第（1）问，当选择用的铁丝时，求出一元二次方程的解，即可求得折成的矩形的边长． (1) 小问详解： 解：她应当选择用的铁丝，理由如下： 当选择用的铁丝时， 设矩形的长为，则矩形的宽为， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根． 不能选用的铁丝． 当选择用的铁丝时， 设矩形的长为，则矩形的宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 应当选择用的铁丝． (2) 小问详解： 由（1）得，折成的矩形的边长为和． 13．【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系是解答本题的关键． （1）设增长率为x，根据2023年和2025年数据列方程求解即可； （2）设降价x元，根据售价、销售量和固定成本列利润方程，求解二次方程得到降价金额． (1) 小问详解： 解：设该区2023-2025年国庆假期文旅总消费的年平均增长率为x，根据题意， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 所以，年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每件产品降价x元，根据题意，得： 解得：或， 因为要让游客切实享受优惠， 所以，每件产品应降价8元． 14．【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为；     （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚．      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． (1) 小问详解： 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． (2) 小问详解： 略 15．【答案】（1）月平均增长率为；     （2）售价为元时，月销售利润达元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设月平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设售价为 元，则销售量为件，根据题意得 ，整理得，解得，，又利润率不高于，即 ，解得 ，从而求解． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为 ， 根据题意，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设售价为元，则销售量为件， 根据题意得， ， ， 整理得， 解得：，， ∵利润率不高于，即， ∴， ∴， 答：售价为元时，月销售利润达元． 16．【答案】(x+1)2=25 【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程. 【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24， 即：（x+1） 2 =25． 故答案为（x+1） 2 =25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法. 17．【答案】20 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，申请题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应多种x棵梨树，，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设应多种x棵梨树，， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或40（不符合题意舍弃）． 答：应多种20棵梨树． 18．【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，再根据剩余田地的面积为，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设步道找桥的宽为，则剩余区域部分可合成长为，宽为的矩形， 由剩余2块区域的面积共，则可列方程为：． 故答案为：． 19．【答案】（1）20，40     （2）不能      【分析】 本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； (2) 小问详解： 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 20．【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为，则长为，根据长方形的面积公式即可作答． 【详解】 解：因为大长方形的面积是， 所以小长方形的面积是， 设宽为，则长为， 所以， 即， 所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是． 故答案为：． 21．【答案】（1）     （2）每份种快餐利润应降5元或7元      【分析】 本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键． （1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份可列代数式； （2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份， ∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖份，B种快餐可少卖份； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：据题意知：， 整理得：； 解得：． 答：则每份种快餐利润应降5元或7元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（     ） A. 3 B. －3 C. 7 D.  2．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  3．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 5．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）若0是关于x的一元二次方程的一个根，则a值为　　　　　　． 8．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是　　　　　　　　　　． 9．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）若a是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）一元二次方程配方可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 5．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）解下列方程 （1） （2） （3）（用配方法解） （4） 6．（25-26学年九上·山东青岛·期中）解方程： （1）； （2）． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 2．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A.  B.  C.  D. a＜3且a≠0 3．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　. 4．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 5．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小正整数，求此时方程的根． 6．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　　　　　． 7．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）当为何值时，一元二次方程有两个不相等的是实数根． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）解方程 （1）； （2）． 2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）解方程 （1）； （2）（因式分解法）； 3．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）解下列方程： （1）； （2）． 4．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）． 5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）解方程： （1）； （2）． 7．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（       ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 5 2．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（       ） A. 是方程的一个根 B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　　　　　　． 4．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）若是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　． 5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是　　　　　　． 6．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求和的值． （2）求的值． 7．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 8．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程总有实数根； （2）若方程的两个根分别为，，则的值是______． 9．（25-26学年九上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年九上·山东青岛·期中）2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？若设门宽为尺，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的倍，则长方体盒子高为　　　　　　． 10．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是　　　　　　　　　　． 11．（25-26学年九上·山东青岛·期中）若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是　　　　　　　． 12．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）小莹手中有两段长分别为和的铁丝，打算用其中的一段铁丝折成一个面积为的矩形． （1）她应当选择用哪段铁丝？为什么？ （2）求出折成的矩形的边长． 13．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）在2025年国庆假期期间，潍坊某区以“景区+文创”联动模式激活文旅市场，相关数据如下： I．该区2023年国庆假期文旅总消费为2.5亿元，2025年同期文旅总消费达到3.6亿元，且这两年国庆假期文旅总消费的年平均增长率保持不变； II．活动期间，该区每天生产某文创产品的固定成本为800元（无可变生产成本）．当每件产品售价为30元时，平均每天可卖出200件；为进一步让利于游客，公司决定降价促销，经调研发现，售价每降低1元，平均每天的销售量就会增加10件． （1）求该区2023-2025年国庆假期文旅总消费的年平均增长率； （2）为确保扣除固定成本后每天的利润仍能达到5360元，又能让游客切实享受优惠，试问每件产品应降价多少元？ 14．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 15．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琼”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，月份的销售量将与月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，如果利润率不高于，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 16．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：　　　　　　　. 17．（25-26学年九上·山东青岛·期中）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 18．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，某湿地公园生态观光区是一个长、宽的矩形，内部开辟了一条“H”形的景观步道栈桥（步道找桥的宽都相等），剩余2块区域的面积共．设步道找桥的宽为，则可列方程为　　　　　　　　． 19．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 20．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　　　　　 ． 21．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． （1）设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； （2）若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 6大高频考点概览 考点01 一元二次方程的概念 考点02 配方法 考点03 公式法 考点04 因式分解法 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 考点06 实际问题与一元二次方程 考点01 一元二次方程的概念 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知关于的一元二次方程有一个根为，则的值为（     ） A. 3 B. －3 C. 7 D.  【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，代入求值是关键．将代入方程求出m值即可． 【详解】 解：把代入， 得， 解得， 故选：D． 2．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（       ） A. 2 B.  C. 2或 D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的定义和一元二次方程的解，二次项系数不为．由一元二次方程的定义，可知；一根是，代入可得，即可求答案． 【详解】 解：是关于的一元二次方程， ，即 由一个根，代入， 可得，解之得； 由得； 故选A 3．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）下列方程中，属于一元二次方程的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程解答逐个判断即可，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 【详解】 、不是方程，不符合题意； 、不是一元二次方程，不符合题意； 、是一元二次方程，符合题意； 、不是整式方程，不符合题意； 故选：C． 4．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则k的值为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. -3 【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于k的一元一次方程即可。 【详解】 解：把代入关于x的一元二次方程中，得， 解得， 故选：A． 5．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）若是一元二次方程的一个实数根，则的值是（     ） A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025 【答案】D 【分析】 本题考查了一元二次方程的根，将代入方程得到，再将整体代入计算即可． 【详解】 解：∵是一元二次方程的一个实数根， 代入方程得：， 移项得：． ∴， 故选：D． 6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）若是一元二次方程的一个根，则的值为　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的意义，解题的关键是正确掌握一元二次方程的解的意义． 首先把代入一元二次方程中，可得到即可求解． 【详解】 是一元二次方程的一个根， ， ． 故答案为：． 7．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）若0是关于x的一元二次方程的一个根，则a值为　　　　　　． 【答案】0 【分析】 本题考查了利用一元二次方程根的情况求参数，将根代入方程，得到关于a的方程，解出a的值，并检验二次项系数是否为零以确保方程为一元二次方程． 【详解】 解：将代入方程，得 ， 即， 解得或， 由于原方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴， 故答案为：0． 8．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）请你写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是　　　　　　　　　　． 【答案】（答案不唯一） 【分析】 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 以0和1为根写一个一元二次方程即可． 【详解】 解：是方程的一个根， ∴写一个一元二次方程，使该方程有一根为1，则这个方程可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 9．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）若a是方程的一个根，则的值为　　　　　　． 【答案】2024 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，利用整体代入思想解答是解题的关键． 根据一元二次方程的解的定义可得，，然后代入计算，即可求解． 【详解】 解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ 故答案为：2024． 考点02 配方法 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）一元二次方程配方可变形为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了一元二次方程的配方，正确掌握完全平方式的特点是正确配方的前提．方程两边都加上4，即可将原方程配方． 【详解】 解：， ∴， ∴， 故选：A． 2．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）用配方法解方程，下列配方正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题主要考查了一元二次方程配方法的应用，准确计算是解题的关键． 通过配方法将方程转化为完全平方形式，比较选项得出正确结果． 【详解】 解：， ， ， ； 故选． 3．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 方程两边同时加上一次项系数一半的平方即计算即可． 【详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】 本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；     （2），；     （3），；     （4），．      【分析】 本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法并正确计算． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用因式分解法求解即可； （3）用因式分解法求解即可； （4）用配方法求解即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴或， ∴，； (3) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴或， ∴，； (4) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 5．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）解下列方程 （1） （2） （3）（用配方法解） （4） 【答案】（1）     （2）     （3），     （4）      【分析】 本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法． （1）利用直接开平方法求解即可； （2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于的一元一次方程，再进一步求解即可； （3）先移项，再将二次项系数化为1，继而两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得； （4）整理成一般式，再利用公式法求解即可． (1) 小问详解： ， 或， 解得，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， 解得，； (3) 小问详解： ， ， ， ，即， ， 解得，； (4) 小问详解： 整理成一般式，得：， ，，， ， 则， ，． 6．（25-26学年九上·山东青岛·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、直接开平方法是解题的关键． （1）对于方程，采用配方法，将方程转化为完全平方式来求解； （2）对于方程，利用直接开平方法，将其转化为两个一元一次方程来求解． (1) 小问详解： 解： ， ， ， ， ， ∴，； (2) 小问详解： 解：， ， 当时，， 解得， 当时，， 解得， ∴，． 考点03 公式法 1．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）关于的一元二次方程的根的情况是（     ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 有实数根 D. 没有实数根 【答案】C 【分析】 本题考查的知识点是根据判别式判断一元二次方程根的情况，解题关键是熟练掌握根的判别式与一元二次方程根的关系． 先求出该一元二次方程根的判别式，再由时，一元二次方程有两个不等实数根；时，一元二次方程有两个相等实数根；时，一元二次方程无实数根即可得解． 【详解】 解：关于的一元二次方程中， ， 该方程有两个实数根． 故选：． 2．（25-26学年九上·山东日照日照港中学·期中）若关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（ 　　） A.  B.  C.  D. a＜3且a≠0 【答案】C 【分析】 本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出且，列式计算，即可求解． 【详解】 解：一元二次方程有两个实数根，则且， ∴且． 解得且． 故选：C． 3．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，由关于的一元二次方程有实数根得到，解不等式即可得到答案． 【详解】 解：关于的一元二次方程有实数根， ，解得， 故答案为：． 【点睛】 本题考查根据一元二次方程根的情况求参数范围，熟记一元二次方程根的情况与判别式的关系是解决问题的关键． 4．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求的取值范围； （2）若该方程的两个实数根分别为、，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 （1）根据方程有实数根的条件，即求解即可； （2）由韦达定理把和分别用含m的式子表示出来，然后根据完全平方公式将变形为，再代入计算即可解出答案． 【详解】 （1）由题意可得： 解得： 即实数m的取值范围是． （2）由可得： ∵； ∴ 解得：或 ∵ ∴ 即的值为-2． 【点睛】 本题主要考查的是根的判别式、根与系数的关系，要牢记：（1）当时，方程有实数根；（2）掌握根与系数的关系，即韦达定理；（3）熟记完全平方公式等是解题的关键． 5．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）已知关于的一元二次方程有两个实数根． （1）求的取值范围； （2）若为符合条件的最小正整数，求此时方程的根． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：牢记“当方程有两个实数根，则”． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2）由（1）的结论结合m为正整数，即可得出，将其代入原方程，再解一元二次方程，即可求出原方程的解． (1) 小问详解： 解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：， ∴m的取值范围为． (2) 小问详解： 解：∵，且m为最小正整数， ∴， ∴原方程为， 解得． 故若m为最小正整数时，方程的根为． 6．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）规定：对于任意实数、、，有，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据题意得到，再由有两个不相等的实数根得到，且，即可得到答案． 本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式． 【详解】 解：∵， ∴，即， ∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得：且， 故答案为：且． 7．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）当为何值时，一元二次方程有两个不相等的是实数根． 【答案】，且 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的定义及根的判别式，解答本题要掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根．先将方程整理为一般式，根据方程有两个不相等的实数根，即且，进而得出结果． 【详解】 解：， 即， 根据题意得：，且， ，且， 解得：，且． 考点04 因式分解法 1．