四川省渠县中学2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题

四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列说法不正确的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的邻边相等 D．正方形的四条边均相等 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0 3．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝2，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 第3题图 第5题图 第6题图 第7题图 4．在估算一元二次方程x2+2x﹣4＝0的根时，小晗列表如表：由此可估算方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x﹣4 ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若BD＝8，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝7，则CE的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 7．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得∠B＝60°，对角线AC＝9cm，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线AC的长度（　　） A．保持不变 B．增加了1cm C． D． 8．已知a是方程x2+2025x﹣1＝0的一个根，则代数式a（a+1）（a﹣1）+2025a2+1的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有一个根为2，则m＝　　 ． 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为 　　 ． 第10题图 第12题图 第13题图 11．九（1）班开学第一节课，班长为了让同学们能快速熟悉起来，要求两人都相互握一次手，据统计一共握手990次，则九（1）班的人数是　　 ． 12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　　 ． 13．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为 　　 ． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）用合适的方法解下列方程：（1）x2+6x﹣7＝0． （2）3x2﹣5x+2＝0． 15．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 16．（10分）先化简，再求值：，其中a是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的实数根． 17．（10分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长． 18．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从点C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：CE＝______cm，CD＝________cm；（用含t的代数式表示）． （2）t为何值时，△CDE的面积等于△ABC的面积的？ （3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 20．在数学课上老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c（b、c是常数）配成2（x﹣m）2﹣3（m是常数）的形式，则b+c的最小值是 　　 ． 21．如图1是某创意图书馆一款壁灯，图2是从图1中提取出的图形，正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形．若该正八边形的边长为2，则菱形IJEK的面积为　　 ． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，△ABC的周长为 　　 ． 23．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E；过点D作DF∥AE交BC于点F，连接AF，AB＝4，AD＝5，则AF的长是 　　 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）＝m+3，求m的值． 25．（10分）某水果批发商场经销一种进口高档水果，为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，商场将售价从原来的每千克60元经两次调价后调至每千克48.6元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率是多少？ （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利20元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利12000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 26．（12分）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 参考答案 四川省达州市渠县中学2026-2027学年九年级上学期第四周学情自测数学试题 （全卷满分150分，考试时间120分钟） 全卷分A卷和B卷，A卷100分，B卷50分，全卷总分150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 1．下列说法不正确的是（　　） A．平行四边形的对角相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的邻边相等 D．正方形的四条边均相等 【解答】解：平行四边形的对角相等，故A选项正确，不符合题意， 矩形的对角线相等但不一定垂直，故B选项错误，符合题意， 菱形的邻边相等，故C选项正确，不符合题意， 正方形的四条边均相等，故D选项正确，不符合题意， 故选：B． 2．下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　） A．x2﹣x（x+3）＝0 B．ax2+bx+c＝0 C．x2﹣2x﹣3＝0 D．x2﹣2y﹣1＝0 【解答】解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 3．如图，在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ＝2，那么菱形ABCD的周长是（　　） A．16 B．8 C．4 D．2 【解答】解：在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点， ∴PQ是三角形ADC的中位线， ∴CD＝2PQ＝4， ∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16， 故选：A． 4．在估算一元二次方程x2+2x﹣4＝0的根时，小晗列表如表：由此可估算方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围是（　　） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x2+2x﹣4 ﹣1 ﹣0.59 ﹣0.16 0.29 0.76 A．1＜x＜1.1 B．1.1＜x＜1.2 C．1.2＜x＜1.3 D．1.3＜x＜1.4 【解答】解：∵x＝1.2，x2+2x﹣4＝﹣0.16＜0；x＝1.3，x2+2x﹣4＝0.29＞0， ∴当x在1.2与1.3之间取一个数时，x2+2x﹣4＝0， 即方程x2+2x﹣4＝0的一个根x的范围为1.2＜x＜1.3． 故选：C． 5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O．若BD＝8，则AC的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝AC＝8． 故选：D． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，E是AD中点，若BD＝7，则CE的长为（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠DAB＝∠B， ∴AD＝BD＝7， 在Rt△ACB中，E是AD中点， ∴， 故选：B． 7．小明用四根长度相同的木条制作了如图1所示的能够活动的菱形学具，并测得∠B＝60°，对角线AC＝9cm，接着把活动学具变为如图2所示的正方形，则相对于图1，图2中对角线AC的长度（　　） A．保持不变 B．增加了1cm C． D． 【解答】解：如图1，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝9cm， ∴图2中正方形的对角线AC的长为9cm， ∴相对于图1，图2中对角线AC的长度增加了9（1）cm， 故选：C． 8．已知a是方程x2+2025x﹣1＝0的一个根，则代数式a（a+1）（a﹣1）+2025a2+1的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．0 D．2 【解答】解：由条件可知：a2+2025a﹣1＝0，即a2+2025a＝1， a（a+1）（a﹣1）+2025a2+1 ＝a（a2﹣1）+2025a2+1 ＝a3﹣a+2025a2+1 ＝a（a2+2025a）﹣a+1 ＝a﹣a+1 ＝1． 故选：A． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 9．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3x+m＝0有一个根为2，则m＝　﹣2　 ． 【解答】解：有条件可得2×22﹣3×2+m＝0， 解得：m＝﹣2， 故答案为：﹣2． 10．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，已知∠AOB＝60°，AC＝6，则AB的长为 　3　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AC、BD互相平分， ∴， ∵AC＝6， ∴AO＝BO＝3， ∴△AOB是等腰三角形， ∵∠AOB＝60°， ∴∠BAO＝∠ABO＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝AO＝3， 故答案为：3． 11．九（1）班开学第一节课，班长为了让同学们能快速熟悉起来，要求两人都相互握一次手，据统计一共握手990次，则九（1）班的人数是　45　 ． 【解答】解：设九（1）班的人数是x， 由题意，得， 解得x1＝45，x2＝﹣44（舍）， ∴九（1）班的人数是45， 故答案为：45． 12．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，DE⊥AB于点E，则DE的长为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6， ∴， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，，OB＝ODBD＝3， ∴在直角三角形AOB中，， ∴． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，四边形OABC是正方形，点A的坐标为（3，4），则点B的坐标为 　（﹣1，7）　 ． 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥AD于点E， ∵A（3，4）， ∴OD＝3，AD＝4， ∵四边形OABC是正方形， ∴AB＝AO，∠BAO＝90°， ∴∠BAE+∠OAD＝90°， ∵AD⊥x轴，BE⊥AD， ∴∠E＝∠ADO＝90°， ∴∠BAE+∠ABE＝90°， ∴∠ABE＝∠OAD， 在△ABE和△OAD中， ， ∴△ABE≌△OAD（AAS）， ∴OD＝AE＝3，AD＝BE＝4， ∴B（3﹣4，4+3），即B（﹣1，7）， 故答案为：（﹣1，7）． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分） 14．（8分）用合适的方法解下列方程：（1）x2+6x﹣7＝0． （2）3x2﹣5x+2＝0． 【解答】解：（1）x2+6x﹣7＝0， （x+7）（x﹣1）＝0， x+7＝0或x﹣1＝0， 所以x1＝﹣7，x2＝1； （2）3x2﹣5x+2＝0， （3x﹣2）（x-1）＝0， 3x﹣2＝0或x-1＝0， 所以x1，x2＝1． 15．（8分）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC和CD上，且∠AEB＝∠AFD．求证：BE＝DF． 【解答】证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D． 在△ABE和△ADF 中， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴BE＝DF． 16．（10分）先化简，再求值：，其中a是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的实数根． 【解答】解：原式 ， 解方程x2﹣5x+6＝0得x＝2或x＝3， ∵a是一元二次方程x2﹣5x+6＝0的实数根， ∴a＝2或a＝3， 当a＝2时，原式没有意义， 当a＝3时，原式． 17．（10分）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，CE∥BD交AD的延长线于点E，CE＝AC． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝4，AD＝3，求四边形BCED的周长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AE∥BC， ∵CE∥BD， ∴四边形BCED是平行四边形， ∴CE＝BD． ∵CE＝AC， ∴AC＝BD． ∴▱ABCD是矩形； （2）解：∵AB＝4，AD＝3，∠DAB＝90°， ∴． ∵四边形BCED是平行四边形， ∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）＝2×（3+5）＝16． 18．（12分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从点C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts． （1）根据题意知：CE＝　3t cm，CD＝　（8﹣4t）　 cm；（用含t的代数式表示）． （2）t为何值时，△CDE的面积等于△ABC的面积的？ （3）点D、E运动时，DE的长可以是4cm吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【解答】解：（1）∵△ABC中，AC＝8cm，动点D从点A出发以4cm/s速度向点C移动，同时动点E从点C出发以3cm/s的速度向点B移动，设它们的运动时间为ts， ∴CE＝3tcm，CD＝（8﹣4t）cm， 故答案为：3t；（8﹣4t）； （2）当△CDE的面积等于△ABC的面积的时， 根据题意得：， 整理得：t2﹣2t+1＝0， 解得：t1＝t2＝1， 答：t＝1，即运动1秒时，△CDE的面积等于△ABC的面积的； （3）点D、E运动时，DE的长不可以是4cm；理由如下： 如果可以，由勾股定理得：（3t）2+（8﹣4t）2＝42， 整理得：25t2﹣64t+48＝0， ∵Δ＝（﹣64）2﹣4×25×48＝﹣704＜0， ∴该方程没有实数根， ∴DE的长不可以是4cm． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 19．若关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 m＜0且m≠﹣1　 ． 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m+1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝（﹣2）2﹣4×（m+1）×1＝﹣4m＞0，且m+1≠0， 解得m＜0且m≠﹣1， 故答案为：m＜0且m≠﹣1． 20．在数学课上老师要求同学们将一个关于字母x的二次三项式2x2+bx+c（b、c是常数）配成2（x﹣m）2﹣3（m是常数）的形式，则b+c的最小值是 　﹣5　 ． 【解答】解：∵2（x﹣m）2﹣3＝2x2﹣4mx+2m2﹣3， ∴b＝﹣4m，c＝2m2﹣3， ∴b+c＝2m2﹣4m﹣3＝2（m2﹣2m）＝2（m﹣1）2﹣5， 当m﹣1＝0时，有最小值， 即b+c＝﹣5， 故答案为：﹣5． 21．如图1是某创意图书馆一款壁灯，图2是从图1中提取出的图形，正八边形ABCDEFGH被分割成两个正方形和四个菱形．若该正八边形的边长为2，则菱形IJEK的面积为　　 ． 【解答】解：正八边形的内角为，即∠DEF＝∠D＝∠F＝135°． ∵四边形CDEJ，EFGK是菱形， ∴CD∥EJ，EK∥FG，KE＝EF＝2，EJ＝DE＝2， ∴∠FEK＝180°﹣∠F＝45°，∠DEJ＝180°﹣∠D＝45°， ∴∠JEK＝∠DEF﹣∠DEJ﹣∠FEK＝45°． 菱形IJEK的示意图如答图所示，过点K作KM⊥EJ于点M． 在Rt△KEM中，∠KME＝90°，∠JEK＝45°， ∴菱形IJEK的面积． 故答案为：2． 22．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3＝0，当Rt△ABC的斜边长a为，且两条直角边的长b和c恰好是这个方程的两个根时，△ABC的周长为 　7　 ． 【解答】解：根据根与系数的关系得b+c＝2k+1，bc＝4k﹣3， ∵b、c为直角边，斜边a为， ∴b2+c2＝（）2， ∴（b+c）2﹣2bc＝31， ∴（2k+1）2﹣2（4k﹣3）＝31， 整理得k2﹣k﹣12＝0， （k﹣3）（k+2）＝0， k﹣3＝0或k+2＝0， 解得k1＝3，k2＝﹣2（舍去）， ∴b+c＝2×3+1＝7， ∴△ABC的周长＝7． 故答案为：7． 23．如图，以矩形ABCD的顶点A为圆心，AD长为半径画弧交CB的延长线于E；过点D作DF∥AE交BC于点F，连接AF，AB＝4，AD＝5，则AF的长是 　2　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴∠ABE＝90°， ∵DF∥AE，AD∥EF， ∴四边形ADFE是平行四边形， 由作图得AE＝AD＝5， ∴四边形ADFE是菱形， ∴FE＝AE＝5， ∴3， ∴BF＝FE﹣BE＝5﹣3＝2， ∴AF2， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分） 24．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求实数m的取值范围； （2）若（x1+1）（x2+1）＝m+3，求m的值． 【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣4x﹣2m+5＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝b2﹣4ac＝16﹣4×1×（﹣2m+5）＝8m﹣4＞0， 解得m． 故实数m的取值范围是m； （2）根据根与系数的关系得，x1+x2＝4，x1x2＝﹣2m+5， ∵（x1+1）（x2+1）＝m+3， ∴x1+x2+x1x2＝m+2， ∴（x1+1）（x2+1）＝m+2， ∴4﹣2m+5＝m+2， 解得m． 故m的值是． 25．（10分）某水果批发商场经销一种进口高档水果，为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，商场将售价从原来的每千克60元经两次调价后调至每千克48.6元． （1）若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率是多少？ （2）现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利20元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少10千克，现该商场要保证每天盈利12000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？ 【解答】解：（1）设这个降价率为x， 由题意得，60（1﹣x）2＝48.6， 解得，x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（舍去）， 答：这个降价率是10%． （2）设每千克水果应涨价y元， 依题意得方程：（20+y）（500﹣10y）＝12000， 整理，得y2﹣30y+200＝0， 解这个方程，得，y1＝10，y2＝20， 要使顾客得到实惠，应取y＝10， 答：每千克水果应涨价10元． 26．（12分）如图1，P为正方形ABCD的边BC上一动点（P与B、C不重合），点Q在CD边上，且BP＝CQ，连接AP、BQ交于点E． （1）求证：AP⊥BQ； （2）当P运动到BC中点处时（如图2），连接DE，请你判断线段DE与AD之间的关系，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，过A点作AM⊥DE于点H，交BQ、CD于点N、M，若AB＝2，求QM的长度． 【解答】解：（1）在正方形ABCD中有：AB＝BC，∠ABP＝∠BCQ＝90°， ∵BP＝CQ， ∴△ABP≌△BCQ（SAS）， ∴∠PAB＝∠QBC， ∵∠QBC+∠ABQ＝90°， ∴∠PAB+∠ABQ＝90°， ∴∠AEB＝90°， ∴AP⊥BQ； （2）AD＝DE，理由如下： 如图，延长BQ、AD交于一点F， 当点P为BC中点时，Q为CD中点，即CQ＝DQ， ∵∠FQD＝∠BQC，∠FDQ＝∠C， ∴△FDQ≌△BCQ（ASA）， ∴FD＝BC， ∴FD＝AD， 由（1）得：∠FEA＝90°， ∴DEFA＝AD； （3）由（1）得：AP⊥BQ， ∴∠ANE+∠NAE＝90°， ∵∠NAE+∠AEH＝90°， ∴∠ANE＝∠AEH， 设∠ANE＝∠AEH＝α， ∵DE＝DA， ∴∠DAE＝∠AEH＝α， ∵AD∥BC， ∴∠APB＝∠DAE＝α， ∵△PAB≌△QBC， ∴∠CQB＝∠APB＝α， ∵∠QNM＝∠ANE＝α， ∴∠CQB＝∠QNM， ∴QM＝MN， ∵CD∥AB， ∴∠ABQ＝∠CQB＝α， ∴∠ABQ＝∠ANE， ∴AN＝AB＝2， 设QM＝MN＝x，则DM＝DQ+QM＝1+x，AM＝AN+MN＝2+x， ∵AD2+DM2＝AM2， ∴22+（x+1）2＝（x+2）2， 解得：x， ∴QM． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $