知识点填空清单 2026--2027学年浙教版八年级数学上册

该初中数学知识清单系统梳理了三角形、特殊三角形、一元一次不等式、图形与坐标、一次函数等核心知识。从三角形基本概念及全等判定出发，延伸到特殊三角形性质与判定，再过渡到不等式、坐标系及函数，形成连贯的知识支架。 知识链路按“概念-性质-判定-应用”逻辑展开，每个知识点含核心速记、填空及易错辨析。通过体系梳理表格强化知识关联，培养几何直观与推理意识，提升符号表达与应用能力，助力学生构建完整数学认知框架。

知识点填空清单 第1章 三角形 1.1 认识三角形 【核心速记】 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 三角形三个内角的和等于180°。 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫作三角形的角平分线。 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边中点的线段，叫作三角形的中线；从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。 三角形的中线、角平分线、高线都是线段。 【知识点填空】 1. 由＿＿＿的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形。 2. 三角形用符号“＿＿＿”表示。 3. 顶点是A,B,C的三角形记作“＿＿＿”，读作“三角形ABC”。 4. 由相邻两边组成的∠A,∠B,∠C称为三角形的＿＿＿，简称三角形的角。 5. 三角形三个内角的和等于＿＿＿。 6. 三个内角都是＿＿＿的三角形是锐角三角形。 7. 有一个内角是＿＿＿的三角形是直角三角形。 8. 有一个内角是＿＿＿的三角形是钝角三角形。 9. 在任意一个三角形中，最多有＿＿＿个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角。 10. 三角形的任意两边之和＿＿＿第三边。 11. 三角形的任意两边之差＿＿＿第三边。 12. 在△ABC中，a+b>c; b+c>a; ＿＿＿。 13. 三边关系的理论依据是两点之间，＿＿＿最短。 14. 当a最长，且＿＿＿时，a,b,c可构成三角形。 15. 如果已知三角形的两边分别为a,b，设第三边为c，那么＿＿＿<c<a+b。 16. 若较短的两条线段的和＿＿＿最长线段，则这三条线段能组成三角形。 17. 在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与＿＿＿之间的线段叫作三角形的角平分线。 18. 连结三角形的一个顶点与该顶点的对边＿＿＿的线段，叫作三角形的中线。 19. 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作＿＿＿，顶点与垂足之间的线段叫作三角形的高线。 20. 一个三角形有三条中线、三条角平分线、三条高线，它们所在直线都分别相交于＿＿＿。 21. 三条中线交于三角形内部，交点名称是＿＿＿。 22. 三条角平分线交于三角形内部，交点名称是＿＿＿。 23. 三条高线的交点名称是＿＿＿。 24. 三角形的中线、角平分线、高线都是＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 三角形的任意两边之和大于第三边。（　　） 辨2. 三角形的任意两边之差大于第三边。（　　） 辨3. 在任意一个三角形中，最多有一个钝角。（　　） 辨4. 钝角三角形的三条高线都在三角形内部。（　　） 【体系梳理】 知识板块 要点（原书表述） 页码 内角和 三角形三个内角的和等于180° 1 按内角分类 三个内角都是锐角的三角形是锐角三角形；有一个内角是直角的三角形是直角三角形；有一个内角是钝角的三角形是钝角三角形 1 三边关系（和） 三角形的任意两边之和大于第三边（在△ABC中，a+b>c; b+c>a; a+c>b） 1 三边关系（差） 三角形的任意两边之差小于第三边（在△ABC中，a-b<c; b-c<a; a-c<b） 1 构成三角形的判断 当|a-b|<c<a+b时，a,b,c可构成三角形；若较短的两条线段的和大于最长线段，则这三条线段能组成三角形 2 第三边取值范围 已知三角形的两边分别为a,b，设第三边为c，那么|a-b|<c<a+b 2 “三线”的交点 三条中线交于三角形内部（重心），三条角平分线交于三角形内部（内心），三条高线的交点叫垂心 2 八年级上册 · 1.1 认识三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 1.2 定义与命题 【核心速记】 一般地，能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义。 一般地，判断某一件事情的句子叫作命题。 命题一般由条件和结论两部分组成。 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。 要说明一个命题是假命题，通常可以用举反例的方法。 用推理的方法判断为正确的命题叫作定理。 【知识点填空】 1. 一般地，能明确说明某一名称或术语的＿＿＿的句子，叫作该名称或术语的定义。 2. 一般地，＿＿＿某一件事情的句子叫作命题。 3. 命题一般由＿＿＿和结论两部分组成。 4. 命题中，＿＿＿是已知事项，结论是由已知事项得到的事项。 5. 这样的命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果”开始的部分是＿＿＿。 6. 以“如果”开始的部分是条件，“那么”后面的部分是＿＿＿。 7. 正确的命题称为＿＿＿。 8. 不正确的命题称为＿＿＿。 9. 要判定一个命题是真命题，常常通过＿＿＿的方式，即根据已知事实来推断未知事实。 10. 也有一些命题是人们经过长期实践，＿＿＿的。 11. 要说明一个命题是假命题，通常可以用＿＿＿的方法。 12. 命题的反例是指具备命题的＿＿＿，但不具备命题的结论的实例。 13. 人们经过＿＿＿后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，这些命题称为基本事实。 14. 用＿＿＿的方法判断为正确的命题叫作定理。 15. 定理也可以作为判断其他命题＿＿＿的依据。 16. 命题必须是一个完整的语句，它必须对事情作出＿＿＿或否定的判断。 【易错辨析】 辨1. 命题一般由条件和结论两部分组成。（　　） 辨2. 判断某一件事情的句子叫作命题。（　　） 辨3. 要说明一个命题是假命题，必须进行大量推理证明。（　　） 辨4. 正确的命题称为真命题，不正确的命题称为假命题。（　　） 【体系梳理】 概念 原书表述 页码 定义 能明确说明某一名称或术语的意义的句子，叫作该名称或术语的定义 4 命题 判断某一件事情的句子叫作命题 4 命题的结构 命题一般由条件和结论两部分组成，可以写成“如果……那么……”的形式 4 真命题 正确的命题称为真命题，常常通过推理的方式判定 4 假命题 不正确的命题称为假命题，通常可以用举反例的方法说明 4 基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据 4 定理 用推理的方法判断为正确的命题叫作定理，定理也可以作为判断其他命题真假的依据 4 八年级上册 · 1.2 定义与命题　1 学科网（北京）股份有限公司 1.3 证明 【核心速记】 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫作证明。 由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫作该三角形的外角。 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 三角形不共顶点的三个外角的和等于360°。 证明过程中的每一步推理都要有依据。 【知识点填空】 1. 要判断一个命题是真命题，往往需要从命题的＿＿＿出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立。 2. 这样的推理过程叫作＿＿＿。 3. 由三角形的一条边的＿＿＿和另一条相邻的边组成的角，叫作该三角形的外角。 4. 三角形的外角等于与它＿＿＿的两个内角的和。 5. 三角形的外角＿＿＿与它不相邻的任何一个内角。 6. 三角形不共顶点的三个外角的和等于＿＿＿。 7. 证明几何命题时，(1)按题意＿＿＿。 8. (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出＿＿＿，在“求证”中写出结论。 9. (3)在“＿＿＿”中写出推理过程。 10. 证明过程中的每一步推理都要有＿＿＿，依据作为推理的理由，可以写在每一步后面的括号内。 11. “连结AB，并延长至点C”是＿＿＿语句，没有作出判断，不是命题。 12. 在三角形外角的性质中，要特别注意“＿＿＿”这三个字，漏掉这三个字就会出现错误。 13. 定理是正确的命题，但正确的命题＿＿＿是定理。 14. 综合法：从＿＿＿入手，根据已学过的定义、基本事实、定理，逐步推出要证明的结论。 15. 分析法：从要证明的＿＿＿出发，根据已学过的定义、基本事实、定理，倒过来寻找使结论成立所需的条件。 16. 因为∠GBF+∠G=90°（已知），所以∠BFG=180°-(∠GBF+∠G)=90°（＿＿＿）。 【易错辨析】 辨1. 三角形的外角等于与它相邻的两个内角的和。（　　） 辨2. 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。（　　） 辨3. 三角形不共顶点的三个外角的和等于360°。（　　） 辨4. 基本事实就是定理，定理也是基本事实。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理等，一步一步推得结论成立，这样的推理过程叫作证明 5 外角的定义 由三角形的一条边的延长线和另一条相邻的边组成的角，叫作该三角形的外角 5 外角的性质(1) 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 5 外角的性质(2) 三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角 5 外角的性质(3) 三角形不共顶点的三个外角的和等于360° 5 表述格式 (1)按题意画出图形；(2)在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论；(3)在“证明”中写出推理过程 5 常用方法 综合法：从已知条件入手；分析法：从要证明的结论出发 6 八年级上册 · 1.3 证明　1 学科网（北京）股份有限公司 1.4 全等三角形 【核心速记】 能够重合的两个图形称为全等图形。 全等图形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置。 能够重合的两个三角形叫作全等三角形。 “全等”用符号“≌”来表示；用符号“≌”表示两个三角形全等时，常把对应顶点的字母写在对应位置上。 全等三角形的对应边相等，对应角相等。 全等三角形的周长相等，面积相等，对应边上的高线相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等。 【知识点填空】 1. 能够＿＿＿的两个图形称为全等图形。 2. 全等图形关注的是两个图形的＿＿＿和大小，而不是图形所在的位置。 3. 看两个图形是否为全等图形，只要把它们叠在一起，看是否能够＿＿＿即可。 4. 能够重合的两个＿＿＿叫作全等三角形。 5. 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作全等三角形的＿＿＿。 6. 互相重合的边叫作全等三角形的＿＿＿。 7. 互相重合的角叫作全等三角形的＿＿＿。 8. “全等”用符号“＿＿＿”来表示。 9. △ABC和△A'B'C'全等，记作“＿＿＿”，读作“三角形ABC全等于三角形A'B'C'”。 10. 用符号“≌”表示两个三角形全等时，常把＿＿＿的字母写在对应位置上。 11. 全等三角形的＿＿＿相等，对应角相等。 12. 全等三角形的周长相等，＿＿＿相等。 13. 全等三角形的对应边上的＿＿＿相等，对应边上的中线相等，对应角的平分线相等。 14. 但是周长相等的三角形＿＿＿全等，面积相等的三角形也不一定全等。 15. 全等三角形中的对顶角一定是＿＿＿。 16. 全等三角形中的公共角也一定是对应角，＿＿＿也一定是对应边。 17. 找对应边、对应角一般可以从其书写的＿＿＿和位置来找，对应位置上的字母通常表示对应顶点。 18. 若△ABC≌△DEF，BC=8，CE=5，且点B,E,C,F依次在同一条直线上，则CF的长为＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等。（　　） 辨2. 周长相等的两个三角形一定全等。（　　） 辨3. 面积相等的两个三角形一定全等。（　　） 辨4. 全等三角形中的公共边一定是对应边。（　　） 【体系梳理】 名称 原书表述 页码 全等图形的定义 能够重合的两个图形称为全等图形 7 判断方法 全等图形关注的是两个图形的形状和大小，而不是图形所在的位置；把它们叠在一起，看是否能够完全重合 7 全等三角形的定义 能够重合的两个三角形叫作全等三角形 7 对应顶点、对应边、对应角 两个全等三角形重合时，能互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角 7 表示方法 “全等”用符号“≌”表示，常把对应顶点的字母写在对应位置上 7 性质 全等三角形的对应边相等，对应角相等；周长相等，面积相等，对应边上的高线、中线相等，对应角的平分线相等 7 注意事项 周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等 7 八年级上册 · 1.4 全等三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 1.5 三角形全等的判定 【核心速记】 三边分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 三角形全等的判定方法有：SSS, SAS, ASA, AAS。 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性，这是三角形特有的性质。 【知识点填空】 1. ＿＿＿分别相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）。 2. 两边及其＿＿＿分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）。 3. 两个角及其＿＿＿分别相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）。 4. 两角分别相等且其中＿＿＿相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。 5. 三角形全等的判定方法有：SSS、＿＿＿、ASA、AAS。 6. 边边边、边角边、角边角是基本事实，角角边是＿＿＿。 7. 因为AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，所以△ABC≌△A'B'C'（＿＿＿）。 8. 因为AB=A'B'，∠B=∠B'，BC=B'C'，所以△ABC≌△A'B'C'（＿＿＿）。 9. 因为∠B=∠B'，BC=B'C'，∠C=∠C'，所以△ABC≌△A'B'C'（＿＿＿）。 10. 因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，BC=B'C'，所以△ABC≌△A'B'C'（＿＿＿）。 11. 三个角对应相等的两个三角形形状相同，大小＿＿＿，因此并不一定全等。 12. 当三角形的＿＿＿确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 13. 三角形的稳定性是＿＿＿特有的性质。 14. 因为BE=CF，所以BE+EF=CF+EF，即＿＿＿。 15. 当∠A=∠D时，利用＿＿＿可得△ABF≌△DCE。 16. 当∠AFB=∠DEC时，利用＿＿＿可得△ABF≌△DCE。 17. 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形＿＿＿全等，即不能用“SSA”判定三角形全等。 18. 已知AB,AC,∠B，配出来的玻璃＿＿＿符合要求。 【易错辨析】 辨1. 两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形一定全等（SSA）。（　　） 辨2. 三个角对应相等的两个三角形一定全等。（　　） 辨3. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（AAS）。（　　） 辨4. 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定。（　　） 【体系梳理】 判定方法 文字语言（原书表述） 简写 页码 SSS 三边分别相等的两个三角形全等 边边边（基本事实） 9 SAS 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 边角边（基本事实） 9 ASA 两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等 角边角（基本事实） 9 AAS 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 角角边（定理） 9 误区 有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不能用“SSA”判定三角形全等 — 11 误区 三个角对应相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，因此并不一定全等 — 9 稳定性 当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这是三角形特有的性质 — 10 八年级上册 · 1.5 三角形全等的判定　1 学科网（北京）股份有限公司 专题1 全等三角形的构造方法 【核心速记】 证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（差）时，常用截长补短法。 不管是截长还是补短，往往都需要构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题。 在三角形中，如果要证明一条线段与另一条线段的数量（相等、倍分）关系，且存在中线时，可将该三角形的中线延长一倍，构造全等三角形。 简记为：见中线，可倍长。 【知识点填空】 1. 证明一条线段的长度等于两条线段的长度的＿＿＿时，常用截长补短法。 2. 截长：即在较长线段上＿＿＿一条线段与特定线段等长。 3. 补短：或者将某条较短线段＿＿＿，使之与特定线段等长。 4. 不管是截长还是补短，往往都需要＿＿＿全等三角形。 5. 利用＿＿＿的性质解决问题。 6. 例1证明中，在BC上取点F，使＿＿＿，连结EF。 7. 因为BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，所以∠1=∠2，＿＿＿。 8. 由AB=FB，∠1=∠2，BE=BE，所以△ABE≌△FBE（＿＿＿）。 9. 因为AB∥CD，所以∠A+∠D=180°，所以∠5+∠D=180°，因为∠5+∠6=180°，所以＿＿＿。 10. 所以△CFE≌△CDE（＿＿＿），所以CF=CD。 11. 所以BC=BF+CF=＿＿＿。 12. 例2证明中，延长CE到点F，使＿＿＿。 13. 因为CE是△ACD的中线，所以＿＿＿。 14. 由CE=FE，∠AEC=∠DEF，AE=DE，所以△ACE≌△DFE（＿＿＿）。 15. 倍长中线法可将该三角形的＿＿＿延长一倍，构造全等三角形。 16. 倍长中线法简记为：见中线，可＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（差）时，常用截长补短法。（　　） 辨2. 见中线，可倍长。（　　） 辨3. 倍长中线时，将中线延长到任意长度即可。（　　） 辨4. 截长补短法只需截长或补短，不需要构造全等三角形。（　　） 【体系梳理】 方法 适用特征（原书表述） 操作要领（原书表述） 页码 截长补短法 证明一条线段的长度等于两条线段的长度的和（差）时，常用截长补短法 在较长线段上截取一条线段与特定线段等长 12 截长补短法（补短） 同上 将某条较短线段延长，使之与特定线段等长 12 截长补短法 不管是截长还是补短 往往都需要构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题 12 倍长中线法 证明一条线段与另一条线段的数量（相等、倍分）关系，且存在中线时 将该三角形的中线延长一倍，构造全等三角形 12 倍长中线法 利用对应边相等去寻求线段间的数量关系 简记为：见中线，可倍长 12 例1（截长） 在BC上取点F，使BF=BA 得△ABE≌△FBE(SAS)，△CFE≌△CDE(AAS)，所以BC=AB+CD 12 例2（倍长中线） 延长CE到点F，使EF=CE 得△ACE≌△DFE(SAS)，所以BC=2CE 12 八年级上册 · 专题1 全等三角形的构造方法　1 学科网（北京）股份有限公司 1.6 线段垂直平分线的性质 【核心速记】 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 作法：(1)分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C,D；(2)作直线CD。 直线CD就是线段AB的垂直平分线。 【知识点填空】 1. ＿＿＿于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 2. 垂直于一条线段，并且＿＿＿这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线。 3. 线段的垂直平分线，简称＿＿＿。 4. 如图所示，直线l⊥AB于点D，且＿＿＿，直线l就是线段AB的垂直平分线。 5. 线段垂直平分线上的点到线段＿＿＿的距离相等。 6. 已知线段AB，用＿＿＿和圆规作线段AB的垂直平分线。 7. 作法(1)：分别以点A,B为圆心，＿＿＿为半径作弧，两段弧相交于点C,D。 8. 作法(2)：作直线＿＿＿。 9. 直线CD就是线段AB的＿＿＿。 10. 例题中，线段AB的垂直平分线交AB于点E，交AC于点D，所以＿＿＿。 11. 所以△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+CD+AD=＿＿＿。 12. 所以△BDC的周长=5+8=＿＿＿。 13. 漫画图解：已知PE为线段AB的垂直平分线，PF为线段BC的垂直平分线，则＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。（　　） 辨2. 线段垂直平分线上的点到线段中点的距离相等。（　　） 辨3. 平分一条线段的直线是这条线段的垂直平分线。（　　） 辨4. 作线段AB的垂直平分线时，以小于线段AB长度一半的长为半径作弧。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 定义 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线，简称中垂线 13 性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 13 作法(1) 分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两段弧相交于点C,D 13 作法(2) 作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线 13 应用 由AD=BD，得△BDC的周长=BC+CD+BD=BC+AC 13 解读 已知PE为线段AB的垂直平分线，PF为线段BC的垂直平分线，则PA=PB=PC 13 八年级上册 · 1.6 线段垂直平分线的性质　1 学科网（北京）股份有限公司 1.7 角平分线的性质 【核心速记】 角平分线上的点到角两边的距离相等。 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD。 射线AD就是∠BAC的平分线。 作角的平分线的理论依据是三角形全等的判定方法——“SSS”。 【知识点填空】 1. 角平分线上的点到角＿＿＿的距离相等。 2. 已知∠BAC，用＿＿＿作∠BAC的平分线AD。 3. 作法(1)：以点A为圆心，＿＿＿为半径作弧，与角的两边分别交于E,F两点。 4. 作法(2)：分别以点E,F为圆心，大于＿＿＿长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D。 5. 作法(3)：作＿＿＿。 6. 射线AD就是＿＿＿的平分线。 7. 若点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则＿＿＿。 8. 作角的平分线的理论依据是三角形全等的判定方法——“＿＿＿”。 9. 例题解析中，作OP⊥BA，交BA的延长线于点P，OQ⊥BC，交BC的延长线于点Q，＿＿＿于点R。 10. 因为△ABC的两个外角的平分线AD,CE相交于点O，所以OP=OR，OQ=OR，所以＿＿＿。 11. 因为点O到BC的距离为3.5，所以OP=OQ=＿＿＿。 12. 因为AB=4，所以S△ABO=1/2AB·OP=1/2×4×3.5=＿＿＿。 13. 当问题中涉及角平分线的交点时，往往过这个交点作＿＿＿，利用角平分线的性质得到相等线段。 【易错辨析】 辨1. 角平分线上的点到角两边的距离相等。（　　） 辨2. 角平分线上的点到角两边的距离不一定相等。（　　） 辨3. 作角的平分线的理论依据是“SAS”。（　　） 辨4. 射线AD就是∠BAC的平分线。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 作图 已知∠BAC，用直尺和圆规作∠BAC的平分线AD 14 作法(1) 以点A为圆心，适当长为半径作弧，与角的两边分别交于E,F两点 14 作法(2) 分别以点E,F为圆心，大于1/2EF长为半径作弧，两条弧交于∠BAC内一点D 14 作法(3) 作射线AD，射线AD就是∠BAC的平分线 14 性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等 14 几何语言 若点P在∠AOB的平分线上，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD=PE 14 依据 作角的平分线的理论依据是三角形全等的判定方法——“SSS” 14 八年级上册 · 1.7 角平分线的性质　1 学科网（北京）股份有限公司 章末复习——三角形 【核心速记】 三角形按内角大小分类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 全等三角形的对应边相等，对应角相等；全等三角形的判定：SSS, SAS, ASA, AAS。 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 角平分线上的点到角两边的距离相等。 【知识点填空】 1. 本章知识梳理——分类：＿＿＿三角形、直角三角形、钝角三角形。 2. 三边关系：三角形的任意两边之和＿＿＿第三边。 3. 三边关系：三角形的任意两边之差＿＿＿第三边。 4. 三角形的外角等于与它＿＿＿的两个内角的和。 5. 全等三角形的性质：对应边＿＿＿，对应角相等。 6. 全等三角形的判定：SSS、SAS、＿＿＿、AAS。 7. 线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的＿＿＿相等。 8. 角平分线的性质：角平分线上的点到＿＿＿的距离相等。 9. 考点1：全等三角形的性质一般用来解决＿＿＿、角相等的问题，常与三角形全等的判定相结合。 10. 考点2：利用线段垂直平分线的性质可以得出线段相等、＿＿＿、直线与直线垂直等结论。 11. 考点3：角的平分线的性质是证明＿＿＿和角相等的方法之一，是中考的一个热点。 12. 例2解析：因为DE垂直平分AB，GF垂直平分AC，所以AE=BE，＿＿＿。 13. 所以△AEG的周长=AE+AG+EG=BE+CG+EG=＿＿＿。 14. 例3解析：因为AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，所以＿＿＿。 15. 例1证明：因为AB∥DE，所以∠B=＿＿＿。 16. 因为AC=DF，∠A=∠D，所以△ABC≌△DEF（＿＿＿）。 【易错辨析】 辨1. 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。（　　） 辨2. 全等三角形的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS。（　　） 辨3. 三角形的任意两边之差大于第三边。（　　） 辨4. 全等三角形的性质与判定互不相关。（　　） 【体系梳理】 板块 要点（原书表述） 页码 相关概念 边、角 15 分类 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 15 三边关系 三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边 15 外角 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 15 全等三角形的性质 对应边相等，对应角相等 15 全等三角形的判定 SSS、SAS、ASA、AAS 15 线段垂直平分线的性质 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 15 角平分线的性质 角平分线上的点到角两边的距离相等 15 八年级上册 · 章末复习——三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 第2章 特殊三角形 2.1 图形的轴对称 【核心速记】 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够互相重合，那么这个图形叫作轴对称图形，这条直线叫作对称轴，折叠后重合的点叫作对称点。 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作图形的轴对称，这条直线叫作对称轴。 成轴对称的两个图形是全等图形。 一个轴对称图形可能有一条或多条甚至无数条对称轴，对称轴是直线，而不是线段或射线。 【知识点填空】 1. 如果把一个图形沿着一条直线折叠后，直线两侧的部分能够＿＿＿，那么这个图形叫作轴对称图形。 2. 轴对称图形的定义中，这条直线叫作＿＿＿，折叠后重合的点叫作对称点。 3. 对称轴＿＿＿连结两个对称点的线段。 4. 一般地，由一个图形变为另一个图形，并使这两个图形沿某一条直线折叠后能够互相重合，这样的图形变化叫作＿＿＿。 5. 成轴对称的两个图形是＿＿＿。 6. 图形的轴对称是＿＿＿之间的位置关系，一般情况下只有一条对称轴。 7. 一个轴对称图形可能有＿＿＿条对称轴，对称轴是直线，而不是线段或射线。 8. 图形的轴对称与轴对称图形的意义不同：图形的轴对称是两个图形之间的＿＿＿，轴对称图形是具有特殊形状的图形。 9. 图形的轴对称与轴对称图形的对象不同：图形的轴对称的对象是两个图形，轴对称图形的对象是＿＿＿。 10. 对称轴的位置不同：图形的轴对称的对称轴在两个图形之间，轴对称图形的对称轴过图形的＿＿＿。 11. 对称轴的数量不同：图形的轴对称的对称轴只有一条，轴对称图形的对称轴＿＿＿。 12. 如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个＿＿＿；如果把轴对称图形对称的两部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称。 13. 画轴对称图形第一步“找”：在原图形上找＿＿＿（如三角形的顶点A，B，C）。 14. 画轴对称图形第二步“作”：作各个特殊点关于对称轴的＿＿＿（A′，B′，C′）。 15. 画轴对称图形第三步“连”：依次＿＿＿各对称点。 【易错辨析】 辨1. 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。（　　） 辨2. 轴对称图形的对称轴有时是线段或射线。（　　） 辨3. 成轴对称的两个图形是全等图形。（　　） 辨4. 两个图形成轴对称时，一般情况下对称轴有多条。（　　） 【体系梳理】 关系 图形的轴对称 轴对称图形 页码 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 具有特殊形状的图形 16 对象不同 两个图形 一个图形 16 对称轴的位置不同 在两个图形之间 过图形的某条直线 16 对称轴的数量不同 只有一条 不一定只有一条 16 联系 都能沿某条直线折叠后互相重合；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形对称的两部分看成两个图形，那么这两个图形成轴对称 同左 16 八年级上册 · 2.1 图形的轴对称　1 学科网（北京）股份有限公司 2.2 等腰三角形 【核心速记】 有两边相等的三角形叫作等腰三角形。 相等的两条边叫作腰，另一条边叫作底边，两腰所夹的角叫作顶角，底边与腰的夹角叫作底角。 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。 三条边都相等的三角形叫作等边三角形。 等边三角形是特殊的等腰三角形。 【知识点填空】 1. 有＿＿＿相等的三角形叫作等腰三角形。 2. 有两边相等的三角形叫作＿＿＿。 3. 等腰三角形中，相等的两条边叫作＿＿＿，另一条边叫作底边。 4. 等腰三角形中，两腰所夹的角叫作＿＿＿。 5. 等腰三角形中，底边与腰的夹角叫作＿＿＿。 6. 等腰三角形是＿＿＿图形。 7. 等腰三角形是轴对称图形，＿＿＿所在的直线是它的对称轴。 8. 顶角平分线所在的＿＿＿是等腰三角形的对称轴。 9. 解读：等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（底边上的＿＿＿、底边上的高）所在直线就是它的对称轴。 10. ＿＿＿都相等的三角形叫作等边三角形。 11. 如图，AB=BC=AC，△ABC是一个＿＿＿。 12. 等边三角形是特殊的＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴。（　　） 辨2. 等腰三角形中，任意一个角的平分线所在的直线都是它的对称轴。（　　） 辨3. 等边三角形不是等腰三角形。（　　） 【体系梳理】 概念 要点（原书表述） 页码 等腰三角形 有两边相等的三角形叫作等腰三角形 18 腰 相等的两条边叫作腰 18 底边 另一条边叫作底边 18 顶角 两腰所夹的角叫作顶角 18 底角 底边与腰的夹角叫作底角 18 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴 18 等边三角形 三条边都相等的三角形叫作等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形 18 八年级上册 · 2.2 等腰三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 2.3 等腰三角形的性质定理 【核心速记】 等腰三角形的两个底角相等。 这个定理也可以说成在同一个三角形中，等边对等角。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形三线合一。 等边三角形的各个内角都等于60°。 等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴。 【知识点填空】 1. 等腰三角形的两个＿＿＿相等。 2. 等腰三角形性质定理1也可以说成在同一个三角形中，＿＿＿。 3. 等腰三角形的＿＿＿、底边上的中线和高线互相重合。 4. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、＿＿＿互相重合，简称三线合一。 5. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称等腰三角形＿＿＿。 6. 在△ABC中，若AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD中任意＿＿＿个结论成立，总能推出其他两个结论也是成立的。 7. 等边三角形的各个内角都等于＿＿＿。 8. 等边三角形每条边上的＿＿＿、高线以及相应对角的平分线都重合。 9. 等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的＿＿＿都重合。 10. 等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线所在的直线都是等边三角形的＿＿＿。 11. 等边对等角成立的前提是在＿＿＿三角形中。 12. 方法总结：等腰三角形三线合一的性质既是说明两线段＿＿＿，又是说明两角相等或两直线垂直的方法。 【易错辨析】 辨1. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称三线合一。（　　） 辨2. 等腰三角形中任意一条角平分线、中线和高线都互相重合。（　　） 辨3. 等腰三角形的两个顶角相等。（　　） 辨4. 等边三角形的各个内角都等于60°。（　　） 【体系梳理】 定理/性质 要点（原书表述） 页码 性质定理1 等腰三角形的两个底角相等 18 性质定理1另说 在同一个三角形中，等边对等角 18 性质定理2 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，简称三线合一 18 三线合一推论 AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，BD=CD中任意两个结论成立，总能推出其他两个结论也是成立的 18 等边三角形性质(1) 等边三角形的各个内角都等于60° 18 等边三角形性质(2) 等边三角形每条边上的中线、高线以及相应对角的平分线都重合，它们所在的直线都是等边三角形的对称轴 18 八年级上册 · 2.3 等腰三角形的性质定理　1 学科网（北京）股份有限公司 2.4 等腰三角形的判定定理 【核心速记】 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形。 判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简单地说成：在同一个三角形中，等角对等边。 定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。 判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点填空】 1. 等腰三角形的判定定义法：有＿＿＿的三角形是等腰三角形。 2. 等腰三角形的判定定义法：有两边＿＿＿的三角形是等腰三角形。 3. 等腰三角形的判定定理：有＿＿＿的三角形是等腰三角形。 4. 等腰三角形的判定定理简单地说成：在同一个三角形中，＿＿＿。 5. 等边三角形的判定定义法：＿＿＿都相等的三角形是等边三角形。 6. 等边三角形的判定定理①：＿＿＿都相等的三角形是等边三角形。 7. 等边三角形的判定定理②：有一个角是＿＿＿的等腰三角形是等边三角形。 8. 有两个角相等的三角形是＿＿＿。 9. 三个角都相等的三角形是＿＿＿。 10. 在同一个三角形中，等角对＿＿＿。 11. 方法总结：已知条件是三边关系，判定方法是＿＿＿。 12. 方法总结：已知条件是三角关系，判定方法是＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 在同一个三角形中，等角对等边。（　　） 辨2. 有两个角相等的三角形是等边三角形。（　　） 辨3. 有一个角是60°的三角形是等边三角形。（　　） 辨4. 有两边相等的三角形是等腰三角形。（　　） 【体系梳理】 已知条件 判定方法 要点（原书表述） 页码 两边相等 定义法 有两边相等的三角形是等腰三角形 20 两个角相等 判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形，即在同一个三角形中，等角对等边 20 三条边都相等 定义法 三条边都相等的三角形是等边三角形 20 三个角都相等 判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形 20 一个角是60° 判定定理 有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 20 八年级上册 · 2.4 等腰三角形的判定定理　1 学科网（北京）股份有限公司 2.5 逆命题和逆定理 【核心速记】 对于两个命题，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理。 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。 逆命题的真假与原命题的真假无关。 【知识点填空】 1. 对于两个命题，如果第一个命题的＿＿＿是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题。 2. 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为＿＿＿。 3. 如果把其中一个命题叫作＿＿＿，那么另一个命题就叫作它的逆命题。 4. 如果一个定理的逆命题能被证明是＿＿＿，那么就称之为原定理的逆定理。 5. 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么这两个定理互为＿＿＿。 6. 线段垂直平分线性质定理的逆定理：到线段两端＿＿＿的点在线段的垂直平分线上。 7. 到线段两端距离相等的点在＿＿＿上。 8. 逆命题的真假与原命题的真假＿＿＿。 9. 方法总结：要证一点在某条线段的垂直平分线上，只要说明这个点到这条线段的两个＿＿＿的距离相等即可。 10. 方法总结：写出一个命题的逆命题的方法：将命题改写成“如果……那么……”的形式，再＿＿＿，从而得到逆命题。 11. 交换原命题的＿＿＿和结论即可得到该命题的逆命题。 【易错辨析】 辨1. 逆命题的真假与原命题的真假无关。（　　） 辨2. 任何一个定理的逆命题都是真命题。（　　） 辨3. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题。（　　） 辨4. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。（　　） 【体系梳理】 概念 要点（原书表述） 页码 逆命题 如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题互为逆命题 21 原命题与逆命题 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另一个命题就叫作它的逆命题 21 逆定理 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就称之为原定理的逆定理，这两个定理互为逆定理 21 线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 21 真假关系 逆命题的真假与原命题的真假无关 21 八年级上册 · 2.5 逆命题和逆定理　1 学科网（北京）股份有限公司 2.6 直角三角形 【核心速记】 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形。 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可记为Rt△ABC。 直角三角形的两个锐角互余。 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 【知识点填空】 1. 有一个角是＿＿＿的三角形叫作直角三角形。 2. 直角三角形可以用符号“＿＿＿”表示。 3. 直角三角形ABC可记为＿＿＿。 4. 直角三角形的两个＿＿＿互余。 5. 直角三角形斜边上的＿＿＿等于斜边的一半。 6. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的＿＿＿。 7. 拓展：在直角三角形中，＿＿＿角所对的直角边等于斜边的一半。 8. 拓展：在直角三角形中，30°角所对的＿＿＿等于斜边的一半。 9. 直角三角形的判定定义法：有一个角是＿＿＿的三角形是直角三角形。 10. 直角三角形的判定定理：有两个角＿＿＿的三角形是直角三角形。 11. 拓展：如果三角形中一边上的＿＿＿等于这条边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形。 12. 方法总结：要证一点在某条线段的垂直平分线上，只要说明这个点到这条线段的两个端点的＿＿＿相等即可。 【易错辨析】 辨1. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。（　　） 辨2. 任意三角形一边上的中线都等于这边的一半。（　　） 辨3. 直角三角形斜边上的高等于斜边的一半。（　　） 辨4. 有两个角互余的三角形是直角三角形。（　　） 【体系梳理】 类别 要点（原书表述） 页码 定义 有一个角是直角的三角形叫作直角三角形 21 表示 直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC可记为Rt△ABC 21 性质(1) 直角三角形的两个锐角互余 21 性质(2) 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 21 性质拓展 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半 21 判定(1) 定义法：有一个角是直角的三角形是直角三角形 21 判定(2) 判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形 21 判定拓展 如果三角形中一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是一个直角三角形 21 八年级上册 · 2.6 直角三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 2.7 探索勾股定理 【核心速记】 勾股定理：直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。 符号语言：a²+b²=c²。 应用：c=，a=，b=。 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 利用勾股定理解题时应注意：(1)确定直角三角形；(2)分清直角边和斜边。 【知识点填空】 1. 勾股定理的文字语言：直角三角形两条＿＿＿的平方和等于斜边长的平方。 2. 勾股定理的符号语言：＿＿＿。 3. 勾股定理的变式：a²=＿＿＿。 4. 勾股定理的变式：b²=＿＿＿。 5. 勾股定理的应用：c=＿＿＿。 6. 勾股定理的应用：a=＿＿＿。 7. 勾股定理的应用：b=＿＿＿。 8. 利用勾股定理解题时应注意：(1)确定＿＿＿。 9. 利用勾股定理解题时应注意：(2)分清＿＿＿和斜边。 10. 勾股定理只适用于＿＿＿，所以常作辅助线——高，构造直角三角形。 11. 勾股定理的逆定理：如果三角形中＿＿＿的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。 12. 几何语言：在△ABC中，因为a²+b²=c²，所以△ABC为直角三角形，且＿＿＿。 13. 勾股定理的逆定理的应用(1)：判断一个三角形是不是＿＿＿。 14. 判断方法：①先确定三角形的三边长及＿＿＿。 15. 勾股定理的逆定理的应用(2)：判断＿＿＿是直角，从而证明两直线互相垂直。 16. 解读：勾三、＿＿＿、弦五。 【易错辨析】 辨1. 勾股定理只适用于直角三角形。（　　） 辨2. 勾股定理适用于任何三角形。（　　） 辨3. 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形。（　　） 辨4. 在△ABC中，若a²+b²=c²，则∠A=90°。（　　） 【体系梳理】 项目 内容（原书表述） 页码 文字语言 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方 23 符号语言 a²+b²=c² 23 变式 a²=c²−b²，b²=c²−a² 23 应用 c=，a=，b= 23 应用条件 勾股定理只适用于直角三角形，所以常作辅助线——高，构造直角三角形 23 逆定理 如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 23 逆定理几何语言 在△ABC中，因为a²+b²=c²，所以△ABC为直角三角形，且∠C=90° 23 逆定理应用 (1)判断一个三角形是不是直角三角形；(2)判断哪一个角是直角，从而证明两直线互相垂直 23 八年级上册 · 2.7 探索勾股定理　1 学科网（北京）股份有限公司 2.8 直角三角形全等的判定 【核心速记】 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）。 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。 涉及角平分线问题时，常作辅助线构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题。 常用辅助线(1)：自角平分线上一点向角的两边作垂线段。 常用辅助线(2)：在角的长边上截取线段等于角的短边——截长，或延长角的短边使其等于角的长边——补短。 【知识点填空】 1. 直角三角形全等的判定定理：＿＿＿和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。 2. 斜边和一条＿＿＿分别相等的两个直角三角形全等。 3. 直角三角形全等的判定定理可以简写成“斜边、直角边”或“＿＿＿”。 4. 漫画提示：“HL”用起来比其他的简单呢，但只能在两个＿＿＿中用哦。 5. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边＿＿＿相等的点在这个角的平分线上。 6. 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的＿＿＿上。 7. 涉及角平分线问题时，常作辅助线构造两个＿＿＿的三角形。 8. 涉及角平分线问题时，常作辅助线构造两个全等的三角形，利用＿＿＿的性质解题。 9. 常用辅助线(1)：自角平分线上一点向角的两边作＿＿＿。 10. 常用辅助线(2)：在角的长边上截取线段等于角的短边——＿＿＿。 11. 常用辅助线(2)：或延长角的短边使其等于角的长边——＿＿＿。 12. 要证AD平分∠BAC，只需说明点D到角两边AB，AC的距离＿＿＿即可。 【易错辨析】 辨1. 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。（　　） 辨2. 两条边分别相等的两个直角三角形全等（HL）。（　　） 辨3. “HL”可以用来判定任意两个三角形全等。（　　） 辨4. 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上。（　　） 【体系梳理】 定理/方法 要点（原书表述） 页码 判定定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 25 简写 可以简写成“斜边、直角边”或“HL” 25 角平分线性质定理的逆定理 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 25 解题策略 涉及角平分线问题时，常作辅助线构造两个全等的三角形，利用全等三角形的性质解题 25 常用辅助线(1) 自角平分线上一点向角的两边作垂线段 25 常用辅助线(2) 在角的长边上截取线段等于角的短边——截长，或延长角的短边使其等于角的长边——补短 25 八年级上册 · 2.8 直角三角形全等的判定　1 学科网（北京）股份有限公司 章末复习——特殊三角形 【核心速记】 轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。 等腰三角形：“等边对等角”“三线合一”；判定：“等角对等边”。 等边三角形的各个内角都等于60°。 直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形全等的判定定理：“斜边、直角边”或“HL”。 【知识点填空】 1. 轴对称图形的性质：对称轴＿＿＿连结两个对称点的线段。 2. 轴对称的性质：成轴对称的两个图形是＿＿＿。 3. 等腰三角形的性质：“＿＿＿”“三线合一”。 4. 等腰三角形的判定：“＿＿＿”。 5. 等边三角形的各个内角都等于＿＿＿。 6. ＿＿＿都相等的三角形是等边三角形。 7. 有一个角是60°的＿＿＿是等边三角形。 8. 直角三角形的两个锐角＿＿＿。 9. 直角三角形＿＿＿上的中线等于斜边的一半。 10. 有两个角＿＿＿的三角形是直角三角形。 11. 勾股定理：直角三角形两条直角边长的＿＿＿等于斜边长的平方。 12. 勾股定理的逆定理：如果三角形中两边长的平方和等于＿＿＿的平方，那么这个三角形是直角三角形。 13. 直角三角形全等的判定定理：“斜边、直角边”或“＿＿＿”。 14. 角平分线性质定理的逆定理：角的内部，到角两边＿＿＿相等的点在这个角的平分线上。 【易错辨析】 辨1. 等腰三角形的判定定理是“等边对等角”。（　　） 辨2. 等腰(等边)三角形的性质与判定常与全等三角形等知识结合一起考查，为证明线段相等、角相等、线段的倍分关系提供了理论依据。（　　） 辨3. 判断一个图形是不是轴对称图形是中考的常考点，找到图形的对称轴是解决问题的关键。（　　） 辨4. 熟练掌握直角三角形的性质，并能够灵活运用是解决问题的关键，注意与勾股定理及其逆定理的应用相结合，使问题获解。（　　） 【体系梳理】 知识块 要点（原书表述） 页码 轴对称图形的性质 对称轴垂直平分连结两个对称点的线段 26 轴对称的性质 成轴对称的两个图形是全等图形 26 等腰三角形 “等边对等角”“三线合一”；“等角对等边” 26 等边三角形 等边三角形的各个内角都等于60°；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 26 直角三角形 直角三角形的两个锐角互余；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；有两个角互余的三角形是直角三角形 26 勾股定理及其逆定理 直角三角形两条直角边长的平方和等于斜边长的平方；如果三角形中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形 26 直角三角形全等的判定定理 “斜边、直角边”或“HL” 26 角平分线性质定理的逆定理 角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 26 八年级上册 · 章末复习——特殊三角形　1 学科网（北京）股份有限公司 第3章 一元一次不等式 3.1 认识不等式 【核心速记】 像 v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3 这样，用符号"＜"(或"≤")，"＞"(或"≥")，"≠"连接而成的数学式子，叫作不等式。这些用来连接的符号统称不等号。 用不等式表示不等关系的一般步骤：(1)找准题中表示不等关系的量；(2)正确理解题目中的关键词语，选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。 任意一个实数在数轴上都可以找到一点与这个实数对应，找到这个点后，可以用数轴表示相应的不等关系。 用数轴表示不等式：大于向右画，小于向左画，有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈。 不等号"＞"表示的意义：左右两边严格不相等，左边大于右边；"≥"(大于或等于，即不小于)表示只要有一个关系成立，该不等式就成立。 【知识点填空】 1. 像 v≤80，t≥6000，3x＞5，p＜q+2，x≠3 这样，用符号"＜"(或"≤")，"＞"(或"≥")，"＿＿＿"连接而成的数学式子，叫作不等式。 2. 这些用来连接的符号统称＿＿＿。 3. "大于或等于(不小于)"对应的不等号是＿＿＿。 4. "小于或等于(不大于)"对应的不等号是＿＿＿。 5. 不等号"＞"表示的意义：左右两边严格不相等，左边＿＿＿右边。 6. 不等号"＜"表示的意义：左右两边严格不相等，左边＿＿＿右边。 7. 不等号"≠"表示的意义：左右两边＿＿＿。 8. 对于"≥"或"≤"：只要有一个关系成立，该不等式＿＿＿。 9. 用不等式表示不等关系的一般步骤：(1)找准题中表示＿＿＿的量。 10. 用不等式表示不等关系的一般步骤：(2)正确理解题目中的关键词语，选用与题意符合的＿＿＿将表示不等关系的两个式子连接起来。 11. 任意一个＿＿＿在数轴上都可以找到一点与这个实数对应，找到这个点后，可以用数轴表示相应的不等关系。 12. 用数轴表示不等式：大于向＿＿＿画，小于向左画。 13. 用数轴表示不等式：有等号的画实心圆点，无等号的画＿＿＿圆圈。 14. 用数轴表示不等式 x≥b 时，表示 b 的点应画＿＿＿圆点。 【易错辨析】 辨1. 任意一个实数在数轴上都可以找到一点与这个实数对应，找到这个点后，可以用数轴表示相应的不等关系。（　　） 辨2. 用数轴表示不等式 x≥b 时，表示 b 的点应画空心圆圈。（　　） 辨3. 用数轴表示不等式 x＜a 时，折线应向右画。（　　） 辨4. 列不等式时，要正确理解题目中的关键词语，选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个式子连接起来。（　　） 【体系梳理】 不等号 表示的意义（原书表述） 页码 ≠（不等于） 左右两边不相等 27 ＞（大于） 左右两边严格不相等，左边大于右边 27 ≥（大于或等于，不小于） 只要有一个关系成立，该不等式就成立 27 ＜（小于） 左右两边严格不相等，左边小于右边 27 ≤（小于或等于，不大于） 只要有一个关系成立，该不等式就成立 27 八年级上册 · 3.1 认识不等式　1 学科网（北京）股份有限公司 3.2 不等式的基本性质 【核心速记】 a＜b，b＜c⇒a＜c. 这个性质也叫作不等式的传递性。 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立。 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立。 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 等式和不等式的基本性质几乎一样，注意不等式都乘(或都除以)同一个负数要变号。 【知识点填空】 1. a＜b，b＜c⇒＿＿＿，这个性质也叫作不等式的传递性。 2. 不等式的两边都加上(或减去)＿＿＿，所得到的不等式仍成立。 3. a＞b⇒a+c＞b+c，a-c＿＿＿b-c。 4. a＜b⇒a+c＜b+c，a-c＜＿＿＿。 5. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个＿＿＿数，所得的不等式仍成立。 6. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个＿＿＿数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 7. a＞b，且c＞0⇒＿＿＿。 8. a＞b，且c＞0⇒a/b＿＿＿b/c。 9. a＞b，且c＜0⇒＿＿＿，a/b＜b/c。 10. 等式的基本性质：等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是＿＿＿。 11. 等式的两边都乘或都除以同一个数或式(＿＿＿不能为0)，所得结果仍是等式。 12. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须＿＿＿不等号的方向，所得的不等式成立。 13. 先根据不等号的方向确定系数的取值范围：不等号方向改变，系数小于0；不等号方向不变，系数＿＿＿0。 【易错辨析】 辨1. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立。（　　） 辨2. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，所得的不等号方向不变。（　　） 辨3. a＞b，且c＞0⇒ac＜bc。（　　） 辨4. a＜b，b＜c⇒a＜c，这个性质也叫作不等式的传递性。（　　） 【体系梳理】 类别 文字语言（原书表述） 页码 不等式的基本性质1 a＜b，b＜c⇒a＜c，这个性质也叫作不等式的传递性 27 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的不等式仍成立 27 不等式的基本性质3(乘除正数) 不等式的两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立 28 不等式的基本性质3(乘除负数) 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立 28 等式的基本性质(对比) 等式的两边都加上(或都减去)同一个数或式，所得结果仍是等式 28 等式的基本性质(对比) 等式的两边都乘或都除以同一个数或式(除数不能为0)，所得结果仍是等式 28 八年级上册 · 3.2 不等式的基本性质　1 学科网（北京）股份有限公司 3.3 一元一次不等式及其解法 【核心速记】 不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式。 一元一次不等式的判定：(1)不等号的两边都是整式；(2)不等式中只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是一次。 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。求不等式解集的过程叫作解不等式。 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项(得 ax＞b 或 ax＜b，a≠0)、两边同除以a(或乘1/a)。 在解不等式时，去分母一定不要漏乘不含分母的项。 【知识点填空】 1. 不等号的两边都是＿＿＿，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫作一元一次不等式。 2. 一元一次不等式的判定：(1)不等号的两边都是整式；(2)不等式中只含有＿＿＿个未知数；(3)未知数的最高次数是一次。 3. 一元一次不等式的判定：未知数的＿＿＿是一次。 4. 使不等式成立的＿＿＿叫作不等式的解。 5. 所有这些解的全体称为这个不等式的＿＿＿。 6. 求＿＿＿的过程叫作解不等式。 7. 解一元一次不等式的一般步骤第一步：＿＿＿，依据是不等式的基本性质3。 8. 解一元一次不等式时，去括号的依据是＿＿＿。 9. 解一元一次不等式时，移项的依据是＿＿＿。 10. 合并同类项，得 ax＞b 或 ax＜b(＿＿＿)。 11. 解一元一次不等式时，两边同除以a(或乘1/a)的依据是＿＿＿。 12. 当两边同除以a(或乘1/a)时，要注意不等号方向是否需要＿＿＿。 13. 在解不等式时，去分母一定不要＿＿＿不含分母的项。 【易错辨析】 辨1. 3x+2＞3x-1 是一元一次不等式。（　　） 辨2. 使不等式成立的未知数的值叫作不等式的解，所有这些解的全体称为这个不等式的解集。（　　） 辨3. 解不等式去分母时，只需把含分母的项乘最简公分母。（　　） 辨4. 不等式 5x≤10 两边都除以5 时，要改变不等号的方向，得 x≥2。（　　） 【体系梳理】 步骤 内容（原书表述） 依据 页码 1 去分母 不等式的基本性质3 29 2 去括号 单项式乘多项式法则 29 3 移项 不等式的基本性质2 29 4 合并同类项，得 ax＞b 或 ax＜b(a≠0) 合并同类项法则 29 5 两边同除以a(或乘1/a) 不等式的基本性质3 29 八年级上册 · 3.3 一元一次不等式及其解法　1 学科网（北京）股份有限公司 3.4 一元一次不等式的应用 【核心速记】 应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些数量不等关系的问题。 解决问题的一般过程：(1)审；(2)设元；(3)列不等式；(4)解不等式；(5)检验。 审：分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系。 检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情况，并得出答案。 列不等式解决实际问题的关键：通过理解题目中表示不等关系的词语，列出不等式；表示不等关系的词语如"不大于""不小于""不超过""不低于"或某一范围等。 【知识点填空】 1. 应用一元一次不等式可以刻画和解决实际生活中一些＿＿＿的问题。 2. 解决问题的一般过程：(1)审：分析题意，找出题中的数量及其＿＿＿关系。 3. (2)设元：选择一个适当的未知数用＿＿＿表示(例如 x)。 4. (3)列不等式：根据＿＿＿列出不等式。 5. (4)解不等式：求出未知数的＿＿＿。 6. (5)检验：检查求得的取值范围是否正确和符合＿＿＿，并得出答案。 7. 列不等式解决实际问题的关键：(1)通过理解题目中表示不等关系的＿＿＿，列出不等式。 8. 求不等式的解集，要检验是否符合＿＿＿。 9. 表示不等关系的词语有"不大于""不小于""＿＿＿""不低于"或某一范围等。 10. 知识竞赛共有20道题，答对得10分，答错或不答＿＿＿5分。 11. 竞赛中设答对 x 道题，要使得分不低于80分，可列不等式 10x-5(20-x)＿＿＿80。 12. 竞赛中若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，则他至少要答对＿＿＿道题。 【易错辨析】 辨1. 解一元一次不等式应用题时，求出解集后不需要检验，可直接作答。（　　） 辨2. 列不等式解决实际问题的关键是通过理解题目中表示不等关系的词语，列出不等式。（　　） 辨3. "得分不超过80分"中的"不超过"应用不等号 ＜ 表示。（　　） 【体系梳理】 步骤 原书表述 页码 (1)审 分析题意，找出题中的数量及其相等或不等关系 29 (2)设元 选择一个适当的未知数用字母表示(例如 x) 29 (3)列不等式 根据不等关系列出不等式 29 (4)解不等式 求出未知数的取值范围 29 (5)检验 检查求得的取值范围是否正确和符合实际情况，并得出答案 30 八年级上册 · 3.4 一元一次不等式的应用　1 学科网（北京）股份有限公司 3.5 一元一次不等式组 【核心速记】 一般地，由几个含同一个未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。 几个不等式解集的公共部分，通常是利用数轴来确定的。 求公共部分口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找。 解一元一次不等式组的一般步骤：(1)求分解；(2)画公解；(3)写出解集。 用数轴表示解集：小于向左画，大于向右画；无等号画空心圆圈，有等号画实心圆点。 【知识点填空】 1. 一般地，由几个含＿＿＿的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫作一元一次不等式组。 2. 组成不等式组的每个不等式必须为＿＿＿。 3. 不等式组中不等式的个数至少是＿＿＿。 4. 不等式组中的未知数只有＿＿＿个。 5. 组成不等式组的各个不等式解集的＿＿＿，就是不等式组的解集。 6. 当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组＿＿＿。 7. 几个不等式解集的公共部分，通常是利用＿＿＿来确定的。 8. 不等式组 x≥a，x≥b(a＜b) 的解集是＿＿＿，口诀是"同大取大"。 9. 不等式组 x≤a，x≤b(a＜b) 的解集是＿＿＿，口诀是"同小取小"。 10. 不等式组 x≥a，x≤b(a＜b) 的解集是＿＿＿，口诀是"大小小大中间找"。 11. 不等式组 x≤a，x＞b(a＜b) 的解集是＿＿＿，口诀是"大大小小无处找"。 12. 解一元一次不等式组的一般步骤第一步：＿＿＿，分别解不等式组中的每一个不等式，求出它们的解集。 13. 画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并确定其＿＿＿。 14. 写出解集：将(2)中所确定的公共部分用＿＿＿表示出来，就是原不等式组的解集。 15. 用数轴表示解集：小于向＿＿＿画，大于向右画。 16. 用数轴表示解集：无等号画空心圆圈，有等号画＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 不等式组 x＞a，x＞b(a＜b) 的解集是 x＞a。（　　） 辨2. 不等式组 x≥a，x≤b(a＜b) 的解集是 x≤b。（　　） 辨3. 组成不等式组的各个不等式解集的公共部分，就是不等式组的解集。当它们没有公共部分时，我们称这个不等式组无解。（　　） 辨4. 解一元一次不等式组时，先把两个不等式的解集分别画在两条不同的数轴上，再找公共部分。（　　） 【体系梳理】 不等式组(a＜b) 解集 口诀 页码 x≥a，x≥b x≥b 同大取大 31 x≤a，x≤b x≤a 同小取小 31 x≥a，x≤b a≤x≤b 大小小大中间找 31 x≤a，x＞b 无解 大大小小无处找 31 八年级上册 · 3.5 一元一次不等式组　1 学科网（北京）股份有限公司 章末复习——一元一次不等式 【核心速记】 一元一次不等式：不等号的两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是一次。 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、两边同除以a(或乘1/a)。 利用一元一次不等式解决问题的步骤：审、设、列、解、验。 求一元一次不等式(组)中字母的取值范围的解题思路：先求出一元一次不等式(组)的解集，然后借助数轴或口诀列出关于字母的不等式，即可求出字母的取值范围。 列一元一次不等式(组)解决实际问题是历年来中考的热点之一，经常与方程(组)结合出题；要正确列出不等式(组)，求出解集，同时还要结合问题的实际意义确定答案。 【知识点填空】 1. a＜b，b＜c→＿＿＿(不等式的传递性)。 2. 不等式的两边都加上(或减去)同一个数，所得到的＿＿＿仍成立。 3. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个＿＿＿数，所得的不等式仍成立。 4. 不等式的两边都乘(或都除以)同一个负数，必须＿＿＿不等号的方向，所得的不等式成立。 5. 一元一次不等式：不等号的两边都是＿＿＿；只含有一个未知数；未知数的最高次数是一次。 6. 解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号、＿＿＿、合并同类项、两边同除以a(或乘1/a)。 7. 利用一元一次不等式解决问题的步骤：＿＿＿、设、列、解、验。 8. 求一元一次不等式(组)中字母的取值范围：先求出一元一次不等式(组)的解集，然后借助数轴或＿＿＿列出关于字母的不等式。 9. 列一元一次不等式(组)解决实际问题是历年来中考的＿＿＿之一，经常与方程(组)结合出题。 10. 解决方程(组)与不等式(组)的综合性问题，要正确列出不等式(组)，求出解集，同时还要结合问题的＿＿＿确定答案。 11. 关于 x 的不等式组 2x-3≤0，x-a＞0 恰有3个整数解，则 a 的取值范围是＿＿＿。 12. 购买 m 盏甲型节能灯和(50-m)盏乙型节能灯，总费用不超过360元，根据题意可列不等式 6m+8(50-m)＿＿＿360。 【易错辨析】 辨1. 利用一元一次不等式解决问题的步骤：审、设、列、解、验。（　　） 辨2. 解一元一次不等式时，最后一步"两边同除以a(或乘1/a)"都必须改变不等号的方向。（　　） 辨3. 求一元一次不等式(组)中字母的取值范围，要先求出解集，然后借助数轴或口诀列出关于字母的不等式，即可求出字母的取值范围。（　　） 【体系梳理】 知识板块 要点（原书表述） 页码 不等式的基本性质 a＜b，b＜c→a＜c(不等式的传递性) 33 不等式的基本性质 两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立 33 一元一次不等式 不等号的两边都是整式；只含有一个未知数；未知数的最高次数是一次 33 解一元一次不等式的一般步骤 去分母、去括号、移项、合并同类项、两边同除以a(或乘1/a) 33 解决问题的步骤 审、设、列、解、验 33 中考热点聚焦 先求出一元一次不等式(组)的解集，然后借助数轴或口诀列出关于字母的不等式 33 八年级上册 · 章末复习——一元一次不等式　1 学科网（北京）股份有限公司 第4章 图形与坐标 4.1 平面直角坐标系 【核心速记】 在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴（又叫横轴），另一条叫作y轴（又叫纵轴），这样就在平面内建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。 坐标系所在的平面就叫作坐标平面，两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点。 对于平面内任意一点M，则x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，有序实数对(x,y)叫作点M的坐标。 点P(a,b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|。 x轴和y轴把坐标平面分成四个象限，象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限。 利用平面直角坐标系表示平面内点或图形的坐标的一般步骤：(1)选择一个适当的参照物为原点，建立平面直角坐标系，并确定x轴和y轴的正方向；(2)根据具体问题确定适当的比例尺，标出单位长度；(3)在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标。 【知识点填空】 1. 在平面内画两条＿＿＿，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴（又叫横轴），通常画成水平。 2. 在平面内画两条互相垂直，并且有＿＿＿的数轴，其中一条叫作x轴（又叫横轴）。 3. 在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，其中一条叫作x轴（又叫＿＿＿），通常画成水平。 4. 另一条叫作y轴（又叫＿＿＿），画成与x轴垂直。 5. 这样，我们就在平面内建立了＿＿＿，简称直角坐标系。 6. 坐标系所在的平面就叫作＿＿＿。 7. 两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的＿＿＿。 8. 对于平面内任意一点M，作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则x叫作点M的＿＿＿。 9. 对于平面内任意一点M，作MM1⊥x轴，MM2⊥y轴，设垂足M1，M2在各自数轴上所表示的数分别为x，y，则y叫作点M的＿＿＿。 10. 有序实数对＿＿＿叫作点M的坐标。 11. 点P(a,b)到x轴的距离是＿＿＿。 12. 点P(a,b)到y轴的距离是＿＿＿。 13. x轴和y轴把坐标平面分成＿＿＿。 14. 象限以数轴为界，x轴与y轴上的点＿＿＿任何象限。 15. 四个象限中，第二象限的点的坐标的符号特征为＿＿＿。 16. 四个象限中，第三象限的点的坐标的符号特征为＿＿＿。 17. 四个象限中，第四象限的点的坐标的符号特征为＿＿＿。 18. 利用平面直角坐标系表示平面内点或图形的坐标的一般步骤：(1)选择一个适当的参照物为＿＿＿，建立平面直角坐标系。 19. 利用平面直角坐标系表示平面内点或图形的坐标的一般步骤：(1)选择一个适当的参照物为原点，建立平面直角坐标系，并确定x轴和y轴的＿＿＿。 20. 利用平面直角坐标系表示平面内点或图形的坐标的一般步骤：(2)根据具体问题确定适当的＿＿＿，标出单位长度。 21. 利用平面直角坐标系表示平面内点或图形的坐标的一般步骤：(3)在坐标平面内画出这些点，＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. x轴与y轴上的点不属于任何象限。（　　） 辨2. 点P(3,-2)到x轴的距离是3。（　　） 辨3. 点(-3,4)在第四象限。（　　） 辨4. 两坐标轴的公共原点O叫作平面直角坐标系的原点。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 坐标系的定义 在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点O的数轴，就建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系 34 坐标系的要素 x轴（又叫横轴）通常画成水平，y轴（又叫纵轴）画成与x轴垂直；两坐标轴的公共原点O叫作原点 34 点的坐标 x叫作点M的横坐标，y叫作点M的纵坐标，有序实数对(x,y)叫作点M的坐标 34 坐标的几何意义 点P(a,b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a| 34 象限与符号特征 第一象限(+,+)，第二象限(-,+)，第三象限(-,-)，第四象限(+,-)；x轴与y轴上的点不属于任何象限 34 建立坐标系表示位置的步骤 选参照物为原点并确定x轴和y轴的正方向；确定适当的比例尺，标出单位长度；在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标 34 八年级上册 · 4.1 平面直角坐标系　1 学科网（北京）股份有限公司 4.2 用方向和距离确定物体的位置 【核心速记】 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，首先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。 先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。 B船在A船的北偏东60°方向的35 n mile处。 【知识点填空】 1. 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，首先选定＿＿＿，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。 2. 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称＿＿＿）时，首先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。 3. 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，再根据物体相对于参照物的＿＿＿来表示。 4. 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，再根据物体相对于参照物的方向和＿＿＿来表示。 5. 用方向和距离确定平面上＿＿＿的位置（或称方位）时，首先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。 6. 先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来＿＿＿。 7. B船在A船的＿＿＿60°方向的35 n mile处。 8. B船在A船的北偏东60°方向的＿＿＿处。 9. 由图可知，从点B看点A的方向是＿＿＿，距离是2 km。 10. 由图可知，从点B看点A的方向是南偏东43°，＿＿＿是2 km。 【易错辨析】 辨1. 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，首先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示。（　　） 辨2. B船在A船的南偏西60°方向的35 n mile处。（　　） 辨3. 确定物体的位置时，只需知道物体相对于参照物的方向，不需要距离。（　　） 辨4. 从点B看点A的方向是北偏西43°，距离是2 km。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 方法（第一步） 用方向和距离确定平面上物体的位置（或称方位）时，首先选定参照物 35 方法（第二步） 再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示 35 解读示例 B船在A船的北偏东60°方向的35 n mile处 35 例题结论 从点B看点A的方向是南偏东43°，距离是2 km 35 方法总结 先选定参照物，再根据物体相对于参照物的方向和距离来表示 35 八年级上册 · 4.2 用方向和距离确定物体的位置　1 学科网（北京）股份有限公司 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 【核心速记】 一般地，在平面直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)，关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)。 图形的轴对称是借助平面直角坐标系进行的一种图形的基本变换。 图形沿x轴翻折后得到的新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数；图形沿y轴翻折后得到的新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。 原图形上的点(a,b)向左平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点(a-|h|,b)；向右平移得(a+|h|,b)；向上平移得(a,b+|h|)；向下平移得(a,b-|h|)。 点左、右平移，纵坐标不变，横坐标变，变化规律是左减右加；点上、下平移，横坐标不变，纵坐标变，变化规律是上加下减。 平移只改变图形的位置，不改变图形的大小、形状。 【知识点填空】 1. 一般地，在平面直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为＿＿＿。 2. 一般地，在平面直角坐标系中，点(a,b)关于＿＿＿的对称点的坐标为(-a,b)。 3. 图形的轴对称是借助＿＿＿进行的一种图形的基本变换。 4. 图形沿x轴翻折后得到的新图形的各对应点的＿＿＿不变，纵坐标互为相反数。 5. 图形沿x轴翻折后得到的新图形的各对应点的横坐标不变，＿＿＿。 6. 图形沿y轴翻折后得到的新图形的各对应点的＿＿＿不变，横坐标互为相反数。 7. 原图形上的点(a,b)向左平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点＿＿＿。 8. 原图形上的点(a,b)向右平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点＿＿＿。 9. 原图形上的点(a,b)向上平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点＿＿＿。 10. 原图形上的点(a,b)向下平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点＿＿＿。 11. 平移作图的步骤：(1)找出图形中的＿＿＿。 12. 平移作图的步骤：(2)作出这些关键点的＿＿＿。 13. 平移作图的步骤：(3)＿＿＿对应点，得变换后的图形。 14. 图形的变化实质上是由＿＿＿引起的。 15. 平移只改变图形的位置，不改变图形的＿＿＿。 16. 点左、右平移，＿＿＿不变，横坐标变，变化规律是左减右加。 17. 点左、右平移，纵坐标不变，横坐标变，变化规律是＿＿＿。 18. 点上、下平移，横坐标不变，＿＿＿变，变化规律是上加下减。 19. 关于x轴对称的点，横坐标相同，＿＿＿互为相反数。 20. 关于y轴对称的点，＿＿＿相同，横坐标互为相反数。 【易错辨析】 辨1. 图形沿y轴翻折后得到的新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数。（　　） 辨2. 点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(-a,b)。（　　） 辨3. 原图形上的点(a,b)向左平移|h|个单位长度，得到平移后图形上的点(a+|h|,b)。（　　） 辨4. 平移只改变图形的位置，不改变图形的大小、形状。（　　） 【体系梳理】 变换 坐标变化规律（原书表述） 页码 关于x轴对称 点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b) 36 关于y轴对称 点(a,b)关于y轴的对称点的坐标为(-a,b) 36 沿x轴翻折 新图形的各对应点的横坐标不变，纵坐标互为相反数 36 沿y轴翻折 新图形的各对应点的纵坐标不变，横坐标互为相反数 36 沿x轴左、右平移 点(a,b)向左平移|h|个单位长度得(a-|h|,b)，向右平移|h|个单位长度得(a+|h|,b) 36 沿y轴上、下平移 点(a,b)向上平移|h|个单位长度得(a,b+|h|)，向下平移|h|个单位长度得(a,b-|h|) 36 平移作图的步骤 找出图形中的关键点；作出这些关键点的对应点；连结对应点，得变换后的图形 36 八年级上册 · 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移　1 学科网（北京）股份有限公司 章末复习——图形与坐标 【核心速记】 平面直角坐标系包括x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、象限。 点的坐标是有序数对(x,y)，x为横坐标，y为纵坐标。 用方向和距离来表示物体的位置（或称方位）。 在平面直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)，关于y轴的对称点的坐标为(-a,b)。 点左、右平移：纵坐标不变，横坐标变，变化规律为左减右加；点上、下平移：横坐标不变，纵坐标变，变化规律为上加下减。 【知识点填空】 1. 平面直角坐标系包括x轴（横轴）、y轴（纵轴）、＿＿＿、象限。 2. 点的坐标是有序数对＿＿＿，x为横坐标，y为纵坐标。 3. 点的坐标是有序数对(x,y)，＿＿＿为横坐标，y为纵坐标。 4. 点的坐标是有序数对(x,y)，x为横坐标，＿＿＿为纵坐标。 5. 用＿＿＿来表示物体的位置（或称方位）。 6. 在平面直角坐标系中，点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为＿＿＿。 7. 在平面直角坐标系中，点(a,b)关于y轴的对称点的坐标为＿＿＿。 8. 点左、右平移：＿＿＿不变，横坐标变，变化规律为左减右加。 9. 点左、右平移：纵坐标不变，横坐标变，变化规律为＿＿＿。 10. 点上、下平移：横坐标不变，＿＿＿变，变化规律为上加下减。 11. 点上、下平移：横坐标不变，纵坐标变，变化规律为＿＿＿。 12. 本考点考查平面直角坐标系内点的坐标特征及坐标特征的应用，包括各象限内坐标的＿＿＿、坐标轴、象限角平分线上点的坐标特征。 13. 涉及图形的平移、轴对称与坐标变化之间的关系时，熟练掌握＿＿＿是解决此类问题的关键。 14. 本考点主要是根据图形变化探究＿＿＿的变化规律，结合图形变化或周期循环等知识综合考查。 【易错辨析】 辨1. 点左、右平移：纵坐标不变，横坐标变，变化规律为左减右加。（　　） 辨2. 点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(-a,b)。（　　） 辨3. 点上、下平移：横坐标不变，纵坐标变，变化规律为左减右加。（　　） 辨4. 用方向和距离来表示物体的位置（或称方位）。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 平面直角坐标系 x轴（横轴）、y轴（纵轴）、原点、象限 38 点的坐标 有序数对(x,y)，x为横坐标，y为纵坐标 38 物体的位置 用方向和距离来表示物体的位置（或称方位） 38 对称点的坐标特征 点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)，关于y轴的对称点的坐标为(-a,b) 38 坐标平面内点的平移（左右） 点左、右平移：纵坐标不变，横坐标变，变化规律为左减右加 38 坐标平面内点的平移（上下） 点上、下平移：横坐标不变，纵坐标变，变化规律为上加下减 38 考点1 平面直角坐标系内点的位置的确定：包括各象限内坐标的正负、坐标轴、象限角平分线上点的坐标特征 38 考点2/考点3 图形的平移、轴对称与坐标变化的关系；探索点的坐标的变化规律 38 八年级上册 · 章末复习——图形与坐标　1 学科网（北京）股份有限公司 第5章 一次函数 5.1 常量与变量 【核心速记】 在一个过程中,固定不变的量称为常量,可以取不同数值的量称为变量。 从图象中获取信息,一定要弄清横轴和纵轴所表示的意义,同时要明确函数图象的最低点和最高点以及每个拐点的意义。 求函数表达式时,要先确定好自变量和函数值,然后根据两者之间的等量关系写函数表达式。 【知识点填空】 1. 在一个过程中,固定不变的量称为＿＿＿。 2. 在一个过程中,可以取不同数值的量称为＿＿＿。 3. 在一个过程中,＿＿＿的量称为常量。 4. 在一个过程中,固定不变的量称为常量,可以取＿＿＿的量称为变量。 5. (例)博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(h)随平均速度v(km/h)的变化而变化,其中常量是＿＿＿。 6. (例)博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(h)随平均速度v(km/h)的变化而变化,其中变量是＿＿＿。 7. (例)博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(h)随平均速度v(km/h)的变化而变化,则t与v的函数表达式是＿＿＿。 8. 从图象中获取信息,一定要弄清＿＿＿轴和纵轴所表示的意义。 9. 从图象中获取信息,同时要明确函数图象的最低点和最高点以及每个＿＿＿的意义。 10. 求函数表达式时,要先确定好＿＿＿和函数值,然后根据两者之间的等量关系写函数表达式。 【易错辨析】 辨1. 在一个过程中,固定不变的量称为常量。（　　） 辨2. 在任何过程中,一个量要么永远是常量,要么永远是变量,与具体过程无关。（　　） 辨3. 可以取不同数值的量称为常量。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 常量 在一个过程中,固定不变的量称为常量 39 变量 在一个过程中,可以取不同数值的量称为变量 39 实例 博物馆到小明家的路程为8 km,小明回家所需时间t(h)随平均速度v(km/h)的变化而变化 40 读图 从图象中获取信息,一定要弄清横轴和纵轴所表示的意义 40 拐点 要明确函数图象的最低点和最高点以及每个拐点的意义 40 八年级上册 · 5.1 常量与变量　1 学科网（北京）股份有限公司 5.2 认识函数 【核心速记】 一般地,在某个变化过程中,如果有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就说y是x的函数,x叫作自变量。 函数的表示方法有三种:解析法、图象法、列表法。 确定自变量取值范围应从两个方面考虑:一是必须使含有自变量的代数式有意义;二是满足实际问题的意义。 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫作这个函数的图象。 函数的图象能直观地反映函数的性质和变量的变化趋势,是研究和处理有关函数问题的重要工具。 【知识点填空】 1. 一般地,在某个变化过程中,如果有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定的值,y都有＿＿＿的值与之对应,那么就说y是x的函数。 2. 一般地,在某个变化过程中,如果有两个＿＿＿x,y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就说y是x的函数。 3. 对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就说＿＿＿是x的函数。 4. 那么就说y是x的函数,x叫作＿＿＿。 5. 函数的表示方法有三种:＿＿＿、图象法、列表法。 6. 解析法:用等式表示函数与自变量之间的关系,这种等式叫作＿＿＿,简称为函数式。 7. 图象法:在直角坐标系中,用＿＿＿表示两个变量之间的函数关系,称为图象法。 8. 表示函数关系的图象简称＿＿＿。 9. 列表法:把自变量的＿＿＿与对应的函数值列成一张表,这种表示函数关系的方法称为列表法。 10. 确定自变量取值范围应从两个方面考虑:一是必须使含有自变量的代数式＿＿＿;二是满足实际问题的意义。 11. 确定自变量取值范围应从两个方面考虑:一是必须使含有自变量的代数式有意义;二是满足＿＿＿的意义。 12. 在＿＿＿中,自变量的取值为全体实数。 13. 在分式中,自变量的取值要满足＿＿＿。 14. 在零指数幂和负整数指数幂中,自变量的取值要使＿＿＿不为零。 15. 把一个函数的自变量x的值与函数y的对应值分别作为点的＿＿＿和纵坐标,在直角坐标系中描出它的对应点。 16. 在直角坐标系中描出它的对应点,所有这些点组成的图形叫作这个函数的＿＿＿。 17. 函数的图象能直观地反映函数的＿＿＿和变量的变化趋势。 18. (例)在函数y=2/(x-7)中,自变量x的取值范围是＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 在某个变化过程中,对于x的每一个确定的值,y有些确定的值与之对应,那么就说y是x的函数。（　　） 辨2. 一般地,在某个变化过程中,如果有两个变量x,y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与之对应,那么就说y是x的函数,x叫作自变量。（　　） 辨3. 在分式中,自变量的取值为全体实数。（　　） 辨4. 确定自变量取值范围只需使含有自变量的代数式有意义。（　　） 【体系梳理】 表示方法/要点 原书表述 页码 解析法 用等式表示函数与自变量之间的关系,这种等式叫作函数表达式,简称为函数式 39 图象法 在直角坐标系中,用图象表示两个变量之间的函数关系,表示函数关系的图象简称函数图象 39 列表法 把自变量的所有取值与对应的函数值列成一张表 39 自变量取值范围 在整式中,自变量的取值为全体实数;在分式中,自变量的取值要满足分母不为零;在零指数幂和负整数指数幂中,自变量的取值要使底数不为零 40 函数图象 函数的图象能直观地反映函数的性质和变量的变化趋势,是研究和处理有关函数问题的重要工具 39 八年级上册 · 5.2 认识函数　1 学科网（北京）股份有限公司 5.3 一次函数的意义 【核心速记】 一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)叫作一次函数。 当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫作正比例函数,常数k叫作比例系数。 要判断一个函数是否为一次函数,就要先将式子进行变形,看它能否化成y=kx+b的形式,即x的次数为1,k≠0,b为任意常数。 把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式,这种求函数表达式的方法叫作待定系数法。 一次函数y=kx+b(k≠0)中b是任意常数,所以判断时不要漏掉y=kx(k≠0)也是一次函数。 【知识点填空】 1. 一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且＿＿＿)叫作一次函数。 2. 一般地,函数＿＿＿(k,b都是常数,且k≠0)叫作一次函数。 3. 当＿＿＿时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫作正比例函数。 4. 正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)中,常数k叫作＿＿＿。 5. 要判断一个函数是否为一次函数,就要先将式子进行变形,看它能否化成＿＿＿的形式。 6. 判断时,即x的次数为＿＿＿,k≠0,b为任意常数。 7. 若符合上述条件,且b≠0,则这个函数是＿＿＿。 8. 若符合上述条件,且b=0,则这个函数是＿＿＿。 9. 一次函数的特征:(1)k为常数,k≠0;(2)x的次数是1;(3)b为＿＿＿。 10. 一次函数y=kx+b(k≠0)中b是任意常数,所以判断时不要漏掉＿＿＿也是一次函数。 11. 在正比例函数表达式y=kx(k为常数,k≠0)中,只有一个待定系数＿＿＿。 12. 在一次函数表达式y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)中,有＿＿＿个待定系数k和b。 13. 一般地,若已知一次函数的＿＿＿对自变量与对应的函数值,则可按步骤求这个一次函数的表达式。 14. 设所求的一次函数表达式为y=kx+b,其中k,b是待确定的常数,k＿＿＿0。 15. 把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入y=kx+b,得到关于k,b的＿＿＿。 16. 解这个关于k,b的二元一次方程组,求出＿＿＿的值。 17. 把求得的k,b的值代入y=kx+b,就得到所求的一次函数表达式,这种求函数表达式的方法叫作＿＿＿。 18. 用函数知识解决简单的实际问题时,若题设中没有明确说明是哪一类函数,就要通过分析题设中所给的＿＿＿列出等式,整理后判断函数的类型。 19. 正比例函数y=kx必须满足k≠0,x的次数为1,＿＿＿常数项(即常数项为0)。 20. 一次函数y=kx+b必须满足k≠0,x的次数为1,常数项b可以是＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数)叫作一次函数。（　　） 辨2. 一次函数y=kx+b(k≠0)中,b一定不为0。（　　） 辨3. 当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫作正比例函数,常数k叫作比例系数。（　　） 辨4. 正比例函数y=kx中,k可以等于0。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 一次函数 一般地,函数y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0)叫作一次函数 41 正比例函数 当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k为常数,k≠0),叫作正比例函数,常数k叫作比例系数 41 一次函数的特征 k为常数,k≠0;x的次数是1;b为任意常数 41 判断方法 先将式子进行变形,看它能否化成y=kx+b的形式;若b≠0则为一次函数,若b=0则为正比例函数 41 待定系数法 设y=kx+b,把两对已知的自变量与对应的函数值分别代入,解关于k,b的二元一次方程组,求出k,b的值 41 警示 一次函数y=kx+b(k≠0)中b是任意常数,判断时不要漏掉y=kx(k≠0)也是一次函数 41 八年级上册 · 5.3 一次函数的意义　1 学科网（北京）股份有限公司 5.4 一次函数的图象与性质 【核心速记】 一次函数y=kx+b(k,b都为常数,且k≠0)可以用直角坐标系中的一条直线来表示,这条直线叫作一次函数y=kx+b的图象。 一般地,令x=0,解得函数y的值即为直线与y轴交点的纵坐标;令y=0,解得x的值即为直线与x轴交点的横坐标。 对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。 求实际问题中的一次函数的最大值、最小值,有两种方法:一是利用图象;二是利用一次函数的增减性。 k的正负决定了函数的增减,b决定了图象与y轴的交点。 【知识点填空】 1. 一次函数y=kx+b(k,b都为常数,且k≠0)可以用直角坐标系中的一条＿＿＿来表示。 2. 这条直线叫作一次函数y=kx+b的＿＿＿。 3. 一般地,令＿＿＿,解得函数y的值即为直线与y轴交点的纵坐标。 4. 令＿＿＿,解得x的值即为直线与x轴交点的横坐标。 5. 由此,我们可以求出直线与两＿＿＿的交点坐标。 6. 对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当＿＿＿时,y随x的增大而增大。 7. 对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当＿＿＿时,y随x的增大而减小。 8. 当k>0时,图象从左往右＿＿＿。 9. 当k<0时,图象从左往右＿＿＿。 10. 当k>0,b>0时,图象经过第＿＿＿象限。 11. 当k>0,b=0时,图象经过第＿＿＿象限。 12. 当k>0,b<0时,图象经过第＿＿＿象限。 13. 当k<0,b>0时,图象经过第＿＿＿象限。 14. 当k<0,b=0时,图象经过第＿＿＿象限。 15. 当k<0,b<0时,图象经过第＿＿＿象限。 16. 画一次函数的图象常用＿＿＿法,取两个点即可画出图象。 17. 求实际问题中的一次函数的最大值、最小值,有两种方法:一是利用图象;二是利用一次函数的＿＿＿。 18. 根据一次函数y=kx+b中函数值y与自变量x之间的变化关系可以确定＿＿＿的取值范围。 19. 根据一次函数的图象与＿＿＿的交点位置可以确定b的取值范围,从而确定待定系数的取值范围。 【易错辨析】 辨1. 对于一次函数y=kx+b(k≠0),当k>0时,y随x的增大而减小。（　　） 辨2. 对于一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0),当k<0时,y随x的增大而减小。（　　） 辨3. b的正负决定了函数的增减。（　　） 辨4. 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条曲线。（　　） 【体系梳理】 k的符号 b的符号 图象经过象限 y的变化 页码 k>0 b>0 一、二、三 y随x的增大而增大 43 k>0 b=0 一、三 y随x的增大而增大 43 k>0 b<0 一、三、四 y随x的增大而增大 43 k<0 b>0 一、二、四 y随x的增大而减小 43 k<0 b=0 二、四 y随x的增大而减小 43 k<0 b<0 二、三、四 y随x的增大而减小 43 八年级上册 · 5.4 一次函数的图象与性质　1 学科网（北京）股份有限公司 5.5 一次函数的简单应用 【核心速记】 确定两个变量是否具有一次函数关系,一种常用方法是利用图象获得经验公式。 利用图象获得经验公式的基本步骤:通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值;建立适当的直角坐标系,以各对应值为坐标描点,并用描点的方法画出函数图象;观察图象特征,判定函数的类型。 这样获得的函数表达式有时是近似的。 在解一次函数的应用题时,要仔细审题,根据题意列出一次函数,根据实际问题的需要确定自变量的取值范围。 【知识点填空】 1. 确定两个变量是否具有一次函数关系,一种常用方法是利用图象获得＿＿＿。 2. 利用图象获得经验公式的基本步骤(1):通过＿＿＿、测量获得数量足够多的两个变量的对应值。 3. 通过实验、测量获得数量＿＿＿的两个变量的对应值。 4. 基本步骤(2):建立适当的＿＿＿,在坐标系中,以各对应值为坐标描点,并用描点的方法画出函数图象。 5. 基本步骤(3):观察＿＿＿,判定函数的类型。 6. 警示:这样获得的函数表达式有时是＿＿＿的。 7. 在解一次函数的应用题时,要仔细＿＿＿,根据题意列出一次函数。 8. 在解一次函数的应用题时,要根据＿＿＿的需要确定自变量的取值范围。 9. 画函数图象时,x轴与y轴的＿＿＿可以不同。 10. (例)设剩余电量y(kW·h)与行驶路程x(km)之间的关系式为y=kx+b,把点(0,80),(150,50)的坐标分别代入y=kx+b,解得k=＿＿＿。 11. (例)把点(0,80),(150,50)的坐标分别代入y=kx+b,解得b=＿＿＿。 12. (例)所以y与x之间的关系式为＿＿＿。 13. (例)当x=240时,y=-0.2×240+80=＿＿＿。 14. (例)答:该车的剩余电量占“满电量”的＿＿＿。 【易错辨析】 辨1. 利用图象获得经验公式时,得到的函数表达式一定是精确的。（　　） 辨2. 画函数图象时,x轴与y轴的单位长度可以不同。（　　） 辨3. 利用图象获得经验公式的基本步骤中,只需通过实验获得两对对应值即可。（　　） 辨4. 在解一次函数的应用题时,不需要确定自变量的取值范围。（　　） 【体系梳理】 步骤/要点 原书表述 页码 步骤(1) 通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值 45 步骤(2) 建立适当的直角坐标系,在坐标系中,以各对应值为坐标描点,并用描点的方法画出函数图象 45 步骤(3) 观察图象特征,判定函数的类型 45 警示 这样获得的函数表达式有时是近似的 45 应用题方法 要仔细审题,根据题意列出一次函数,根据实际问题的需要确定自变量的取值范围 45 八年级上册 · 5.5 一次函数的简单应用　1 学科网（北京）股份有限公司 章末复习——一次函数 【核心速记】 直线y=kx:当k>0时,经过第一、第三象限;当k<0时,经过第二、第四象限。 直线y=kx+b:当k>0,b>0时,经过第一、二、三象限;当k>0,b<0时,经过第一、三、四象限;当k<0,b>0时,经过第一、二、四象限;当k<0,b<0时,经过第二、三、四象限。 一次函数:y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0);正比例函数:y=kx(k是常数,k≠0)。 当k>0,y随x的增大而增大;当k<0,y随x的增大而减小。 函数自变量的取值范围的确定需考虑两个方面:(1)自变量的取值需使含自变量的代数式有意义;(2)自变量的取值应使实际问题有意义。 【知识点填空】 1. 直线y=kx:当k>0时,经过第＿＿＿象限。 2. 直线y=kx:当k<0时,经过第＿＿＿象限。 3. 直线y=kx+b:当k>0,b>0时,经过第＿＿＿象限。 4. 直线y=kx+b:当k>0,b<0时,经过第＿＿＿象限。 5. 直线y=kx+b:当k<0,b>0时,经过第＿＿＿象限。 6. 直线y=kx+b:当k<0,b<0时,经过第＿＿＿象限。 7. 一次函数:y=kx+b(k,b都是常数,且＿＿＿)。 8. 正比例函数:y=kx(k是常数,＿＿＿)。 9. 一次函数的性质:当k>0,y随x的增大而＿＿＿。 10. 一次函数的性质:当k<0,y随x的增大而＿＿＿。 11. 一次函数的应用:建立＿＿＿解决实际问题。 12. 函数的表示方法:解析法、＿＿＿、列表法。 13. 考点1:自变量的取值需使含自变量的代数式＿＿＿。 14. 考点1:自变量的取值应使＿＿＿有意义。 15. (例1)在函数y=1/(x+3)中,自变量x的取值范围是＿＿＿。 16. 考点2:用函数图象将实际问题描述出来或将实际问题用函数图象表示出来,体现了＿＿＿思想。 17. 考点3:一次函数的图象与性质是一次函数的＿＿＿内容,一般既考查对一次函数图象与性质的掌握,又考查对数形结合的理解。 【易错辨析】 辨1. 直线y=kx+b(k≠0),当k>0,b<0时,图象经过第一、二、三象限。（　　） 辨2. 当k<0,y随x的增大而减小。（　　） 辨3. 直线y=kx,当k<0时,经过第一、第三象限。（　　） 辨4. 正比例函数y=kx中,k可以是任意常数。（　　） 【体系梳理】 层次 要点（原书表述） 页码 常量、变量 常量、变量 46 表示方法 解析法、图象法、列表法 46 图象(正比例) 直线y=kx:当k>0时,经过第一、第三象限;当k<0时,经过第二、第四象限 46 图象(一次) 直线y=kx+b:当k>0,b>0时,经过第一、二、三象限;当k>0,b<0时,经过第一、三、四象限 46 图象(一次) 直线y=kx+b:当k<0,b>0时,经过第一、二、四象限;当k<0,b<0时,经过第二、三、四象限 46 相关概念 一次函数:y=kx+b(k,b都是常数,且k≠0);正比例函数:y=kx(k是常数,k≠0) 46 性质 当k>0,y随x的增大而增大;当k<0,y随x的增大而减小 46 应用 建立一次函数模型解决实际问题 46 八年级上册 · 章末复习——一次函数　1 学科网（北京）股份有限公司 参 考 答 案 1.1 认识三角形 1.不在同一直线上（见本书第1页） 2.△（见本书第1页） 3.△ABC（见本书第1页） 4.内角（见本书第1页） 5.180°（见本书第1页） 6.锐角（见本书第1页） 7.直角（见本书第1页） 8.钝角（见本书第1页） 9.三（见本书第1页） 10.大于（见本书第1页） 11.小于（见本书第1页） 12.a+c>b（见本书第1页） 13.线段（见本书第1页） 14.b+c>a（见本书第2页） 15.|a-b|（见本书第2页） 16.大于（见本书第2页） 17.交点（见本书第2页） 18.中点（见本书第2页） 19.垂线（见本书第2页） 20.一点（见本书第2页） 21.重心（见本书第2页） 22.内心（见本书第2页） 23.垂心（见本书第2页） 24.线段（见本书第2页） 辨1.【正确】原书三边关系原句：三角形的任意两边之和大于第三边（在△ABC中，a+b>c; b+c>a; a+c>b）。（见本书第1页） 辨2.【错误】原书为“三角形的任意两边之差小于第三边”，不等号方向说反了。（见本书第1页） 辨3.【正确】解读：在任意一个三角形中，最多有三个锐角，最少有两个锐角，最多有一个直角，最多有一个钝角。（见本书第1页） 辨4.【错误】原书“三线”交点表：钝角三角形中，其中两条高线在三角形外部。（见本书第2页） 1.2 定义与命题 1.意义（见本书第4页） 2.判断（见本书第4页） 3.条件（见本书第4页） 4.条件（见本书第4页） 5.条件（见本书第4页） 6.结论（见本书第4页） 7.真命题（见本书第4页） 8.假命题（见本书第4页） 9.推理（见本书第4页） 10.公认为正确（见本书第4页） 11.举反例（见本书第4页） 12.条件（见本书第4页） 13.长期实践（见本书第4页） 14.推理（见本书第4页） 15.真假（见本书第4页） 16.肯定（见本书第4页） 辨1.【正确】原书“命题的结构”原句。（见本书第4页） 辨2.【正确】原书“命题”定义原句。（见本书第4页） 辨3.【错误】通常可以用举反例的方法；解读：要说明一个命题是假命题，举一个反例即可。（见本书第4页） 辨4.【正确】原书“真命题和假命题”原句。（见本书第4页） 1.3 证明 1.条件（见本书第5页） 2.证明（见本书第5页） 3.延长线（见本书第5页） 4.不相邻（见本书第5页） 5.大于（见本书第5页） 6.360°（见本书第5页） 7.画出图形（见本书第5页） 8.条件（见本书第5页） 9.证明（见本书第5页） 10.依据（见本书第5页） 11.陈述性（见本书第5页） 12.不相邻（见本书第5页） 13.不一定（见本书第6页） 14.已知条件（见本书第6页） 15.结论（见本书第6页） 16.三角形三个内角的和等于180°（见本书第6页） 辨1.【错误】原书为“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和”，要特别注意“不相邻”三个字。（见本书第5页） 辨2.【正确】原书三角形外角的性质(2)原句。（见本书第5页） 辨3.【正确】原书三角形外角的性质(3)原句。（见本书第5页） 辨4.【错误】原书例3解析：定理的推导是建立在基本事实的基础上的，因此不能简单地将两者混在一起。（见本书第6页） 1.4 全等三角形 1.重合（见本书第7页） 2.形状（见本书第7页） 3.完全重合（见本书第7页） 4.三角形（见本书第7页） 5.对应顶点（见本书第7页） 6.对应边（见本书第7页） 7.对应角（见本书第7页） 8.≌（见本书第7页） 9.△ABC≌△A'B'C'（见本书第7页） 10.对应顶点（见本书第7页） 11.对应边（见本书第7页） 12.面积（见本书第7页） 13.高线（见本书第7页） 14.不一定（见本书第7页） 15.对应角（见本书第7页） 16.公共边（见本书第7页） 17.顺序（见本书第8页） 18.3（见本书第8页） 辨1.【正确】原书全等三角形的性质(1)原句。（见本书第7页） 辨2.【错误】原书：但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。（见本书第7页） 辨3.【错误】原书：但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。（见本书第7页） 辨4.【正确】解读3：全等三角形中的公共角也一定是对应角，公共边也一定是对应边。（见本书第7页） 1.5 三角形全等的判定 1.三边（见本书第9页） 2.夹角（见本书第9页） 3.夹边（见本书第9页） 4.一组等角的对边（见本书第9页） 5.SAS（见本书第9页） 6.定理（见本书第9页） 7.SSS（见本书第9页） 8.SAS（见本书第9页） 9.ASA（见本书第9页） 10.AAS（见本书第9页） 11.不一定相同（见本书第9页） 12.三条边长（见本书第10页） 13.三角形（见本书第10页） 14.BF=CE（见本书第10页） 15.AAS（见本书第10页） 16.ASA（见本书第10页） 17.不一定（见本书第11页） 18.不一定（见本书第11页） 辨1.【错误】警示：有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”判定三角形全等。（见本书第11页） 辨2.【错误】解读2：三个角对应相等的两个三角形形状相同，大小不一定相同，因此并不一定全等。（见本书第9页） 辨3.【正确】原书定理原文：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）。（见本书第9页） 辨4.【正确】原书三角形的稳定性原句。（见本书第10页） 专题1 全等三角形的构造方法 1.和（差）（见本书第12页） 2.截取（见本书第12页） 3.延长（见本书第12页） 4.构造（见本书第12页） 5.全等三角形（见本书第12页） 6.BF=BA（见本书第12页） 7.∠3=∠4（见本书第12页） 8.SAS（见本书第12页） 9.∠6=∠D（见本书第12页） 10.AAS（见本书第12页） 11.AB+CD（见本书第12页） 12.EF=CE（见本书第12页） 13.AE=DE（见本书第12页） 14.SAS（见本书第12页） 15.中线（见本书第12页） 16.倍长（见本书第12页） 辨1.【正确】方法1方法总结原句。（见本书第12页） 辨2.【正确】倍长中线法方法总结中的简记原句。（见本书第12页） 辨3.【错误】应将该三角形的中线延长一倍，如例2中延长CE到点F，使EF=CE，才能构造全等三角形。（见本书第12页） 辨4.【错误】方法总结：不管是截长还是补短，往往都需要构造全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题。（见本书第12页） 1.6 线段垂直平分线的性质 1.垂直（见本书第13页） 2.平分（见本书第13页） 3.中垂线（见本书第13页） 4.AD=BD（见本书第13页） 5.两端（见本书第13页） 6.直尺（见本书第13页） 7.大于线段AB长度一半的长（见本书第13页） 8.CD（见本书第13页） 9.垂直平分线（见本书第13页） 10.AD=BD（见本书第13页） 11.BC+AC（见本书第13页） 12.13（见本书第13页） 13.PA=PB=PC（见本书第13页） 辨1.【正确】原书性质定理原句。（见本书第13页） 辨2.【错误】性质定理应为“到线段两端的距离相等”，不是到线段中点的距离。（见本书第13页） 辨3.【错误】定义要求同时“垂直于一条线段，并且平分这条线段”的直线才是垂直平分线。（见本书第13页） 辨4.【错误】原书作法：分别以点A,B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧。（见本书第13页） 1.7 角平分线的性质 1.两边（见本书第14页） 2.直尺和圆规（见本书第14页） 3.适当长（见本书第14页） 4.1/2EF（见本书第14页） 5.射线AD（见本书第14页） 6.∠BAC（见本书第14页） 7.PD=PE（见本书第14页） 8.SSS（见本书第14页） 9.OR⊥AC（见本书第14页） 10.OP=OQ（见本书第14页） 11.3.5（见本书第14页） 12.7（见本书第14页） 13.边的垂线段（见本书第14页） 辨1.【正确】原书角平分线的性质定理原句。（见本书第14页） 辨2.【错误】性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。（见本书第14页） 辨3.【错误】解读1：作角的平分线的理论依据是三角形全等的判定方法——“SSS”。（见本书第14页） 辨4.【正确】原书作法(3)后的结论原句。（见本书第14页） 章末复习——三角形 1.锐角（见本书第15页） 2.大于（见本书第15页） 3.小于（见本书第15页） 4.不相邻（见本书第15页） 5.相等（见本书第15页） 6.ASA（见本书第15页） 7.距离（见本书第15页） 8.角两边（见本书第15页） 9.线段（见本书第15页） 10.角相等（见本书第15页） 11.线段相等（见本书第15页） 12.AG=CG（见本书第15页） 13.BC（见本书第15页） 14.DF=DE（见本书第15页） 15.∠E（见本书第15页） 16.AAS（见本书第15页） 辨1.【正确】本章知识梳理原句。（见本书第15页） 辨2.【正确】本章知识梳理原句。（见本书第15页） 辨3.【错误】本章知识梳理：三角形的任意两边之差小于第三边。（见本书第15页） 辨4.【错误】考点1：全等三角形的性质一般用来解决线段、角相等的问题，常与三角形全等的判定相结合。（见本书第15页） 2.1 图形的轴对称 1.互相重合（见本书第16页） 2.对称轴（见本书第16页） 3.垂直平分（见本书第16页） 4.图形的轴对称（见本书第16页） 5.全等图形（见本书第16页） 6.两个图形（见本书第16页） 7.一条或多条甚至无数（见本书第16页） 8.特殊位置关系（见本书第16页） 9.一个图形（见本书第16页） 10.某条直线（见本书第16页） 11.不一定只有一条（见本书第16页） 12.轴对称图形（见本书第16页） 13.特殊点（见本书第17页） 14.对称点（见本书第17页） 15.连结（见本书第17页） 辨1.【正确】原书轴对称图形的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。（见本书第16页） 辨2.【错误】解读指出：对称轴是直线，而不是线段或射线。（见本书第16页） 辨3.【正确】原书图形的轴对称的性质：成轴对称的两个图形是全等图形。（见本书第16页） 辨4.【错误】解读指出：图形的轴对称是两个图形之间的位置关系，一般情况下只有一条对称轴。（见本书第16页） 2.2 等腰三角形 1.两边（见本书第18页） 2.等腰三角形（见本书第18页） 3.腰（见本书第18页） 4.顶角（见本书第18页） 5.底角（见本书第18页） 6.轴对称（见本书第18页） 7.顶角平分线（见本书第18页） 8.直线（见本书第18页） 9.中线（见本书第18页） 10.三条边（见本书第18页） 11.等边三角形（见本书第18页） 12.等腰三角形（见本书第18页） 辨1.【正确】原书等腰三角形的轴对称性原句。（见本书第18页） 辨2.【错误】原书只说顶角平分线（底边上的中线、底边上的高）所在直线是它的对称轴，并非任意角平分线。（见本书第18页） 辨3.【错误】原书指出等边三角形是特殊的等腰三角形。（见本书第18页） 2.3 等腰三角形的性质定理 1.底角（见本书第18页） 2.等边对等角（见本书第18页） 3.顶角平分线（见本书第18页） 4.高线（见本书第18页） 5.三线合一（见本书第18页） 6.两（见本书第18页） 7.60°（见本书第18页） 8.中线（见本书第18页） 9.平分线（见本书第18页） 10.对称轴（见本书第18页） 11.同一个（见本书第18页） 12.相等（见本书第19页） 辨1.【正确】原书等腰三角形性质定理2原句。（见本书第18页） 辨2.【错误】三线合一是等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和高线互相重合，不是任意的三线。（见本书第18页） 辨3.【错误】原书性质定理1为：等腰三角形的两个底角相等。（见本书第18页） 辨4.【正确】原书等边三角形的性质(1)原句。（见本书第18页） 2.4 等腰三角形的判定定理 1.两边相等（见本书第20页） 2.相等（见本书第20页） 3.两个角相等（见本书第20页） 4.等角对等边（见本书第20页） 5.三条边（见本书第20页） 6.三个角（见本书第20页） 7.60°（见本书第20页） 8.等腰三角形（见本书第20页） 9.等边三角形（见本书第20页） 10.等边（见本书第20页） 11.定义法（见本书第20页） 12.判定定理（见本书第20页） 辨1.【正确】原书等腰三角形的判定定理原句。（见本书第20页） 辨2.【错误】有两个角相等的三角形是等腰三角形；三个角都相等的三角形才是等边三角形。（见本书第20页） 辨3.【错误】原书为：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，缺少“等腰三角形”这一条件。（见本书第20页） 辨4.【正确】原书等腰三角形的判定定义法原句。（见本书第20页） 2.5 逆命题和逆定理 1.条件（见本书第21页） 2.逆命题（见本书第21页） 3.原命题（见本书第21页） 4.真命题（见本书第21页） 5.逆定理（见本书第21页） 6.距离相等（见本书第21页） 7.线段的垂直平分线（见本书第21页） 8.无关（见本书第21页） 9.端点（见本书第22页） 10.交换条件和结论（见本书第22页） 11.条件（见本书第22页） 辨1.【正确】原书解读1漫画结论。（见本书第21页） 辨2.【错误】只有当一个定理的逆命题能被证明是真命题时，才称之为原定理的逆定理。（见本书第21页） 辨3.【正确】原书逆命题定义原句。（见本书第21页） 辨4.【正确】原书线段垂直平分线性质定理的逆定理原句。（见本书第21页） 2.6 直角三角形 1.直角（见本书第21页） 2.Rt△（见本书第21页） 3.Rt△ABC（见本书第21页） 4.锐角（见本书第21页） 5.中线（见本书第21页） 6.一半（见本书第21页） 7.30°（见本书第21页） 8.直角边（见本书第21页） 9.直角（见本书第21页） 10.互余（见本书第21页） 11.中线（见本书第21页） 12.距离（见本书第22页） 辨1.【正确】原书直角三角形的性质定理(2)原句。（见本书第21页） 辨2.【错误】“斜边上的中线等于斜边的一半”只在直角三角形中成立；原书拓展指出：只有当三角形中一边上的中线等于这条边的一半时，才能判定它是直角三角形。（见本书第21页） 辨3.【错误】原书性质是斜边上的中线等于斜边的一半，不是高。（见本书第21页） 辨4.【正确】原书直角三角形的判定定理原句。（见本书第21页） 2.7 探索勾股定理 1.直角边长（见本书第23页） 2.a²+b²=c²（见本书第23页） 3.c²−b²（见本书第23页） 4.c²−a²（见本书第23页） 5.（见本书第23页） 6.（见本书第23页） 7.（见本书第23页） 8.直角三角形（见本书第23页） 9.直角边（见本书第23页） 10.直角三角形（见本书第23页） 11.两边长（见本书第23页） 12.∠C=90°（见本书第23页） 13.直角三角形（见本书第23页） 14.最大边长（见本书第23页） 15.哪一个角（见本书第23页） 16.股四（见本书第23页） 辨1.【正确】原书勾股定理的应用条件原句。（见本书第23页） 辨2.【错误】原书指出勾股定理只适用于直角三角形。（见本书第23页） 辨3.【正确】原书勾股定理的逆定理原句。（见本书第23页） 辨4.【错误】原书几何语言：因为a²+b²=c²，所以△ABC为直角三角形，且∠C=90°，直角是第三边c所对的角。（见本书第23页） 2.8 直角三角形全等的判定 1.斜边（见本书第25页） 2.直角边（见本书第25页） 3.HL（见本书第25页） 4.直角三角形（见本书第25页） 5.距离（见本书第25页） 6.平分线（见本书第25页） 7.全等（见本书第25页） 8.全等三角形（见本书第25页） 9.垂线段（见本书第25页） 10.截长（见本书第25页） 11.补短（见本书第25页） 12.相等（见本书第25页） 辨1.【正确】原书直角三角形全等的判定定理原句。（见本书第25页） 辨2.【错误】HL判定必须是斜边和一条直角边分别相等，两条直角边相等应用SAS，说成HL条件缺失。（见本书第25页） 辨3.【错误】漫画提示：HL只能在两个直角三角形中用。（见本书第25页） 辨4.【正确】原书角平分线性质定理的逆定理原句。（见本书第25页） 章末复习——特殊三角形 1.垂直平分（见本书第26页） 2.全等图形（见本书第26页） 3.等边对等角（见本书第26页） 4.等角对等边（见本书第26页） 5.60°（见本书第26页） 6.三个角（见本书第26页） 7.等腰三角形（见本书第26页） 8.互余（见本书第26页） 9.斜边（见本书第26页） 10.互余（见本书第26页） 11.平方和（见本书第26页） 12.第三边长（见本书第26页） 13.HL（见本书第26页） 14.距离（见本书第26页） 辨1.【错误】本章知识梳理中“等边对等角”是等腰三角形的性质，判定是“等角对等边”。（见本书第26页） 辨2.【正确】原书考点2原文。（见本书第26页） 辨3.【正确】原书考点1原文。（见本书第26页） 辨4.【正确】原书考点3原文。（见本书第26页） 3.1 认识不等式 1.≠（见本书第27页） 2.不等号（见本书第27页） 3.≥（见本书第27页） 4.≤（见本书第27页） 5.大于（见本书第27页） 6.小于（见本书第27页） 7.不相等（见本书第27页） 8.就成立（见本书第27页） 9.不等关系（见本书第27页） 10.不等号（见本书第27页） 11.实数（见本书第27页） 12.右（见本书第27页） 13.空心（见本书第27页） 14.实心（见本书第27页） 辨1.【正确】原书知识点3原文：任意一个实数在数轴上都可以找到一点与这个实数对应。（见本书第27页） 辨2.【错误】有等号的画实心圆点，无等号的画空心圆圈；x≥b 含等号，应画实心圆点。（见本书第27页） 辨3.【错误】大于向右画，小于向左画；x＜a 是小于，应向左画。（见本书第27页） 辨4.【正确】原书知识点2列不等式一般步骤第(2)条原文。（见本书第27页） 3.2 不等式的基本性质 1.a＜c（见本书第27页） 2.同一个数（见本书第27页） 3.＞（见本书第27页） 4.b-c（见本书第27页） 5.正（见本书第28页） 6.负（见本书第28页） 7.ac＞bc（见本书第28页） 8.＞（见本书第28页） 9.ac＜bc（见本书第28页） 10.等式（见本书第28页） 11.除数（见本书第28页） 12.改变（见本书第28页） 13.大于（见本书第28页） 辨1.【正确】原书不等式的基本性质3：两边都乘(或都除以)同一个正数，所得的不等式仍成立。（见本书第28页） 辨2.【错误】两边都乘(或都除以)同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。（见本书第28页） 辨3.【错误】两边乘同一个正数，不等号方向不变，应为 a＞b，且c＞0⇒ac＞bc。（见本书第28页） 辨4.【正确】原书不等式的基本性质1原文。（见本书第27页） 3.3 一元一次不等式及其解法 1.整式（见本书第29页） 2.一（见本书第29页） 3.最高次数（见本书第29页） 4.未知数的值（见本书第29页） 5.解集（见本书第29页） 6.不等式解集（见本书第29页） 7.去分母（见本书第29页） 8.单项式乘多项式法则（见本书第29页） 9.不等式的基本性质2（见本书第29页） 10.a≠0（见本书第29页） 11.不等式的基本性质3（见本书第29页） 12.改变（见本书第29页） 13.漏乘（见本书第30页） 辨1.【错误】要整理后再判断：整理后得 2＞-1，未知数都没有了，不满足"只含有一个未知数"的判定条件。（见本书第29页） 辨2.【正确】原书知识点2原文。（见本书第29页） 辨3.【错误】在解不等式时，去分母一定不要漏乘不含分母的项。（见本书第30页） 辨4.【错误】两边同除以(或乘)同一个正数，不等号方向不变，得 x≤2。（见本书第29页） 3.4 一元一次不等式的应用 1.数量不等关系（见本书第29页） 2.相等或不等（见本书第29页） 3.字母（见本书第29页） 4.不等关系（见本书第29页） 5.取值范围（见本书第29页） 6.实际情况（见本书第30页） 7.词语（见本书第30页） 8.实际（见本书第30页） 9.不超过（见本书第30页） 10.扣（见本书第30页） 11.≥（见本书第30页） 12.12（见本书第30页） 辨1.【错误】(5)检验：检查求得的取值范围是否正确和符合实际情况，并得出答案。（见本书第30页） 辨2.【正确】原书方法总结原文。（见本书第30页） 辨3.【错误】"不超过"即"不大于"，表示小于或等于，应用"≤"表示。（见本书第30页） 3.5 一元一次不等式组 1.同一个未知数（见本书第31页） 2.一元一次不等式（见本书第31页） 3.2（见本书第31页） 4.一（见本书第31页） 5.公共部分（见本书第31页） 6.无解（见本书第31页） 7.数轴（见本书第31页） 8.x≥b（见本书第31页） 9.x≤a（见本书第31页） 10.a≤x≤b（见本书第31页） 11.无解（见本书第31页） 12.求分解（见本书第31页） 13.公共部分（见本书第31页） 14.不等式（见本书第31页） 15.左（见本书第31页） 16.实心圆点（见本书第31页） 辨1.【错误】口诀"同大取大"，解集应取 x＞b。（见本书第31页） 辨2.【错误】口诀"大小小大中间找"，解集应为 a≤x≤b。（见本书第31页） 辨3.【正确】原书知识点2第1条原文。（见本书第31页） 辨4.【错误】画公解：将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并确定其公共部分。（见本书第31页） 章末复习——一元一次不等式 1.a＜c（见本书第33页） 2.不等式（见本书第33页） 3.正（见本书第33页） 4.改变（见本书第33页） 5.整式（见本书第33页） 6.移项（见本书第33页） 7.审（见本书第33页） 8.口诀（见本书第33页） 9.热点（见本书第33页） 10.实际意义（见本书第33页） 11.-2≤a＜-1（见本书第33页） 12.≤（见本书第33页） 辨1.【正确】原书本章知识梳理原文。（见本书第33页） 辨2.【错误】只有两边同除以(或乘)同一个负数时才改变不等号的方向；除以同一个正数不等号方向不变。（见本书第33页） 辨3.【正确】原书考点1解题思路原文。（见本书第33页） 4.1 平面直角坐标系 1.互相垂直（见本书第34页） 2.公共原点O（见本书第34页） 3.横轴（见本书第34页） 4.纵轴（见本书第34页） 5.平面直角坐标系（见本书第34页） 6.坐标平面（见本书第34页） 7.原点（见本书第34页） 8.横坐标（见本书第34页） 9.纵坐标（见本书第34页） 10.(x,y)（见本书第34页） 11.|b|（见本书第34页） 12.|a|（见本书第34页） 13.四个象限（见本书第34页） 14.不属于（见本书第34页） 15.(-,+)（见本书第34页） 16.(-,-)（见本书第34页） 17.(+,-)（见本书第34页） 18.原点（见本书第34页） 19.正方向（见本书第34页） 20.比例尺（见本书第35页） 21.写出各点的坐标（见本书第35页） 辨1.【正确】原书指出象限以数轴为界，x轴与y轴上的点不属于任何象限。（见本书第34页） 辨2.【错误】原书指出点P(a,b)到x轴的距离是|b|，到y轴的距离是|a|，故点P(3,-2)到x轴的距离是2，到y轴的距离才是3。（见本书第34页） 辨3.【错误】四个象限中点的坐标的符号特征：第二象限为(-,+)，第四象限为(+,-)，点(-3,4)的符号为(-,+)，在第二象限。（见本书第34页） 辨4.【正确】与原书表述一致。（见本书第34页） 4.2 用方向和距离确定物体的位置 1.参照物（见本书第35页） 2.方位（见本书第35页） 3.方向和距离（见本书第35页） 4.距离（见本书第35页） 5.物体（见本书第35页） 6.表示（见本书第35页） 7.北偏东（见本书第35页） 8.35 n mile（见本书第35页） 9.南偏东43°（见本书第35页） 10.距离（见本书第35页） 辨1.【正确】与原书知识点5的表述一致。（见本书第35页） 辨2.【错误】原书解读为B船在A船的北偏东60°方向的35 n mile处，方向说反了。（见本书第35页） 辨3.【错误】原书指出要根据物体相对于参照物的方向和距离来表示，方向和距离缺一不可。（见本书第35页） 辨4.【错误】原书例3解析为从点B看点A的方向是南偏东43°，距离是2 km，方向说反了。（见本书第35页） 4.3 坐标平面内图形的轴对称和平移 1.(a,-b)（见本书第36页） 2.y轴（见本书第36页） 3.平面直角坐标系（见本书第36页） 4.横坐标（见本书第36页） 5.纵坐标互为相反数（见本书第36页） 6.纵坐标（见本书第36页） 7.(a-|h|,b)（见本书第36页） 8.(a+|h|,b)（见本书第36页） 9.(a,b+|h|)（见本书第36页） 10.(a,b-|h|)（见本书第36页） 11.关键点（见本书第36页） 12.对应点（见本书第36页） 13.连结（见本书第36页） 14.点的坐标变化（见本书第36页） 15.大小、形状（见本书第36页） 16.纵坐标（见本书第37页） 17.左减右加（见本书第37页） 18.纵坐标（见本书第37页） 19.纵坐标（见本书第37页） 20.纵坐标（见本书第37页） 辨1.【正确】与原书知识点2的表述一致。（见本书第36页） 辨2.【错误】(-a,b)是点(a,b)关于y轴的对称点的坐标；关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，应为(a,-b)。（见本书第36页） 辨3.【错误】点左右平移的变化规律是左减右加，向左平移|h|个单位长度应得(a-|h|,b)。（见本书第36页） 辨4.【正确】与原书解读的表述一致。（见本书第36页） 章末复习——图形与坐标 1.原点（见本书第38页） 2.(x,y)（见本书第38页） 3.x（见本书第38页） 4.y（见本书第38页） 5.方向和距离（见本书第38页） 6.(a,-b)（见本书第38页） 7.(-a,b)（见本书第38页） 8.纵坐标（见本书第38页） 9.左减右加（见本书第38页） 10.纵坐标（见本书第38页） 11.上加下减（见本书第38页） 12.正负（见本书第38页） 13.点的坐标变化特征（见本书第38页） 14.点的坐标（见本书第38页） 辨1.【正确】与本章知识梳理中的表述一致。（见本书第38页） 辨2.【错误】知识梳理指出点(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b)，(-a,b)是关于y轴的对称点的坐标。（见本书第38页） 辨3.【错误】点上、下平移的变化规律为上加下减，左减右加是点左右平移的规律。（见本书第38页） 辨4.【正确】与本章知识梳理中的表述一致。（见本书第38页） 5.1 常量与变量 1.常量（见本书第39页） 2.变量（见本书第39页） 3.固定不变（见本书第39页） 4.不同数值（见本书第39页） 5.8（见本书第40页） 6.t,v（见本书第40页） 7.t=8/v（见本书第40页） 8.横（见本书第40页） 9.拐点（见本书第40页） 10.自变量（见本书第40页） 辨1.【正确】原书定义:在一个过程中,固定不变的量称为常量。（见本书第39页） 辨2.【错误】原书定义强调“在一个过程中”:固定不变的量称为常量,可以取不同数值的量称为变量,判断常量与变量必须结合具体过程。（见本书第39页） 辨3.【错误】原书定义:可以取不同数值的量称为变量,固定不变的量才称为常量。（见本书第39页） 5.2 认识函数 1.唯一确定（见本书第39页） 2.变量（见本书第39页） 3.y（见本书第39页） 4.自变量（见本书第39页） 5.解析法（见本书第39页） 6.函数表达式（见本书第39页） 7.图象（见本书第39页） 8.函数图象（见本书第39页） 9.所有取值（见本书第39页） 10.有意义（见本书第39页） 11.实际问题（见本书第39页） 12.整式（见本书第40页） 13.分母不为零（见本书第40页） 14.底数（见本书第40页） 15.横坐标（见本书第39页） 16.图象（见本书第39页） 17.性质（见本书第39页） 18.x≠7（见本书第40页） 辨1.【错误】原书定义要求y都有唯一确定的值与之对应,“有些”不满足唯一性,如解读1中一个x对应两个y的图象不是函数关系。（见本书第39页） 辨2.【正确】这是原书函数定义的原句。（见本书第39页） 辨3.【错误】原书方法总结指出:在分式中,自变量的取值要满足分母不为零;自变量的取值为全体实数是在整式中。（见本书第40页） 辨4.【错误】原书指出应从两个方面考虑:一是必须使含有自变量的代数式有意义;二是满足实际问题的意义。（见本书第39页） 5.3 一次函数的意义 1.k≠0（见本书第41页） 2.y=kx+b（见本书第41页） 3.b=0（见本书第41页） 4.比例系数（见本书第41页） 5.y=kx+b（见本书第41页） 6.1（见本书第41页） 7.一次函数（见本书第41页） 8.正比例函数（见本书第41页） 9.任意常数（见本书第41页） 10.y=kx(k≠0)（见本书第41页） 11.k（见本书第41页） 12.两（见本书第41页） 13.两（见本书第41页） 14.≠（见本书第41页） 15.二元一次方程组（见本书第41页） 16.k,b（见本书第41页） 17.待定系数法（见本书第41页） 18.数量关系（见本书第41页） 19.没有（见本书第42页） 20.任意常数（见本书第42页） 辨1.【错误】原书定义要求k,b都是常数且k≠0,漏掉k≠0不符合一次函数的定义。（见本书第41页） 辨2.【错误】原书警示:一次函数y=kx+b(k≠0)中b是任意常数,当b=0时为正比例函数,正比例函数也是一次函数。（见本书第41页） 辨3.【正确】这是原书知识点1的原句。（见本书第41页） 辨4.【错误】原书方法总结指出:正比例函数y=kx必须满足k≠0,x的次数为1,没有常数项。（见本书第42页） 5.4 一次函数的图象与性质 1.直线（见本书第43页） 2.图象（见本书第43页） 3.x=0（见本书第43页） 4.y=0（见本书第43页） 5.坐标轴（见本书第43页） 6.k>0（见本书第43页） 7.k<0（见本书第43页） 8.上升（见本书第43页） 9.下降（见本书第43页） 10.一、二、三（见本书第43页） 11.一、三（见本书第43页） 12.一、三、四（见本书第43页） 13.一、二、四（见本书第43页） 14.二、四（见本书第43页） 15.二、三、四（见本书第43页） 16.两点（见本书第43页） 17.增减性（见本书第43页） 18.k（见本书第44页） 19.y轴（见本书第44页） 辨1.【错误】原书性质:当k>0时,y随x的增大而增大;当k<0时,y随x的增大而减小。（见本书第43页） 辨2.【正确】这是原书一次函数性质的原句。（见本书第43页） 辨3.【错误】原书解读指出:k的正负决定了函数的增减,b决定了图象与y轴的交点。（见本书第43页） 辨4.【错误】原书指出:一次函数y=kx+b可以用直角坐标系中的一条直线来表示。（见本书第43页） 5.5 一次函数的简单应用 1.经验公式（见本书第45页） 2.实验（见本书第45页） 3.足够多（见本书第45页） 4.直角坐标系（见本书第45页） 5.图象特征（见本书第45页） 6.近似（见本书第45页） 7.审题（见本书第45页） 8.实际问题（见本书第45页） 9.单位长度（见本书第45页） 10.-0.2（见本书第45页） 11.80（见本书第45页） 12.y=-0.2x+80（见本书第45页） 13.32（见本书第45页） 14.32%（见本书第45页） 辨1.【错误】原书警示:这样获得的函数表达式有时是近似的。（见本书第45页） 辨2.【正确】这是原书方法总结的原句。（见本书第45页） 辨3.【错误】原书步骤(1)要求通过实验、测量获得数量足够多的两个变量的对应值。（见本书第45页） 辨4.【错误】原书方法总结指出:要根据实际问题的需要确定自变量的取值范围。（见本书第45页） 章末复习——一次函数 1.一、三（见本书第46页） 2.二、四（见本书第46页） 3.一、二、三（见本书第46页） 4.一、三、四（见本书第46页） 5.一、二、四（见本书第46页） 6.二、三、四（见本书第46页） 7.k≠0（见本书第46页） 8.k≠0（见本书第46页） 9.增大（见本书第46页） 10.减小（见本书第46页） 11.一次函数模型（见本书第46页） 12.图象法（见本书第46页） 13.有意义（见本书第46页） 14.实际问题（见本书第46页） 15.x≠-3（见本书第46页） 16.数形结合（见本书第46页） 17.核心（见本书第46页） 辨1.【错误】本章知识梳理:当k>0,b<0时,经过第一、三、四象限。（见本书第46页） 辨2.【正确】这是本章知识梳理中一次函数性质的原句。（见本书第46页） 辨3.【错误】本章知识梳理:直线y=kx当k<0时,经过第二、第四象限。（见本书第46页） 辨4.【错误】本章知识梳理:正比例函数y=kx(k是常数,k≠0),k必须不为0。（见本书第46页） 参考答案 · 八年级上册　1 学科网（北京）股份有限公司 $