专题3.3 圆心角（专题训练）-2026-2027学年浙教版九年级数学上册

专题3.3 圆心角（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·圆心角概念辨析及简单运算】 1 【题型 2·求圆弧的度数】 4 【题型 3··由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 10 【题型 4·圆心角、弧、弦之间的关系证明】 16 【题型 1·圆心角概念辨析及简单运算】 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据圆的半径相等确定的度数，然后根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：，都是的半径， ， ， ， 所对的圆心角等于． 3．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查圆心角的定义，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握圆心角的定义． 根据等腰三角形的性质求出，，再根据三角形内角和定理求出，再求出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆心角，圆的等分，根据八个方位将圆形八等分，求出相邻两个方位间所夹的圆心角度数即可． 【详解】解：∵根据八个方位将圆形八等分， ∴邻两个方位间所夹的圆心角度数为：． 故选：B． 5．如图，是的直径，，，则的度数为__________．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 6．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是_____． 【答案】52° 【分析】根据圆心角是360度，即可求得∠AOB=76°，再根据等腰三角形的性质即可求得结果. 【详解】连接OC，OD ∵∠BAO=∠CBO=∠DCO=∠EDO=α， ∵OA=OB=OC， ∴∠ABO=∠BCO=α， ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=180°-2α， ∴4∠AOB+∠AOE=360°， ∴∠AOB=76°， ∴在等腰三角形AOB中，∠α=∠BAO=52°. 【点睛】辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意. 【题型 2·求圆弧的度数】 7．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角、弧、弦的关系，垂径定理．连接、，如图，根据垂径定理得到，，再证明为等边三角形得到，然后根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数得到的度数为，从而得到的度数． 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴，， ∵D是的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的度数为， ∴的度数为． 故选：C． 8．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系,掌握相关知识是解决问题的关键。连接、，如图，利用等腰三角形的性质得，，则根据三角形内角和定理得到，，则，于是得到的度数为． 【详解】解：连接、，如图， ，， ，， ，， ， ∴的度数为． 故选：B． 9．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对顶角相等得，由得到，由得到，即可求出，得到的度数． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵ ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、圆心角和弧的度数的关系等知识，熟练掌握圆心角和弧的度数的关系是解题的关键． 10．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 11．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 【答案】D 【分析】连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC，由切线的性质和求得AM垂直平分BC，进而得到的度数，根据圆周角定理即可解答． 【详解】解：连接AO，并延长AO与BC交于点M，连接AC， 与圆O相切于A点， ， ， ， ， 垂直平分BC， ， ， ， 的度数为， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理和梯形的性质，解决本题的关键利用切线的性质和梯形的性质构造等腰三角形，求出所对的圆周角． 12．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【答案】105°． 【分析】连接OD、OE，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出∠AOD=35°，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：连接OD、OE， ∵的度数为35°， ∴∠AOD=35°， ∵CD=CO， ∴∠ODC=∠AOD=35°， ∵OD=OE， ∴∠ODC=∠E=35°， ∴∠DOE=180°-∠ODC-∠E=180°-35°-35°=110°， ∴∠AOE=∠DOE-∠AOD=110°-35°=75°， ∴∠BOE=180°-∠AOE=180°-75°=105°， ∴的度数是105°． 故答案为105°． 【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 【题型 3··由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 14．如图，在中，，，则______． 【答案】/30度 【分析】由可得，再根据圆心角、弧、弦之间的关系即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴， ， ， ， ∴． 15．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 【答案】 【分析】根据题意，则，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：∵是的直径， 又∵点是的中点， ∴是整圆的，即， ∴， ∵， ∴． 16．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 【答案】 【分析】先根据圆的半径相等得到，利用等边对等角及三角形内角和定理求出的度数，再根据旋转的性质得到，利用在同圆中相等的弦所对的圆心角相等即可求解． 【详解】解：在中，， ， ． 弦绕圆心顺时针旋转得到弦， ， ． 17．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 【答案】 【分析】连接，由得到，根据，得到，即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 18．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 【答案】/度 【分析】连接，根据弦相等得出对应的圆心角相等，即，利用平角定义和角的和差关系建立方程求出的度数，最后利用等腰三角形的性质求出的度数即可. 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴， 设，则， 是的直径， ， ， ， 由图可知， ， 解得， ， ， . 19．如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 【答案】16.9 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的实际应用．由题意可得，，过圆心作交于，交于，连接、，设半径，由垂径定理得到，，结合，得到，，即可求出，再根据列方程求解即可． 【详解】解：由题意可得，， 过圆心作交于，交于，连接、，设半径， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 20．如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为__________． 【答案】 【分析】此题考查了圆心角和弧之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识．设大圆与小圆相交于点,连接，根据大圆将小圆截成弧长相等的两部分得到是小圆的直径，由大圆半径是小圆半径的两倍得到，则是等边三角形，得到，即可根据同圆中圆心角的度数和弧长之间的关系求出答案． 【详解】解：如图，设大圆与小圆相交于点,连接， ∵大圆将小圆截成弧长相等的两部分， ∴是小圆的直径， ∵大圆半径是小圆半径的两倍， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的度数比为， ∴小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为． 故答案为： 【题型 4·圆心角、弧、弦之间的关系证明】 21．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 【答案】证明：过点作，交于点，交于点，如图， ∴，． ， ． 又， ， ∴． ． ， ． 【分析】过点作，交于点，交于点，由垂径定理得到，，然后由三线合一得到，推出，进而证明即可． 【详解】略 22．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 【答案】证明：连接，如图 ，，， 四边形是矩形， ， ，即， ， ，，垂足分别为，， ，， ， ，，， ， 四边形是正方形． 【分析】先由垂直条件证明四边形为矩形，再利用等弧对等弦及已知得出，再结合垂径定理以及勾股定理得到弦心距，最后根据“一组邻边相等的矩形是正方形”得证． 【详解】略 23．如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． (2) 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【分析】该题考查了弧、弦、圆心角之间的关系，全等三角形的判定． （1）根据得出，再根据等弧所对的圆心角相等即可证明； （2）根据得出，根据得出，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 24．如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 【答案】 连接、、、， ，， ，． ， ． 在和中 ． ． 在和中 ． ． 平分． 【分析】本题主要考查同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，全等三角形的判定和性质，掌握圆的基础知识，全等三角形的判定和性质是解题的关键．根据同弧或等弧所对圆周角相等，等弧所对弦相等，可得，则，再证，可得，即平分． 【详解】略 25．如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 【答案】 证明：连接，， ∵、分别为，的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】本题考查垂径定理的推论、弦与弦心距的关系及等腰三角形的性质，熟练掌握平分弦（非直径）的直径，垂直于弦并且平分弦所对的两条弧是解题关键，根据垂径定理得出，，根据弦与弦心距的关系得出，根据等腰三角形的性质即可得答案． 【详解】略 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 圆心角（专题训练） 【新教材浙教版】 题型归纳 【题型 1·圆心角概念辨析及简单运算】 1 【题型 2·求圆弧的度数】 2 【题型 3··由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 4 【题型 4·圆心角、弧、弦之间的关系证明】 6 【题型 1·圆心角概念辨析及简单运算】 1．下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．B．C．D． 2．如图，为的弦，，则所对的圆心角等于（     ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，AB是弦，C是上一点．若，，则所对的圆心角度数为（    ） A． B． C． D． 4．司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，是的直径，，，则的度数为__________．    6．如图所示，小华从一个圆形场地的A点出发，沿着与半径OA夹角为α的方向行走，走到场地边缘B后，再沿着与半径OB夹角为α的方向折向行走．按照这种方式，小华第五次走到场地边缘时处于弧AB上，此时∠AOE＝56°，则α的度数是_____． 【题型 2·求圆弧的度数】 7．如图，是的半径，D是的中点，弦过点D，且，垂足为D，那么的度数为（　　） A． B． C． D． 8．如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，已知是的两条直径，弦，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．如图，梯形ABCD中，，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点若，则的度数为何？（   ） A．116 B．120 C．122 D．128 12．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是_______ 13．如图，已知点C是⊙O的直径AB上的一点，过点C作弦DE，使CD=CO．若的度数为35°，则的度数是_____． 【题型 3··由圆心角、弧、弦之间的关系求解】 14．如图，在中，，，则______． 15．如图，四边形内接于，是的直径，点是的中点，，则的度数为________． 16．如图，在中，将弦绕圆心顺时针旋转得到弦，若，则的度数为_____． 17．如图，是的直径，、、是的弦，且，则________． 18．如图，是的直径，，是的弦，且，与交于点E，连接．若，则的度数是_____ 19．如图，某城市新建了一座圆形观景台，台边设置了，，，四个观景位．已知观景台边缘，观景位与之间的直线距离为24，观景位与之间的直线距离为13，则这座圆形观景台的半径是______． 20．如图，大圆半径是小圆半径的两倍，如果大圆将小圆截成弧长相等的两部分，那么小圆将大圆截成的优弧与劣弧的长度比为__________． 【题型 4·圆心角、弧、弦之间的关系证明】 21．如图，的弦与半径，相交于点，，，求证：． 22．如图所示，的两条弦，互相垂直且相交于点P，，，垂足分别为E，F，．求证：四边形是正方形． 23．如图，A，B，C，D是上的四个点，且．求证： (1)； (2)． 24．如图，已知在中，弦与弦相交于点，连接，若，求证：平分． 25．如图，，为两弦，且，、分别为，的中点．求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $