2.3.4　两条平行直线间的距离同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

2.3.4　两条平行直线间的距离 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 【答案】(1)证明: 由直线变形得：， 对任意实数，当，即时，恒有， 所以直线过定点，该定点的坐标为. (2)或． 【分析】（1）变形直线的方程，进而求出定点坐标即可. （2）由给定条件可得，进而求出值，再利用平行线间距离公式求解. 【详解】（1）证明略，定点的坐标为. （2）由，不重合，且垂直于同一条直线，得， 因此，解得或， 当时，，则； 当，即，，则， 所以等于或． 【例2】已知直线l经过两点． (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由已知两点坐标求得斜率，根据点斜式方程，可得答案； （2）根据直线平行写出直线的一般式，结合平行线距离公式求得参数，可得答案. 【详解】（1）由题意知直线l的斜率， 故所求直线方程为，即 （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为， 由两平行直线的距离公式得，即， 解得或，所以所求直线m的方程为或. 【基础夯实】 一、单选题 1．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 2．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 【答案】D 【详解】由题，直线，则两直线距离为或6. 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 4．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设出直线方程，根据平行线间的距离公式得到方程，求出答案. 【详解】设所求直线方程为．由题意知，解得或， 即所求直线方程为或． 故选：D． 5．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设所求直线方程为，结合两平行直线间的距离公式，列出方程，求得的值，即可求解. 【详解】因为竹签所在的直线方程为， 设与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为， 由两平行直线间的距离公式，可得，解得， 所以与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为. 故选：D. 6．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据平行线间距离公式求解即可. 【详解】直线与直线之间的距离， 直线与直线之间的距离， 又由正方形可知，即，解得. 故选：A. 二、多选题 7．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 【答案】AD 【分析】根据直线方向向量的定义、两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程逐一判断即可. 【详解】，所以该直线的斜率为. ，所以该直线的斜率为，恒过点. 对于A，因为直线的斜率为， 所以直线的一个方向向量是，设， 显然，所以直线的一个方向向量是， 故A正确； 对于B，当时，直线的斜率为， 因为， 所以不成立，故B错误； 对于C，若，所以， 所以， 所以直线，之间的距离为，故C错误； 对于D，直线过定点 ，故D正确. 故选：AD 8．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 【答案】AC 【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m的取值范围，即可得出答案. 【详解】直线：和：平行，则， 两条平行直线间距离，解得且， 故0和2符合要求. 故选:AC． 9．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先设直线，直线到直线和的距离分别为，根据题意得到，再解方程即可得到答案。 【详解】设直线，且， 直线到直线和的距离分别为， 由题知：，， 因为，所以， 即，解得或， 即直线为或。 故选：BD 【点睛】本题主要考查平行线间的距离公式，熟记公式为解题关键，属于简单题。 三、填空题 10．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 11．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 【答案】 【分析】题空1：根据两直线平行的系数关系，可建立关于的方程并求解； 题空2：利用两平行直线间的距离公式计算最小值. 【详解】题空1：两条直线平行的条件是：对于，， 平行满足，且不重合，代入得：， 解得，验证，两直线不重合，故. 题空2：两平行直线上任意两点距离的最小值，就是两平行线之间的距离. 先将直线化为同系数形式：， 根据平行线距离公式可得：， 即的最小值为. 12．直线与之间的距离相等，则直线的方程是__________. 【答案】 【分析】先根据题意设出直线的方程，然后根据平行线间的距离公式即可列式求解. 【详解】显然直线平行，所以要求的直线也与平行，设直线的方程为， 则由平行线间的距离公式得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 四、解答题 13．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的方程； (2)求平行四边形的面积． 【答案】(1)，； (2)8. 【分析】（1）解方程组求出点的坐标，进而求出点的坐标，再利用平行关系求出直线方程. （2）求出点的坐标，再利用平行线间距离公式及两点间距离公式求解. 【详解】（1）由，解得，则点，由点是的中点，得， 在中，，则直线的斜率，方程为，即； 由，得直线的斜率，方程为，即， 所以这个平行四边形其他两边所在直线的方程分别为，. （2）由，解得，即点，， 直线与直线的距离，即边上的高为， 所以的面积.    答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.4　两条平行直线间的距离 同步练习题 2026-2027学年第一学期高二数学人教A版选择性必修第一册 【例题精练】 【例1】已知两条直线． (1)求证：直线过定点，并求出该定点的坐标； (2)若，不重合，且垂直于同一条直线，将垂足分别记为A，B，求． 【例2】已知直线l经过两点． (1)求直线l的方程； (2)若直线m与l平行且两直线间的距离为，求直线m的方程． 【基础夯实】 一、单选题 1．直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线间的距离为1，则实数m的值为（  ） A．14 B．-14 C．6 D．-14或6 3．若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．到直线的距离为1的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋.由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂看成是大小相同的圆，竹签看成一条线段，如图2所示，且山楂的半径（图2中圆的半径）为2，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖动芦的山楂都相切的直线方程为（    ）    A． B． C． D． 6．已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为和，另一组对边所在的直线方程分别为和，则（    ） A．4 B． C．2 D． 二、多选题 7．已知直线，，则下列说法正确的是（   ） A．直线的一个方向向量是 B．若，则 C．若，则直线，之间的距离为 D．直线过定点 8．已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（    ） A．0 B．1 C．2 D．－1 9．已知直线和，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 10．写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 11．若，分别为两平行直线：，：上任意一点，则的值为______；的最小值为______． 12．直线与之间的距离相等，则直线的方程是__________. 四、解答题 13．已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是：，：，且它的对角线的交点是． (1)求这个平行四边形其他两边所在直线的方程； (2)求平行四边形的面积． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $