2026-2027学年青岛教版九年级数学上册第一次月考测试卷

**基本信息** 聚焦一元二次方程与相似图形，以非遗剪纸销售、小孔成像等真实情境设计问题，融合概念理解与实际应用，体现数学眼光与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|一元二次方程定义、配方法、相似图形判定|基础概念辨析，如第3题结合根的判别式考参数取值| |填空题|6/18|方程根的应用、等腰三角形与方程综合|几何与代数融合，如第12题用方程解等腰三角形边长| |解答题|8/72|方程应用、位似作图、非遗销售问题|真实情境建模，如24题以剪纸礼盒销售考分式方程与二次函数，体现应用意识|

2026-2027学年青岛版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围:第1章一元二次方程 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若方程是关于的一元二次方程，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且，即， ∴ 或 ， 解得或（不符题意，舍去）， ∴． 2．用配方法解一元二次方程，变形后的结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， ， ． 3．已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的值可能是（     ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式构建关于的不等式求解． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 选项中仅A的满足． 4．下列图形一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个等腰直角三角形 C．有一个角是的两个等腰三角形 D．两个菱形 【答案】B 【分析】根据相似图形的定义，即对应角相等、对应边成比例的图形相似，结合各类图形的性质，逐个判断选项即可． 【详解】解：选项A：∵两个矩形对应角相等，但对应边不一定成比例，∴两个矩形不一定相似，A不符合题意． 选项B：∵等腰直角三角形的三个内角固定为，，，对应角一定相等，且对应边一定成比例，∴两个等腰直角三角形一定相似，B符合题意． 选项C：∵的角可能是等腰三角形的顶角，也可能是底角，会导致两个三角形对应角不一定相等，∴两个三角形不一定相似，C不符合题意． 选项D：∵两个菱形的对应角不一定相等，∴两个菱形不一定相似，D不符合题意． 5．若，且对应中线比为，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，对应中线比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 6．一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 7．如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（   ） A．3 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 8．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 9．如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 10．已知关于x的一元二次方程的两根之差为2，则代数式的最大值为（     ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【分析】结合两根差的条件与根与系数的关系，建立的等量关系，代入所求式后配方求最值即可． 【详解】解：设方程的两根分别为，． 由根与系数的关系得，． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得，即． 将代入，得 ， 配方得． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式的最大值为4． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 12．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【分析】分为腰长和为底边长两种情况讨论，结合三角形三边关系判断是否成立，再利用根与系数的关系计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当为腰长时， ∵另两边是方程的两个根， ∴其中一个根为， 设另一根为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴这种情况，舍去； ②当为底边长时， ∵另两边是等腰三角形的两腰，为方程的两个根， 设腰长为， 由根与系数的关系得，解得，此时三角形三边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴． 13．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，每个支干长出______个小分支． 【答案】9 【分析】设每个支干长出x个小分支，主干为1个，支干为个，小分支为个，根据总数是91列出一元二次方程求解． 【详解】解：设每个支干长出x个小分支， 根据题意得， 解得，（舍去） ∴每个支干长出9个小分支． 14．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为______． 【答案】 16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 15．如图，与相交于点，，，，则的长为__________． 【答案】 【分析】先证明，则可得，进而可求出的长． 【详解】解：∵在和中， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 16．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴． 18．解方程： 解方程： (1)（配方法） (2)． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）把常数项移到等号的右边，把等号左边凑成完全平方式，可得：，再两边同时开方即可求出方程的解； （2）用因式分解法解一元二次方程． 【详解】（1）解：， 移项得：， 方程两边同时加上可得：， 配方可得：， 两边同时开平方得：， 解得：， 方程的解为，； （2）解：， 整理得：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 19．已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围． 【答案】(1) 证明：在方程中， ， ∵ 无论取何实数，，即， ∴ 方程总有两个实数根； (2) 【分析】（1）计算方程的判别式，证明其恒非负即可得证； （2）先求解方程的两根，结合一根大于2的条件列不等式求的范围． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∵原方程有一个根大于2， ∴， ∴． 20．如图，与是位似图形，位似中心为M． (1)画出点M的位置； (2)与是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1∶2，画出． 【答案】(1) 如图所示，点即为所求， (2) 如图所示，即为所求 【分析】本题主要考查利用位似作图，可以根据位似图形的定义，结合位似图形的作法进行解答． （1）连接交于点； （2）根据位似比为1∶2，分两种情况画出； 【详解】（1）略 （2） 略 21．如图，矩形为一块绿地，长为，宽为，现计划在绿地中央建一个矩形花圃．要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽． (1)求花圃四周绿地的宽度； (2)矩形与矩形相似吗？请说明理由． 【答案】(1) (2) 矩形与矩形不相似，理由如下： 由（）知，，则矩形的长为米，宽为米． 原矩形的长与宽的比值为，矩形的长与宽的比值为． ∵ ∴矩形与矩形不相似 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用以及相似多边形的判定，熟练掌握矩形的面积公式和相似多边形的定义是解题的关键． （1）设花圃四周绿地的宽度为米，根据矩形面积公式，分别表示出花圃的长和宽，再结合花圃面积是原绿地面积的一半列出方程求解． （2）先求出矩形的长和宽，再根据相似多边形的定义，判断对应边的比例是否相等，对应角是否相等（矩形的内角都是直角，对应角相等）． 【详解】（1）解：设花圃四周绿地的宽度为米．则花圃的长为米，宽为米．由题意得 ， ， 解得或， ∵绿地的宽度不能超过原矩形的宽度，即，解得， ∴， 答：花圃四周绿地的宽度为； （2）解：略． 22．已知，如图，四边形中，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ， ． 【分析】根据推出，证明，根据相似三角形对应边比例相等即可证明． 【详解】略 23．已知中，，平分交于点，其中． (1)求的度数； (2)将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点落在边上，先用尺规作出（要求保留作图痕迹），后标记与的交点，求证：． 【答案】(1) (2)如图，即为所求； 证明：∵旋转， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）等边对等角，结合三角形的内角和定理以及角平分线的定义即可得出结果； （2）先分别以、为圆心，长为半径画弧，交于点，，连接交于，则垂直平分，此时，得到，再分别以、为圆心，长为半径画弧，交点即为，此时，连接，，即得到，证明，结合即可得证. 【详解】（1）解：∵，平分交于点，， ∴，， ∴； （2）略 24．西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙．已知礼盒甲每件售价比礼盒乙贵元．上一周，礼盒甲销售总额为元，礼盒乙销售总额为元，且两款礼盒销售量相等． (1)上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价元，销量增加件；礼盒乙每件提价元，销量和上周一样．调整价格后，两款礼盒总销售额比上周多元，求礼盒甲每件降价多少元？ 【答案】(1) 礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元 (2) 礼盒甲每件降价元 【分析】（1）利用两款礼盒销售量相等的等量关系列分式方程求解； （2）结合价格调整后总销售额的变化关系列方程求解． 【详解】（1）解：设上一周礼盒乙的销售单价为元，则礼盒甲的销售单价为元， ∵两款礼盒销售量相等， ∴，解得， 检验：当时，， 故是原分式方程的解且符合实际意义， ∴ 礼盒甲的销售单价为（元）． 答：上一周礼盒甲的销售单价为元，礼盒乙的销售单价为元． （2）解：∵上周礼盒乙的销售额为元，单价为元， ∴上周两款礼盒的销售量均为（件）， 设礼盒甲每件降价元， ∵调整价格后两款礼盒总销售额比上周多元， ∴， 整理得 ， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：礼盒甲每件降价元． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年青岛版九年级数学上册第一次月考测试卷 测试范围：第1章一元二次方程~第2章图形的相似 一、单选题（每题3分，共30分） 1.若方程m-3列x+3x-3=0 关于x的一元二次方程，则m的值为() A.-3 B.-1 c.1 D.3 2.用配方法解一元二次方程x2-4x=-1,变形后的结果正确的是() A.(x+2)}2=3 B.(x-2)}=3 c.(x+2}-5 D.(x-2}2=5 3.已知关于x的方程x2-6x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是() A.8 B.9 C.10 D.11 4.下列图形一定相似的是() A.两个矩形 B.两个等腰直角三角形 C.有一个角是50°的两个等腰三角形 D.两个菱形 5.若△ABC∽△DEF,且对应中线比为4：7，则△ABC与△DEF的周长比为() A.7:4 B.4:7 C.16:49 D49:16 6一辆六车的行院距离，关于行骏时间，的函数关系式是s-+9- ·若汽车行驶440m’则行驶 时间是() A.20s B.21s C.22s D.23s 7.如图，两条直线被三条平行线所截，若DE=4,EF=8,BC=6,则AC=() D -1 B E -13 A.3 B.9 C.12 D.18 &.如图，小红利用标杆DE测量学校旗杆BC的高度，标杆DE高3m,测得AE=6m,BE=18m,则旗 试卷第1页（共3页） 杆BC的高度是() D 3m A6mE 18m B A.9m B.12m C.18m D.24m B33) 9.如图，光线从点A(0,)处射出射向x轴上的点P,经x轴镜面反射，光线经过点气2， 则OP的长 度是() B B.1 D.月 10.已知关于x的一元二次方程+bx+1=0的两根之差为2，则代数式12a-b的最大值为() A.-8 B.-2 C.4 D.10 二、填空题（每题3分，共18分) 11.已知m是关于x的方程x2+2x-3=0的一个根，则2m2+4m+5= 12.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程x2-10x+k=0的两个根，则k的值为 13.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的 总数是1，每个支干长出一个小分支. OE 2 14.如图，四边形ABCD与四边形EFGH是位似图形，点O是位似中心.若EA3,四边形ABCD的面 积是100，则四边形EFGH的面积为 试卷第2页（共3页） OB 1 15.如图，AD与BC相交于点0，∠A=∠B,OA3,AC=6,则BD的长为 16.物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图，燃烧 的蜡烛（竖直放置）AB经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像AB.设AB=30cm，AB'=20cm.小孔 O AB 36 cm O A'B' cm 到的距离为，则小孔到的距离为 B ←一36cm米？cm 三、解答题（每题9分，共72分） 17.已知。是方程2-2026x+1=0的-个根，试求r2-20250-g 2026的值. 18.解方程： 解方程： 0r-6r-1=0 (配方法) 试卷第3页（共3页） 22x-2x+1=5x-2 x2-(a-3)x-a=0 19.已知关于x的方程 (1)求证：方程总有两个实数根： (2)若方程有一个根大于2，求a的取值范围. 20.如图，△ABC与△4BC是位似图形，位似中心为M B (I)画出点M的位置： △4，B,C与△4BG是以点O为位似中心的位似图形，且相似比为1：2，画 (2) △4，B2C2 21.如图，矩形ABCD为一块绿地，长为32m,宽为24m,现计划在绿地中央建一个矩形花圃EFGH. 要使矩形花圃的面积是原矩形绿地面积的一半，且矩形花圃四周的绿地等宽， 32m 24m (1)求花圃四周绿地的宽度： (2)矩形ABCD与矩形EFGH相似吗？请说明理由. 22.己知，如图，四边形ABCD中，ADI‖BC,∠A=90°，BD⊥CD.求证：BD2=AD·BC 试卷第4页（共3页） B 23.己知△ABC中，AB=AC,CD平分∠ACB交AB于点D,其中∠B=72° (I)求∠BDC的度数； (2)将△DBC绕点D逆时针旋转至△DEF，其中点B的对应点E落在BC边上，先用尺规作出△DEF(要求 保留作图痕迹)，后标记EF与AC的交点G,求证：△CEG∽△BDE. 24.西安非遗关中剪纸享誉四方，某文创店铺售卖两款剪纸礼盒：礼盒甲、礼盒乙.己知礼盒甲每件售 价比礼盒乙贵100元.上一周，礼盒甲销售总额为9000元，礼盒乙销售总额为6000元，且两款礼盒销售 量相等. ()上一周，礼盒甲、乙的销售单价分别是多少元？（列分式方程求解） (2)本周店铺开展促销，礼盒甲每降价12元，销量增加1件；礼盒乙每件提价40元，销量和上周一样.调 整价格后，两款礼盒总销售额比上周多600元，求礼盒甲每件降价多少元？ 试卷第5页（共3页）