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题主要考查了解一元二次方程， 对于（1），先移项，再根据因式分解法求解； 对于（2），根据公式法求解． (1) 小问详解： 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， 解得； (2) 小问详解： 解：， 由， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）解方程 （1）； （2）（因式分解法）； 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化为一般式，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再运用因式分解法进行解方程，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， 则 ∴ 解得； 3．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2） 或       【分析】 本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； (1) 小问详解： ， ， ，，， ， ， ，， ，； (2) 小问详解： ， ， ， 或， 或． 4．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）解方程： （1）（配方法）； （2）． 【答案】（1），     （2），      【分析】 （）先方程两边除以，再把常数移到右边，然后利用配方法解答即可； （）把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，； (2) 小问详解： 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，． 5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；     （2），．      【分析】 本题主要考查一元二次方程的解法： （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）整理后，利用因式分解法解答，即可求解． (1) 小问详解： 解：， 因式分解得， 故或， 解得，； (2) 小问详解： 解：， 整理得 因式分解得，即 故或， 解得，． 6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． (1) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 解得：； (2) 小问详解： 解：， ∴， ∴， ， 或， 解得：． 7．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1）；     （2），，互为倒数；     （3），      【分析】 本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． (1) 小问详解： 解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； (2) 小问详解： 解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； (3) 小问详解： 解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 考点05 一元二次方程的根与系数的关系 1．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）若一元二次方程的两个实数根分别为，，则的值为（       ） A. －5 B. －3 C. 3 D. 5 【答案】B 【分析】 此题考查韦达定理的应用，熟悉韦达定理是解题关键． 根据多项式乘法将展开，写出韦达定理代入求值． 【详解】 解：根据韦达定理，有，， ． 故选：B． 2．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）实数是关于的方程的两根，其中，是三条边的长，则下列说法正确的是（       ） A. 是方程的一个根 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据方程解的定义判断A，利用根与系数的关系分析选项B和C；通过判别式大于0判断选项D，解答即可． 本题考查了解的定义，三角形三边关系定理，根与系数的关系定理，根的判别式，熟练掌握上述知识是解题的关键． 【详解】 解：∵ 方程 ，其中 为的三边长， 故 ，且满足三角形不等式 ， 选项A：代入 ，得，不等于0， 故A错误； 选项B：由根与系数关系，， ∵ ， ∴ ，即 ， 故B错误； 选项C：， ∵ ， 故， 故C错误； 选项D：根据题意，得， ∵ ， ∴ ， 故， 故方程有两个不等实根， 故，D正确； 故选：D． 3．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，菱形的面积公式，熟练掌握根与系数的关系，菱形的面积公式是解题的关键． 设一元二次方程的两个根为，根据，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可． 【详解】 解：一元二次方程的两个根为， ∵， ∴菱形的面积为． 故答案为：． 4．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）若是方程的两个根，则的值为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，根据方程的解的定义可得，根据根与系数的关系可得，再由计算求解即可． 【详解】 解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 5．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）若关于x的方程的一个根是3，则此方程的另一个根是　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根与系数的关系即可求出方程的另一个根． 【详解】 设另一个根为， 根据题意：， 解得，， 即另一个根为， 故答案为：． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系，在利用根与系数、来计算时，要弄清楚、、的意义． 6．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求和的值． （2）求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把一元二次方程化为一般式，再结合，代入数值化简计算，即可作答． （2）先整理，再把代入计算，即可作答． (1) 小问详解： 解：∵， ∴， 则， 即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴； (2) 小问详解： 解：由（1）得， 则． 7．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． （2）当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】（1） 证明：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根；     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 8．（25-26学年九上·山东德州天衢新区·期中）已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程总有实数根； （2）若方程的两个根分别为，，则的值是______． 【答案】（1）见解     （2）      【分析】 本题考查了一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系，一元二次方程的根与有如下关系，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）先计算根的判别式得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先根据根与系数的关系得，，再进行整式的乘法运算得到，然后利用整体代入的方法计算，最后进行分式的运算即可． (1) 小问详解： 证明： ， 该方程总有实数根； (2) 小问详解： 解：方程的两个根分别为，， ，， ， 故答案为：． 9．（25-26学年九上·山东青岛·期中）已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程的一个根是，求方程的另一个根及的值． 【答案】（1）     （2）方程的另一个根为，      【分析】 本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握基本知识点是解题的关键． （1）根据方程有两个相等的实数根，得到，即可求解； （2）设方程的另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到，求出，再由两根之积等于求解． (1) 小问详解： 解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得； (2) 小问详解： 解：设方程的另一个根为， 由一元二次方程根与系数的关系得到， 解得， 由一元二次方程根与系数的关系得到， ∴． 考点06 实际问题与一元二次方程 1．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年3月份售价为23万元，5月份售价为16万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 此题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，根据月均下降率是x表示出5月份的售价是解答此题的关键．首先根据3月份售价为23万元，月均下降率是x可得出4月份的售价为万元，5月份的售价为万元，据此根据5月份售价为16万元可列出方程，进而可得出答案． 【详解】 解：∵3月份售价为23万元，月均下降率是x，5月份售价为16万元， ∴． 故选：B． 2．（2026·山东济宁汶上县第一实验中学·期中）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可． 【详解】 解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为， 根据题意，得． 故选：A． 3．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）某市2020年投入了教育专项经费7200万元，用于发展本市的教育，预计到2022年将投入教育专项经费三年共需23832万元，若每年增长率都为，下列方程正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据该市2020年和三年共投入教育专项经费的金额以及每年增长率，即可得出关于的一元二次方程． 【详解】 解：根据题意得：， 故选：C． 【点睛】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． 4．（25-26学年九上·山东青岛·期中）2022年以来，我国快递市场规模持续增长，快递业着力提升服务水平，加快推动智能化、绿色化、国际化发展，高效支撑线上消费活力释放．我国2022年的快递业务量约为1106亿件，经过两年发展，2024年的快递业务量约为1751亿件．设我国这两年快递业务量的年均增长率为，则可列方程为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． 根据年均增长率的定义，从2022年到2024年经过两年增长，2024年业务量等于2022年业务量乘以的平方，据此列出方程即可． 【详解】 解：设年均增长率为x， ∵ 2022年业务量为1106亿件， ∴经过一年增长，2023年业务量为，再经过一年增长，2024年业务量为1106． 又∵ 2024年业务量约为1751亿件， ∴． 故选A． 5．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）由于小鹏、埃安等新能源汽车的崛起，广州燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年月份售价为万元，月份售价为万元．设该款汽车这两月售价的月均下降率是，则所列方程正确的是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用，根据今年月份售价为万元，月均下降率是，可得：今年月份的售价为万元，又因为月份售价为万元，可列方程：. 【详解】 解：今年月份售价为万元，月均下降率是， 今年月份的售价为万元， 今年月份的售价为万元， 又月份售价为万元， 可列方程：. 故选：B． 6．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长为，根据题意可列方程（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式列出方程． 【详解】 解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：D． 7．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出．问户高、广、斜各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问：门高、宽、对角线长分别是多少？若设门宽为尺，则可列方程为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程、数学常识以及勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设门宽为尺，则竿长为尺，门高为竿长减2尺，即尺，门对角线长等于竿长，即尺．根据勾股定理，门宽、门高和对角线构成直角三角形，满足门宽的平方加门高的平方等于对角线的平方． 【详解】 门宽为尺，门高为尺，对角线为尺， 由勾股定理得：， 即． 故选：D． 8．（25-26学年九上·山东聊城东昌·期中）如图，小区物业规划在一个长，宽的矩形场地上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽的道路，中间是宽的道路．如果阴影部分的总面积是，那么x满足的方程是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据矩形场地的长、宽及道路的宽度，可得出停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合阴影部分的总面积是，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】 解：∵矩形场地的长为长，宽，且所修建停车位的两侧是宽x m的道路，中间是宽的道路， ∴停车位（即阴影部分）可合成长为，宽为的矩形． 根据题意，得， 化简，得． 故选：A． 9．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）一块面积为的矩形材料，四个角各减去一个一样大小的正方形，用剩下的部分做成一个无盖的长方体盒子，要求盒子长为，宽为高的倍，则长方体盒子高为　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，设长方体盒子高为 ，则宽为 ，剪去的正方形边长为 ，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】 解：设长方体盒子高为 ，则宽为 ，剪去的正方形边长为 ， 由题意得，， 化简得，， 解得，（不合，舍去）， ∴长方体盒子高为， 故答案为：． 10．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）连续两个整数的乘积为12，则这两个整数中较小的一个是　　　　　　　　　　． 【答案】3或或3 【分析】 设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是，根据两数之积为12，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】 解：设这两个整数中较小的一个是，则较大的一个是， 根据题意得：， 解得：，． 故答案为：3或 【点睛】 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 11．（25-26学年九上·山东青岛·期中）若一个数平方的2倍等于这个数的8倍，则这个数是　　　　　　　． 【答案】0或4 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设这个数为，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设这个数为，则根据题意得． 移项得， 提取公因式得， 所以或． 故答案为：0或4． 12．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）小莹手中有两段长分别为和的铁丝，打算用其中的一段铁丝折成一个面积为的矩形． （1）她应当选择用哪段铁丝？为什么？ （2）求出折成的矩形的边长． 【答案】（1）她应当选择用的铁丝，因为用的铁丝无法折成面积为的矩形．     （2）折成的矩形的边长为和．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）当选择用的铁丝时，设矩形的长为，则矩形的宽为，依题意列出一元二次方程，此时方程无实数根；当选择用的铁丝时，设矩形的长为，则矩形的宽为，依题意列出一元二次方程，此时方程有解，即可得出她应当选择用的铁丝； （2）根据第（1）问，当选择用的铁丝时，求出一元二次方程的解，即可求得折成的矩形的边长． (1) 小问详解： 解：她应当选择用的铁丝，理由如下： 当选择用的铁丝时， 设矩形的长为，则矩形的宽为， 依题意得：， 整理得：， ， 原方程无实数根． 不能选用的铁丝． 当选择用的铁丝时， 设矩形的长为，则矩形的宽为， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 应当选择用的铁丝． (2) 小问详解： 由（1）得，折成的矩形的边长为和． 13．（25-26学年九上·山东潍坊·期中）在2025年国庆假期期间，潍坊某区以“景区+文创”联动模式激活文旅市场，相关数据如下： I．该区2023年国庆假期文旅总消费为2.5亿元，2025年同期文旅总消费达到3.6亿元，且这两年国庆假期文旅总消费的年平均增长率保持不变； II．活动期间，该区每天生产某文创产品的固定成本为800元（无可变生产成本）．当每件产品售价为30元时，平均每天可卖出200件；为进一步让利于游客，公司决定降价促销，经调研发现，售价每降低1元，平均每天的销售量就会增加10件． （1）求该区2023-2025年国庆假期文旅总消费的年平均增长率； （2）为确保扣除固定成本后每天的利润仍能达到5360元，又能让游客切实享受优惠，试问每件产品应降价多少元？ 【答案】（1）     （2）8元      【分析】 本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意找出等量关系是解答本题的关键． （1）设增长率为x，根据2023年和2025年数据列方程求解即可； （2）设降价x元，根据售价、销售量和固定成本列利润方程，求解二次方程得到降价金额． (1) 小问详解： 解：设该区2023-2025年国庆假期文旅总消费的年平均增长率为x，根据题意， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 所以，年平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设每件产品降价x元，根据题意，得： 解得：或， 因为要让游客切实享受优惠， 所以，每件产品应降价8元． 14．（25-26学年九上·山东枣庄·期中）电动车虽然方便了我们的日常出行，但是部分电动车充电过程中十分危险，一旦发生着火、爆炸，将造成非常严重的危害．“人车分离”是保障大家生命安全的重要手段．阳光小区为实现“人车分离”，在小区外面搭建了两个矩形电动车车棚（如图），一边利用小区的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个长的出口（出口处不用栅栏），不锈钢栅栏状如“山”字形． （1）若车棚占地面积为，试求出电动车车棚的长和宽； （2）若小区拟利用现有栅栏对电动车车棚进行扩建，请问能围成占地面积为的电动车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）电动车车棚的长为，宽为；     （2） 解：不能围成占地面积为的电动车车棚，理由如下： 设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， ， 原方程无解， 不能围成占地面积为的电动车车棚．      【分析】 本题考查了一元二次方程的实际应用、根的判别式，解题关键是正确理解题意，找到等量关系列出方程． （1）设车棚宽为，则车棚长为，列出关于车棚面积的一元二次方程，解出该方程即可得解，需注意该方程的解需满足车棚的长不超过； （2）根据（1）中方法列出关于车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断即可解题． (1) 小问详解： 解：设车棚宽为，则车棚长为， 由题意，得， 整理，得， 解得：，， 当时，（不合题意，舍去）， 当时，． 答：电动车车棚的长为，宽为． (2) 小问详解： 略 15．（25-26学年九上·山东青岛第二十八中学·期中）杭州亚运会的三个吉祥物“琮琼”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，它融合了杭州的历史人文、自然生态和创新基因．吉祥物一开售，就深受大家的喜爱．某商店以每件元的价格购进某款亚运会吉祥物，以每件的价格出售．经统计，月份的销售量为件，月份的销售量为件． （1）求该款吉祥物月份到月份销售量的月平均增长率； （2）经市场预测，月份的销售量将与月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，调查发现，该吉祥物每降价元，月销售量就会增加件，如果利润率不高于，当该吉祥物售价为多少元时，月销售利润达元？ 【答案】（1）月平均增长率为；     （2）售价为元时，月销售利润达元．      【分析】 本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． （）设月平均增长率为，根据题意得，然后解方程并检验即可； （）设售价为 元，则销售量为件，根据题意得 ，整理得，解得，，又利润率不高于，即 ，解得 ，从而求解． (1) 小问详解： 解：设月平均增长率为 ， 根据题意，， 解得，（舍去）， 答：月平均增长率为； (2) 小问详解： 解：设售价为元，则销售量为件， 根据题意得， ， ， 整理得， 解得：，， ∵利润率不高于，即， ∴， ∴， 答：售价为元时，月销售利润达元． 16．（25-26学年九上·山东青岛南区青岛超银中学·期中）已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程：　　　　　　　. 【答案】(x+1)2=25 【分析】此图形的面积等于两个正方形面积的差，据此即可列出方程. 【详解】根据题意得：（x+1） 2 -1=24， 即：（x+1） 2 =25． 故答案为（x+1） 2 =25． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用——图形问题，解题的关键是明确图中不规则图形的面积计算方法. 17．（25-26学年九上·山东青岛·期中）“秋凉玉梨熟，一梨润三秋”．秋月梨以汁水甘甜充盈、松脆无渣深受消费者喜爱．某果园原计划种植100棵秋月梨树，一棵梨树平均结40千克梨，现准备多种一些梨树以提高产量．试验发现，每多种1棵梨树，平均每棵梨树的产量就会减少千克，但多种的梨树不能超过25棵．如果要使产量达到4200千克，那么应多种多少棵梨树？ 【答案】20 【分析】 本题主要考查了一元二次方程的应用，申请题意、正确列出一元二次方程是解题的关键． 设应多种x棵梨树，，然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】 解：设应多种x棵梨树，， 由题意可得：， 整理得：， 解得：或40（不符合题意舍弃）． 答：应多种20棵梨树． 18．（25-26学年九上·山东青岛·期中）如图，某湿地公园生态观光区是一个长、宽的矩形，内部开辟了一条“H”形的景观步道栈桥（步道找桥的宽都相等），剩余2块区域的面积共．设步道找桥的宽为，则可列方程为　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解题的关键． 由道路的宽度为，可得出剩余田地部分可合成长为，宽为的矩形，再根据剩余田地的面积为，即可列出关于x的一元二次方程． 【详解】 解：设步道找桥的宽为，则剩余区域部分可合成长为，宽为的矩形， 由剩余2块区域的面积共，则可列方程为：． 故答案为：． 19．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）综合与实践：在手工制作课上，老师提供了如图1所示的矩形硬纸板（规格：，），要求大家利用它制作一个有盖的长方体收纳盒．小明按照图2裁剪，恰好得到收纳盒的展开图，并利用该展开图折成一个有盖的长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分（如图3所示）． （1）若收纳盒高是，则该收纳盒底面的边___________，___________； （2）如图3，若收纳盒的底面积是，如图4，一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该收纳盒？（要能盖上盖子，且不考虑倾斜放入） 【答案】（1）20，40     （2）不能      【分析】 本题主要考查了长方体展开图的特点，一元二次方程的实际应用． （1）根据题意可得高的2倍加上的长等于的长，高的2倍加上2倍的的长等于的长，据此求解即可； （2）设收纳盒高为，，进而表示出底面长方形的长和宽，根据长方形面积计算公式建立方程求出长、宽、高，据此可得结论． (1) 小问详解： 解：由题意得，，． 故答案为：20；40； (2) 小问详解： 解：设收纳盒高为， 根据题意得， ，（舍去）， 收纳盒长、宽、高分别为、、， ， 玩具机械狗不能放入该收纳盒． 20．（25-26学年九上·山东青岛青岛大学附属中学·期中）五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，大长方形的面积是，则以小长方形的宽为边长的正方形面积是　　　　　　 ． 【答案】 【分析】 本题考查了一元二次方程的应用． 根据大长方形的面积计算出小长方形的面积，由图可知长为宽的3倍，设宽为，则长为，根据长方形的面积公式即可作答． 【详解】 解：因为大长方形的面积是， 所以小长方形的面积是， 设宽为，则长为， 所以， 即， 所以以小长方形的宽为边长的正方形面积是． 故答案为：． 21．（25-26学年九上·山东济南稼轩学校·期中）某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份，假设这两种快餐每天销售总数不变． （1）设每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖___________份，B种快餐可少卖___________份； （2）若该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元，则每份A种快餐利润应降多少元？ 【答案】（1）     （2）每份种快餐利润应降5元或7元      【分析】 本题主要考查二次函数的应用和列代数式，正确找到量之间的关系是解题关键． （1）设每份A种快餐利润降x元，根据每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份可列代数式； （2）根据该快餐店每天售出A、B两种快餐的总利润达到1260元列方程求解即可． (1) 小问详解： 解：∵在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份， ∴每份A种快餐利润降x元，则A种快餐可多卖份，B种快餐可少卖份； 故答案为：，； (2) 小问详解： 解：据题意知：， 整理得：； 解得：． 答：则每份种快餐利润应降5元或7元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $