21.3 实践与探索 题型专练 2026-2027学年华东师大版数学九年级上册

华东师大版（2024）九年级上册 21.3 实践与探索 题型专练 【题型1】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团.游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影.为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为(  ) A．12 B．14 C．16 D．18 【举一反三1】在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 【举一反三2】2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程__________． 【举一反三3】根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2，若设道路的宽为x m． (2)某学校九年级举行篮球赛，赛制采用单循环赛(即每个班都要与别的班级赛一场)．则共有36场比赛，设九年级共有x班级． 【题型2】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为 ，又下调，下调的百分率也为 ，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【举一反三2】由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为__________． 【举一反三4】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【举一反三5】“泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件． (1)若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件； (2)这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？ 【题型3】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为(  ) A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【举一反三1】如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m，宽15 m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224 m2，则图中x的值为 __________． 【举一反三2】景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则的值为__________米． 【举一反三3】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1) 天头长为__________；（用含x的代数式表示） (2) 若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【题型4】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是(  ) A．14 B．16 C．30 D．32 【举一反三1】若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【举一反三2】对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【举一反三3】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【举一反三4】一个三位数M，各个数位上的数字互不相同，若百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于4，且百位数字的两倍与十位数字的和能被6整除，则满足条件的三位数M的最大值为 __________ ． 【举一反三5】整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1) 为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2) 现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【题型5】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，则每件工艺品应降价 A．8元 B．10元 C．30元 D．10元或30元 【举一反三1】某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2 160元，该小家电定价是__________ 元. 【举一反三2】山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为 __________ 元． 【举一反三3】一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. (1) 若降价3元，则平均每天销售数量为__________件； (2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【举一反三4】根据背景材料，探索问题. 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋. 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元. 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋        元，销量是        袋. 任务2 ①经两周后还剩余清明果        袋.(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【题型6】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的边长是（　　） A．10 m B．8 m C．11 m D．6 m 【举一反三1】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22），若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（  ） A．32 B．126 C．135 D．144 【举一反三2】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解.如表，根据表格可知方程x2－ax－6＝0的根是__________ . x －2 －1 0 1 2 3 … x2－ax 6 2 0 0 2 6 … 【举一反三3】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，如5*3＝52﹣32＝16．根据这一规则，解决问题：已知三角形的每条边都是方程（x﹣3）*1＝0的根，则此三角形的周长为__________． 【举一反三4】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由． 【举一反三5】如图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题： (1) 若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由． 【题型7】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为，根据“两天不练丢一半”，可列方程为(  ) A． B． C． D． 【举一反三1】《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【举一反三3】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔步，根据题意可列方程为 __________ . 【举一反三4】《九章算术》中提出了如下问题:“今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何?”这段话的意思如下:现在有一扇门,不知道它的高和宽;有一根竹竿,不知道它的长短,将竹竿横着放,比门宽长出4尺;将竹竿竖着放,比门高长出2尺;将竹竿斜着放,与门对角线恰好长度相等。问这扇门的高、宽和对角线长各是多少?若设竿长为x尺,则x=__________。 【举一反三5】(课本目标P57 19T)在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长宽各多少步? 【举一反三6】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1) 若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2) 请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【题型8】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【举一反三2】望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为__________． 【举一反三3】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【举一反三4】（课本复习题P48 7T）一小艇顺流航行到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共.已知水流速度是.求小艇在静水中的速度. 【举一反三5】一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1) 则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2) 从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3) 汽车滑行20米时用了多长时间？ 【题型9】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（ ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【举一反三1】如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（ ） 图1      图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【举一反三2】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 __________s． 【举一反三3】如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 __________秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【举一反三4】综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1) 当点P在上运动时， ___________________________________， ___________________________________；（用含t的代数式表示） (2) 在（1）的条件下，当时，求t的值； (3) 如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8 cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4 cm？ 华东师大版（2024）九年级上册 21.3 实践与探索 题型专练（参考答案） 【题型1】一元二次方程的实际应用-传播、比赛、分支问题 【典例】某旅行社国庆期间接待了一个亲友旅游团.游玩时，导游先给该亲友团拍了1张集体照，又给每两位亲友都拍了1张合影.为了保证每位亲友团成员都能拿到有自己的所有照片，该旅行社一共冲印了256张照片，则这个亲友团的人数为(  ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【解析】设亲友团人数为，则集体照冲印张数为，合影数量为，每张合影冲印2份， ， 解得. 【举一反三1】在一次同学聚会时，大家相互握手问候．如果每人都和其他人握手一次，一共握了45次手，那么参加这次聚会的同学共有（ ）人 A．9 B．10 C．45 D．46 【答案】B 【解析】设有名同学参加聚会．每人与其他人各握手一次，但每两次握手会被重复计算一次，因此总握手次数为．根据题意，总握手次数为45次，列方程： ， 整理得： 解得（舍去） 故选B． 【举一反三2】2022年世界女子冰壶锦标赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间进行一场比赛），共进行了55场，则共有多少支队伍参加比赛？根据题意，设有n支参赛队伍，可列方程__________． 【答案】 【解析】解：设参加比赛的队伍共有支，根据题意得： 故答案为： ． 【举一反三3】根据下列问题，列出一元二次方程，并将其化成一般形式． (1)如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2，若设道路的宽为x m． (2)某学校九年级举行篮球赛，赛制采用单循环赛(即每个班都要与别的班级赛一场)．则共有36场比赛，设九年级共有x班级． 【答案】解：(1)由题意可得：(20﹣x)(32﹣2x)＝570， 整理得：2x2﹣72x+70＝0． (2)x(x﹣1)＝36， 整理得：x2﹣x﹣72＝0． 【题型2】一元二次方程的实际应用-平均增长率（降低率）问题 【典例】随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 【举一反三1】2025年第三十四届哈尔滨国际经济贸易洽谈会上，黑龙江某大豆贸易商与外商谈判．贸易商先将原价上涨，增长率为 ，又下调，下调的百分率也为 ，最终以每吨3240元成交，若原价为每吨3400元，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，得，即. 【举一反三2】由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时，∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 【举一反三3】淇淇七年级时的体重是，到九年级时，体重增加到，则她的体重平均每年的增长率为__________． 【答案】 【解析】解：设她的体重平均每年的增长率为，则她七年级时的体重是，九年级时的体重是， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 她的体重平均每年的增长率为， 故答案为：． 【举一反三4】电影《哪吒之魔童闹海》热映后，哪吒与敖丙的联名玩偶深受欢迎．某网购平台商家3月4日销售玩偶共200个，5日、6日销售量持续增长，6日销量达到338个． (1)求3月5日、6日这两天玩偶销售量的日平均增长率． (2)为庆祝《哪吒之魔童闹海》全球票房大卖，商家决定做优惠活动．已知玩偶每个成本30元，售价为每个50元时，日销量可达320个；每降价1元，日销量可增加5个．当每个玩偶降价多少元时，当日总利润可达到5940元？ 【答案】(1)设日平均增长率为， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：日平均增长率为； (1)设每个玩偶降价元， 由题意得：， 解得：（舍）， 答：每个玩偶降价2元． 【举一反三5】“泉州闽台缘博物馆”以每件20元的批发价进了一批纪念品，在国庆期间让馆内多间商店销售，这些商店经第一天销售调查可知：每件定价30元，每天能卖出5000件，若每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件． (1)若每件纪念品售价上涨4元，这些商店每天能卖出________件； (2)这些商店为了实现平均每日共有80000元的销售利润，并使消费者得到实惠，每件售价应定为多少元？ 【答案】（1）解：每件定价每上涨1元，其销售量将减少100件， 每件纪念品售价上涨4元时，销量为：（件）， 故答案为：4600； （2）解：设售价上涨x元，则每件的销售利润为元，日销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 又∵要使消费者得到实惠， ∴， ∴售价为元 答：售价应定为40元． 【题型3】一元二次方程的实际应用-与图形有关的问题 【典例】如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路(阴影部分)，余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为(  ) A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】C 【解析】设道路的宽为x，根据题意得20x＋33x－x2=20×33－510整理得x2－53x＋150=0解得x=50(舍去)或x=3.所以，道路宽为3米. 【举一反三1】如图所示，某市世纪广场有一块长方形绿地长18 m，宽15 m，在绿地中开辟三条道路后，剩余绿地的面积为224 m2，则图中x的值为 __________． 【答案】1 m 【解析】根据题意得：（18﹣2x）（15﹣x）＝224， 整理得：x2﹣24x+23＝0， 解得：x1＝1，x2＝23（不符合题意，舍去）， 即图中x的值为1 m， 故答案为：1 m． 【举一反三2】景区内有一块8米×5米的矩形郁金香园地（数据如图所示，单位：米），现在其中修建一条花道（阴影所示），供游人赏花．若改造后观花道的面积为12平方米，则的值为__________米． 【答案】1 【解析】解：根据题意，得， 整理，得， 解得：，， ∵园地的宽为5米，而， ∴不合题意，舍去． 故答案为：1． 【举一反三3】小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边，已知原作品的长为，宽为，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且右边宽与天头长的比为，设右边宽为． (1) 天头长为__________；（用含x的代数式表示） (2) 若装裱后作品总面积为，则右边宽为多少厘米？ 【答案】(1) ∵装裱后左右两边的边宽分别是，右边宽与天头长的比为， ∴天头长和地头长分别是； 故答案为： (2) 由题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：装裱后右边宽是． 【题型4】一元二次方程的实际应用-数字问题 【典例】若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是(  ) A．14 B．16 C．30 D．32 【答案】C 【解析】设这两个连续偶数为x、x＋2，则x(x＋2)=224， 解之得x=14或x=－16(舍去) ， 则x＋2=16， 即这两个数为14，16， 所以这两个数的和是30. 【举一反三1】若两个连续奇数的积为323，则这两个数分别为（ ） A．11，13 B．17，19 C． D．17，19或 【答案】D 【解析】解：设较小的连续奇数为，则较大的为， 根据题意得：， 展开得：， ∴， ∴ 解得：或， ∴当时，较大的奇数为，即和， 当时，较大的奇数为，即和 故选：D． 【举一反三2】对于若干个数，我们先将任意两个数作差（相同的两个数只作一次差），再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数作“差绝对值运算”．例如：对于1，2，3作“差绝对值运算”，得到下列说法： ①对，，2，5，6作“差绝对值运算”的结果是50； ②对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为； ③对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或其中正确的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解析】解： ，故说法①错误； ， 当时，的值最小，最小值为， 对，，1，3作“差绝对值运算”的结果的最小值为，故说法②正确； ， ，， ， 由题意得，， 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 当，即时， ， 整理得：， 解得：，（舍去）； 对，，作“差绝对值运算”的结果为28，则的值为或，故③错误； 综上所述，其中正确的是②，个数是1． 故选：C． 【举一反三3】有一个两位数，如果个位上的数比十位上的数大1，并其十位上的数的平方比个位上的数也大1，那么这个两位数是__________． 【答案】23 【解析】设原两位数的十位数字为x， 根据题意得：, ∴， 解得：，（不符合题意舍去）, 答：这个两位数为23， 故答案为23． 【举一反三4】一个三位数M，各个数位上的数字互不相同，若百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于4，且百位数字的两倍与十位数字的和能被6整除，则满足条件的三位数M的最大值为 __________ ． 【答案】826 【解析】设该三位数的百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c， ∵百位数字与个位数字的差与十位数字的积等于4， ∴（a﹣c）b＝4， ∵百位数字的两倍与十位数字的和能被6整除， ∴x，其中x为正整数， ∵三位数M的各个数位上的数字互不相同，a≠b≠c，故a，b，c中最多有一个数为9， ∴2a+b＜27， ∴2a+b可能的值为6、12、18、24， ∵a为百位蚁字，故a≠0， （1）当2a+b＝6时，有以下可能： ①a＝1，则b＝4，c＝0，此时M为140， ②a＝2，则b＝2（舍去）， ③a＝3，则b＝0，∵（a﹣c）b＝4，则b≠0，故舍去； （2）当 2a+b＝12时，有以下可能： ①a＝2，则b＝8，c（舍去）， ②a＝3，则b＝6，c（舍去）， ③a＝4，则b＝4 （舍去）， ④a＝5，则b＝2，c＝3，此时M为523， ⑤a＝6，则b＝0（舍去）， （3）当2a+b＝18有以下可能： ①a＝5，则b＝8，c（舍去）， ②a＝6，则b＝6（舍去）， ③a＝7，则b＝4，c＝6此时M为746， ④a＝8，则b＝2，c＝6，此时M为826， ⑤a＝9，b＝0（舍去）， （4）当2a+b＝24，有以下可能： ①a＝8，则b＝8（舍去）， ②a＝4，则b＝16，c（舍去）， 140＜523＜746＜826 ∴M最大值为826． 【举一反三5】整体思想在解决数学问题中有重要作用． 例如: (1) 为将表示成分数的形式，可设，得，将拆分为，解出，即得的分数形式为，求出； (2) 现有一个无限连分数，它的每一个分母都与原数完全一样，求出此数的值． 【答案】(1) 设， 则， ， 移项得，， 解得，， (2) 设， 每一个分母都与原数完全一样， ， 整理，得， 移项，得， 配方，得， 即 由此可得， ，， ， 的值为． 【题型5】一元二次方程的实际应用-销售利润问题 【典例】某商场销售一批工艺品，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为扩大销售，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现：若每件工艺品每降价1元，则商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2 100元，则每件工艺品应降价 A．8元 B．10元 C．30元 D．10元或30元 【答案】C 【解析】设每件工艺品降价x元，依题意， 得(45－x)(20＋4x)＝2 100， 解得x1＝10，x2＝30， 经检验，为了尽快减少库存，x＝10不符合题意，应取x＝30. ∴每件工艺品应降价30元. 【举一反三1】某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2 160元，该小家电定价是__________ 元. 【答案】52或58 【解析】设该小家电定价是x元，则每个的销售利润为(x－40)元，可销售[200－10(x－50)]个， 根据题意得(x－40)[200－10(x－50)]＝2 160， 整理得x2－110x＋3 016＝0， 解得x1＝52，x2＝58， 故该小家电定价是52元或58元. 【举一反三2】山西某品牌老陈醋改进了包装，采用标志性的古建筑作为主视觉元素，直观传递山西地域文化底蕴．某特产店购入的新款包装的老陈醋每瓶进价为40元．市场调查发现，当售价为50元时，平均每天可销售500瓶；售价每上涨1元，平均每天销量减少10瓶．该特产店要想使平均每天销售新包装老陈醋的利润达到8000元，则售价应定为 __________ 元． 【答案】60或80 【解析】每瓶售价定为元， 由题意得，， 整理得， 解得， ∴每瓶售价定为60或80元． 【举一反三3】一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件. (1) 若降价3元，则平均每天销售数量为__________件； (2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？ 【答案】(1) 若降价3元，则平均每天销售数量为20+2×3=26件. (2) 设每件商品应降价x元时，该商店每天销售利润为1200元. 根据题意，得（40-x）（20+2x）=1200， 整理，得x2-30x+200=0， 解得：x1=10，x2=20. ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去， ∴x=10. 答：每件商品应降价10元时，该商店每天销售利润为1200元. 【举一反三4】根据背景材料，探索问题. 清明果销售价格的探究 素材1 清明节来临之际，某超市以每袋30元的价格购进了500袋真空包装的清明果，第一周以每袋50元的价格销售了150袋. 素材2 第二周如果价格不变，预计仍可售出150袋，该超市经理为了增加销售，决定降价，据调查发现：每袋清明果每降价1元，超市平均可多售出10袋，但最低每袋要盈利15元，第二周结束后，该超市将对剩余的清明果一次性赔钱甩卖，此时价格为每袋25元. 解决问题 任务1 若设第二周单价为每袋降低x元，则第二周的单价每袋        元，销量是        袋. 任务2 ①经两周后还剩余清明果        袋.(用的代数式表示) ②若该超市想通过销售这批清明果获利元，那么第二周的单价每袋应是多少元？ 【答案】解：任务1：∵每袋清明果每降价元，超市平均可多售出袋， 又设第二周单价为每袋降低元， 第二周的单价为元，销量是袋. 故答案为：；. 任务：①由题意，经两周后还剩余清明果为： . 故答案为：. ②由题意得，第二周单价为每袋降低元， . 或. 又第二周最低每袋要盈利元， . . . 第二周的单价每袋应是. 答：第二周的单价每袋应是元. 【题型6】一元二次方程的实际应用-图表信息问题 【典例】从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的边长是（　　） A．10 m B．8 m C．11 m D．6 m 【答案】B 【解析】设原来这块木板的边长是x m，则剩下长方形的长是x m，宽是（x﹣2）m， 根据题意得：x（x﹣2）＝48， 整理得：x2﹣2x﹣48＝0， 解得：x1＝8，x2＝﹣6（不符合题意，舍去）， ∴原来这块木板的边长是8 m． 故选：B． 【举一反三1】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22），若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为（  ） A．32 B．126 C．135 D．144 【答案】D 【解析】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x(x+16)＝192， 解得：x1＝8，x2＝﹣24（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24＝144． 故选：D． 【举一反三2】列表法解方程，可能不是最直接或最高效的方法，但在某些情况下，它可以作为一种可视化的工具来帮助我们理解方程的解.如表，根据表格可知方程x2－ax－6＝0的根是__________ . x －2 －1 0 1 2 3 … x2－ax 6 2 0 0 2 6 … 【答案】 【解析】原方程变形可得x2－ax＝6， ∵当x＝－2或x＝3时，x2－ax＝6， ∴x2－ax－6＝0的根是x＝－2或x＝3. 【举一反三3】在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，如5*3＝52﹣32＝16．根据这一规则，解决问题：已知三角形的每条边都是方程（x﹣3）*1＝0的根，则此三角形的周长为__________． 【答案】6或12或10 【解析】设小正方形的边长为x， ∵a*b＝a2﹣b2，如5*3＝52﹣32＝16， ∴（x﹣3）*1＝0，为（x﹣3）2﹣12＝0， 解得：x1＝2，x2＝4， ∴此三角形的周长为：2+2+2＝6或4+4+4＝12或4+4＝2＝10． 故答案为：6或12或10． 【举一反三4】2021年7月1日是建党100周年纪念日，在本月日历表上可以用小方框圈出四个数（如图所示），圈出的四个数中，最小数与最大数的乘积能否为33或65，若能求出最小数；若不能请说明理由． 【答案】解：设最小的数为x， 由题意得x（x+8）＝33， 解得x1＝﹣11，x2＝3．由表格知不符合实际舍去； 由题意得x（x+8）＝65， 解得x1＝﹣13（舍去），x2＝5， 所以当最大数与最小数乘积为65时，最小的数是5． 【举一反三5】如图是今年1月的月历表，用矩形方框按如图所示的方法任意圈出4个数，请解答下列问题： (1) 若方框中最大数与最小数的乘积为180，求最小数； (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124吗？若能，求最小数；若不能，请说明理由． 【答案】解： (1) 设最小数是x,则最大数是x+8， 根据题意得：x（x+8）=180， 整理得：x2+8x-180=0， 解得：x1=10，x2=-18（不符合题意，舍去）． 答：最小数是10； (2) 方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124，理由如下： 假设方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和能为124，设最小数是y,则另外三个数分别是y+1，y+7，y+8， 根据题意得：y（y+8）+y+y+1+y+7+y+8=124， 整理得：y2+12y-108=0， 解得：y1=6，y2=-18（不符合题意，舍去）， ∵y=6在最后一列， ∴假设不成立， 即方框中最大数与最小数的乘积与这四个数的和不能为124． 【题型7】一元二次方程的实际应用-古算题及其他类型 【典例】俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.若每天“遗忘”的百分比是一样的，且设为，根据“两天不练丢一半”，可列方程为(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【举一反三1】《九章算术》．是中国传统数学重要的著作之一其中第九卷《勾股》记载了一道有趣的“折竹子，原高一丈，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部4尺远，则折断后的竹子高度为多少尺？”(备注：1丈尺)如果设折断后的竹子高度为x尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵竹子原长一丈，折断后的竹子高度为x尺， ∴折断部分的竹子长尺． 根据题意得：． 故选：A． 【举一反三2】欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地我们可以用折纸的方法求方程的一个正根．如图，边长为1的正方形的纸片，先对折得到边、边的中点E、F，再沿过点A的直线折叠使落在线段上，折痕为，点G在边上，点D对应点H，连接，下列四条线段的长度，其中恰好是方程的一个正根的线段为（ ）． A．线段 B．线段 C．线段 D．线段 【答案】B 【解析】解方程得， ∴该方程的正根为 设，则， 由折叠的性质可知：≌，是的中点， ，， ∵再中，，， ∴， ， ， 解得：， 即， ∴恰好是方程的一个正根的线段为线段． 故选：B． 【举一反三3】南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载了这样一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步.设阔步，根据题意可列方程为 __________ . 【答案】 【解析】设矩形的阔为步， 则矩形的长为步， 由题意得，. 【举一反三4】《九章算术》中提出了如下问题:“今有户不知高、广,竿不知长、短,横之不出四尺,从之不出二尺,邪之适出。问户高、广、邪各几何?”这段话的意思如下:现在有一扇门,不知道它的高和宽;有一根竹竿,不知道它的长短,将竹竿横着放,比门宽长出4尺;将竹竿竖着放,比门高长出2尺;将竹竿斜着放,与门对角线恰好长度相等。问这扇门的高、宽和对角线长各是多少?若设竿长为x尺,则x=__________。 【答案】10 【解析】由勾股定理得(x-2)2+(x-4)2=x2, ∴x2-12x+20=0,解得x1=2(舍去),x2=10。 【举一反三5】(课本目标P57 19T)在我国南宋数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载着这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？也就是说，一块长方形田地的面积为864平方步，宽比长小12步，问：这块长方形田地的长宽各多少步? 【答案】解：设这块长方形田地的长为步，则宽为步，根据题意，得， 解得（舍去）。36-12=24。 答：这块长方形田地的长宽分别为36步，24步。 【举一反三6】古希腊数学家丢番图（公元250年前后）在《算术》中就提到了一元二次方程的问题，不过当时古希腊人还没有寻求到它的求根公式．只能用“图解法”来求解．在欧几里得的《几何原本》中，形如（，）的方程的“图解法”是：如图，以和为两直角边作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的一个解． (1) 若，，求图中线段的长，并验证线段的长是方程的一个解； (2) 请利用你已学的知识验证该“图解法”的正确性，并说说这种解法的不足之处． 【答案】(1) 解：∵ ，， ， 当时， ， ∴线段的长是方程的一个解； (2) 解：∵， ， ， 用求根公式求得， 正确性：的长就是方程的正根． 不足之处：图解法不能表示方程的负根． 【题型8】一元二次方程的实际应用-行程、工程问题 【典例】受国际油价影响，今年我国汽油价格总体呈上升趋势．我市92＃汽油价格一月底是元／升，三月底92＃汽油价格调整为元／升．假设我市92＃汽油价格这两个月平均每月的增长率为，根据题意列出方程，正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设平均每月的增长率为.∵一月底价格为元/升，∴二月底价格为 元/升， ∴三月底价格为，又∵三月底价格为元/升，∴可得方程 【举一反三1】《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为6，乙的速度为4，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，甲、乙各走了多少步？”请问乙走的步数是（ ） A．36 B．26 C．24 D．10 【答案】C 【解析】解：设甲、乙两人相遇的时间为t，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步， 依题意得：， 整理得：， 解得：（不合题意，舍去）， ∴． 故乙走的步数是． 故选：C． 【举一反三2】望望同学和他的体育教练王老师同时从圆形跑道上的同一起点出发，都按顺时针方向跑步，王老师的速度比望望的速度快多了，过一段时间后王老师第一次从后面追上了望望，这时王老师立即改变方向，按逆时针方向以原来的速度跑去，当他们俩再次相遇时，望望恰好跑了4圈，则王老师的速度与望望的速度之比为__________． 【答案】 【解析】解：设王老师的速度为，望望的速度为，圆形跑道的周长为，则 ， 整理得， 解得（舍去）或． 则王老师的速度与望望的速度之比为， 故答案为： 【举一反三3】飞机起飞前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行时是匀加速运动，其公式为，如 果飞机起飞前滑行距离，其中，则飞机起飞的时间 __________． 【答案】 【解析】解：将，代入得： ， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 【举一反三4】（课本复习题P48 7T）一小艇顺流航行到达目的地，然后逆流回到出发地，航行时间共.已知水流速度是.求小艇在静水中的速度. 【答案】解：设小艇在静水中的速度为 根据题意列方程，得. 解方程，得. 经检验都是原方程的解，但 不合题意，舍去，所以. 答:小艇在静水中的速度为. 【举一反三5】一辆汽车以30米/秒的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹车后汽车又滑行30米后停车． (1) 则在这段时间内的平均车速为多少？从刹车到停车用了多长时间？ (2) 从刹车到停车平均每秒车速减少多少？ (3) 汽车滑行20米时用了多长时间？ 【答案】解： (1) 根据题意，该辆汽车以30米/秒的速度行驶，从刹车到停车所滑行了30米， 则在这段时间内的平均车速为米/秒； 从刹车到停车所用的时间是秒； (2) 从刹车到停车车速的减少值是， 从刹车到停车每秒平均车速减少值是米/秒； (3) 设刹车后汽车滑行到20米时约用了秒，这时车速为米/秒， 则这段路程内的平均车速为米/秒， 所以， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：刹车后汽车行驶到20米时用了秒． 【题型9】一元二次方程的实际应用-动点问题 【典例】如图，在中，，，，于点D，动点P从点A出发以每秒的速度在线段上向终点D运动．设动点运动的时间为t秒，动点M从点C出发以每秒的速度在射线上运动．若点M与点P同时出发，且当点P运动到终点D时，点M也停止运动，若存在t，使得，则t的值为（ ） A．2或 B．2或 C．2或 D．2或12.5 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴，∴， ∴，∴， 当点M在点D左侧时，，解得：或（舍去）； 当点M在点D右侧时，，解得：；综上，t的值为2或． 【举一反三1】如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（ ） 图1      图2 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】解：∵矩形中，，， ∴，， ∵点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动， ∴点M运动的时间为秒， 由图象可得点运动秒到达点， 故点的运动速度为，故①说法正确； 当点在上运动时，的面积最大，最大为，故②正确； 当点在上时，， 解得或（不符合题意，舍去）； 当点在上时，的面积始终保持不变，为； 当点在上运动时，， 解得：， 综上所述，当时，t的值为或17，故③错误； 综上所述，正确的有①②， 故选：A． 【举一反三2】在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4cm，BC＝3cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为1cm/s，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止移动，若使△PBQ的面积为，则点P运动的时间是 __________s． 【答案】3． 【解析】解：设动点P，Q运动t（t≤3）秒时，能使△PBQ的面积为， 则BP的长为，BQ的长为tcm． 可列方程为， 解得t1＝3，t2＝5（舍去）， ∴动点P，Q运动3秒时，能使△PBQ的面积为． 故答案为：3． 【举一反三3】如图，AO＝BO＝6厘米，OC是一条射线，OC⊥AB．一动点P从点A以1厘米/秒的速度向点B爬行，另一动点Q从点O以2厘米/秒的速度沿射线OC方向爬行，它们同时出发，当点P到达B点时点Q也停止运动．设运动时间为t秒，经过 __________秒，△POQ的面积为8平方厘米． 【答案】2秒或4秒或3+． 【解析】解：分两种情况： ①当点P在AO上时， 由题意得：（6﹣t）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t1＝2，t2＝4； ②当点P在BO上时， 由题意得：（t﹣6）•2t＝8， 整理得：t2﹣6t+8＝0， 解得：t3＝3+，t4＝3﹣（不符合题意，舍去）； 综上所述，经过2秒或4秒或3+秒，△POQ的面积为8平方厘米． 故答案为：2秒或4秒或3+． 【举一反三4】综合与实践 如图1，在矩形中，，动点P，Q分别以的速度从点A，B同时出发，点P沿着运动到点B时停止，点Q沿着运动到点A时停止．设运动时间为． (1) 当点P在上运动时， ___________________________________， ___________________________________；（用含t的代数式表示） (2) 在（1）的条件下，当时，求t的值； (3) 如图2、图3，点P沿着运动到点B的过程中、当的面积为时，求t的值． 【答案】(1) 由题意得， ∴ 故答案为：； (2) ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）； (3) 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得， 由矩形的性质可得 ∴点P运动到点C的时间为秒， ∴此种情况不存在； 当点P在上运动时，， ∵的面积为， ∴， 解得或（舍去）； 综上所述， 【举一反三5】如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动． （1）如果P，Q分别从A，B两点同时出发，经过几秒钟，△PBQ的面积等于8 cm2？ （2）几秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4 cm？ 【答案】解：根据题意，知BP＝AB﹣AP＝6﹣t，BQ＝2t． （1）根据三角形的面积公式，得 PB•BQ＝8， t（6﹣t）＝8， t2﹣6t+8＝0， 解得t＝2或4． 故经过2或4秒钟，△PBQ的面积等于8 cm2； （2）根据勾股定理，得 PQ2＝BP2+BQ2＝（6﹣t）2+（2t）2＝32， 5t2﹣12t+4＝0， 解得t1＝2，x2＝． 故2或秒钟后，P，Q两点之间的距离等于4 cm． 学科网（北京）股份有限公司 $