专题03 函数的概念与性质（期中真题汇编，广东专用）高一数学上学期

专题03 函数的概念与性质 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．D 2．B 3．C 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．A 11．C 12．C 13．D 14．BD 15．B 16．A 17．A 18．BD 19．AC 20．ACD 21．D 22．B 23．C 24．ABC 25．CD 26．B 27．B 28．ACD 29．A 30．【答案】 【分析】 结合函数的定义由内到外可计算出的值. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：. 31．【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，代值计算即可. 【详解】 因为 ，所以. 故答案为：5 32．【答案】6 【分析】 根据函数解析式即可求解. 【详解】 ，故， 故答案为：6 33．【答案】 【分析】 使函数解析式有意义可得，解不等式即可求解. 【详解】 解：根据函数，可得，求得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 34．【答案】2 【详解】先求出，再由求出结果. 【详解】 首先，，所以. 故答案为：2 【点睛】 本题考查分段函数求函数值，属于基础题. 35．【答案】 【分析】 根据题意结合根式的意义列式求解即可. 【详解】 令 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 36．【答案】且 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由 ，解得且， 所以的定义域为且. 故答案为：且. 37．【答案】 【分析】 求出总电费，再除以公里数即可. 【详解】 由题意得总电费为， 则每公里的平均电费为. 故答案为：. 38．【答案】 【分析】 根据抽象函数求定义域的方法求解. 【详解】 由，得，所以的定义域是. 由，得，所以的定义域是. 故答案为： 39．【答案】（1）      （2）      【分析】 （1）根据函数的定义，结合，图象写出解析式，进而画出的图象. （2）由（1）所得图象列不等式组，求解集即可. (1) 小问详解： ∴函数，的大致图象如下图示： -1 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 -1 0 1 2 3 根据的定义，结合图像可知： ，其图象如下图示： (2) 小问详解： 由（1）图知： 或 ，解得或， ∴的解集为. 40．【答案】 【分析】 根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【详解】 对于函数，则 ，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 41．【答案】 【分析】 根据二次根式，分式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可. 【详解】 解：因为 所以函数的定义域满足： ，解得：且 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 42．【答案】（1）；     （2）2或0     （3）图象： 【分析】 （1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. (1) 小问详解： 易知 (2) 小问详解： 当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 (3) 小问详解： 由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 43．【答案】 【分析】 根据根号下的部分非负，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可. 【详解】 要使函数有意义，        则 ， 所以的定义域为. 故答案为：. 44．【答案】（1），；     （2）当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为.      【分析】 （1）设出的解析式，利用待定系数法求得；利用配凑法求出. （2）由（1）的信息求出，再按对称轴与区间的位置关系分类求出最小值. (1) 小问详解： 由是一次递增函数，设，则， 而，因此 ，又，则，； 由，得，则， 所以和的解析式分别为，. (2) 小问详解： 由（1）得，， 当，即时，函数在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递减，； 当时，， 所以当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 45．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）观察不等式，令，得到成立，即，以及， 再根据不等式对一切实数都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到，恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围. 【详解】 （1）由题意得：① ， 因为不等式对一切实数都成立， 令，得：，所以，即② 由① ② 解得：，且， 所以， 由题意得：且对恒成立， 即 对恒成立， 对③ 而言，由且， 得到，所以，经检验满足， 故函数的解析式为． （Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，对恒成立， 可转化为，对恒成立， 整理为对恒成立， 令， 则有 ，即 ， 解得， 所以的取值范围为． 法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解， 由① 得到，，对恒成立， 可转化为对恒成立， 得到对恒成立，平方差公式展开整理， 即 即 或 对恒成立， 即 或 即，或 ， 即或，所以的取值范围为． 【点睛】 本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型. 46．【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ） （Ⅲ） 【分析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当时， 的单调递增区间为， （Ⅱ）∵ ① 当时，， ② 当时，，， ③ 当时， ， ，， 当，即时， 当，即时， 综上所述 （Ⅲ）时，方程为，且，其中. 若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解. 若，即时，由于为增函数，故无解. 所以时，方程有且只有两正解. 时，方程为或，只需，可使有且只有两解. 综上所述时，恰有四解 【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解. 47．【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据幂函数定义列方程求出，结合单调性可得； （2）利用换元法，结合二次函数性质求解即可； （3）根据题意得 ，令，进行换元，结合二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，所以或. 当时，在上单调递减，故，不符合题意； 当时，在上单调递增，故，符合题意. 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，所以. 因为，所以，令， 则在上单调递减，所以,即， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 由题意可知，易知在上单调递减， 所以 ，即 令，，则，， 所以 ，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 由于在上单调递减，故。 即， 所以实数的取值范围是. 考点02 函数的基本性质 1．A 2．A 3．AB 4．D 5．C 6．ACD 7．BD 8．C 9．B 10．D 11．ABC 12．C 13．D 14．B 15．B 16．B 17．AD 18．AB 19．B 20．B 21．A 22．B 23．A 24．A 25．D 26．ACD 27．D 28．A 29．BD 30．D 31．D 32．A 33．B 34．C 35．B 36．B 37．ABD 38．D 39．B 40．C 41．D 42．B 43．C 44．A 45．ABD 46．C 47．C 48．A 49．AC 50．A 51．B 52．A 53．A 54．ACD 55．ACD 56．C 57．ACD 58．D 59．BC 60．A 61．BCD 62．ACD 63．ACD 64．【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】 由于函数是上的奇函数，则. 当时，， 设，则，则， 所以. 综上所述， . 故答案为： 【点睛】 方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出. 65．【答案】 【分析】 要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由于的值域为R，当时，， 所以 ，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 66．【答案】2 【分析】 根据奇函数的性质求函数值即可. 【详解】 ，， 因为为奇函数，所以. 故答案为：2 67．【答案】（1）     （2）    单调递增区间为，，单调递减区间为，      【分析】 （1）当时，，代入条件，化简整理，结合奇函数的定义，可求得时的解析式，即可得答案. （2）根据解析式，结合二次函数的性质，可作出图象，根据图象，可得单调区间. (1) 小问详解： 当时，， 则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又， 则 . (2) 小问详解： 由（1）可得解析式，作出的图象，如图所示：    由图象可知，的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 68．【答案】4 【分析】 根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】 因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即 ，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 69．【答案】（1） ，增区间为，；无减区间，      （2）当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根.      【分析】 （1）利用奇函数的对称性可求解析式，结合解析式可得单调区间，描点作图即可； （2）结合图象，分类讨论，根据交点个数得出方程根的个数. (1) 小问详解： 因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上 . 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， (2) 小问详解： 由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 70．【答案】 【分析】 利用一次函数的性质计算即可. 【详解】 因为 在上单调递减， 所以，即. 故答案为：. 71．【答案】0 【分析】 根据题意结合偶函数的定义运算求解即. 【详解】 因为函数为偶函数， 则，可得， 整理可得，结合x的任意性可得. 故答案为：0. 72．【答案】（1），且定义域为；     （2） 由在上单调递减，则在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，证明如下： 令，故 ，而，，故， 所以， 故函数在区间上单调递增.      【分析】 （1）由幂函数所过的点求解析式，进而得，并确定定义域； （2）由复合函数的单调性判断的单调性，再应用单调性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题设，令，则，故， 所以，且定义域为； (2) 小问详解： 略 73．【答案】（1）图象见下图，由图可知： f(x)的单调递增区间是[－2，0]和[2，＋∞)． （2）f(x)＝ ； （3）[－1，3]． 【分析】 （1）先画出x ≤ 0时的函数图象，再利用偶函数的对称性画出的图象，结合图象可得函数的增区间； （2）令x > 0，则－x <0，然后将－x 代入已知的解析式中化简，再结偶函数的定义可求出x > 0时的解析式，从而可得函数的解析式； （3）结合（1）画出的图象可求得函数的值域. 【详解】 （1）略 （2）当x > 0时，－x <0， ∴ f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3， 又∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(x)＝ f(－x)＝x2－4x＋3， ∴f(x)＝ ． （3）由图可知，f(x)在区间[－1，2]上的值域为[－1，3]． 74．【答案】 【分析】 化简函数为 ，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意可得 ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 75．【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. (1) 小问详解： 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 76．【答案】（1），     （2） 在上单调递减， 证明：由（1）得，则， 任取，，且令， 则 ， 由， 则，故， 所以是减函数.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数得，，进而解得，的值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意得在时恒成立， 因为是奇函数，所以， 原不等式可化为， 又因为在上单调递减， 所以在时恒成立， 在时恒成立， 令，则，其中， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 77．【答案】 【分析】 根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】 由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 78．【答案】5 【分析】先根据函数的奇偶性求出的值,然后将代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】函数是奇函数, ,而, 则, 将代入小于0的解析式得 , 解得, 故答案为5. 79．【答案】（Ⅰ），证明如下： 任取， ，其中，， 所以，即，， 所以函数在上是增函数. （Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根据为奇函数求得的值.利用函数单调性的定义证得在上是增函数. （Ⅱ）利用的奇偶性和单调性化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得所求不等式的解集. 【详解】 （Ⅰ）由于是定义在上的奇函数，所以，解得. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知是在上递增的奇函数， 所以 ，解得或. 所以不等式的解集为. 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 80．【答案】（1）2     （2）（i）因为， 所以. 所以， 即对任意，都有成立. 故的图象关于点对称； （ii）      【分析】 （1）直接将和代入的表达式求出与，再求和. （2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为函数的图象关于点对称， 所以，所以 (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的值域为. 记在上的值域为集合在上的值域为集合. 由于对任意，总存在，使得成立， 所以. 由的对称性可知，只需 ① 当，即时，函数在上单调送增， 因为，所以 所以. ② 当，即时，在上单调遂减，在上单调递增， 因为，所以 ，即 解得 ，又因为 所以. ③ 当，即时，函数在上单调递减， 所以， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 81．【答案】（1），且，则， 由，得，而， 因此，即， 所以是减函数.     （2）.      【分析】 （1）利用减函数的定义推理论证即得. （2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，，即函数是奇函数， 不等式，而是减函数， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 82．【答案】 【分析】 由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】 由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 83．【答案】（1） 是定义在上的奇函数，，则， 又，则，， 在上单调递增， 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）     （3） 或或      【分析】 （1）根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （2）根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的单调性，结合一次函数的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. (3) 小问详解： 由（1）知在上单调递增， 又因为， 问题转化为，即对任意恒成立， 设， 即 解得或或， 故的取值范围是或或. 84．【答案】 【分析】 根据一次函数、二次函数的性质确定的单调区间，再结合已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 由在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，在上单调递增， 且， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，则，可得. 故答案为： 85．【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由的定义域为，且， 所以为奇函数；     （2） ；     （3） .      【分析】 （1）应用奇偶性的定义判断证明即可； （2）问题化为在上，根据解析式判断函数在区间上的单调性求最小值，即可得； （3）由题设得，即求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题设，在上， 而在上单调递增， 则在上单调递增， 所以，即； (3) 小问详解： 由，可得， 所以，可得或，不等式解集为. 86．【答案】（1），，值域为     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义结合可求得实数、的值； （2）分析函数的单调性，将所求不等式等价变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可； （3）由函数的单调性与奇函数的性质将所求不等式变形为，其中，利用参变量分离法结合对勾函数的单调性可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，则， 即， 化简可得 所以 ，解得 或 ． 又，所以，所以，． 所以， 因为，则，所以， 所以， 即函数的值域为. (2) 小问详解： 由（1）得， 任取、，且，则， 则， 所以，即函数为上的减函数， 由题意知：在上单调递减且为奇函数， 所以， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为或. (3) 小问详解： 由上可知：在上单调递减且为奇函数， 由，即， 即，即， 化简得：， 又因为，当时，对恒成立， 当时，， 令， 令，则， 由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增， ，所以． 87．【答案】 【分析】 分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 88．【答案】（1）；     （2） 函数为减函数. 对于任意实数,令,则, , 又, ,即,故为减函数.     （3）      【分析】 （1）利用定义域为的奇函数这一性质解出,再代入验证是否成立； （2）根据函数单调性的定义进行证明； （3）结合函数的单调性对不等式进行转化后求解. (1) 小问详解： 为定义域内的奇函数，, 即, 解得. 验证若,, ,可知为奇函数，符合题意， ∴. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 是上的减函数， , 解得, 不等式的解集为. 89．【答案】 【分析】 根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】 若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4. 90．【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性可求得函数在的解析式. 【详解】 设，则，则， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 91．【答案】（1）     （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数.     （3）或      【分析】 （1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. (1) 小问详解： 为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 92．【答案】（1）     （2）定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得， 所以，故为奇函数.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由题意令即可求解； （2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明. （3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解. (1) 小问详解： 解：定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得，从而. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：对任意、，且，则，于是， 则，所以，， 所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为， 因为，， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 93．【答案】（1）    ，最大值为     （2）或      【分析】 （1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. (1) 小问详解： 根据分段函数 的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； (2) 小问详解： 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 94．【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）分离参数，利用不等式求解最值即可得解， （2）根据二次函数的单调性，结合根式的性质化简集合，即可求解并集，进而根据必要条件的定义求解即可， （3）根据二次函数的性质即可列不等式求解. (1) 小问详解： 若，为真命题，则，，故， 由于,故，当且仅当时取到等号， 故，即，故， (2) 小问详解： 要使在区间上单调递增，则需满足 ，解得，故， 或， 要使“”是“”的必要条件，故或， 故或 (3) 小问详解： “”是“恒成立”的充分条件， 即“或”是“恒成立”的充分条件， 则方程的两根在内，所以， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 因此只需考虑 或，解得 95．【答案】（1） 任取、且，即， 所以 ， 因为，则，， 所以，即， 故函数在区间上单调递增.     （2），      【分析】 （1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，根据 可求出实数、的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，， 又因为，解得，； 当时，函数在区间上单调递减， 此时① ，② ， ①② 得， 因为，则，整理可得，则③ ， 将③ 代入① 可得，即，，无解； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，矛盾. 综上所述，，. 96．【答案】（1）为奇函数.     （2） 令，则. 因为当时，，所以， 所以，， 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）应用奇函数定义结合赋值法证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用函数单调性结合赋值法计算得出最值进而得出值域. (1) 小问详解： 因为， 令，得. 令，，得，所以， 所以为奇函数； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. 因为，所以 ， 所以， 故在上的值域为. 97．【答案】（1）     （2）①为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减.      【分析】 （1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解； （2）① 由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；② 利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. (1) 小问详解： 依题意，设幂函数， 则，解得， 所以. (2) 小问详解： ①为奇函数，理由如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明略. 98．【答案】（1） 如下图所示： .     （2）     （3）      【分析】 （1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，    所以 . (3) 小问详解： 由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得， 故实数的取值范围是. 99．【答案】 【分析】 根据奇函数性质以及单调性可知函数在上单调递减，再将不等式利用奇函数性质变为f(m-1) > f(2m-3)，根据单调性定义解不等式即可. 【详解】 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减， ， 所以，即， 故答案为：. 100．【答案】 【详解】利用偶函数关于 轴对称，又由在上单调递减，将不等式转化为 ，即可解得的解集． 【详解】 函数是定义域为的偶函数， 可转化为， 又在上单调递减， ， 两边平方得： 解得 ， 故的解集为． 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即可转化为，属于中档题． 101．【答案】（1） 定义域为，在上都单调递增，在和上单调递减， 值域为，函数为奇函数，与轴交点的横坐标为0.     （2） 【分析】 （1）根据函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号确定函数单调性，再根据函数奇偶性定义判断验证奇偶性； （2）结合单调性与奇偶性确定函数的图象即可. (1) 小问详解： 由，知函数的定义域为， 单调性：设，则， ① 当，或，时，，，. 又因为，得. 根据单调性定义可得，在和上单调递减； ② 当，时，，，.又因为，易得， 根据单调性定义可得，在上单调递增. 因此，在上都单调递增，在和上单调递减， 奇偶性：函数的定义域为关于原点对称，又， 则函数为奇函数，图象关于原点对称， 函数在和上单调递减，在上都单调递增， 在上，当趋近于时，趋近于0，在，当趋近于时，趋近于0， 又，， 由于函数是连续的，所以函数在上函数值从趋近于0减小到，又从增大到1，再从1趋近于0，值域为， 当得，函数图象与轴交点的横坐标为0. (2) 小问详解： 根据（1）中的性质，画出函数的大致图象如下图所示： 102．【答案】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数.     （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ① 当时，不等式为，这时解集为； ② 当时，解不等式得到； ③ 当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 103．【答案】 【分析】 根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】 由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知 ，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 104．【答案】（1）或     （2）图象： 单调递减区间为，单调递增区间为，值域为      【分析】 （1）根据结合分段函数讨论求解； （2）作出分段函数的图象，观察函数图象写出单调区间和值域． (1) 小问详解： ① 当时，若，则，解得； ② 当时，若，则，解得（舍去）或； ③ 当时，若，则，解得（舍去）. 综上所述，实数a的值为或. (2) 小问详解： 函数的大致图象如下：    由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. 105．【答案】（1）证明:因为，令，得到， 所以.     （2）.      【分析】 （1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ， 又函数在区间上单调递增， 所以 ，解得， 所以不等式的的解集为. 106．【答案】（1）     （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. (1) 小问详解： 因为，代入得 ：即 ， 解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 107．【答案】3 【分析】 先根据的大小求出的解析式，再分段讨论，利用一次函数的单调性及二次函数的性质求出答案． 【详解】 令，即，整理得，解得； 令，即，整理得，解得或， 所以 ． 当时，单调递减， ∴当时，取最大值3； 当时，单调递增， 此时， 当时，单调递减，， 综上，时，取最大值3． 故答案为：3． 108．【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增．     （3）；      【分析】 （1）将点代入即可求得的值，从而得到的解析式； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）结合（2）中结论，利用函数的单调性即可求得的最值. (1) 小问详解： 因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）易知，在上单调递增， 所以. 109．【答案】（1）；     （2） 在上是单调递增函数.理由如下： ，定义域为，在上任取两个数，且， ， ，，，，， ，， ，，在上是单调递增函数；     （3）.      【分析】 （1）利用为奇函数，则有，计算求解； （2）求出的定义域为，在上任取两个数，且，计算，判断与的大小，利用单调性的定义得解； （3）通过题中条件得到，将所求不等式转化为，求出是奇函数及在上是单调递增函数，得到，计算得解. (1) 小问详解： ，， 为奇函数，， ，整理得，，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为奇函数，， ， ， 是奇函数， ， ， 在上是单调递增函数， ，，，实数t的取值范围为. 110．【答案】（1）是，定值1     （2）     （3） 【分析】 （1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. (1) 小问详解： 由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. (2) 小问详解： 易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得： . 111．【答案】（1）函数的解析式为：   ；     （2）函数在上单调递增;     （3）不等式的解集为：.      【分析】 根据函数是定义在上的奇函数的定义与性质，解答函数单调性的定义证明，再利用函数的奇偶性与单调性解抽象函数不等式. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，奇函数的性质，分、、三种情况求解， 当时，已知函数， 当时，因为函数是上的奇函数，所以， 当时，令，则， 由奇函数性质，得： ， 综上，的解析式为：    . (2) 小问详解： 任取，且， 有： 因为，指数函数单调递增，所以， 又因为，，故分母， 因此，即， 所以函数在上单调递增. (3) 小问详解： 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则原不等式化为： ，即：， 因为函数在上是增函数，且是奇函数， 所以函数在上是增函数， 所以，整理得：， 即，解得： 或 ， 所以，不等式的解集为：. 112．【答案】（1）都不是“速增函数”     （2）     （3） 命题正确，理由如下： 由“速增函数”的定义，对任意 ，有 ，所以在上单调递增， 对，有， 则，， 且，所以，即. 因此，命题成立.      【分析】 （1）根据“速增函数”的定义进行判断即可. （2）根据“速增函数”的定义列出不等式，然后进行因式分解，根据指数函数的单调性求出解集即可. （3）由“速增函数”的定义先判断函数的单调性，然后根据定义域范围和单调性求出，进而可判断命题的正确性. (1) 小问详解： 对于任意整数，有， ，此时， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 对于任意正数，有， ， ，因为， 所以，即， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. (2) 小问详解： 因为函数为“速增函数”， 则对于任意正数满足， 即，因为，所以， 即对一切正数都成立，所以. 且. 化简得. 化简得，又， 所以，又， 所以，解得. 综上，的取值范围是. (3) 小问详解： 略 113．【答案】（1）     （2）单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）根据充要条件可得，即可代入化简求解， （2）根据单调性的定义，作差即可求解. （3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解. (1) 小问详解： 设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则， 即， 整理得， 可得 ，解得， 所以的对称中心为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ① 当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以 ，解得． ② 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心， 故此时， 欲使，只需 ， 且 ， 解不等式，可得， 又，此时． ③ 当时，即时，在单调递减，在上单调递减， 由对称性知在上单调递减，所以， 因为，所以 ，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【点睛】 关键点点睛：根据任意，总存在，使得，转化为在上的值域，分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，求解的值域. 114．【答案】 【分析】 根据分段函数的概念，列出不等式，求出分段函数解析式，进而求出函数最大值； 【详解】 由题意得，即，解得或， 同理时，解得； 可得 ， 则函数图像如图所示： 可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数最大值为. 故答案为：. 115．【答案】① 3    ② 【分析】 根据已知得 ，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】 当时，解得或， 所以 ，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 116．【答案】 【分析】 根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】 由在上单调递减， 由题意 ，即 ，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 117．【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，对任意实数，恒有， 令，可得，即； 令，可得，即； 所以函数为奇函数.     （2）8     （3） 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为.      【分析】 （1）根据题意结合奇函数的定义分析证明即可； （2）根据题意结合单调性的定义证明可知函数在定义域内单调递减，结合单调性求最值； （3）根据单调性和奇偶性可得，分类讨论二次项系数的符号解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 对任意实数，恒有， 令，可得； 令，可得； 由奇函数可得； 令，，可得，即， 若，则，可得，即， 所以函数在定义域内单调递减， 又因为，可知函数在内单调递减， 所以函数在内最大值为. (3) 小问详解： 因为为定义域在上的奇函数，且 由可得， 又因为函数在定义域内单调递减， 则，可得， 若，可得； 若，令，解得或， 当时，则，解得； 当时，则，解得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 118．【答案】（1） 由，得到，又，则， 所以，其定义域为或， 定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数.     （2）     （3） 【分析】 （1）由，得，从而得，再由奇函数的判断方法，即可求解； （2）分别求出时，的值域，再结合题设定义，即可求解； （3）通过等价换元，将问题转化成在上的最小值，再利用二次函数的性质，分，，三种情况讨论，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 又，则，所以， 所以当时，， 又时，，则， 因为，则，所以， 所以时，，又时，， 所以当时，，当时，， 故的值域为. (3) 小问详解： 因为，又，则， 令，则，令，则， 所以，其对称轴为， 若时，在区间上单调递增，在处取到最小值，所以， 若时，由二次函数的性质知， 若时，在区间上单调递减，在处取到最小值，所以， 综上所述， . 119．【答案】① 1    ② 【分析】 作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】 当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出的图象，如图：    由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：    当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图：    可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】 关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 120．【答案】（1）；     （2） 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ① 当，即时，的根为符合题意； ② 当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③ 当且时，； ④ 当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤ 当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 121．【答案】14 【分析】 对的取值范围分类讨论后可求函数值，从而求中所有元素的和. 【详解】 由题意知， ① 当时，，，， ② 当时，，，， ③ 当时，，，， ④ 当时，，，， ⑤ 当时，，，， 故中所有元素的和为. 故答案为：14 122．【答案】（1） 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解；法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解；（ⅱ）根据与关于对称即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得 ，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 123．【答案】（1）；（2）①；② 2. 【分析】 （1）利用函数奇偶性定义确定的奇偶性，再利用复合函数单调性及单调性定义确定该函数在上单调性，进而求出最值即可. （2）① 利用给定定义，结合指数、对数运算及为偶函数的条件可得，再由求出解析式；② 设，结合（1）中函数性质求出的表达式，再确定最大值求出的值. 【详解】 （1）令函数，，， 函数是上的偶函数，令，任意， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数是增函数，则函数在上单调递增， ，， 所以. （2）①设，由为偶函数，得恒成立， 则，即恒成立， 整理得，即恒成立，而不恒为0，因此， 由，得，联立解得， 所以函数的解析式为. ②由①知，， 由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， ， 当时，， 当时，， 则当且仅当或时，， 因此，即，由（1）得，解得， 所以r的值为2. 124．【答案】（1） 因为（）， 由于当时，对任意， 都有， 所以根据定义，可知与不存在线性关系.     （2）     （3）      【分析】 （1）直接根据定义即可得出结论； （2）先证明当时条件不满足，然后证明当时条件满足，即可得到的最大值为； （3）若在上的值域为，问题可转化为，令，结合对勾函数单调性可得的范围，将问题转化为含参数二次函数值域求解问题；讨论对称轴位置可得二次函数值域，根据包含关系可求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①若，则当时，对任意， 都有， 所以根据定义，可知函数与不存在线性关系， ②而当时，对任意，有，， 故，从而，所以存在，使得 ， 所以根据定义，可知函数与存在线性关系， 综合① ②两方面，即知的最大值为. (3) 小问详解： 与存在线性关系， 则对任意的，存在，使得， ， ，， 在上的值域为集合， 若在上的值域为，则； ， 令，在上单调递减，在上单调递增， 又时，；时，；时，，， 令，则为开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，在上单调递减， ，，即， ， ，又，解得：； ②当，即时，在上单调递增， ，， 即， ， ，又，解得：； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，， 此时不成立，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 考点03 幂函数 1．D 2．D 3．A 4．D 5．A 6．A 7．D 8．B 9．C 10．BC 11．BC 12．ABD 13．【答案】 【分析】 利用幂函数和偶函数的定义即可求解. 【详解】 ∵函数为幂函数， ∴，解得或， 又∵为偶函数， ∴， 故答案为：. 14．【答案】 【分析】 先根据点的坐标确定幂函数的解析式，再结合幂函数的单调性解不等式. 【详解】 因为函数为幂函数，所以设， 由. 所以. 又在上单调递增， 所以. 故所求不等式的解集为. 故答案为： 15．【答案】（1）     （2）      （3） 函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数.      【分析】 （1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. (1) 小问详解： 因为函数为幂函数， 则，解得， 故. (2) 小问详解： 因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得 ，解得， 故方程的解集为. (3) 小问详解： 略 16．【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点04 函数的应用（一） 1．【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元.      【分析】 （1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； (1) 小问详解： 由题意可得， ，所以 (2) 小问详解： 当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 2．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质得出边长，进而得出矩形的面积； （2）将配方，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 设，取中点，连接， 因为，所以， 四边形为矩形， ， ， ， ， 矩形面积； (2) 小问详解： 故当的长度是厘米时，矩形花园的面积最大，最大面积为平方米． 3．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意分段得出解析式即可； （2）应用函数值计算得出自变量即可求解. (1) 小问详解： 由题知，当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， ． (2) 小问详解： 由（1）知，当时，； 当时，； 当时，； 因此当月交纳水费为99元时，用水量一定超过 故有，解得 所以此居民上月用水量为． 4．【答案】 【详解】 （1）当时，如图，设直线与分别交于两点，则 ∵ ∴ ∴ （2）当时，如图，设直线与分别相交于两点，则 ∵ ∴ ∴ （3）当时， 综上，函数 故答案为 点睛：本题考查函数模型的选择及应用，考查分段函数解析式的求法，分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点，是中档题． 5．【答案】（1） （2）当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【分析】 （1）根据自变量x不同的范围，写出对应的函数解析式； （2）求出分段函数各部分的最大值，比较大小后就能确定函数的最大值. 【详解】 （1） 即 （2）设该厂获得的利润为元，则 ① 当时，； ② 当时，. 综上① ，② ，可知当时，有最大值12100. 所以当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【点睛】 本题主要考查分段函数在实际问题中的应用. 6．【答案】（1）；     （2）选第一方案较为合理，理由如下： 由（1）知， 因为， 当或时，盈利额达到最大值为万元， 因为， 所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大， 使用年后机床剩余价值为：（万元）， 所以按第一方案处理，总获利为（万元）； 又由， 令，， 则 ， 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递增； 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递减. 又，当时，年平均盈利为万元， 当时，年平均盈利为万元，又， 所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元）， 所以按第二方案处理，总获利为（万元）. 由于，则选第一方案较为合理.      【分析】 （1）根据“盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用”可得出与之间的函数关系式； （2）方案一中，计算出当盈利额达到最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和；方案二中，利用对勾函数的单调性求出取最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和.比较方案一、方案二中盈利额与机器剩余价值之和的大小，可得出结论. (1) 小问详解： 由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式. (2) 小问详解： 略 7．【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数的值域是，则其定义域不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）函数的定义域是（    ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）下列各组函数中为同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数，若，则实数之值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6．（2026·广东六校·质量检测）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广东多校·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·广东多校·期中）某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（       ） A.  B.  C.  D.  9．（2026·广东东莞·联考）函数 的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知 .则（       ） A. 5 B. 11 C. 18 D. 21 11．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数 ，则 （     ） A. 64 B. 32 C. 8 D. 0 14．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（       ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数且的图像恒过定点 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 15．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·广东清远·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（    ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，则的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  18．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）（多选）下列各组函数中是同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 19．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）下各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 20．（25-26学年高一上·广东四校·期中）（多选）下列函数组中表示同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 21．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）下列各图中，不能表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  23．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 24．（2026·广东五校·联考）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（     ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 25．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 26．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A.  B.  C.  D.  27．（25-26学年高一上·广东四校·期中）设集合，，函数 ，若，且，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  28．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 29．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A.  B.  C.  D.  30．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）苏轼的《望江南·超然台作》全词如下： 春未老，风细柳斜斜． 试上超然台上看，半壕春水一城花． 烟雨暗千家． 寒食后，酒醒却咨嗟． 休对故人思故国，且将新火试新茶． 诗酒趁年华． 若定义该词的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则　　　　　　　　　　　． 31．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知 ，则　　　　　　. 32．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数 ，则　　　　　． 33．（25-26学年高一上·广东清远·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）设函数 ，则的值为　　　　　　　　. 35．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数的定义域为　　　　　　　　 36．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，则的定义域为　　　　　　　　． 37．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为　　　　　　　　　　　元（用含的式子表示） 38．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）若函数的定义域是，则的定义域是　　　　　　　　　　. 39．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）给定函数，，且，用表示，的较大者，记为． （1）作出函数的图象，并写出函数的解析式； （2）求不等式的解集． -1 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 -1 0 1 2 3 40．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　． 41．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 42．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知函数 （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像． 43．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为　　　　　　． 44．（2026·广东东莞·联考）已知是一次递增函数，且，满足， （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，求函数在上的最小值. 45．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立． （1）求函数的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 46．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质， Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明； Ⅱ设在区间上最大值为，求的解析式； Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围． 47．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知幂函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域； （3）若函数，且存在实数，，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·广东多校·期中）下列函数既是奇函数又在区间上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）函数的图象不可能是（       ） A.      B.      C.      D.      3．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B.  C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 4．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 5．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（       ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 6．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 7．（2026·广东五校·联考）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（       ） A.  B.  C.  D.  8．（2026·广东五校·联考）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A.  B.  C.  D.  9．（25-26学年高一上·广东多校·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（    ） A.  B. 0 C. 1 D. 4 10．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  11．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知集合，则M的子集个数是8 B. 函数与是同一函数 C. 不等式的解集是 D. 函数是奇函数，则 12．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  13．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 14．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  15．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  16．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  17．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）（多选）下列结论正确的是（　　） A. “存在一个素数不是奇数”是存在量词命题 B. 是奇函数 C. 等价于 D. 集合是12与30的公约数的真子集的个数为15 18．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A.  B.  C.  D.  19．（25-26学年高一上·广东清远·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  20．（25-26学年高一上·广东四校·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  21．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（       ） A.  B.  C.  D.  22．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）． A. 3 B.  C. 1 D.  23．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数 ，，若存在实数，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  24．（2026·广东东莞·联考）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  25．（2026·广东六校·质量检测）函数的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      26．（2026·广东六校·质量检测）（多选）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（       ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 27．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  28．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      29．（25-26学年高一上·广东多校·期中）（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 30．（2026·广东东莞·联考）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      31．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  32．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  33．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  34．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（     ） A.  B.  C.  D.  35．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  36．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（     ） A. 的值不确定 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D.  37．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）（多选）若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的图象可能关于某条直线对称 C.  D. 若时，，则时， 38．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  39．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（     ） A. （-2，3） B.  C.  D.  40．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  41．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（       ） A.  B. 1 C.  D.  42．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知函数 在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A.  B.  C.  D.  43．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  44．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  45．（25-26学年高一上·广东四校·期中）（多选）函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（     ） A. 函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B. 函数的图象的对称中心为 C. 函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D. 函数的图象关于直线对称 46．（25-26学年高一上·广东四校·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  47．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  48．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数 是上的减函数，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  49．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（       ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 50．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  51．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，已知函数 ，则（       ） A. －3 B. －2 C. －1 D. 1 52．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）下列图象中，函数的部分图象有可能是（       ） A.      B.      C.      D.      53．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  54．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（     ） A. f（1）＝0 B. f（|x|）＝f（x） C. f（x）在上单调递增 D. 方程f（x）＝0有3个实数根 55．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（       ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是R上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记，则是的充要条件 56．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  57．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）（多选）已知函数的定义域为R，满足，且，则（       ） A.  B. 为奇函数 C.  D.  58．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知 ，（）的值域为，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  59．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A.  B. ， C.  D.  60．（25-26学年高一上·广东广州·期中）若函数 的值域是，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  61．（25-26学年高一上·广东广州·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.下列说法正确的有（     ） A. 若函数且，则函数为奇函数 B. 若函数图象关于点成中心对称，则实数的值为6 C. 若函数图象的对称中心为，则 D. 记函数图象的对称中心为，，，若函数在区间上单调递增，则实数的值可以是 62．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 63．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（       ） A.  B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 64．（2026·广东五校·联考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为　　　　　　　　　． 65．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数 的值域为R，则m的取值范围是　　　　　　　　　　． 66．（25-26学年高一上·广东多校·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则　　　　　　　　　　　． 67．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.（直接写出结果） 68．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知函数，是偶函数，则a+b=　　　　　　　　. 69．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数． 70．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 71．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数为偶函数，则函数的值为　　　　　　　　 72．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，函数. （1）求函数的解析式，并指出函数的定义域； （2）讨论函数在区间上的单调性，并证明. 73．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x ≤ 0时，f(x)＝x2＋4x＋3． （1）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；        （2）求函数f(x)的解析式； （3）写出函数f(x)在区间[－1，2]上的值域(不要求步骤)． 74．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 75．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 76．（2026·广东五校·联考）已知函数是定义域为的奇函数，，. （1）求，的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 77．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数满足，则的解集为　　　　　. 78．（2026·广东东莞·联考）已知函数是奇函数，当时，，，则        . 79．（2026·广东东莞·联考）已知函数是奇函数． （Ⅰ）求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （Ⅱ）求不等式的解集． 80．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 81．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知函数． （1）用定义法证明是减函数； （2）解关于t的不等式． 82．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　． 83．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式：； （3）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 84．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数 ，在上单调递减，则实数的取值范围　　　　　　. 85．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数， （1）判断的奇偶性并加以证明； （2）若对恒成立，求的取值范围. （3）解关于不等式：. 86．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． （1）求实数、的值及的值域； （2）解不等式； （3）若对任意恒有成立，求实数的取值范围． 87．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数 为定义在上的单调函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 88．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集． 89．（25-26学年高一上·广东清远·期中）定义一种运算 ，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是　　　　　　　　　　． 90．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，；当时，　　　　　　　　　　　． 91．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数的值; （2）判断的单调性，并用定义证明; （3）求不等式的解集. 92．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，. （1）求的值； （2）求证：为奇函数； （3）求在上的最大值与最小值． 93．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为 .    （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； 94．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 95．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数． （1）用定义证明在区间上单调递增； （2）若在区间上的值域为，求、的值． 96．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，. （1）判断的奇偶性. （2）证明：在上单调递增. （3）求在上的值域. 97．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式. （2）设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 98．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）求函数在R上的解析式； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 99．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递减，则不等式的解集为　　　　　　　　. 100．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是　　　　　　　. 101．（25-26学年高一上·广东四校·期中）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数图象与轴交点的横坐标等.已知.    （1）试讨论函数的性质； （2）根据函数的性质，画出函数的大致图象. 102．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 103．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 104．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数 ，    （1）若，求实数的值； （2）在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的单调区间和值域（不用写解答过程）. 105．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知在上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 106．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 107．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）设，，记 ，若，则的最大值是　　　　　　． 108．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 109．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 为奇函数. （1）求k的值; （2），判断g(x)的单调性，并说明理由； （3）若 求实数t的取值范围. 110．（2026·广东五校·联考）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 111．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 112．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 113．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 114．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）定义 ，已知函数，，若，则的最大值为　　　　　　    115．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）定义 ，若函数，则的最大值为　　　　　　；若在区间上的值域为，则的最大值为　　　　　　． 116．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　　 117．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间上的最大值； （3），试求关于的不等式的解集. 118．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 119．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数 ，存在直线与的图象有4个交点，则　　　　　，若存在实数，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　． 120．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 121．（25-26学年高一上·广东四校·期中）对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为　　　　　. 122．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 123．（2026·广东六校·质量检测）（1）设函数在上的最大值为 P，最小值为Q，求的值; （2）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的.试利用“基函数和 ”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知对于上的任意值，记，当M的最大值为 时，求r的值.（注:） 124．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数的定义域为，的定义域为，若对任意的，存在，使得（为常数），则称与存代线性关系，其中为线性关系值.已知函数（）. （1）若函数（），判断与是否存在线性关系，并说明理由； （2）若函数（），且与存在线性关系，求的最大值； （3）若函数（），且与存在线性关系，求的取值范围. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于轴对称 C. 的图象过点 D.  2．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）函数为幂函数，则该函数为（       ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 3．（2026·广东东莞·联考）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 4．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 6．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  7．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（       ） A. 或 B.  C.  D.  8．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 9．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  10．（2026·广东五校·联考）（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（       ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 11．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）（多选）已知（），则（       ） A. 当时，是减函数 B. 当时， C. 当时，是偶函数 D. 当时，是奇函数 12．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A. 或 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 13．（2026·广东东莞·联考）若幂函数为偶函数，则 　　　　　　　　 . 14．（2026·广东六校·质量检测）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为　　　　　　　　　　 15．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知幂函数． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 16．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量 ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 2．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）如图，在一块锐角三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，设，矩形的面积为．    （1）求； （2）求内接矩形花园面积的最大值． 3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 设某户居民的月用水量为，应交纳水费（元）． （1）求关于的函数解析式； （2）若该居民上月交纳水费99元，求此居民上月用水量． 4．（25-26学年高一上·广东多校·期中）如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的解析式为 　　　　　　　. 5．（2026·广东东莞·联考）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设一次订购为件服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？ 6．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. （1）写出与之间的函数关系式； （2）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） 7．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数的概念与性质 4大高频考点概览 考点01 函数的概念及其表示 考点02 函数的基本性质 考点03 幂函数 考点04 函数的应用（一） 考点01 函数的概念及其表示 1．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数的值域是，则其定义域不可能是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据二次函数的性质一一验证选项中的定义域能不能使函数的值域为. 【详解】 的对称轴为：，开口向上. 对于A：由定义域在对称轴的左侧，可知在上单调递减，可得到值域为，故A正确； 对于B：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故B正确； 对于C：可得到对称轴在定义域内，且左端点离对称轴远一些， 所以函数在对称轴处取最小值，在处取最大值，所以值域为，故C正确； 对于D：由定义域在对称轴的右侧，可知在上单调递增，可得到值域为，故D错误. 故选：D 2．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次根式被开方数非负及分式分母不为零即可列不等式组求解. 【详解】 由 得函数的定义域为. 故选：B. 3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）函数的定义域是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据二次根式被开方数大于等于0，列式求解. 【详解】 要使得有意义，则，解得， 即函数的定义域是. 故选：C. 4．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）下列各组函数中为同一函数的是（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【分析】 根据函数的定义域、对应关系、值域等知识来确定正确答案. 【详解】 A选项，，所以A选项错误. B选项，，， 两个函数定义域、对应关系、值域相同，所以是同一函数，B选项正确. C选项，对于，，解得或， 所以的定义域是， 对于， ，解得， 所以的定义域是，所以C选项错误. D选项，的定义域是， 的定义域是，所以D选项错误. 故选：B 5．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数，若，则实数之值为（       ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【分析】 令，则，再由求解. 【详解】 令，则， 所以， 由， 解得. 故选：D． 【点睛】 本题主要考查已知函数值求参数问题，属于基础题. 6．（2026·广东六校·质量检测）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用换元法求解即可. 【详解】 令，则， 所以， 所以. 故选：A. 7．（25-26学年高一上·广东多校·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可． 【详解】 由题意得， ，解得，即函数的定义域为． 故选：A． 8．（25-26学年高一上·广东多校·期中）某市实行“阶梯水价”，具体收费标准如表所示： 不超过的部分 3元 超过不超过的部分 6元 超过的部分 9元 若某户居民12月份应缴水费为82元，则该户居民12月份的用水量约为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用分段函数各段上的解析式,由函数值求自变量可得. 【详解】 设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元, 则当时,元,不符合题意; 当时,,令,解得,不符合题意; 当时,, 解得,符合题意. 综上所述: 此户居民本月用水量为. 故选：B. 9．（2026·广东东莞·联考）函数 的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 直接列不等式组，求出定义域. 【详解】 要使函数有意义， 只需 ，解得：且. 故函数的定义域为. 故选：C 10．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知 .则（       ） A. 5 B. 11 C. 18 D. 21 【答案】A 【分析】 由题意可知,将代入中，即可求得答案. 【详解】 由题意令，则， 故， 故选：A. 11．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）函数的定义域为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用 可直接求函数定义域. 【详解】 由 得且， ∴函数的定义域为. 故选：C. 12．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知集合，集合，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用交集的概念计算即可. 【详解】 由题意知， 则. 故选：C 13．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数 ，则 （     ） A. 64 B. 32 C. 8 D. 0 【答案】D 【分析】 根据分段函数的解析式，将自变量代入求值即可. 【详解】 由解析式知， 则. 故选：D 14．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）（多选）有以下判断，其中是正确判断的有（       ） A. 与表示同一函数 B. 函数的图象与直线的交点最多有1个 C. 函数且的图像恒过定点 D. 函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BD 【分析】 根据函数相等的定义可判定A，利用函数的概念可判定B，利用指数式的概念可判定C，根据抽象函数的定义域可判定D. 【详解】 对于A，易知的定义域为的定义域为， 故不是相等函数，A错误； 对于B，根据函数的定义可知， 当的定义域中含有1时，函数与有一个交点， 当的定义域中不含1时，函数与没有交点，故B正确； 对于C，函数且，过定点，故C错误； 对于D，令，解得，故D正确. 故选：BD. 15．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的定义域，可得出函数的自变量所满足的不等式，即可解得函数的定义域. 【详解】 因为函数的定义域为， 对于函数，有或，解得或， 故函数的定义域为. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·广东清远·期中）下列函数中与函数是同一函数的是（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据同一函数的定义，从函数定义域与对应关系两方面逐一判断各选项即得. 【详解】 的定义域为， 对于A，的定义域和对应关系与相同，是同一函数，故A正确； 对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域是，而的定义域为，故不是同一函数，即C错误； 对于D，对于函数，当时，，与对应关系不同，故不是同一函数，即D错误. 故选：A 17．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，则的解析式为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用换元法令即可得出函数解析式. 【详解】 令，则， ；故， 故选：A. 18．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）（多选）下列各组函数中是同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】BD 【分析】 根据函数的定义域以及对应关系即可结合选项逐一求解. 【详解】 对于A，的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，A错误； 对于B，两个函数的定义域均为，且对应关系相同，故是同一个函数，B正确， 对于C， 的定义域为，而的定义域为，两个函数的定义域不相同，故不是同一个函数，C错误， 对于D， 由于两个函数的定义域相同，且，故对应关系相同，因此为同一函数，故D正确， 故选：BD 19．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）下各组函数中，表示同一个函数的是（   ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】AC 【分析】 利用定义域与对应关系确定函数是否相同即可. 【详解】 对于A，易知，两函数定义域均为R，故是同一函数，A正确； 对于B，易知中，两函数定义域不同，故B错误； 对于C，，两函数定义域均为R，故是同一函数，C正确； 对于D，中，两函数定义域不同，故D错误. 故选：AC 20．（25-26学年高一上·广东四校·期中）（多选）下列函数组中表示同一函数的有（     ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】ACD 【分析】 根据函数的定义域与对应关系判断是否为同一函数，逐项判断即可. 【详解】 对于A，函数定义域均为，且与对应法则相同，故为同一函数； 对于B，函数定义域为，的定义域为，故定义域不同，是不同函数； 对于C，函数定义域均为，且与对应法则相同，故为同一函数； 对于D，函数定义域均为，且，对应法则相同，故为同一函数. 故选：ACD. 21．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）函数的定义域为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 求出使函数有意义 的自变量范围． 【详解】 由 ，解得或． 用区间表示对应D选项. 故选：D． 22．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）下列各图中，不能表示是的函数的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】 由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 23．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）下列各组函数表示相等函数的是（     ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【分析】 分别分析每个选项中函数的定义域和对应关系式是否相同即可. 【详解】 由题知：对于A：与对应法则不同，不是相等函数，故A选项错误； 对于B：的定义域为，的定义域为或， 两者的定义域不同，不是相等函数，故B选项错误； 对于C：，其定义域为，的定义域为，两者定义域相同且对应法则相同，所以是相等函数，故C选项正确； 对于D：与的对应法则不同，不是相等函数，故D选项错误； 故选：C. 24．（2026·广东五校·联考）（多选）给出以下四个判断，其中正确的是（     ） A. 的定义域为 B. 已知，则 C. 若的定义域为，则的定义域为 D. 已知关于x的不等式的解集为，则的解集为 【答案】ABC 【分析】 对A根据函数的解析式直接求函数的定义域可得，对B直接用换元法求函数解析式可得，对C根据函数的定义直接求复合函数的定义域可得， 对D由一元二次不等式得系数之间的关系，再代入所求分式不等式，进面可求不等式的解集. 【详解】 对于A：要使函数有意义，则 ，解得，所以A正确； 对于B：因，令，得，， 再以换，得，故B正确； 对于C：因的定义域为，令，解得， 所以的定义域为，故C正确； 对于D：因不等式的解集为，所以方程的解为和3， 所以 ，得 代入，化简得， 进而得或，解得，所以D错误. 故选：ABC. 25．（2026·广东东莞·联考）（多选）下列各组函数是同一个函数的是（       ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】CD 【分析】 由定义域和解析式逐项判断即可. 【详解】 对于A，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数， 对于B，的定义域是，的定义域是，不是同一个函数， 对于C，和定义域都是，同一个函数， 对于D，与定义域都是，解析式相同，同一个函数， 故选：CD 26．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）下面各组函数中表示同一个函数的是（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由两个函数定义域相同且对应关系相同，则这两个函数相同，进而判断各选项的正误. 【详解】 对于A：的定义域为R，的定义域为[0,+∞ )，则A错误； 对于B：和的定义域均为R，且g(x)=√x^2=| x|，则B正确； 对于C： 的定义域为［公式］的定义域为R，则C错误； 对于D：的定义域为［公式］的定义域为R，则D错误. 故选：B 27．（25-26学年高一上·广东四校·期中）设集合，，函数 ，若，且，则的取值范围是 A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】根据，根据函数解析式，即可求出的取值范围. 【详解】根据函数解析式，可得当时，，当时， 因为，故可得，解得， 又因为，故令，解得. 故. 故选：B. 【点睛】本题考查由分段函数的函数值范围求解自变量范围的问题，属基础题. 28．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）（多选）下列说法中正确的是（       ）． A. 命题“，”的否定是“，” B. 与是同一个函数 C. 函数满足，若，则实数 D. 若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】 对于A，根据全称量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，根据同一函数的定义判断即可；对于C，利用换元法求解判断即可；对于D，根据抽象函数的定义域求解判断即可. 【详解】 对于A，命题“，”的否定是“，”，故A正确； 对于B，函数的定义域为， 的定义域为，两者定义域不同， 所以不是同一个函数，故B错误； 对于C，由，令，则， 所以，解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，则，即， 所以函数的定义域为，故D正确. 故选：ACD 29．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数的定义域为，，且，设，，，则（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 变形得出，令，则，利用赋值法可求出、、的值，即可得出这三个数的大小关系. 【详解】 对任意的、，在等式两边同时除以可得， 令，则， 令，可得，解得， 令可得，所以， 因为，则，所以， 即，所以， 令，则，所以， 即，所以， 令，则， 令，，可得， 即，故， 所以，，，故， 故选：A. 30．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）苏轼的《望江南·超然台作》全词如下： 春未老，风细柳斜斜． 试上超然台上看，半壕春水一城花． 烟雨暗千家． 寒食后，酒醒却咨嗟． 休对故人思故国，且将新火试新茶． 诗酒趁年华． 若定义该词的第行的字数（标点符号不计入字数）为，则　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 结合函数的定义由内到外可计算出的值. 【详解】 由题意可得，则. 故答案为：. 31．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知 ，则　　　　　　. 【答案】5 【分析】 根据分段函数解析式，代值计算即可. 【详解】 因为 ，所以. 故答案为：5 32．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数 ，则　　　　　． 【答案】6 【分析】 根据函数解析式即可求解. 【详解】 ，故， 故答案为：6 33．（25-26学年高一上·广东清远·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 使函数解析式有意义可得，解不等式即可求解. 【详解】 解：根据函数，可得，求得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 34．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）设函数 ，则的值为　　　　　　　　. 【答案】2 【详解】先求出，再由求出结果. 【详解】 首先，，所以. 故答案为：2 【点睛】 本题考查分段函数求函数值，属于基础题. 35．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数的定义域为　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据题意结合根式的意义列式求解即可. 【详解】 令 ，解得， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 36．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知，则的定义域为　　　　　　　　． 【答案】且 【分析】 根据函数有意义求解即可. 【详解】 由 ，解得且， 所以的定义域为且. 故答案为：且. 37．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）为推进城市绿色出行，某市公交公司逐步将传统燃油公交车更换为新能源电动公交车、已知该公司更换的每辆新能源电动车每天固定损耗（如空调、照明、电池自耗等）为10千瓦时，行驶耗电为每公里0.8千瓦时，电价为0.6元/千瓦时，若某新能源电动车一天行驶（）公里，则每公里的平均电费为　　　　　　　　　　　元（用含的式子表示） 【答案】 【分析】 求出总电费，再除以公里数即可. 【详解】 由题意得总电费为， 则每公里的平均电费为. 故答案为：. 38．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）若函数的定义域是，则的定义域是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据抽象函数求定义域的方法求解. 【详解】 由，得，所以的定义域是. 由，得，所以的定义域是. 故答案为： 39．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）给定函数，，且，用表示，的较大者，记为． （1）作出函数的图象，并写出函数的解析式； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）      （2）      【分析】 （1）根据函数的定义，结合，图象写出解析式，进而画出的图象. （2）由（1）所得图象列不等式组，求解集即可. (1) 小问详解： ∴函数，的大致图象如下图示： -1 0 1 2 3 3 0 -1 0 3 -1 0 1 2 3 根据的定义，结合图像可知： ，其图象如下图示： (2) 小问详解： 由（1）图知： 或 ，解得或， ∴的解集为. 40．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）函数的定义域是　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据分母不为，偶次方根的被开方数非负及零指数幂的底数不为得到不等式组，解得即可. 【详解】 对于函数，则 ，解得且， 所以函数的定义域是. 故答案为： 41．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）函数的定义域为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次根式，分式，零次幂的性质列出不等式求解函数的定义域即可. 【详解】 解：因为 所以函数的定义域满足： ，解得：且 所以函数的定义域为：. 故答案为：. 42．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知函数 （1）求； （2）若，求实数的值； （3）作出函数在区间内的图像． 【答案】（1）；     （2）2或0     （3）图象： 【分析】 （1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象. (1) 小问详解： 易知 (2) 小问详解： 当时，，解得，满足要求， 当时，,解得或（舍） 综上可得或0 (3) 小问详解： 由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象如下所示： 43．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）函数的定义域为　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据根号下的部分非负，以及分式分母不为零，列出不等式求解即可. 【详解】 要使函数有意义，        则 ， 所以的定义域为. 故答案为：. 44．（2026·广东东莞·联考）已知是一次递增函数，且，满足， （1）求和的解析式； （2）在（1）的条件下，令函数，求函数在上的最小值. 【答案】（1），；     （2）当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为；当时，函数在上的最小值为.      【分析】 （1）设出的解析式，利用待定系数法求得；利用配凑法求出. （2）由（1）的信息求出，再按对称轴与区间的位置关系分类求出最小值. (1) 小问详解： 由是一次递增函数，设，则， 而，因此 ，又，则，； 由，得，则， 所以和的解析式分别为，. (2) 小问详解： 由（1）得，， 当，即时，函数在上单调递增，； 当，即时，函数在上单调递减，； 当时，， 所以当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为； 当时，函数在上的最小值为. 45．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知二次函数的图象经过，且不等式对一切实数都成立． （1）求函数的解析式； （2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）观察不等式，令，得到成立，即，以及， 再根据不等式对一切实数都成立，列式求函数的解析式；（2）法一，不等式转化为对恒成立，利用函数与不等式的关系，得到的取值范围，法二，代入后利用平方关系得到，恒成立，再根据参变分离，转化为最值问题求参数的取值范围. 【详解】 （1）由题意得：① ， 因为不等式对一切实数都成立， 令，得：，所以，即② 由① ② 解得：，且， 所以， 由题意得：且对恒成立， 即 对恒成立， 对③ 而言，由且， 得到，所以，经检验满足， 故函数的解析式为． （Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，对恒成立， 可转化为，对恒成立， 整理为对恒成立， 令， 则有 ，即 ， 解得， 所以的取值范围为． 法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解， 由① 得到，，对恒成立， 可转化为对恒成立， 得到对恒成立，平方差公式展开整理， 即 即 或 对恒成立， 即 或 即，或 ， 即或，所以的取值范围为． 【点睛】 本题考查求二次函数的解析式，不等式恒成立求参数的取值范围，重点考查函数，不等式与方程的关系，转化与变形，计算能力，属于中档题型. 46．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数在上是减函数，在上是增函数若函数，利用上述性质， Ⅰ当时，求的单调递增区间只需判定单调区间，不需要证明； Ⅱ设在区间上最大值为，求的解析式； Ⅲ若方程恰有四解，求实数a的取值范围． 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为，（Ⅱ） （Ⅲ） 【分析】（I）当时，将函数写为分段函数的形式，结合的单调性，写出函数的单调递增区间.（II）对分成三种情况，结合函数的解析式，讨论函数的最大值，由此求得的解析式.（III）分成两种情况，去掉的绝对值，根据解的个数，求得的取值范围. 【详解】解：（Ⅰ）当时， 的单调递增区间为， （Ⅱ）∵ ① 当时，， ② 当时，，， ③ 当时， ， ，， 当，即时， 当，即时， 综上所述 （Ⅲ）时，方程为，且，其中. 若，即时，由于为增函数，故有且只有两正解. 若，即时，由于为增函数，故无解. 所以时，方程有且只有两正解. 时，方程为或，只需，可使有且只有两解. 综上所述时，恰有四解 【点睛】本小题主要考查含有绝对值函数的单调性的判断，考查含有绝对值函数的最值的求法，考查含有绝对值的方程的求解策略，考查分类讨论的数学思想，考查化归与转化的数学思想方法.属于难题.对于含有绝对值的函数，主要是对自变量分类，去绝对值，将函数转化为分段函数来求解. 47．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知幂函数，且. （1）求函数的解析式； （2）若，求在上的值域； （3）若函数，且存在实数，，使得在上的值域为，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）     （3）.      【分析】 （1）根据幂函数定义列方程求出，结合单调性可得； （2）利用换元法，结合二次函数性质求解即可； （3）根据题意得 ，令，进行换元，结合二次函数性质求解可得. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，所以或. 当时，在上单调递减，故，不符合题意； 当时，在上单调递增，故，符合题意. 所以. (2) 小问详解： 由（1）知，所以. 因为，所以，令， 则在上单调递减，所以,即， 所以在上的值域为. (3) 小问详解： 由题意可知，易知在上单调递减， 所以 ，即 令，，则，， 所以 ，所以，所以， 因为，所以，所以，所以， 所以， 由于在上单调递减，故。 即， 所以实数的取值范围是. 考点02 函数的基本性质 1．（25-26学年高一上·广东多校·期中）下列函数既是奇函数又在区间上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【详解】逐个判断函数的奇偶性和单调性可得答案. 【详解】 函数既是奇函数又在区间上单调递减，正确； 函数是偶函数，不正确； 函数是奇函数，但是在区间上单调递增，不正确； 函数是偶函数，不正确. 故选：A. 2．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）函数的图象不可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】 当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 3．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）（多选）已知函数，则（       ） A. 的定义域为 B.  C. 在区间上单调递减 D. 的值域为 【答案】AB 【分析】 根据函数解析式求出定义域可判断A，根据解析式计算可判断B，化简解析式，由反比例型函数单调性可判断C，根据函数特征可判断D. 【详解】 对于A，由函数，可知，解得， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，因为， 所以当时，单调递增，故C错误； 对于D，由可知，，故函数值域不为，故D错误. 故选：AB. 4．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）若函数是定义在上的偶函数，则（     ） A.  B.  C.  D. 2 【答案】D 【分析】 根据函数奇偶性的知识来求得正确答案. 【详解】 依题意，函数是定义在上的偶函数， 所以， 所以，所以，所以， 所以，故. 故选：D 5．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数的定义域为，命题为奇函数，命题，那么是的（       ） A. 充分必要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】C 【分析】 根据奇函数的性质及命题充分必要性的概念直接判断. 【详解】 为奇函数,则， 但，无法得函数为奇函数，例如，满足，但是为偶函数， 所以是的充分不必要条件， 故选：C. 6．（2026·广东东莞·联考）（多选）已知函数，则（     ） A. 的定义域是 B. 的值域是R C. 是奇函数 D. 在，上单调递减 【答案】ACD 【分析】 根据分式有意义求出定义域，根据分子不为零求出值域，利用奇函数的定义即可判断，利用反比例函数图象进行平移，来判断单调性，逐个判断每个选项． 【详解】 对于A项，分式中分母不等于0，所以，解得：， 所以的定义域是；故A项正确； 对于B项，的值域是，故B项错误； 对于C项，，令，定义域为，， 所以是奇函数，即是奇函数，故C项正确； 对于D项，的单调递减区间为，，将向右平移一个单位得到， 故在，上单调递减，故D项正确． 故选：ACD． 7．（2026·广东五校·联考）（多选）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的有（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】BD 【分析】 结合奇偶性定义和单调性直接逐项分析即可． 【详解】 对于A，因为，所以是奇函数，又根据对勾函数性质，在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B，，因为，所以是奇函数，又因为函数、在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 对于C，因为，所以是偶函数，故C错误； 对于D，因为，所以是奇函数，而，函数在上单调递减，所以在上单调递增，故D正确． 故选：BD． 8．（2026·广东五校·联考）清代诗人高鼎在《村居》中写道：“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．在儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内，下列图象中能大致刻画儿童离家距离与时间关系的是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据条件描述得离家距离是先减少后增加，则得到答案. 【详解】 因为横坐标为时间，纵坐标为离家距离， 条件描述为儿童从学校放学回到家，再到田野这段时间内， 则离家距离是先减少后增加，故C正确. 故选：C. 9．（25-26学年高一上·广东多校·期中）给定函数，用表示中的较大者，记为，例如当时，，则的最小值为（    ） A.  B. 0 C. 1 D. 4 【答案】B 【分析】 将写出分段函数形式，画出图象，由图象可得最小值. 【详解】 令，可得，即，解得； 令，可得，即，解得或. 所以 . 作出的图象如图所示： 由图象可得的最小值为0. 故选:B. 10．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则不等式的解集是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用函数的奇偶性和单调性，结合已知条件，对不等式进行分类讨论并求解. 【详解】 因为是定义在上的偶函数，且在上单调递减， 所以，在上单调递增. 所以当时，；当时，； 当时，；当时，. 不等式可变形为 或 ， ① ，解得；② ，解得， 综上，不等式的解集为. 故选：D. 11．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）（多选）下列说法正确的是（     ） A. 已知集合，则M的子集个数是8 B. 函数与是同一函数 C. 不等式的解集是 D. 函数是奇函数，则 【答案】ABC 【分析】 根据子集的定义求解，判断选项A,利用函数定义判断B,解分式不等式，判断C，由奇偶函数定义判断D. 【详解】 由,子集个数应该是，故A正确. 由函数的定义，定义域相同，对应关系相同，故B正确. 由,则,故,故C正确. 若是奇函数，且在有定义，则，故D错误. 故选：ABC 12．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）下列函数中既是偶函数，又在上单调递增的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用函数奇偶性定义易得函数奇偶性，对于函数单调性判断，可以通过函数图象进行判断，或者等价转化简化函数解析式，再进行判断. 【详解】 对于项，为奇函数，不符合题意，故A项错误； 对于B项，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，故B项错误； 对于C项，既是偶函数，又在上单调递增，符合题意，故C项正确； 对于D项，为奇函数，不符合题意，故D项错误. 故选：C． 13．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）若是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是（       ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【详解】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论. 【详解】 因为是奇函数，又， 所以， 由得 或 ， 而且奇函数在内是增函数， 所以 或 解得或， 所以不等式的解集为或 故选：D 14．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据二次函数的单调性求解即可. 【详解】 函数的对称轴为， 由题意可知，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 15．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）函数的图象大致是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数奇偶性和单调性即可求解. 【详解】 因为， 所以为奇函数， 当时，为减函数，为增函数，故为增函数，故B选项正确. 故选：B. 16．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据偶函数的单调性，结合分类讨论即可求解. 【详解】 偶函数 在 单调递减，则在 单调递增. 由 和偶函数性质得 . 由可得以下两种情况： ① 时： ② 时： 不等式的解集为 . 故选：B 17．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）（多选）下列结论正确的是（　　） A. “存在一个素数不是奇数”是存在量词命题 B. 是奇函数 C. 等价于 D. 集合是12与30的公约数的真子集的个数为15 【答案】AD 【分析】 根据存在量词命题的定义，可判定A正确；根据函数定义域不关于原点对称，可判定B错误；当时，解得，可判定C错误；求得集合，结合真子集个数的计算公式，可判定D正确. 【详解】 对于A，根据存在量词命题的定义，可得“存在一个素数不是奇数”是存在量词命题，所以A正确； 对于B，由满足，可得，则函数的定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数，所以B错误； 对于C，当时，解得，即当时，， 所以不等式与不等价，所以C错误； 对于D，由是和的公约数，可得，即集合， 可得集合中真子集的个数为个，所以D正确. 故选：AD. 18．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】AB 【分析】 根据函数的奇偶性和单调性逐一判断即可. 【详解】 对于A，的定义域为，且是上的增函数，设，由知是奇函数，故A正确； 对于B，的定义域为，且是上的增函数，设，由知是奇函数，故B正确； 对于C，的定义域为，且是上的减函数，故C错误； 对于D，的定义域为，设，由，知是偶函数，故D错误. 故选：AB. 19．（25-26学年高一上·广东清远·期中）下列函数中，在区间上单调递减的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据反比例函数、二次函数以及一次函数的性质一一分析即可. 【详解】 对A，根据反比例函数性质知在区间上单调递增，故A错误； 对B，在上单调递减，故B正确； 对C，在上单调递增，故C错误； 对D，当时，，其在上单调递增，故D错误. 故选：B. 20．（25-26学年高一上·广东四校·期中）若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据函数的定义结合图象确定定义域与值域逐项判断即可得结论. 【详解】 选项A中，当时，，不符合题意，排除A； 选项C中，存在一个对应多个值，不是函数的图象，排除C； 选项D中，取不到0，不符合题意，排除D. 故选：B. 21．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由函数的奇偶性与单调性判断， 【详解】 由题意可知，在上单调递减，而是偶函数， 故在上单调递增，， 故选：A 22．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则（       ）． A. 3 B.  C. 1 D.  【答案】B 【分析】 根据奇函数的性质计算可得. 【详解】 由题意，当时，，则， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 故选：B 23．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数 ，，若存在实数，使得，则的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数的值域，依题意可得，即可得到不等式，解得即可． 【详解】 解：因为 ， 当时，； 当时，． 所以， 因为存在实数，使得，即， 所以只要即可， 即，即，解得， 所以． 故选：A． 24．（2026·广东东莞·联考）若函数是奇函数，则满足的实数的取值范围为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由函数为奇函数求得，再确定其单调性即可求解； 【详解】 是奇函数，又定义域为, 所以，得，经检验符合； 所以， 由在上单调递增，易知在上单调递减， 又， 所以等价于， 所以， 所以不等式的解集为， 故选：A 25．（2026·广东六校·质量检测）函数的图象可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 先判断的奇偶性，再计算即可判断. 【详解】 由题意有：的定义域为，，所以为奇函数，故排除AC； 又，故排除B， 故选：D. 26．（2026·广东六校·质量检测）（多选）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（       ） A. 若，则函数为奇函数 B. 若，则 C. 函数的图象必有对称中心 D. ， 【答案】ACD 【分析】 中心对称函数的性质，利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．对于AB选项，利用表达式可以直接进行判断.选项C，直接利用定义判断,求出对称中心点.选项D，不等式恒成立问题，根据的函数性质证明即可. 【详解】 对于选项A，记． 因为，所以为奇函数，故选项A正确； 对于选项B，由选项A可知，从而， 所以，故选项B错误； 对于选项C，记．若为奇函数，则， ，即， 所以，即． 上式化简得，． 则必有 ，解得， 因此当时，的图象必关于点对称，故选项C正确； 对于选项D，由选项C可知，． 当时，是减函数，，所以 ， 故选项D正确． 故选：ACD． 27．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知定义域为R的奇函数在单调递增，且，则满足的的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由函数的奇偶性和函数在的单调性得，函数在上的单调性，及的值.通过分类讨论，由函数在不同区间上的单调性及零点得到不等式解集. 【详解】 ∵函数为奇函数，且在上单调递增， ∴函数在上单调递增，且， ∵， 当时，则，， 则，即 ∴，即，. 当时，，满足不等式， 当时，则，， 当时，，不满足不等式，舍去. 当时，，满足不等式. 当，即时，则，即 ∴，即. ∴. 故选：D. 28．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性，结合函数的零点，判断选项. 【详解】 函数的定义域为，，所以是偶函数，故排除C，，得，所以函数有2个零点，排除BD. 故选：A 29．（25-26学年高一上·广东多校·期中）（多选）已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：（1）；（2），当时，都有；（3）.则下列选项成立的是（     ） A.  B. 若，则 C. 若，则 D. ，使得 【答案】BD 【分析】 根据题意可得为偶函数，在上为减函数，逐项判断可确定答案. 【详解】 由（1）得，为偶函数，由（2）得，在上为增函数， ∴在上为减函数. A.∵，在上为增函数，∴，A错误. B.由为偶函数得，，结合函数单调性可画出函数简图， 由得同号，故，B正确. C.由得，解得，故，C错误. D.由的图象连续不断，在上为减函数，在上为增函数，可得， ∴，存在，满足，D正确. 故选：BD. 30．（2026·广东东莞·联考）函数的图象大致为（     ） A.      B.      C.      D.      【答案】D 【分析】 判断函数的奇偶性排除AC，利用单调性排除B，得解. 【详解】 由，定义域为， 又，所以是奇函数，图象关于原点对称，故排除AC； 又，均在上单调递增，故在上单调递增，故B错误. 故选：D. 31．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）若函数 的值域为，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【详解】根据分段函数的解析式，先求出时，函数的值域；再对二次函数的对称轴进行分类讨论；根据题中条件，即可得出结果. 【详解】 由题意， 当时，显然单调递增，则； 当时，是开口向下，对称轴为的二次函数， 又函数 的值域为， 当，即时，，即，解得：， 当，即时，，， 综上， 故选：D. 【点睛】 分段函数的值域为R，即要求各段函数在定义域内的值域并集为R,本题需要对二次函数的对称轴进行分类讨论. 32．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）定义域为的函数周期为4，且的图象关于轴对称，当时，，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用周期性及对数运算性质得，再由对称性得且，结合已知指数函数求函数值. 【详解】 由周期性知， 而，则，即， 所以， 由的图象关于轴对称，则. 所以. 故选：A 33．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）函数的大致图象为（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 分析函数的奇偶性、零点，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 函数的定义域为，， 所以函数为奇函数，排除AD选项； 令可得或， 所以方程在上的零点有且只有三个，排除C选项. 故选：B. 34．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数的单调递减区间为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 写出函数的分段形式，结合二次函数的性质确定单调递减区间即可. 【详解】 由题设 ，且函数连续， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以单调递减区间为. 故选：C 35．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知定义域为的函数满足：，，，都有，且，若，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 构造，根据题意分析可知在定义域内单调递增，且，对不等式整理可得，结合单调性运算求解即可. 【详解】 构造， 因为，，，都有， 可得，可知在定义域内单调递增， 又因为，则， 对于，则，即， 可得，即， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 36．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数满足对任意，都有，且不恒为0，则下列结论一定正确的是（     ） A. 的值不确定 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D.  【答案】B 【分析】 取特值可判定A；结合A的结论，根据奇函数定义赋值可证明B正确；取特殊函数，可否定CD. 【详解】 对于A：设 ，，则，所以 ，故A不正确； 对于B：设 ，，则方程：，结合， 即得，所以是奇函数，故B正确； 对于CD：取，满足， 不是偶函数，，，不满足， 故CD错误. 故选：B 37．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）（多选）若函数是定义域为的奇函数，则下列结论正确的是（     ） A.  B. 的图象可能关于某条直线对称 C.  D. 若时，，则时， 【答案】ABD 【分析】 由奇函数定义可判定A正确；取特殊函数可判定B正确；注意到可以判定C错误；利用奇函数的性质可以证明D正确. 【详解】 对于 A，由奇函数的定义可知，，即，故A正确； 对于B，设，这是奇函数，且关于直线对称，故B正确； 对于C，由A可知，故，此时的分母无意义，故C错误； 对于D，当时，， 由时，， 现在，所以，即，所以，故D正确. 故选：ABD 38．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）若函数的值域为，则的取值范围是（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据的值域为，得到不等式求解的取值范围. 【详解】 当时，，值域为，不满足题意，故， 因为的值域为，所以 ， 解得，即的取值范围是. 故选：D. 39．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知是定义域为的偶函数，且对任意不相等的，，都有，记，则不等式的解集为（     ） A. （-2，3） B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 应用已知不等式化简结合单调性定义得出在上单调递增，再结合偶函数性质列式，最后解一元二次不等式即可. 【详解】 因为，所以. 由，得对任意不相等的，恒成立， 所以在上单调递增. 因为为偶函数，易知为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于，即. 当，即时，，解得或，所以； 当，即时，，解得，所以. 综上所述，所求不等式的解集为. 故选：B. 40．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则（     ） A. 0 B. 2 C.  D.  【答案】C 【分析】 由是定义在上的奇函数得到.由当时，得到当时的表达式，从而求出，即可得解. 【详解】 因为是定义在上的奇函数，所以.因为当时，， 所以当时，，所以，故. 故选：C. 41．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知函数，用表示中的较小者，记为，则的最大值为（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】D 【分析】 先把写成分段函数的形式，再求最大值即可 【详解】 令，即,解得, 所以 ， 当时，由在定义域内单调递减可得， 当时，由二次函数的性质可得, 综上，函数的最大值为， 故选：D 42．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知函数 在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】 因为在上是单调的， 当时， ，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则 ，解得， 当时，若在上单调递减，则 ，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 43．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）若两个正实数满足且存在这样的使不等式有解，则实数m的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，存在，使不等式有解，即，解不等式可求. 【详解】 正实数，满足， . 当且仅当且，即，时取等号， 存在，使不等式有解， ，解可得或，即， 故选：C. 44．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知定义在上的函数，满足，且．若，则满足的x的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 由已知条件可得在上单调递减，且为奇函数，将化为，再利用函数的单调性可求得结果. 【详解】 因为定义在上的函数，满足， 所以在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以， 由，得， 所以． 因为在上单调递减， 所以，得， 故选：A． 45．（25-26学年高一上·广东四校·期中）（多选）函数图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学据此推出以下结论，其中正确的是（     ） A. 函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数 B. 函数的图象的对称中心为 C. 函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数 D. 函数的图象关于直线对称 【答案】ABD 【分析】 由函数奇偶性的定义分析即可判断A；根据一次分式函数分离常数，结合反比例函数图象性质判断对称性即可判断B；因为函数的图象关于成轴对称的充要条件是函数是偶函数，即可判断C；根据解析式求解从而结合对称性进行判断，即可判断D． 【详解】 对于A，函数的图象关于点成中心对称的图形， 则有， 函数为奇函数，则有，即有， 所以函数的图象关于点成中心对称的图形的充要条件是为奇函数，故A正确； 对于B，，则， 因为为奇函数，结合A选项可知函数关于点对称，故B正确； 对于C，函数的图象关于成轴对称的充要条件是， 即函数是偶函数，故C不正确； 对于D，，则， 则，所以关于对称，故D正确. 故选：ABD. 46．（25-26学年高一上·广东四校·期中）定义在上的函数，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，根据函数的单调性可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】 因为函数的定义域为，， 所以，函数为奇函数，且 ，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，函数在上为增函数， 由可得，可得， 即，解得. 所以，不等式的解集为. 故选：C. 47．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知定义在上的函数满足对，，都有，若，则不等式的解集为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 依题意根据函数单调性定义可得在上单调递增，原不等式等价于，即可解出. 【详解】 由，得， 令，则，因此函数在上单调递增， 由，得， 由，得， 即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：C 48．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知函数 是上的减函数，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据分段函数的单调性，列出相应的不等式组，即可求得答案. 【详解】 当时，在上单调递减； 当时，， 要使得函数 是上的减函数， 需满足 ，解得， 则的取值范围是， 故选：A 49．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）（多选）德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其命名的函数 ，被称为狄利克雷函数，其中为实数集，为有理数集，则以下关于狄利克雷函数的结论中，正确的是（       ） A. 函数满足： B. 函数的值域是 C. 对于任意的，都有 D. 在图象上不存在不同的三个点，使得为等边三角形 【答案】AC 【分析】 利用 ，对选项A，B和C逐一分析判断，即可得出选项A，B和C的正误，选项D，通过取特殊点，此时为等边三角形，即可求解. 【详解】 由于 ， 对于选项A，设任意，则； 设任意，则，总之，对于任意实数恒成立，所以选项A正确， 对于选项B，的值域为，又，所以选项B错误， 对于选项C，当，则，当，则，所以选项C正确， 对于选项D，取，此时，得到为等边三角形，所以选项D错误， 故选：AC． 50．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用函数的奇偶性求出当时的函数解析式，再利用绝对值进行合并即可. 【详解】 当时，， 当时，，则， 是定义在上的奇函数，， ，即， 当时，，则， 当时，，则， 综上，在上的解析式是. 故选：A. 51．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有数学王子的美誉，函数称为高斯函数，其中，表示不超过x的最大整数，例如：，，已知函数 ，则（       ） A. －3 B. －2 C. －1 D. 1 【答案】B 【分析】 由函数新定义结合分段函数的解析式可得. 【详解】 由题意，， 所以. 故选：B. 52．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）下列图象中，函数的部分图象有可能是（       ） A.      B.      C.      D.      【答案】A 【分析】 求出函数的定义域，分析函数的奇偶性及其在上的函数值符号，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】 对于函数，有，解得，即函数的定义域为， 定义域关于原点对称，因为，即函数为奇函数，排除CD选项， 当时，，则，此时，排除B选项. 故选：A. 53．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）函数 ，若对任意，都有成立，则实数a的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据题意可知是减函数，结合分段函数单调的条件求解． 【详解】 因为对任意，都有成立，所以是上的减函数， 则 ，解得， 即实数a的取值范围为． 54．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）（多选）已知f（x）是定义在R上的函数；对于任意实数a，b满足，当x＞1时，f（x）＞0，则（     ） A. f（1）＝0 B. f（|x|）＝f（x） C. f（x）在上单调递增 D. 方程f（x）＝0有3个实数根 【答案】ACD 【分析】 对于：令，，可得； 对于：令，可得；令，可得为奇函数；根据，分类讨论即可； 对于：利用单调性定义证明即可； 对于：结合函数的奇偶性和单调性即可判断实数根的个数； 【详解】 对于：将，代入可得， 即，可得，正确； 对于：将，代入可得， 即，因为，所以； 将，代入可得，即，所以为奇函数； 当时，，所以，当时，，所以；故选项错误； 对于：设，，得， 当时，，所以，，即， 所以在上单调递增，选项正确； 对于：令，为任意不等于的实数，代入可得，整理得， 因为，所以；当时，；当时，，， 因为，所以，故；当时，，所以， 所以；当时，，，所以； 所以的根为，共3个，所以选项正确； 故选：. 55．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）（多选）对于函数，若对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，则称函数为倒函数．以下选项正确的有（       ） A. 函数是倒函数 B. 函数是倒函数 C. 若是R上的倒函数，当时，，方程没有正整数解 D. 若是R上的倒函数，其函数值恒大于0，且在R上是增函数．记，则是的充要条件 【答案】ACD 【分析】 对于选项A、B，直接根据定义判断函数是否为倒函数；对于选项C，先根据倒函数性质求出时函数表达式，再判断方程是否有正整数解；对于选项D，根据函数单调性判断与之间的充分性和必要性. 【详解】 对于A，对于定义域为R，显然定义域中任意实数，都有成立，又，所以是倒函数．故A正确． 对于B，定义域为，当时，，不符合倒函数的定义，所以不是倒函数，故B错误． 对于C，令，则，由倒函数的定义，可得， 所以，所以 ，要使有正整数解， 则，当时，； 当时，；所以没有正整数解，故C错误． 对于D，充分性：当时，且，因为是增函数， 所以，，即，， 所以． 必要性：当时， 有 因为恒大于0，所以，即， 所以，因为是增函数，所以，即； 综上可得是的充要条件，故D正确． 故选：ACD. 【点睛】 “新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 56．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数，，若存在实数、、，使得，则的最小值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由对勾函数的单调性可得出，由作差可得出，再结合已知条件得出，化简代数式，利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 由题意可知， 由可得， 即， 因为，则，故， 因为，则， 所以， ， 因为，函数、在上单调递减， 故函数在上单调递减，当时，， 所以，， 当且仅当 时，即当时，等号成立， 因此，的最小值为. 故选：C. 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 57．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）（多选）已知函数的定义域为R，满足，且，则（       ） A.  B. 为奇函数 C.  D.  【答案】ACD 【分析】 采用赋值法为突破口，分析函数的有关性质. 【详解】 对A：令，，则， 因为，所以，故A正确； 对B：令得：，结合可得， 所以为偶函数，故B错误； 对C：令可得：，因为， 所以， 进一步可得：， 又，，故， 故，依次有, 所以，故C正确； 对D：令可得：; 用代替，得：， 结合C的结果，可得：，故D正确. 故选：ACD 【点睛】 关键点睛：如何赋值是解决问题的关键.AB相对简单，对C，令得到后进一步可得到数列相邻项之间的关系，可求结果，对D，用和用代替，是解决问题的关键. 58．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知 ，（）的值域为，，则的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 分情况讨论时，时，及时分段函数的值域，再根据集合间的关系列不等式，解不等式. 【详解】 若，当时，在上单调递减，此时， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域满足， 则 ，解得； 若， 当时，， 当时，，当且仅当时，等号成立， 又函数的值域，满足，成立； 若，当时，在上单调递增，此时， 则， 又不成立， 所以此时不成立； 综上所述：， 故选：D. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是对进行分类讨论，同时结合函数单调性和基本不等式求解相关函数值域，最后得到不等式组，解出即可. 59．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）（多选）已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（　　） A.  B. ， C.  D.  【答案】BC 【分析】 在等式中令可求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质可得出，结合题干等式可判断C选项；推导出函数是周期为的函数，求出函数在上的值域，可判断B选项；利用函数的周期性求出的值，可判断D选项. 【详解】 对于A选项，对任意的，，当时，， 所以， 在等式中，令，可得，故，A错； 对于C选项，因为函数是定义在上的偶函数，则， 所以，即， 所以，C对； 对于B选项，对任意的，， 所以，即函数是周期为的函数， 要求函数的值域，只需求函数在上的值域即可， 当时，， 则， 当时，， 故当时，， 则当时，，， 故当时，函数的值域为，故，，B对； 对于D选项，因为，则， 故，D错. 故选：BC. 60．（25-26学年高一上·广东广州·期中）若函数 的值域是，则实数的取值范围为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 分和两种情况，分别求在和内的值域，结合题意列式求解即可 【详解】 设在，内的值域分别为，由题意可知：， 1.当时，则， 可知在内单调递减，可得， 所以在内的值域为； 2.当时，因为的图象开口向上，对称轴为， （1）若，可知在内单调递减，则， 可得在内的值域， 因为，可得，解得； （2）若，可知在内单调递减，在内单调递增， 则，可得在内的值域， 因为，可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：A. 61．（25-26学年高一上·广东广州·期中）（多选）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.下列说法正确的有（     ） A. 若函数且，则函数为奇函数 B. 若函数图象关于点成中心对称，则实数的值为6 C. 若函数图象的对称中心为，则 D. 记函数图象的对称中心为，，，若函数在区间上单调递增，则实数的值可以是 【答案】BCD 【分析】 根据已知得，即可确定奇偶性判断A，根据已知得为奇函数，应用奇函数的性质求参数值判断B，根据题设及对称中心的定义得到等式恒成立，从而求得参数值判断C，结合C分析及解析式和单调性的定义、对称性得在上单调递增，即可判断D. 【详解】 A：由，则，故， 所以， 定义域为不关于原点对称，故函数不为奇函数，错， B：由题设， 所以为奇函数， 即恒成立， 所以恒成立，故，对， C：由题设为奇函数， 所以， 所以恒成立，则 ，即，对， D：由C分析有，在上单调递增， 令，则 ，即， 所以在上单调递增，又的对称中心为， 所以在上单调递增，则在上单调递增， 由函数在区间上单调递增，即可以是的子集， 而，故可以取，对. 故选：BCD 62．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）（多选）已知函数的定义域是R，若对任意的，都有成立，且当时，，则下列说法中正确的是（       ）． A.  B. 函数是非奇非偶函数 C. 函数在上单调递增 D. 的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A选项：将代入题干等式计算即可得出；对于B选项：将代入题干等式根据奇偶性的定义可判断正误；对于C选项：根据定义法证明单调性即可；对于D选项，利用函数单调性与奇偶性综合解不等式. 【详解】 由题知：对任意的， 都有（*）， 将带入（*）式得：， 故，故A选项正确； 将带入（*）式得， 而函数的定义域是R，易知为奇函数，故B选项错误； ，不妨令：， 令，，则， 将上述带入（*）式得：， 即：， 而，所以， 由题知：且当时，， 所以，故， 根据函数的单调性定义可知：函数在上单调递增，故C选项正确； 由不等式， 由B选项知为奇函数， 所以上述不等式可写为：， 由C选项知：函数在R上单调递增， 易知：，解得：或， 故的解集为，故D选项正确. 故选：ACD. 63．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）（多选）已知函数是定义在上的奇函数，且满足下列条件： ①对任意的，都有； ②对任意的实数，都有； ③. 则下列说法正确的有（       ） A.  B. ，使得 C. 在上单调递减 D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】 对于A，令，代入求值即可；对于B，设，则总存在正整数，使得，此时，与②矛盾；对于C，根据单调性的定义证明函数在上单调递减，再结合奇函数的性质可得函数在上的单调性；对于D，根据函数的单调性和奇函数的性质，以及，可解不等式. 【详解】 对于A，令，则，故正确； 对于B，假设，，， 则一定存在正整数，使得，此时与条件②矛盾，故错误； 对于C，假设，使得， 由，得，， 则一定存在正整数，使得，此时，与条件②矛盾， 故，有； 设，且， 由，得， 由任意的实数，都有，得，， 故，即，有； 综上，，有； 又， 所以在上单调递减，由于函数是定义在上的奇函数， 所以函数在上单调递减，故正确； 对于D，，则. 又，. ，， 所以，， 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 因为函数在上单调递减，又，所以由，得； 又函数是定义在上的奇函数，所以； 故解集为，故正确. 故选：ACD. 64．（2026·广东五校·联考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则函数的解析式为　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性求解即可. 【详解】 由于函数是上的奇函数，则. 当时，， 设，则，则， 所以. 综上所述， . 故答案为： 【点睛】 方法点睛：根据函数奇偶性求解析式的步骤： （1）设：要求哪个区间的解析式，就设在哪个区间； （2）代：利用已知区间的解析式代入进行推导； （3）转：根据的奇偶性，把写成或，从而解出. 65．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数 的值域为R，则m的取值范围是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 要使得函数的值域为R，结合一次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】 由于的值域为R，当时，， 所以 ，解得． 故m的范围是. 故答案为：. 66．（25-26学年高一上·广东多校·期中）函数是定义在上的奇函数．当时，，则　　　　　　　　　　　． 【答案】2 【分析】 根据奇函数的性质求函数值即可. 【详解】 ，， 因为为奇函数，所以. 故答案为：2 67．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. （1）求函数的解析式； （2）把函数图象补充完整，并写出函数的单调区间.（直接写出结果） 【答案】（1）     （2）    单调递增区间为，，单调递减区间为，      【分析】 （1）当时，，代入条件，化简整理，结合奇函数的定义，可求得时的解析式，即可得答案. （2）根据解析式，结合二次函数的性质，可作出图象，根据图象，可得单调区间. (1) 小问详解： 当时，， 则， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 又， 则 . (2) 小问详解： 由（1）可得解析式，作出的图象，如图所示：    由图象可知，的单调递增区间为，； 单调递减区间为，. 68．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知函数，是偶函数，则a+b=　　　　　　　　. 【答案】4 【分析】 根据给定条件，利用偶函数的定义列式计算即可作答. 【详解】 因为f(x)为偶函数，则函数f(x)的定义域关于数0对称，即 ，解得， 显然，，即，整理得， 而不恒为0，于是得，解得， 所以. 故答案为：4 69．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知是定义在R上的奇函数，当时， （1）求的解析式和单调区间，并画出简图； （2）讨论方程的根的个数． 【答案】（1） ，增区间为，；无减区间，      （2）当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根.      【分析】 （1）利用奇函数的对称性可求解析式，结合解析式可得单调区间，描点作图即可； （2）结合图象，分类讨论，根据交点个数得出方程根的个数. (1) 小问详解： 因为是定义在R上的奇函数，所以， 因为当时，，所以当时，，， 因为，所以，综上 . 由于为增函数，所以的单调增区间为，；无减区间. 其简图如图， (2) 小问详解： 由可得， 由图可知，当时，即时，方程仅有一个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程有三个根； 当时，即时，方程有两个根； 当时，即时，方程仅有一个根； 综上，当时，有三个根，当或时，仅有一个根，当或时，有两个根. 70．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用一次函数的性质计算即可. 【详解】 因为 在上单调递减， 所以，即. 故答案为：. 71．（25-26学年高一上·广东广州·期中）函数为偶函数，则函数的值为　　　　　　　　 【答案】0 【分析】 根据题意结合偶函数的定义运算求解即. 【详解】 因为函数为偶函数， 则，可得， 整理可得，结合x的任意性可得. 故答案为：0. 72．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知幂函数的图象过点，函数. （1）求函数的解析式，并指出函数的定义域； （2）讨论函数在区间上的单调性，并证明. 【答案】（1），且定义域为；     （2） 由在上单调递减，则在上单调递增， 所以函数在区间上单调递增，证明如下： 令，故 ，而，，故， 所以， 故函数在区间上单调递增.      【分析】 （1）由幂函数所过的点求解析式，进而得，并确定定义域； （2）由复合函数的单调性判断的单调性，再应用单调性的定义证明即可. (1) 小问详解： 由题设，令，则，故， 所以，且定义域为； (2) 小问详解： 略 73．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x ≤ 0时，f(x)＝x2＋4x＋3． （1）画出函数f(x)的图象，并写出函数f(x)的单调递增区间；        （2）求函数f(x)的解析式； （3）写出函数f(x)在区间[－1，2]上的值域(不要求步骤)． 【答案】（1）图象见下图，由图可知： f(x)的单调递增区间是[－2，0]和[2，＋∞)． （2）f(x)＝ ； （3）[－1，3]． 【分析】 （1）先画出x ≤ 0时的函数图象，再利用偶函数的对称性画出的图象，结合图象可得函数的增区间； （2）令x > 0，则－x <0，然后将－x 代入已知的解析式中化简，再结偶函数的定义可求出x > 0时的解析式，从而可得函数的解析式； （3）结合（1）画出的图象可求得函数的值域. 【详解】 （1）略 （2）当x > 0时，－x <0， ∴ f(－x)＝(－x)2＋4(－x)＋3＝x2－4x＋3， 又∵f(x)是定义在R上的偶函数， ∴f(x)＝ f(－x)＝x2－4x＋3， ∴f(x)＝ ． （3）由图可知，f(x)在区间[－1，2]上的值域为[－1，3]． 74．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）若函数在区间上是增函数，则实数a的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 化简函数为 ，结合其单调性可得相应不等式，即可求得答案. 【详解】 由题意可得 ， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故要使函数在区间上是增函数， 需满足，则， 即实数a的取值范围是， 故答案为： 75．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知定义域为的函数是奇函数. （1）求实数的值； （2）判断函数的单调性，并证明你的结论； （3）若对任意的，不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 由（1）知， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，则， 由，得，则，所以函数在R上单调递增.     （3）.      【分析】 （1）利用奇函数性质求出，再利用定义验证即得； （2）利用函数单调性定义，结合指数函数单调性判断推理即得； （3）利用奇函数性质及单调性脱去法则、分离参数，再借助基本不等式求解即得. (1) 小问详解： 由题意，定义在R上的函数为奇函数，得，解得， 此时，则， 即函数是奇函数，所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 依题意，对任意的，成立， 则，即在上恒成立，而， 当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围是. 76．（2026·广东五校·联考）已知函数是定义域为的奇函数，，. （1）求，的值； （2）判断的单调性，并证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1），     （2） 在上单调递减， 证明：由（1）得，则， 任取，，且令， 则 ， 由， 则，故， 所以是减函数.     （3）      【分析】 （1）利用奇函数得，，进而解得，的值； （2）利用函数的单调性定义证明即可； （3）利用奇函数得，再由单调性得，即，最后利用均值不等式即可求解. (1) 小问详解： 因为函数是定义域为的奇函数， 所以，得， 又，即，解得， 则，经检验符合题意. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意得在时恒成立， 因为是奇函数，所以， 原不等式可化为， 又因为在上单调递减， 所以在时恒成立， 在时恒成立， 令，则，其中， 又，当且仅当时等号成立， 得到，得到，即. 77．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数满足，则的解集为　　　　　. 【答案】 【分析】 根据已知及解析式确定函数图象的对称中心，可得，进而有，再应用公式法求绝对值不等式的解集. 【详解】 由，则的图象关于点对称， 又，则的图象关于点对称， 所以，则，定义域为， 由，则，整理得， 所以或，故解集为. 故答案为： 78．（2026·广东东莞·联考）已知函数是奇函数，当时，，，则        . 【答案】5 【分析】先根据函数的奇偶性求出的值,然后将代入小于0的解析式,建立等量关系,解之即可. 【详解】函数是奇函数, ,而, 则, 将代入小于0的解析式得 , 解得, 故答案为5. 79．（2026·广东东莞·联考）已知函数是奇函数． （Ⅰ）求的值，并用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （Ⅱ）求不等式的解集． 【答案】（Ⅰ），证明如下： 任取， ，其中，， 所以，即，， 所以函数在上是增函数. （Ⅱ）. 【分析】 （Ⅰ）根据为奇函数求得的值.利用函数单调性的定义证得在上是增函数. （Ⅱ）利用的奇偶性和单调性化简不等式，结合一元二次不等式的解法，求得所求不等式的解集. 【详解】 （Ⅰ）由于是定义在上的奇函数，所以，解得. 所以. （Ⅱ）由（Ⅰ）知是在上递增的奇函数， 所以 ，解得或. 所以不等式的解集为. 【点睛】 本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，考查一元二次不等式的解法，属于中档题. 80．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于函数定义域内的任意，都有”.若函数的图象关于点对称，且当时，. （1）求的值； （2）设函数. （i）证明函数的图象关于点对称； （ii）若对任意，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）2     （2）（i）因为， 所以. 所以， 即对任意，都有成立. 故的图象关于点对称； （ii）      【分析】 （1）直接将和代入的表达式求出与，再求和. （2）（i）要证明函数的图象关于点对称，需利用函数图象关于点对称的性质进行证明.（ii）先求出在的值域，再根据条件得出在的值域与在的值域的关系，进而求出的取值范围. (1) 小问详解： 解：因为函数的图象关于点对称， 所以，所以 (2) 小问详解： （i）略 （ii）因为，所以在区间上单调递增， 所以在区间上的值域为. 记在上的值域为集合在上的值域为集合. 由于对任意，总存在，使得成立， 所以. 由的对称性可知，只需 ① 当，即时，函数在上单调送增， 因为，所以 所以. ② 当，即时，在上单调遂减，在上单调递增， 因为，所以 ，即 解得 ，又因为 所以. ③ 当，即时，函数在上单调递减， 所以， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 81．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）已知函数． （1）用定义法证明是减函数； （2）解关于t的不等式． 【答案】（1），且，则， 由，得，而， 因此，即， 所以是减函数.     （2）.      【分析】 （1）利用减函数的定义推理论证即得. （2）判断函数的奇偶性，结合单调性求解不等式. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由，得，，即函数是奇函数， 不等式，而是减函数， 因此，解得， 所以原不等式的解集是. 82．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）若函数在上单调递减，则的取值范围是　　　　　　． 【答案】 【分析】 由对称轴，且当时，恒成立，可求的取值范围. 【详解】 由题可得函数在上单调递减，所以对称轴， 又当时，恒成立，所以，解得. 综上：. 故答案为： 83．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式；判断函数在上的单调性，并用定义加以证明； （2）解不等式：； （3）若任意，不等式在恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） 是定义在上的奇函数，，则， 又，则，， 在上单调递增， 证明：任取且， ， ，且，，， 所以，即， 所以在上单调递增.     （2）     （3） 或或      【分析】 （1）根据奇函数的性质，结合函数单调性的定义进行运算证明即可； （2）根据奇函数的性质，结合函数的单调性进行求解即可； （3）根据函数的单调性，结合一次函数的性质进行求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 在上是奇函数且单调递增， 由得， 解得：， 不等式的解集为. (3) 小问详解： 由（1）知在上单调递增， 又因为， 问题转化为，即对任意恒成立， 设， 即 解得或或， 故的取值范围是或或. 84．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数 ，在上单调递减，则实数的取值范围　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据一次函数、二次函数的性质确定的单调区间，再结合已知区间的单调性列不等式求参数范围. 【详解】 由在上单调递增，在上单调递减， 由在上单调递减，在上单调递增， 且， 综上，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 由在上单调递减，则，可得. 故答案为： 85．（25-26学年高一上·广东华侨·期中）已知函数， （1）判断的奇偶性并加以证明； （2）若对恒成立，求的取值范围. （3）解关于不等式：. 【答案】（1） 为奇函数，证明如下： 由的定义域为，且， 所以为奇函数；     （2） ；     （3） .      【分析】 （1）应用奇偶性的定义判断证明即可； （2）问题化为在上，根据解析式判断函数在区间上的单调性求最小值，即可得； （3）由题设得，即求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由题设，在上， 而在上单调递增， 则在上单调递增， 所以，即； (3) 小问详解： 由，可得， 所以，可得或，不等式解集为. 86．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数是奇函数，并且函数的图象经过点． （1）求实数、的值及的值域； （2）解不等式； （3）若对任意恒有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1），，值域为     （2）或     （3）      【分析】 （1）根据奇函数的定义结合可求得实数、的值； （2）分析函数的单调性，将所求不等式等价变形为，结合函数的单调性可得出关于的不等式，解之即可； （3）由函数的单调性与奇函数的性质将所求不等式变形为，其中，利用参变量分离法结合对勾函数的单调性可求得实数的取值范围. (1) 小问详解： 因为函数是奇函数，则， 即， 化简可得 所以 ，解得 或 ． 又，所以，所以，． 所以， 因为，则，所以， 所以， 即函数的值域为. (2) 小问详解： 由（1）得， 任取、，且，则， 则， 所以，即函数为上的减函数， 由题意知：在上单调递减且为奇函数， 所以， 所以，解得或， 所以原不等式的解集为或. (3) 小问详解： 由上可知：在上单调递减且为奇函数， 由，即， 即，即， 化简得：， 又因为，当时，对恒成立， 当时，， 令， 令，则， 由对勾函数的性质知：在上单调递减，在上单调递增， ，所以． 87．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知函数 为定义在上的单调函数，则的取值范围是　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 分析可知，函数在上为减函数，根据分段函数的单调性可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】 因为函数在上为减函数，且函数为定义在上的单调函数， 故函数在上为减函数， 所以在上为减函数，则， 函数在上为减函数，则，解得， 且有 ，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 88．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义域为的函数是奇函数． （1）求的值； （2）判断并证明的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1）；     （2） 函数为减函数. 对于任意实数,令,则, , 又, ,即,故为减函数.     （3）      【分析】 （1）利用定义域为的奇函数这一性质解出,再代入验证是否成立； （2）根据函数单调性的定义进行证明； （3）结合函数的单调性对不等式进行转化后求解. (1) 小问详解： 为定义域内的奇函数，, 即, 解得. 验证若,, ,可知为奇函数，符合题意， ∴. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 是上的减函数， , 解得, 不等式的解集为. 89．（25-26学年高一上·广东清远·期中）定义一种运算 ，设（t为常数），且，则使函数最大值为4的t值是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 根据定义，先计算在上的最大值，然后利用条件函数最大值为4，确定的取值即可． 【详解】 若在上的最大值为4， 所以由，解得或， 所以要使函数最大值为4， 则根据新定义，结合与图像可知， 当，时，，此时解得， 当，时，，此时解得， 故或4， 故答案为：或4. 90．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知是定义域为的奇函数，当时，；当时，　　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 利用函数的奇偶性可求得函数在的解析式. 【详解】 设，则，则， 又为奇函数，所以，所以，即. 故答案为：. 91．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数为奇函数. （1）求实数的值; （2）判断的单调性，并用定义证明; （3）求不等式的解集. 【答案】（1）     （2）为上的单调递增函数. 证明如下：设，且， 则，因为， 根据指数函数的性质，则，，， 所以，即， 所以为上的单调递增函数.     （3）或      【分析】 （1）根据奇函数的定义进行求解； （2）结合指数函数的单调性，利用定义法进行单调性证明即可； （3）由为奇函数，不等式化为，再结合函数单调性求解即可. (1) 小问详解： 为上的奇函数，则，即 ，整理可得，可得 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为奇函数，不等式化为， 又因为为上的单调递增函数，所以，解得不等式的解集为或 92．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知定义在上的函数对任意实数、，恒有，且当时，，. （1）求的值； （2）求证：为奇函数； （3）求在上的最大值与最小值． 【答案】（1）     （2）定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得， 所以，故为奇函数.     （3）最大值为，最小值为      【分析】 （1）由题意令即可求解； （2）令，利用函数的奇偶性定理即可证明. （3）利用函数单调性定义可得在上为减函数，利用函数的单调性以及函数为奇函数即可求解. (1) 小问详解： 解：定义在上的函数对任意实数、，恒有， 令，可得，从而. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 解：对任意、，且，则，于是， 则，所以，， 所以在上为减函数，故函数的最大值为，最小值为， 因为，， ， 所以在上的最大值为，最小值为． 93．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知函数的解析式为 .    （1）画出这个函数的图象，并写出的最大值； （2）解不等式； 【答案】（1）    ，最大值为     （2）或      【分析】 （1）由解析式即可画出图象，由图即可得最大值； （2）分、及讨论即可得. (1) 小问详解： 根据分段函数 的解析式， 画出函数的图象如图：    由图可得，当时，取得最大值4； (2) 小问详解： 当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 94．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知使命题：“，”为真命题的的取值集合为，使函数在区间上单调递增的的取值集合为． （1）求； （2）若“”是“”的必要条件，求的取值范围； （3）若“”是“恒成立”的充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）或     （3）      【分析】 （1）分离参数，利用不等式求解最值即可得解， （2）根据二次函数的单调性，结合根式的性质化简集合，即可求解并集，进而根据必要条件的定义求解即可， （3）根据二次函数的性质即可列不等式求解. (1) 小问详解： 若，为真命题，则，，故， 由于,故，当且仅当时取到等号， 故，即，故， (2) 小问详解： 要使在区间上单调递增，则需满足 ，解得，故， 或， 要使“”是“”的必要条件，故或， 故或 (3) 小问详解： “”是“恒成立”的充分条件， 即“或”是“恒成立”的充分条件， 则方程的两根在内，所以， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 若对称轴，则，此时不成立，故舍去， 因此只需考虑 或，解得 95．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数． （1）用定义证明在区间上单调递增； （2）若在区间上的值域为，求、的值． 【答案】（1） 任取、且，即， 所以 ， 因为，则，， 所以，即， 故函数在区间上单调递增.     （2），      【分析】 （1）任取、且，作差，因式分解后判断的符号，结合函数单调性的定义可得出结论； （2）分、、三种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，根据 可求出实数、的值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由二次函数的单调性可知，函数的增区间为，减区间为， 当时，函数在区间上单调递增， 此时，， 又因为，解得，； 当时，函数在区间上单调递减， 此时① ，② ， ①② 得， 因为，则，整理可得，则③ ， 将③ 代入① 可得，即，，无解； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，解得，矛盾. 综上所述，，. 96．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知函数的定义域为，对任意，，都有，且当时，，. （1）判断的奇偶性. （2）证明：在上单调递增. （3）求在上的值域. 【答案】（1）为奇函数.     （2） 令，则. 因为当时，，所以， 所以，， 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）应用奇函数定义结合赋值法证明即可； （2）应用单调性定义证明即可； （3）应用函数单调性结合赋值法计算得出最值进而得出值域. (1) 小问详解： 因为， 令，得. 令，，得，所以， 所以为奇函数； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为在上单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为. 因为，所以 ， 所以， 故在上的值域为. 97．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知幂函数的图象经过点. （1）求的解析式. （2）设函数. ①判断的奇偶性； ②判断在上的单调性，并用定义加以证明. 【答案】（1）     （2）①为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上单调递减.      【分析】 （1）利用幂函数的定义，结合待定系数法即可得解； （2）① 由（1）得，利用函数奇偶性的定义即可判断；② 利用函数单调性的定义，结合作差法即可得证. (1) 小问详解： 依题意，设幂函数， 则，解得， 所以. (2) 小问详解： ①为奇函数，理由如下： 由（1）得，， 则其定义域为，关于原点对称， 又，所以函数为奇函数； ②在上单调递减，证明略. 98．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义在R上的奇函数，当时，. （1）作出的函数图象； （2）求函数在R上的解析式； （3）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围. 【答案】（1） 如下图所示： .     （2）     （3）      【分析】 （1）根据解析式及奇函数的图象特征可作出函数图象； （2）根据奇函数的性质求解即可； （3）根据函数图象，得出函数的单调递减区间，进而求解即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 因为为R上的奇函数，所以. 当时，则， 又因为为奇函数， 所以， 所以当时，，    所以 . (3) 小问详解： 由（1）知，的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以. 所以，解得， 故实数的取值范围是. 99．（25-26学年高一上·广东清远·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递减，则不等式的解集为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据奇函数性质以及单调性可知函数在上单调递减，再将不等式利用奇函数性质变为f(m-1) > f(2m-3)，根据单调性定义解不等式即可. 【详解】 已知定义在上的奇函数在上单调递减，且， 所以在上单调递减， ， 所以，即， 故答案为：. 100．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集是　　　　　　　. 【答案】 【详解】利用偶函数关于 轴对称，又由在上单调递减，将不等式转化为 ，即可解得的解集． 【详解】 函数是定义域为的偶函数， 可转化为， 又在上单调递减， ， 两边平方得： 解得 ， 故的解集为． 故答案为： 【点睛】 关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即可转化为，属于中档题． 101．（25-26学年高一上·广东四校·期中）函数的性质通常指函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、函数图象与轴交点的横坐标等.已知.    （1）试讨论函数的性质； （2）根据函数的性质，画出函数的大致图象. 【答案】（1） 定义域为，在上都单调递增，在和上单调递减， 值域为，函数为奇函数，与轴交点的横坐标为0.     （2） 【分析】 （1）根据函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号确定函数单调性，再根据函数奇偶性定义判断验证奇偶性； （2）结合单调性与奇偶性确定函数的图象即可. (1) 小问详解： 由，知函数的定义域为， 单调性：设，则， ① 当，或，时，，，. 又因为，得. 根据单调性定义可得，在和上单调递减； ② 当，时，，，.又因为，易得， 根据单调性定义可得，在上单调递增. 因此，在上都单调递增，在和上单调递减， 奇偶性：函数的定义域为关于原点对称，又， 则函数为奇函数，图象关于原点对称， 函数在和上单调递减，在上都单调递增， 在上，当趋近于时，趋近于0，在，当趋近于时，趋近于0， 又，， 由于函数是连续的，所以函数在上函数值从趋近于0减小到，又从增大到1，再从1趋近于0，值域为， 当得，函数图象与轴交点的横坐标为0. (2) 小问详解： 根据（1）中的性质，画出函数的大致图象如下图所示： 102．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数. （1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明； （3）解关于的不等式. 【答案】（1）是奇函数，理由如下： 由题意可知，， 因为的定义域为，且， 所以是奇函数.     （2）在上是单调递增函数. 证明如下： 任取，设，则 . 因为，所以， 又因为，所以， 所以，即， 所以在上是单调递增函数.     （3）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.      【分析】 （1）利用函数奇偶性的定义求解； （2）利用函数的单调性定义求解； （3）利用函数的单调性和奇偶性，将转化为求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）（2）知是上单调递增的奇函数， 所以在上单调递增， 所以， 可以转化为， 可化为， 即， ① 当时，不等式为，这时解集为； ② 当时，解不等式得到； ③ 当时，解不等式得到. 综上，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为. 103．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数 在上单调递增，则实数的取值范围为　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 根据二次函数、一次函数、分段函数的单调性列不等式，解不等式即可. 【详解】 由二次函数、一次函数、分段函数的单调性可知 ，解得， 故实数的取值范围为. 故答案为：. 104．（25-26学年高一上·广东粤东四校·期中）已知函数 ，    （1）若，求实数的值； （2）在直角坐标系中画出函数的大致图象，并根据函数图象写出函数的单调区间和值域（不用写解答过程）. 【答案】（1）或     （2）图象： 单调递减区间为，单调递增区间为，值域为      【分析】 （1）根据结合分段函数讨论求解； （2）作出分段函数的图象，观察函数图象写出单调区间和值域． (1) 小问详解： ① 当时，若，则，解得； ② 当时，若，则，解得（舍去）或； ③ 当时，若，则，解得（舍去）. 综上所述，实数a的值为或. (2) 小问详解： 函数的大致图象如下：    由图可知，函数的单调递减区间为，单调递增区间为，值域为. 105．（25-26学年高一上·广东广州黄埔区·期中）已知在上有意义，单调递增且满足． （1）求证：； （2）求不等式的的解集． 【答案】（1）证明:因为，令，得到， 所以.     （2）.      【分析】 （1）根据条件，通过令，即可证明结果； （2）根据条件得到，再利用在区间上的单调性，即可求出结果. (1) 小问详解： 略； (2) 小问详解： ， 又函数在区间上单调递增， 所以 ，解得， 所以不等式的的解集为. 106．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）已知函数，且. （1）求的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）若对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】（1）     （2）由（1）知，， 在上的单调递减， 证明如下：任取，设， ， 因为， 所以，故在上的单调递减.     （3）      【分析】 （1）根据列式求解； （2）根据单调性的定义证明函数的单调性即可； （3）通过换元法，根据基本不等式求出的最小值，结合恒成立通过最值得关于的不等式，解不等式即可求解参数范围. (1) 小问详解： 因为，代入得 ：即 ， 解得：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 对任意的，， 因为，令， ， 根据基本不等式性质，， 当且仅当即时，等号成立，所以， 所以， 可转化为即， 解得：. 所以的取值范围为. 107．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）设，，记 ，若，则的最大值是　　　　　　． 【答案】3 【分析】 先根据的大小求出的解析式，再分段讨论，利用一次函数的单调性及二次函数的性质求出答案． 【详解】 令，即，整理得，解得； 令，即，整理得，解得或， 所以 ． 当时，单调递减， ∴当时，取最大值3； 当时，单调递增， 此时， 当时，单调递减，， 综上，时，取最大值3． 故答案为：3． 108．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）已知函数，且此函数图象过点. （1）求的解析式； （2）讨论函数在上的单调性？并证明你的结论. （3）求函数在区间上的最小值和最大值. 【答案】（1）     （2） 在上单调递增，证明如下： 不妨设且， 则， 因为且， 所以，则，， 所以，即 所以在上单调递增．     （3）；      【分析】 （1）将点代入即可求得的值，从而得到的解析式； （2）利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （3）结合（2）中结论，利用函数的单调性即可求得的最值. (1) 小问详解： 因为函数，且此函数图象过点． 所以，解得， 所以. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（2）易知，在上单调递增， 所以. 109．（2026·广东六校·质量检测）已知函数 为奇函数. （1）求k的值; （2），判断g(x)的单调性，并说明理由； （3）若 求实数t的取值范围. 【答案】（1）；     （2） 在上是单调递增函数.理由如下： ，定义域为，在上任取两个数，且， ， ，，，，， ，， ，，在上是单调递增函数；     （3）.      【分析】 （1）利用为奇函数，则有，计算求解； （2）求出的定义域为，在上任取两个数，且，计算，判断与的大小，利用单调性的定义得解； （3）通过题中条件得到，将所求不等式转化为，求出是奇函数及在上是单调递增函数，得到，计算得解. (1) 小问详解： ，， 为奇函数，， ，整理得，，，； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 为奇函数，， ， ， 是奇函数， ， ， 在上是单调递增函数， ，，，实数t的取值范围为. 110．（2026·广东五校·联考）著名的“悬链线拱桥问题”与数学中的双曲函数相关.函数叫做双曲正弦函数，函数叫做双曲余弦函数，其中是自然对数的底数.已知函数. （1）对任意实数是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由； （2）求不等式的解集； （3）当时，求的最大值. 【答案】（1）是，定值1     （2）     （3） 【分析】 （1）将两函数式代入计算即得； （2）利用函数的奇偶性和单调性转化求解抽象不等式即得； （3）令，求得，将函数换元化成，利用二次函数的图象性质结合区间即可分段求得的解析式，再合并表示即可. (1) 小问详解： 由， 可得 ， 即 是定值，定值为1. (2) 小问详解： 易知的定义域为， 又，所以为奇函数， 由不等式可得， 又易得是上的增函数，所以，所以， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 令，因在上单调递增，故得， 又因为，， 则，， ① 当时，函数在上单调递增， 故当时，取得最大值为； ② 当时，函数在上单调递减， 故当时，取得最大值为； ③ 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 所以时取最大值； 综上可得： . 111．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）已知函数f（x）是定义在上的奇函数，当时，f（x）＝． （1）求函数f（x）的解析式； （2）判断并用定义证明函数f（x）在上的单调性； （3）解关于m的不等式． 【答案】（1）函数的解析式为：   ；     （2）函数在上单调递增;     （3）不等式的解集为：.      【分析】 根据函数是定义在上的奇函数的定义与性质，解答函数单调性的定义证明，再利用函数的奇偶性与单调性解抽象函数不等式. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数，奇函数的性质，分、、三种情况求解， 当时，已知函数， 当时，因为函数是上的奇函数，所以， 当时，令，则， 由奇函数性质，得： ， 综上，的解析式为：    . (2) 小问详解： 任取，且， 有： 因为，指数函数单调递增，所以， 又因为，，故分母， 因此，即， 所以函数在上单调递增. (3) 小问详解： 因为函数是定义在R上的奇函数， 所以，则原不等式化为： ，即：， 因为函数在上是增函数，且是奇函数， 所以函数在上是增函数， 所以，整理得：， 即，解得： 或 ， 所以，不等式的解集为：. 112．（2026·广东东莞东莞中学松山湖学校·二模）若函数满足：对于任意正数，都有，且，则称函数为“速增函数”． （1）试判断函数与是否为“速增函数”； （2）若函数为“速增函数”，求a的取值范围； （3）若函数为“速增函数”，且，判断命题“对任意，都有”是否正确，并说明理由． 【答案】（1）都不是“速增函数”     （2）     （3） 命题正确，理由如下： 由“速增函数”的定义，对任意 ，有 ，所以在上单调递增， 对，有， 则，， 且，所以，即. 因此，命题成立.      【分析】 （1）根据“速增函数”的定义进行判断即可. （2）根据“速增函数”的定义列出不等式，然后进行因式分解，根据指数函数的单调性求出解集即可. （3）由“速增函数”的定义先判断函数的单调性，然后根据定义域范围和单调性求出，进而可判断命题的正确性. (1) 小问详解： 对于任意整数，有， ，此时， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. 对于任意正数，有， ， ，因为， 所以，即， 不满足“速增函数”的定义，所以不是速增函数. (2) 小问详解： 因为函数为“速增函数”， 则对于任意正数满足， 即，因为，所以， 即对一切正数都成立，所以. 且. 化简得. 化简得，又， 所以，又， 所以，解得. 综上，的取值范围是. (3) 小问详解： 略 113．（25-26学年高一上·广东多校·期中）已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1）     （2）单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增．     （3）      【分析】 （1）根据充要条件可得，即可代入化简求解， （2）根据单调性的定义，作差即可求解. （3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解. (1) 小问详解： 设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则， 即， 整理得， 可得 ，解得， 所以的对称中心为． (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ① 当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以 ，解得． ② 当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心， 故此时， 欲使，只需 ， 且 ， 解不等式，可得， 又，此时． ③ 当时，即时，在单调递减，在上单调递减， 由对称性知在上单调递减，所以， 因为，所以 ，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【点睛】 关键点点睛：根据任意，总存在，使得，转化为在上的值域，分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，求解的值域. 114．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）定义 ，已知函数，，若，则的最大值为　　　　　　    【答案】 【分析】 根据分段函数的概念，列出不等式，求出分段函数解析式，进而求出函数最大值； 【详解】 由题意得，即，解得或， 同理时，解得； 可得 ， 则函数图像如图所示： 可知函数在上单调递增，在上单调递减，则函数最大值为. 故答案为：. 115．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）定义 ，若函数，则的最大值为　　　　　　；若在区间上的值域为，则的最大值为　　　　　　． 【答案】① 3    ② 【分析】 根据已知得 ，画出函数图象，数形结合求函数最大值，根据值域端点值求出对应的自变量，讨论确定的最大值. 【详解】 当时，解得或， 所以 ，作出的图象如图所示： 由图知：当时有最大值，所以， 当时，令，注意，解得或， 令，注意，解得， 当时，令，注意，解得， 令，注意，解得， 由图知：当，时，的值域为， 此时的最大值为； 当，时，的值域为，此时， 由上知，的最大值为. 故答案为：3， 116．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知函数，存在实数、，使得在区间上的值域为，则实数的取值范围是　　　　　　　　 【答案】 【分析】 根据已知得到，令，结合得，进而有且求参数范围. 【详解】 由在上单调递减， 由题意 ，即 ，则， 所以，令， 所以，，则， 综上，，且， 所以. 故答案为： 117．（25-26学年高一上·广东广州·期中）已知函数对任意实数，恒有，当时，，且. （1）判断的奇偶性并证明； （2）求在区间上的最大值； （3），试求关于的不等式的解集. 【答案】（1） 函数为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，对任意实数，恒有， 令，可得，即； 令，可得，即； 所以函数为奇函数.     （2）8     （3） 若，解集为； 若，解集为； 若，解集为.      【分析】 （1）根据题意结合奇函数的定义分析证明即可； （2）根据题意结合单调性的定义证明可知函数在定义域内单调递减，结合单调性求最值； （3）根据单调性和奇偶性可得，分类讨论二次项系数的符号解不等式即可. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 对任意实数，恒有， 令，可得； 令，可得； 由奇函数可得； 令，，可得，即， 若，则，可得，即， 所以函数在定义域内单调递减， 又因为，可知函数在内单调递减， 所以函数在内最大值为. (3) 小问详解： 因为为定义域在上的奇函数，且 由可得， 又因为函数在定义域内单调递减， 则，可得， 若，可得； 若，令，解得或， 当时，则，解得； 当时，则，解得或； 综上所述：若，解集为； 若，解集为； 若，解集为. 118．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）已知函数． （1）证明：是奇函数； （2）用表示不超过的最大整数，求函数的值域； （3）求在区间上的最小值． 【答案】（1） 由，得到，又，则， 所以，其定义域为或， 定义域关于原点对称，又， 所以是奇函数.     （2）     （3） 【分析】 （1）由，得，从而得，再由奇函数的判断方法，即可求解； （2）分别求出时，的值域，再结合题设定义，即可求解； （3）通过等价换元，将问题转化成在上的最小值，再利用二次函数的性质，分，，三种情况讨论，即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知，当时，， 又，则，所以， 所以当时，， 又时，，则， 因为，则，所以， 所以时，，又时，， 所以当时，，当时，， 故的值域为. (3) 小问详解： 因为，又，则， 令，则，令，则， 所以，其对称轴为， 若时，在区间上单调递增，在处取到最小值，所以， 若时，由二次函数的性质知， 若时，在区间上单调递减，在处取到最小值，所以， 综上所述， . 119．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数 ，存在直线与的图象有4个交点，则　　　　　，若存在实数，满足，则的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　． 【答案】① 1    ② 【分析】 作出分段函数的图象，结合图象进行分析,第一个填空：当时，直线与的图象有4个交点；第二个填空：当时，存在实数，满足，进而可得取值范围，再结合函数对称性从而可得结论. 【详解】 当时，令，解得或； 令，解得； 故可作出的图象，如图：    由图可知，当时，，当时，， 所以若存在直线与的图象有4个交点时，如图：    当时，直线与的图象有4个交点； 若存在实数，满足， 如图：    可知当时，存在实数，满足， 令，解得， 则可得； 因为 关于对称，；同理关于对称，； 所以， 又因为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：1；. 【点睛】 关键点睛：作出分段函数的图象是关键，本题考查数形结合思想，以及空间想象能力，属于较难题. 120．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且， （1）求a，b的值； （2）判断在上的单调性，并证明． （3）设若对任意的，总存在，使得成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1）；     （2） 在上单调递增， 证明如下： 任取， 其中，所以， 故在上单调递增.     （3）      【分析】 （1）由定义在上的奇函数满足，结合列方程即，可求出实数的值； （2）用定义法证明即可； （3）将问题转化为，再转化为二次函数能成立问题，然后进行分类讨论即可. (1) 小问详解： 因为函数是定义在上的奇函数， ，即，又，即， 经检验，该函数为奇函数， 故. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由（1）知在上单调递增，则， 任意的，总存在， 使得成立等价于，即， 即存在使得成立， 令， ① 当，即时，的根为符合题意； ② 当且时，即时，恒成立，不符合题意； ③ 当且时，； ④ 当且时，即时， 的对称轴为，且存在使得成立， 即，解得， ⑤ 当且时，即时，因为的对称轴为，所以符合题意， 综上所述，实数的取值范围为：. 121．（25-26学年高一上·广东四校·期中）对于任意实数，表示不超过的最大整数，如，，定义在上的函数，若，则中所有元素的和为　　　　　. 【答案】14 【分析】 对的取值范围分类讨论后可求函数值，从而求中所有元素的和. 【详解】 由题意知， ① 当时，，，， ② 当时，，，， ③ 当时，，，， ④ 当时，，，， ⑤ 当时，，，， 故中所有元素的和为. 故答案为：14 122．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，已知函数，其中． （1）证明：若函数为奇函数，则实数和均为定值； （2）当，，，时， （ⅰ）求函数图象的对称中心； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） 证明：因为为奇函数，并且定义域为R， 所以，所以，则， 而，则， 所以，所以， 因为，所以， 综上，若函数为奇函数，则实数d和f为定值，均为0．     （2）（ⅰ）；（ⅱ）      【分析】 （1）根据奇函数的定义，求证即可； （2）（ⅰ）法一：设函数图象的对称中心为，设，根据（1）的结论即可求得，，进而得解；法二：设，通过计算可得，根据为奇函数即可求解；（ⅱ）根据与关于对称即可求解. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： （ⅰ）（法一）因为，，，， 所以， 设函数图象的对称中心为， 设，由题可知函数为奇函数， 因为 ， 若为奇函数，由（1）可得 ，解得，， 则函数图象的对称中心为． （法二）因为，，，，所以， 设， 所以 ， 因为的定义域为R，并且， 所以为奇函数，根据题可得函数的图象关于中心对称． （ⅱ）因为， 所以与关于对称， 所以． 123．（2026·广东六校·质量检测）（1）设函数在上的最大值为 P，最小值为Q，求的值; （2）对于两个定义域相同的函数和，若存在实数m，n，使，则称函数是由“基函数和”生成的.试利用“基函数和 ”生成一个函数，满足为偶函数，且. ①求函数的解析式； ②已知对于上的任意值，记，当M的最大值为 时，求r的值.（注:） 【答案】（1）；（2）①；② 2. 【分析】 （1）利用函数奇偶性定义确定的奇偶性，再利用复合函数单调性及单调性定义确定该函数在上单调性，进而求出最值即可. （2）① 利用给定定义，结合指数、对数运算及为偶函数的条件可得，再由求出解析式；② 设，结合（1）中函数性质求出的表达式，再确定最大值求出的值. 【详解】 （1）令函数，，， 函数是上的偶函数，令，任意， ， 由，得，则，， 因此函数在上单调递增，而函数是增函数，则函数在上单调递增， ，， 所以. （2）①设，由为偶函数，得恒成立， 则，即恒成立， 整理得，即恒成立，而不恒为0，因此， 由，得，联立解得， 所以函数的解析式为. ②由①知，， 由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增， 设， 则， ， 当时，， 当时，， 则当且仅当或时，， 因此，即，由（1）得，解得， 所以r的值为2. 124．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知函数的定义域为，的定义域为，若对任意的，存在，使得（为常数），则称与存代线性关系，其中为线性关系值.已知函数（）. （1）若函数（），判断与是否存在线性关系，并说明理由； （2）若函数（），且与存在线性关系，求的最大值； （3）若函数（），且与存在线性关系，求的取值范围. 【答案】（1） 因为（）， 由于当时，对任意， 都有， 所以根据定义，可知与不存在线性关系.     （2）     （3）      【分析】 （1）直接根据定义即可得出结论； （2）先证明当时条件不满足，然后证明当时条件满足，即可得到的最大值为； （3）若在上的值域为，问题可转化为，令，结合对勾函数单调性可得的范围，将问题转化为含参数二次函数值域求解问题；讨论对称轴位置可得二次函数值域，根据包含关系可求得结果. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： ①若，则当时，对任意， 都有， 所以根据定义，可知函数与不存在线性关系， ②而当时，对任意，有，， 故，从而，所以存在，使得 ， 所以根据定义，可知函数与存在线性关系， 综合① ②两方面，即知的最大值为. (3) 小问详解： 与存在线性关系， 则对任意的，存在，使得， ， ，， 在上的值域为集合， 若在上的值域为，则； ， 令，在上单调递减，在上单调递增， 又时，；时，；时，，， 令，则为开口方向向下，对称轴为的抛物线， ①当，即时，在上单调递减， ，，即， ， ，又，解得：； ②当，即时，在上单调递增， ，， 即， ， ，又，解得：； ③当，即时，在上单调递增，在上单调递减， ， 当时，， 此时不成立，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 【点睛】 结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化： 一般地，已知函数， （1）若，，总有成立，故； （2）若，，有成立，故； （3）若，，有成立，故； （4）若，，有，则的值域是值域的子集. 考点03 幂函数 1．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）已知幂函数，则下列结论正确的是（     ） A. 在上单调递减 B. 的图象关于轴对称 C. 的图象过点 D.  【答案】D 【分析】 根据幂函数的性质即可结合选项逐一求解. 【详解】 由于的定义域为，故ABC错误， 为上的单调递减函数，故，D正确， 故选：D 2．（25-26学年高一上·广东东莞·期中）函数为幂函数，则该函数为（       ） A. 增函数 B. 减函数 C. 奇函数 D. 偶函数 【答案】D 【分析】 根据幂函数定义可得，求得解析式即可得出该函数为偶函数； 【详解】 由题意知，即， 则该函数为，此时函数定义域为全体实数集， 该函数在定义域内有增有减，不是单调函数； 函数满足，为偶函数. 故选：D 3．（2026·广东东莞·联考）已知幂函数的图象过点，则（       ） A. 2 B. 8 C.  D. 16 【答案】A 【分析】 由点求得函数解析式即可求解； 【详解】 设， 则，解得：， 所以， 故选：A 4．（25-26学年高一上·广东月期中学·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【详解】 令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D 5．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）已知幂函数在上单调递增，则m的值为（     ） A. 1 B. -3 C. -4 D. 1或-3 【答案】A 【分析】 根据幂函数定义和函数单调性列出关于的方程和不等式即可求解. 【详解】 由题意可得 . 故选：A 6．（25-26学年高一上·广东上进联考·期中）若幂函数的图象经过点，且，则的取值范围是（　　） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 利用待定系数法得，再代入解不等式即可. 【详解】 设，，代入点得，解得. 则，则，即，即，解得. 故选：A. 7．（25-26学年高一上·广东新塘中学·期中）已知幂函数是定义域上的奇函数，则（       ） A. 或 B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 根据和函数为奇函数，可求的值. 【详解】 因为函数为幂函数，所以，所以，或. 当时，为偶函数，故不合题意； 当时，为奇函数，故满足题意. 故选：D 8．（25-26学年高一上·广东四校·期中）已知幂函数的图象与坐标轴没有公共点，则（       ） A.  B.  C. 1 D. 或1 【答案】B 【分析】 由系数为1求得，然后代入确定函数图象是否与坐标轴有交点． 【详解】 由题意，解得或， 时，，图象与坐标轴交点为，舍去， 时，满足题意． 故选：B． 9．（25-26学年高一上·广东茂名高州·期中）函数的定义域是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据函数的性质，被开偶次方根的数大于等于0，分母不能为0，0的0次幂没有意义等，列出不等式组，解之即可求解. 【详解】 要使函数有意义，则有 ， 解得：且， 所以函数的定义域为， 故选：. 10．（2026·广东五校·联考）（多选）已知函数的图象经过点，则下列结论错误的是（       ） A. 的图象经过点 B. 的图象关于轴对称 C. 在定义域上为减函数 D. 当时，恒成立 【答案】BC 【分析】 首先求出函数的解析式，根据解析式即可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，根据函数的单调性可判断C，证明即可判断D. 【详解】 因为函数经过，即，所以函数解析式为， 当时，，所以函数经过，故A正确； 为奇函数不为偶函数，图像关于原点对称，故B错误； 在和单调递减，故C错误； 当时，， 故恒成立，故D正确. 故选：BC 11．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）（多选）已知（），则（       ） A. 当时，是减函数 B. 当时， C. 当时，是偶函数 D. 当时，是奇函数 【答案】BC 【分析】 将各选项的值代入，再根据函数的定义域，单调性，奇偶性进行判断即可. 【详解】 对于A选项，时，，定义域为，在定义域内非单调函数，故A错误； 对于B选项，时，，在上单调递增，因为，所以，故B正确； 对于C选项，时，，所以，定义域为，符合偶函数定义，故C正确； 对于D选项，时，，所以，但函数定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，故D错误. 故选：BC. 12．（25-26学年高一上·广东清远·期中）（多选）已知幂函数，则下列说法正确的有（    ） A. 或 B. 一定为奇函数 C. 一定为减函数 D. 必过点 【答案】ABD 【分析】 根据幂函数的定义和性质，逐项分析即可. 【详解】 对于A，根据幂函数的定义可得 或，故A正确； 对于B，当或时， 或都为奇函数，故B正确； 对于C，当时，是增函数， 当时，不是减函数，故C错误； 对于D，因为对任意都有， 所以幂函数均经过点，故D正确. 故选：ABD. 13．（2026·广东东莞·联考）若幂函数为偶函数，则 　　　　　　　　 . 【答案】 【分析】 利用幂函数和偶函数的定义即可求解. 【详解】 ∵函数为幂函数， ∴，解得或， 又∵为偶函数， ∴， 故答案为：. 14．（2026·广东六校·质量检测）已知幂函数的图象经过点，则不等式的解集为　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 先根据点的坐标确定幂函数的解析式，再结合幂函数的单调性解不等式. 【详解】 因为函数为幂函数，所以设， 由. 所以. 又在上单调递增， 所以. 故所求不等式的解集为. 故答案为： 15．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）已知幂函数． （1）求的解析式； （2）求方程的解集； （3）判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明你的结论． 【答案】（1）     （2）      （3） 函数在上单调递减，证明如下： 任取、且， ， 因为，所以，，所以， 所以，即， 故函数在上为减函数.      【分析】 （1）根据幂函数的定义可得出关于的等式，解出的值，即可得出函数的解析式； （2）根据函数的定义域和单调性结合可得出关于的等式与不等式，即可得出原方程的解集； （3）化简函数的解析式，任取、且，作差，变形后判断的符号，结合函数单调性的定义即可得出结论. (1) 小问详解： 因为函数为幂函数， 则，解得， 故. (2) 小问详解： 因为函数的定义域为，且该函数在上为增函数， 由可得 ，解得， 故方程的解集为. (3) 小问详解： 略 16．（25-26学年高一上·广东湛江·期中）已知幂函数在上单调递减，其中，. （1）求的解析式. （2）解不等式. （3）记函数，，其中，.若对恒成立，求的最大值. 【答案】（1）     （2）     （3）12      【分析】 （1）利用幂函数的定义和性质即可求解m的值； （2）分和，利用函数单调性解不等式； （3）利用基本不等式求函数的最小值，二次函数性质求出函数的最大值，则，进而求解. (1) 小问详解： 因为为幂函数，所以，且， 解得或. 又因为在上单调递减， 所以，所以，故. (2) 小问详解： 因为为奇函数，在上单调递减，且当时，， 所以在上也单调递减，且当时，. ① 当，即时，等价于，解得，且； ② 当，即时，恒成立， 所以不等式的解集为. (3) 小问详解： 由题意知，. 因为，所以，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 因为， 所以当时，取得最大值，最大值为. 因为对恒成立，所以，即. 因为，，所以， 所以，当且仅当，即，时，等号成立， 故的最大值为12. 考点04 函数的应用（一） 1．（25-26学年高一上·广东广州外国语学校·期中）某种农作物单株的产量（单位：kg）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：单株产量 ，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）.已知这种农作物的市场售价为5元／kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）     （2）当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元.      【分析】 （1）由题意求出的函数即可；（2）由分段函数的性质，分和两段，分别求出最大值，取两者之中的较大者即可； (1) 小问详解： 由题意可得， ，所以 (2) 小问详解： 当时，的图象为开口向上的抛物线，对称轴， 所以当时，； 当时，， 当且仅当，即时等号成立，此时； 综上，当投入的单株肥料成本为6元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是42元. 2．（25-26学年高一上·广东揭阳惠来县第一中学·期中）如图，在一块锐角三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，设，矩形的面积为．    （1）求； （2）求内接矩形花园面积的最大值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）设，根据矩形的性质可证明，根据相似三角形的性质得出边长，进而得出矩形的面积； （2）将配方，利用二次函数的性质求解即可． (1) 小问详解： 设，取中点，连接， 因为，所以， 四边形为矩形， ， ， ， ， 矩形面积； (2) 小问详解： 故当的长度是厘米时，矩形花园的面积最大，最大面积为平方米． 3．（25-26学年高一上·广东清远·期中）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水实行“阶梯水价”．计费方法如下表： 每户每月用水量 水价 不超过的部分 3元 超过但不超过的部分 6元 超过的部分 9元 设某户居民的月用水量为，应交纳水费（元）． （1）求关于的函数解析式； （2）若该居民上月交纳水费99元，求此居民上月用水量． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据题意分段得出解析式即可； （2）应用函数值计算得出自变量即可求解. (1) 小问详解： 由题知，当时，； 当时，； 当时，； 综上所述， ． (2) 小问详解： 由（1）知，当时，； 当时，； 当时，； 因此当月交纳水费为99元时，用水量一定超过 故有，解得 所以此居民上月用水量为． 4．（25-26学年高一上·广东多校·期中）如图，是边长为的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为．则函数的解析式为 　　　　　　　. 【答案】 【详解】 （1）当时，如图，设直线与分别交于两点，则 ∵ ∴ ∴ （2）当时，如图，设直线与分别相交于两点，则 ∵ ∴ ∴ （3）当时， 综上，函数 故答案为 点睛：本题考查函数模型的选择及应用，考查分段函数解析式的求法，分段函数的对应关系是借助于几个不同的表达式来表示的，处理分段函数的问题时，首先要确定自变量的数值属于哪一个区间段，从而选相应的关系式．对于分段函数，注意处理好各段的端点，是中档题． 5．（2026·广东东莞·联考）某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为80元，出厂单价为120元.该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低0.04元.根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件． （1）设一次订购为件服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购多少件服装时，该服装厂获得的利润最大？ 【答案】（1） （2）当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【分析】 （1）根据自变量x不同的范围，写出对应的函数解析式； （2）求出分段函数各部分的最大值，比较大小后就能确定函数的最大值. 【详解】 （1） 即 （2）设该厂获得的利润为元，则 ① 当时，； ② 当时，. 综上① ，② ，可知当时，有最大值12100. 所以当销售商一次订购550件服装时，该服装厂获得的利润最大. 【点睛】 本题主要考查分段函数在实际问题中的应用. 6．（25-26学年高一上·广东广州真光中学·期中）某机床厂今年年初用万元购入一台数控机床，并立即投入生产使用.已知该机床在使用过程中所需要的各种支出费用总和（单位：万元）与使用时间（，单位：年）之间满足函数关系式为：该机床每年的生产总收入为万元.设使用年后数控机床的盈利额为万元.（盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用）. （1）写出与之间的函数关系式； （2）该机床使用过程中，已知年平均折旧率为（固定资产使用年后，价值的损耗与前一年价值的比率）.现对该机床的处理方案有两种： 第一方案：当盈利额达到最大值时，再将该机床卖出； 第二方案：当年平均盈利额达到最大值时，再将该机床卖出. 研究一下哪种处理方案较为合理?请说明理由. （参考数据：，，，） 【答案】（1）；     （2）选第一方案较为合理，理由如下： 由（1）知， 因为， 当或时，盈利额达到最大值为万元， 因为， 所以机器使用年后机床剩余价值比使用年后的剩余价值大， 使用年后机床剩余价值为：（万元）， 所以按第一方案处理，总获利为（万元）； 又由， 令，， 则 ， 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递增； 当时，，，则， 即，因此可得在上单调递减. 又，当时，年平均盈利为万元， 当时，年平均盈利为万元，又， 所以当第年时，年平均盈利额达到最大值，此时机床剩余价值为：（万元）， 所以按第二方案处理，总获利为（万元）. 由于，则选第一方案较为合理.      【分析】 （1）根据“盈利额等于总收入减去购买成本及所有使用支出费用”可得出与之间的函数关系式； （2）方案一中，计算出当盈利额达到最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和；方案二中，利用对勾函数的单调性求出取最大值时的值，并计算出盈利额与机器剩余价值之和.比较方案一、方案二中盈利额与机器剩余价值之和的大小，可得出结论. (1) 小问详解： 由题意，使用过程中所需要的各种支出费用总和与使用时间之间的函数关系式为， 且该机床每年的生产总收入为万元，设使用年后数控机床的盈利额为万元， 可得与之间的函数关系式. (2) 小问详解： 略 7．（25-26学年高一上·广东深圳·期中）深圳某甜品店针对市场需求生产一款网红蛋糕，经核算生产该蛋糕的年固定成本为20万元，每生产x千个，需另外投入成本万元， ，每个蛋糕的售价为240元，且年内生产的蛋糕能全部销售完． （1）写出年利润L（万元）关于年产量x（千个）的函数解析式； （2）年产量为多少千个时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大． 【答案】（1）     （2）14      【分析】 （1）根据题意分段讨论即可得； （2）利用二次函数的性质及基本不等式求得两段函数的最大值，取其中最大即可得. (1) 小问详解： 由题意，年销售收入万元， 当时，； 当时，， 所以 ． (2) 小问详解： 当时，是二次函数，开口向下， 对称轴为：， 所以（万元）． 当时，， 当且仅当，即时，（万元）， 因为，所以，当时，该店在这款蛋糕的生产中所获利润最大为78万元． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $