2.3 单摆（重难点专练）物理粤教版选择性必修第一册

可学科网·上好课 www.zxxk.com 2.3单摆 目录 题型01单摆及其回复力 题型02单摆周期公式的理解与应用 题型03等效单摆问题 题型01单摆及其回复力 解题必备 1.受力分析要点： ·明确单摆只受重力和绳的拉力两个力： ·回复力是重力沿切线方向的分力，不是合力： ·在平衡位置，回复力为零，但合力提供向心力，不为零： ·在最大位移处，速度为零，向心力为零，合力等于回复力。 2.运动规律分析： ·靠近平衡位置：位移减小，回复力减小，加速度减小，速度增大： ·远离平衡位置：位移增大，回复力增大，加速度增大，速度减小： ·平衡位置：速度最大，动能最大，势能最小： ·最大位移处：速度为零，动能为零，势能最大。 3.简谐运动条件的判断： ·首先看摆角是否小于5°： ·其次看回复力是否满足F=一k心的形式。 题型精练 1,如图甲所示，一根细线拉着一个小摆球在竖直平面内做小角度摆动（日< 球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。g取9.8m/s2 1/8 上好每一堂课 5°)，不计空气阻力。某次摆 下列说法正确的是() 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ↑x/cm 8 0-0--0 甲 A.1=0.5s时摆球所受合力为零 B.从t=0至t=0.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 C.从t=1.0s至t=1.5s的过程中，摆球在向左做加速运动 D.该单摆的摆长约为2m 2.如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置 的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，8取10m/s2。对于这个单摆的振动过程，下列 说法中正确的是() tuuu x/cm 8 甲 乙 A.单摆的摆长约为l.0m B.单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=8sin(πt)cm C.从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D.从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 3.如图所示，以O点为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动。下列说法正确的是() L∠ A.摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动 B.摆球经过平衡位置时所受合力为零 2/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.从A点计时，经过一个周期小球重力的冲量一定不为零 D.从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小 4.如图所示，不可伸长的轻质细线与可视为质点的小球组成单摆。将摆球拉离平衡位置A点后由静止释 放，摆球做简谐运动，B、C两点为摆球运动过程中能达到的最高位置。下列说法中正确的是() L∠∠∠L∠∠ B- A.摆球经过A点时，加速度为零 B.摆球经过B点时，加速度为零 C,由A点运动到B点的过程中，摆球的回复力变大 D.由A点运动到C点的过程中，摆球的机械能守恒 5.如图甲所示，一单摆做小角度（日<5°）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对 平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取π2≈10，重力加速度 g=10m/s2,对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是() ◆x/cm P 0 t's 甲 乙 A.单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B.t=1.0s时，摆球运动的位移为零，速度为零 C.t=1.0s时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D.从t=1.0s到t=1.5s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型02单摆周期公式的理解与应用 解题必备 1.周期公式的适用条件： ·仅适用于摆角日<5°的情况； ·L为等效摆长（悬点到球心的距离）； ·g为当地的重力加速度或等效重力加速度。 2.比例关系的应用： ·TxL:摆长变为原来的n倍，周期变为原来的n倍： 1 1 . 重力加速度变为原来的n倍，周期变为原来的可n倍： ·T与质量、振幅无关。 3.常见场景分析： ·地点变化（如赤道到两极）：g变化导致T变化： ·摆长变化（如绳长改变、钉挡摆）：L变化导致T变化： ·系统加速：利用等效重力加速度9等分析周期变化。 题型精练 6.在铁架台上挂一个盛沙的漏斗，下方放一张白纸，漏斗左右摆动的同时，沙子匀速流出，经过一段时 间后，沙子堆积形成的剖面图是() A. B WWi 7.在一些古典家居装饰中，会看到大摆钟。某大摆钟如图甲所示，可看成单摆，摆的振动图像如图乙所 示，则大摆钟的摆长约为() 4/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ◆x/cm 10 1.5 0 -10 甲 A.0.64m B.1.28m C.1.5m D.2.25m 8.用如图实验装置研究单摆的振动图像，图中的摆球是质量分布均匀的空心球，给球中灌满墨水。摆动 中，墨水可以从球体正下方小孔中缓缓流出，到墨水全部流完，摆球的振动周期() A.逐渐变大 B.先变大后变小 C.逐渐变小 D.先变小后变大 9.如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是() ◆x/cm t/s A.甲、乙两摆的振幅之比为2：1 B.t=2s时，甲摆摆球到达重力势能最小处，乙摆摆球的动能为零 C.甲、乙两摆的摆长之比为1：2 D.甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度 10.发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大() A.增大摆球质量 B.增大摆长 C.将单摆由山下移到山顶 D.把单摆放在加速上升的升降机中 5/8 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型03 等效单摆问题 解题必备 1.等效摆长的确定方法： R ·找到摆球做圆周运动的圆心（等效悬点）； ·测量圆心到摆球重心的距离，即为等效摆长L等； ·注意：遇到钉子、圆弧面等情况时，圆心位置可能发生变化。 2.等效重力加速度的确定方法： ·让摆球相对系统静止在平衡位置： ·分析此时绳的拉力T拉： ·等效重力加速度g等= 3.常见模型速解： 22222222228222282466 L ·钉挡摆：周期为两个不同摆长单摆周期的一半之和，即T=π ·圆弧摆：直接用圆弧半径R代替摆长L(注意减去球半径)； ·斜面摆/电场中：先求等效g,再代入周期公式。 题型精练 6/8 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11.如图所示，光滑圆弧形凹槽固定在水平地面上，O为圆心，半径为R,C为圆弧的最低点，弧长 ACB<R。可视为质点的小球先后从图中的a、b两点由静止释放。在上述两次小球从释放到第一次经过 C点的过程中，下列说法正确的是() R a b C A.小球动能的变化量相等 B.小球机械能的变化量相等 C.小球重力的冲量相同 D.小球合外力的冲量相同 12.如图所示，摆长为1的单摆悬于架上，架固定于小车，使小车沿倾角为P的斜面以加速度向下做匀 加速运动，求此时单摆振动的周期。 p 13.如图所示，在车厢中悬挂摆长为1的单摆，当车厢沿水平方向以加速度α运动时，求单摆相对车厢做 简谐运动的周期。 F a ○→ma mg 777777777777777777777777 14.如图所示，一根长为1的绝缘细线，下端系一带电量为+9、质量为的小球，整个装置处在场强为 E、方向水平向右的匀强电场中，在摆角小于5°时，求它的摆动周期。 m⊕ 15,如图所示，一个摆长为I的单摆置于倾角为日的光滑斜面上，悬点在垂直斜面的直杆上，且悬线与斜 7/8 可学科网·上好课 www zxxk.com 面的夹角为α，求单摆沿斜面做简谐运动时的周期。 0 8/8 上好每一堂课 2.3 单摆 题型01 单摆及其回复力 题型02 单摆周期公式的理解与应用 题型03 等效单摆问题 ▌题型01 单摆及其回复力 1. 受力分析要点： ·明确单摆只受重力和绳的拉力两个力； ·回复力是重力沿切线方向的分力，不是合力； ·在平衡位置，回复力为零，但合力提供向心力，不为零； ·在最大位移处，速度为零，向心力为零，合力等于回复力。 2. 运动规律分析： ·靠近平衡位置：位移减小，回复力减小，加速度减小，速度增大； ·远离平衡位置：位移增大，回复力增大，加速度增大，速度减小； ·平衡位置：速度最大，动能最大，势能最小； ·最大位移处：速度为零，动能为零，势能最大。 3. 简谐运动条件的判断： ·首先看摆角是否小于 5°； ·其次看回复力是否满足 的形式。 1．如图甲所示，一根细线拉着一个小摆球在竖直平面内做小角度摆动（），不计空气阻力。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。取，下列说法正确的是（　　） A．时摆球所受合力为零 B．从至的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 C．从至的过程中，摆球在向左做加速运动 D．该单摆的摆长约为 【答案】B 【详解】A．由图乙，振幅，周期，故角频率 因此振动方程为 时，，位移，处于正向最大位移处。单摆在最大位移处受重力和拉力，在切向分力提供回复力，合力不为零，故A错误； B．从至的过程中，摆球从平衡位置向最大位移运动，位移大小增大。回复力大小与位移大小成正比，故逐渐增大，故B正确； C．时，，单摆位于平衡位置处，此时速度大小最大，之后单摆向左运动；时，，摆球从平衡位置向左运动到负向最大位移处，速度为零，回复力向右，与速度方向相反，故摆球做减速运动，故C错误； D．由单摆周期公式变形得 代入数据解得，故D错误。 故选B。 2．如图甲所示，一个单摆做小角度摆动，从某次摆球由左向右通过平衡位置时开始计时，相对平衡位置的位移随时间变化的图像如图乙所示。不计空气阻力，取。对于这个单摆的振动过程，下列说法中正确的是（     ） A．单摆的摆长约为 B．单摆的位移随时间变化的关系式为 C．从到的过程中，摆球的重力势能逐渐增大 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐减小 【答案】ABD 【详解】A．从图乙可得单摆的振动周期 ，振幅 根据单摆周期公式 代入、，可得 ，故A正确； B．角频率 时摆球在平衡位置，且向位移正方向运动，因此位移关系式为 ，故B正确； C．由图乙可知，从到的过程中，摆球从最大位移处（最高点）向平衡位置（最低点）运动，此过程摆球高度降低，重力势能逐渐减小，故C错误； D．单摆回复力满足 ，回复力大小与位移大小成正比。由图乙可知，从到的过程中，摆球从最大位移处（最高点）向平衡位置（最低点）运动，位移逐渐减小，因此回复力大小逐渐减小，故D正确。 故选 ABD。 3．如图所示，以O点为平衡位置，小球在A、B间做简谐运动。下列说法正确的是（　　） A．摆球从A点经O点运动到B点即完成一次全振动 B．摆球经过平衡位置时所受合力为零 C．从A点计时，经过一个周期小球重力的冲量一定不为零 D．从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力不断增大，回复力不断减小 【答案】CD 【详解】A．摆球从A点经O点运动到B点，然后从B点再经过O点返回A点，摆球完成一次全振动，A错误； B．单摆摆动到O点时，只受重力和绳子的拉力，回复力为零，但是拉力大于重力，摆球具有向上的向心加速度，摆球经过平衡位置时所受合力不为零，B错误； C．根据重力冲量 重力和时间均不为零，所以经过一个周期小球重力的冲量一定不为零，C正确； D．从A点向O点运动的过程中，摆球受到的拉力 速度不断增大，逐渐减小，不断增大； 回复力 位移不断减小，回复力不断减小，D正确。 故选CD 。 4．如图所示，不可伸长的轻质细线与可视为质点的小球组成单摆。将摆球拉离平衡位置A点后由静止释放，摆球做简谐运动，、C两点为摆球运动过程中能达到的最高位置。下列说法中正确的是（　　） A．摆球经过A点时，加速度为零 B．摆球经过点时，加速度为零 C．由A点运动到点的过程中，摆球的回复力变大 D．由A点运动到C点的过程中，摆球的机械能守恒 【答案】CD 【详解】A.摆球经过A点时，有指向圆心的向心加速度，故A错误； B.摆球经过点时，向心加速度为0，但是有沿切线方向的切向加速度，故B错误； C.根据简谐运动规律知，离平衡位置越远，回复力越大，故由A点运动到点的过程中，摆球的回复力变大，故C正确； D.单摆运动是动能和重力势能相互转化，在这个过程中小球机械能守恒，故D正确。 故选CD。 5．如图甲所示，一单摆做小角度（）摆动。从某次摆球由左向右通过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙所示。忽略空气阻力不计，取，重力加速度，对于这个摆球的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．单摆做简谐运动时，摆长约为1.0m B．时，摆球运动的位移为零，速度为零 C．时，摆球运动的速度最大，加速度为零 D．从到的过程中，摆球所受回复力逐渐增大，摆线上的拉力逐渐减小 【答案】AD 【详解】A．由图可知单摆的周期为，根据单摆周期公式 解得摆长约为，故A正确； B．时，摆球运动的位移为零，速度最大，故B错误； C．时，摆球运动的速度最大，在最低点，有 加速度不为零，故C错误； D．从到的过程中，位移变大，根据可知回复力逐渐增大；根据牛顿第二定律有 可得摆线上的拉力 随着角度变大，变小，速度变小，可得摆线上的拉力变小，故D正确。 故选AD。 ▌题型02 单摆周期公式的理解与应用 1. 周期公式的适用条件： ·仅适用于摆角 的情况； ·L为等效摆长（悬点到球心的距离）； ·g为当地的重力加速度或等效重力加速度。 2. 比例关系的应用： ·：摆长变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·：重力加速度变为原来的n倍，周期变为原来的倍； ·与质量、振幅无关。 3. 常见场景分析： ·地点变化（如赤道到两极）：g变化导致T变化； ·摆长变化（如绳长改变、钉挡摆）：L变化导致T变化； ·系统加速：利用等效重力加速度分析周期变化。 6．在铁架台上挂一个盛沙的漏斗，下方放一张白纸，漏斗左右摆动的同时，沙子匀速流出，经过一段时间后，沙子堆积形成的剖面图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】漏斗摆动时，经过最大位移处（左右两个端点）时，漏斗的速度最小，通过相同距离所用时间较长，而细沙匀速流出，则白纸上沙子堆积较多；漏斗经过平衡位置时速度最大，通过相同距离所用时间较短，而细沙匀速流出，说明平衡位置堆积的沙子较少。 故选B。 7．在一些古典家居装饰中，会看到大摆钟。某大摆钟如图甲所示，可看成单摆，摆的振动图像如图乙所示，则大摆钟的摆长约为（　　） A．0.64m B．1.28m C．1.5m D．2.25m 【答案】D 【详解】由题图乙可知，单摆的周期T=3s，由单摆的周期公式有，解得摆长为 故选D。 8．用如图实验装置研究单摆的振动图像，图中的摆球是质量分布均匀的空心球，给球中灌满墨水。摆动中，墨水可以从球体正下方小孔中缓缓流出，到墨水全部流完，摆球的振动周期（　　） A．逐渐变大 B．先变大后变小 C．逐渐变小 D．先变小后变大 【答案】B 【详解】根据单摆的周期公式 摆长为悬点到球重心的距离，摆动中，墨水可以从球体正下方小孔中缓缓流出，到墨水全部流完，球的重心先下降后上升，则摆长先增大后减小，所以周期先变大后变小，则B正确；ACD错误； 故选B。 9．如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的振动图像，下列说法正确的是（　　） A．甲、乙两摆的振幅之比为2:1 B．时，甲摆摆球到达重力势能最小处，乙摆摆球的动能为零 C．甲、乙两摆的摆长之比为1:2 D．甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度 【答案】ABD 【详解】A．根据图示可知，甲摆的振幅为2cm，乙摆的振幅为1cm，则甲、乙两摆的振幅之比为2:1，故A正确； B．2s时，甲的位移为0，表明甲摆摆球位于最低点，此时甲摆摆球到达重力势能最小处乙的位移为最大值1cm，表明乙摆摆球位于最高点，此时乙摆摆球的动能为零，故B正确； C．根据图示可知， 根据单摆周期公式有， 解得，故C错误； D．令甲、乙摆动过程的摆角分别为、，在最低点的速度大小分别为、，根据动能定理有， 摆球在最低点时的向心加速度分别为， 解得， 由于甲的摆长小于乙的摆长，甲的振幅大于乙的振幅，则有 解得 即甲摆摆球在最低点时的向心加速度大于乙摆摆球在最低点时的向心加速度，故D正确。 故选ABD。 10．发生下述哪一种情况时，单摆周期会增大（　　） A．增大摆球质量 B．增大摆长 C．将单摆由山下移到山顶 D．把单摆放在加速上升的升降机中 【答案】BC 【详解】BC．由单摆的周期公式可知，g减小或摆长l增大时周期会变大，将单摆由山下移到山顶，g会减小，故BC正确； A．由单摆的周期公式可知，单摆周期与摆球质量无关，故A错误； D．加速上升的升降机中单摆等效重力加速度增大，由单摆的周期公式可知，周期减小，故D错误。 故选BC。 ▌题型03 等效单摆问题 1. 等效摆长的确定方法： ·找到摆球做圆周运动的圆心（等效悬点）； ·测量圆心到摆球重心的距离，即为等效摆长； ·注意：遇到钉子、圆弧面等情况时，圆心位置可能发生变化。 2. 等效重力加速度的确定方法： ·让摆球相对系统静止在平衡位置； ·分析此时绳的拉力； ·等效重力加速度。 3. 常见模型速解： ·钉挡摆：周期为两个不同摆长单摆周期的一半之和，即； ·圆弧摆：直接用圆弧半径 R 代替摆长 L （注意减去球半径）； ·斜面摆/电场中：先求等效g，再代入周期公式。 11．如图所示，光滑圆弧形凹槽固定在水平地面上，O为圆心，半径为R，C为圆弧的最低点，弧长。可视为质点的小球先后从图中的a、b两点由静止释放。在上述两次小球从释放到第一次经过C点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球动能的变化量相等 B．小球机械能的变化量相等 C．小球重力的冲量相同 D．小球合外力的冲量相同 【答案】BC 【详解】A．设小球初始位置到C点的竖直高度为h，根据动能定理可得 所以 由于高度不同，所以小球到达C点的速度大小不相等，动能变化量不相等，故A错误； B．小球运动过程中只有重力做功，机械能守恒，所以小球机械能的变化量相等，故B正确； C．该装置可类比单摆，根据单摆的周期公式可得，小球从初始位置运动到最低点的时间为 由此可知，小球运动的时间相等，小球重力的冲量为，故C正确； D．根据动量定理可得，小球合外力的冲量为 由于高度不同，所以合外力的冲量不同，故D错误。 故选BC。 12．如图所示，摆长为l的单摆悬于架上，架固定于小车，使小车沿倾角为的斜面以加速度a向下做匀加速运动，求此时单摆振动的周期。 【答案】 【详解】以加速下滑的小车为参照系，在平衡位置小球受到重力、细线拉力、及惯性力的作用，如图所示 惯性力与重力间的夹角为，这两个力的合力为 摆动过程中的回复力就是由F的切向分力来提供，则等效的重力加速度 故该摆的周期 13．如图所示，在车厢中悬挂摆长为l的单摆，当车厢沿水平方向以加速度a运动时，求单摆相对车厢做简谐运动的周期。 【答案】​ 【详解】以车厢为参考系，车厢的加速度为，摆球受到竖直向下的重力和水平方向、大小为的惯性力。两力的合力大小为 所以 在小振幅条件下，单摆在等效重力场中的运动仍为简谐运动。由单摆周期公式 代入等效重力加速度得 14．如图所示，一根长为l的绝缘细线，下端系一带电量为、质量为m的小球，整个装置处在场强为E、方向水平向右的匀强电场中，在摆角小于时，求它的摆动周期。 【答案】​ 【详解】小球所受重力与电场力相互垂直，二者的合力大小为 将合力方向视为等效重力方向，则等效重力加速度满足，所以 摆角小于时可视为小角度单摆，由单摆周期公式得 代入等效重力加速度，得 15．如图所示，一个摆长为l的单摆置于倾角为的光滑斜面上，悬点在垂直斜面的直杆上，且悬线与斜面的夹角为α，求单摆沿斜面做简谐运动时的周期。 【答案】​ 【详解】设悬点为，过作斜面的垂线，垂足为。摆球在斜面内运动时到的距离恒为，故其轨迹为以为圆心的圆。几何关系和斜面内的运动情况如图所示。 由直角三角形的几何关系得轨迹半径为 设摆球相对最低点的圆心角为，弧位移为 并规定偏离最低点的方向为正方向。绳的拉力在斜面内的分量沿方向，斜面的支持力垂直斜面，二者在轨迹切线方向均无分量。重力沿斜面向下的分量大小为。沿轨迹切线方向，由牛顿第二定律得 小角度摆动时，结合 可得 根据简谐运动的加速度特征 整理得 由周期与角频率的关系得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 单摆 题型01 单摆及其回复力 题型02 单摆周期公式的理解与应用 题型03 等效单摆问题 ▌题型01 单摆及其回复力 1．B 2．ABD 3．CD 4．CD 5．AD ▌题型02 单摆周期公式的理解与应用 6．B 7．D 8．B 9．ABD 10．BC ▌题型03 等效单摆问题 11．BC 12．【答案】 【详解】以加速下滑的小车为参照系，在平衡位置小球受到重力、细线拉力、及惯性力的作用，如图所示 惯性力与重力间的夹角为，这两个力的合力为 摆动过程中的回复力就是由F的切向分力来提供，则等效的重力加速度 故该摆的周期 13．【答案】​ 【详解】以车厢为参考系，车厢的加速度为，摆球受到竖直向下的重力和水平方向、大小为的惯性力。两力的合力大小为 所以 在小振幅条件下，单摆在等效重力场中的运动仍为简谐运动。由单摆周期公式 代入等效重力加速度得 14．【答案】​ 【详解】小球所受重力与电场力相互垂直，二者的合力大小为 将合力方向视为等效重力方向，则等效重力加速度满足，所以 摆角小于时可视为小角度单摆，由单摆周期公式得 代入等效重力加速度，得 15．【答案】​ 【详解】设悬点为，过作斜面的垂线，垂足为。摆球在斜面内运动时到的距离恒为，故其轨迹为以为圆心的圆。几何关系和斜面内的运动情况如图所示。 由直角三角形的几何关系得轨迹半径为 设摆球相对最低点的圆心角为，弧位移为 并规定偏离最低点的方向为正方向。绳的拉力在斜面内的分量沿方向，斜面的支持力垂直斜面，二者在轨迹切线方向均无分量。重力沿斜面向下的分量大小为。沿轨迹切线方向，由牛顿第二定律得 小角度摆动时，结合 可得 根据简谐运动的加速度特征 整理得 由周期与角频率的关系得 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $