26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质- 同步练习 2026‑2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦二次函数图象与性质，通过基础巩固、综合应用、拓展探究三层设计，实现从概念理解到动态问题解决的进阶，培养抽象能力、运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|配方法、顶点坐标、对称轴|选择题1（配方法）、填空题11（增减性），直接考查核心概念| |综合应用|函数性质、平移变换、交点问题|选择题3（表格求函数值）、解答题18（解析式与交点），整合性质应用| |拓展探究|动态几何、存在性问题|解答题23（平行四边形存在性），结合几何与函数，发展模型观念|

第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 1、 选择题 1．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25 2．已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 3．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 4．二次函数（为常数，且）与轴的一个交点的横坐标是、顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8 5．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   7．已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 8．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 9．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 2、 填空题 11．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 ． 12．已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ． 13．已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 14．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 15．若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 16．已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 3、 解答题 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+5． （1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）的形式，指出该二次函数图象的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 18．已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 19．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且． （1）试求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若，求m的值． 21．如图1，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4），对称轴与x轴交于点B（2，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图2，直线l：y＝x+m经过点B，点P是二次函数图象上一点，若点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 22．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六章 二次函数 26.2.3 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 1、 选择题 1．用配方法将二次函数y＝x2﹣8x﹣9化为顶点式的形式为（　　） A．y＝（x﹣4）2+7 B．y＝（x﹣4）2﹣25 C．y＝（x+4）2+7 D．y＝（x+4）2﹣25 【答案】B 【分析】利用配方法把二次函数的一般形式配成二次函数的顶点式． 【详解】解：y＝x2﹣8x﹣9 ＝x2﹣8x+16﹣16﹣9 ＝（x﹣4）2﹣25， 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式，题目中给出的是一般形式，利用配方法可以化成顶点式． 2．已知二次函数，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线 C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D． 【详解】解：∵， ∴该抛物线开口向上，故C不符合题意； 该函数有最小值3，故A符合题意； 该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意； ，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意． 故选：A． 3．已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． 4．二次函数（为常数，且）与轴的一个交点的横坐标是、顶点坐标为，则下列关于二次函数的说法中正确的是（   ） A．二次函数图象的对称轴是直线 B．二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是3 C．当时，随的增大而减小 D．二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．根据二次函数的顶点坐标即可得二次函数图象的对称轴是直线，则A错误；根据二次函数的对称性可得二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是4，则B错误；根据二次函数的对称轴是直线和可得当时，随的增大而增大，则C错误；先设二次函数的解析式为，再将点代入求出，则可得二次函数的解析式，然后将代入二次函数的解析式求出的值，由此即可得D正确． 【详解】解：∵二次函数（为常数，且）的顶点坐标为， ∴二次函数图象的对称轴是直线，则选项A错误； ∵这个二次函数与轴的一个交点的横坐标是， ∴二次函数图象与轴的另一个交点的横坐标是，则选项B错误； ∵这个二次函数图象的对称轴是直线，且， ∴当时，随的增大而增大，则选项C错误； ∵二次函数（为常数，且）的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴二次函数的解析式为， 将代入得：， ∴二次函数图象与轴的交点的纵坐标是8，则选项D正确； 故选：D． 5．二次函数的部分对应值如表：以下结论不正确的是（    ） A．抛物线的顶点坐标为 B．与轴的交点坐标为 C．与轴的交点坐标为和 D．当时，对应的函数值为 【答案】C 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线，则可得抛物线的顶点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；由表格可知，当时，，则抛物线与轴的一个交点坐标为，结合抛物线的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为；结合抛物线的对称性可知，对应的函数值与对应的函数值相等，则可得当时，对应的函数值为． 【详解】解：由表格可知，二次函数的图象的对称轴为直线， 当时，， 抛物线的顶点坐标为．故A选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 与轴的交点坐标为．故B选项正确，不符合题意； 由表格可知，当时，， 抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 抛物线与轴的交点坐标为和，故C选项不正确，符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 对应的函数值与对应的函数值相等， 由表格可知，当时，， 当时，对应的函数值为．故D选项正确，不符合题意． 故选：C． 6．在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象可能为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二次函数图象的综合应用，先由二次函数图象得出字母系数的正负，再由一次函数的图象得出字母系数的正负，进行比较看是否一致即可判断求解，掌握一次函数与二次函数的图象及其性质是解题的关键． 【详解】解：、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项正确，符合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，，得，由直线可知，，，该选项错误，不合题意； 、由抛物线可知，，由直线可知，，该选项错误，不合题意； 故选：． 7．已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元一次不等式的应用，整式加减的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及求解不等式组是解题的关键．先将，，代入，得到，，，然后根据推得，，可得，，再用作差法证明，，即得答案． 【详解】解：抛物线上有三点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理， ， ． 故选：D． 8．已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 9．已知二次函数的图象经过点，当时，y的最小值为，则m的值为（  ） A．或10 B．10或2 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象和性质，解题的关键是运用分类讨论思想．首先根据待定系数法得到n与m的关系，再根据二次函数的对称轴位置分情况讨论，求出m的值． 【详解】解：二次函数的图象经过点， 代入，得，即， 二次函数对称轴为直线， 然后分情况讨论： ①对称轴为直线，即， 此时在上，y随x的增大而增大， 当时，y有最小值0，不符合题意，舍去； ②对称轴为直线满足时，即， 此时二次函数的顶点在范围内，顶点的纵坐标为最小值， 二次函数顶点纵坐标公式为，将代入， 可得， 解得或， ， ； ③对称轴为直线，即， 此时在上y随x的增大而减小， 当时，y有最小值， 令，解得，不符合题意，舍去； 故答案为， 故选：C． 10．如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴的交点在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．则以下结论中正确的有（    ） ； ； ；④；⑤若为任意实数，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与y轴交点位置可判断①，由抛物线与x轴交点及抛物线对称轴可得抛物线与x轴另一交点坐标，从而可得时，进而判断②，将其中一个点转化为关于对称轴的对称点，然后再由抛物线在对称轴一次的x,y的关系，可判断③④，根据二次函数最值即可判断⑤． 【详解】解：根据图象可得，，， 对称轴为， ，即， ，故正确， 根据二次函数的图象与轴交于点， 可得二次函数的图象与轴的另一个交点为， 当时，，故正确； 根据二次函数与轴的交点在与之间，可得， 当时，， 即， ，解得，故正确； ，故正确； 当时，达到最大值， 因此对于任意实数，， ∴ 故错误； 综上所述， 正确，正确结论有个， 故选：C． 2、 填空题 11．已知二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是 　 ． 【答案】x＜﹣1． 【分析】首先求出二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴x＝﹣1，然后再根据数的性质可得出答案． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2﹣4x+5的对称轴为：， 又∵a＝﹣2＜0， ∴当x＜﹣1时，y随x的增大而增大． 故答案为：x＜﹣1． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，解答此题的关键是理解对于二次函数y＝ax2+bx+c，对称轴为x＝﹣b/2a，①若a＞0，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；②若a＜0，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小． 12．已知点和点都在抛物线上，如果轴，那么点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．设点的坐标为，先求出该抛物线的对称轴为直线，再根据点和点关于直线对称求解即可得． 【详解】解：设点的坐标为， ∵二次函数化成顶点式为， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∵点和点都在抛物线上，且轴， ∴点和点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 13．已知点，是抛物线上不同的两点，若点也在抛物线上，则的值为 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及涉及对称性．先根据抛物线的对称性得到，则，然后把代入可得到的值． 【详解】解：∵点，是抛物线上不同的两点， ∴点，关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∵点，即也在抛物线上， ∴． 故答案为：2025． 14．抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后所得到的抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求得函数解析式是解题的关键．根据二次函数图象平移的规律即可得到平移后的函数解析式． 【详解】解：∵， ∴抛物线向下平移2个单位，再向左平移3个单位后，得到的抛物线的解析式为． 故答案为：． 15．若点在抛物线上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出，，根据，得到，即，求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为，如图： ∵点在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 16．已知点，是抛物线（b为常数）上不同的两点，若点也在抛物线上，则m的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点坐标满足二次函数的解析式，以及对称性． 由点A和点B的纵坐标相同，可知两点关于抛物线的对称轴对称，利用对称轴公式求出b的值，再代入点求解即可． 【详解】∵点，是抛物线（b为常数）上不同的两点， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴抛物线为， ∵点也在抛物线上， ∴代入得． 故答案为：4． 3、 解答题 17．已知二次函数y＝x2﹣4x+5． （1）将y＝x2﹣4x+5化成y＝a（x﹣m）2+k（a≠0）的形式，指出该二次函数图象的顶点坐标； （2）当x取何值时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1）y＝（x﹣2）2+1，顶点坐标为（2，1）； （2）当x＞2时，y随x的增大而增大． 【分析】（1）根据配方法，可以将函数解析式化为顶点式；可以直接写出该函数的顶点坐标； （2）根据（1）中的顶点式和二次函数的性质，可以解答本题． 【解答】解：（1）y＝x2﹣4x+4﹣4+5＝（x﹣2）2+1， 即y＝（x﹣2）2+1， ∴该二次函数图象的顶点坐标为（2，1）； （2）根据（1）可知，图象开口向上，对称轴为直线x＝2， ∴当x＞2时，y随x的增大而增大． 【点睛】此题主要考查了二次函数顶点坐标的求法，二次函数图象的性质．二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）． 18．已知抛物线过点，对称轴为直线，且与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线与轴的另一个交点坐标； (3)当时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据对称轴和与纵轴的交点坐标即可解题； （2）令，即可进行求解； （3）求出抛物线顶点坐标，判断在条件给出的范围内的最值分别取在顶点和处，进而解题． 【详解】（1）解：∵对称轴为直线， ， ∴， 抛物线解析式代入，有： ， 代入，有： ， 则有：， 解得：， ∴  ， ∴抛物线的解析式为： ； （2）解：令，有：， ， ， ∴或， 抛物线与轴的另一个交点坐标为； （3）解：当时， ， ∴抛物线的顶点为，在范围内， 故此时有最大值， ∵抛物线开口向下， ∴距离对称轴越远，函数值越小， ∴时，有最小值， ∴  ． 19．如图，已知二次函数y＝ax2﹣4x+c的图象经过点A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）． （1）求该二次函数的表达式； （2）直接写出抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离． 【答案】（1）y＝x2﹣4x﹣6； （2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）P点坐标为（6，6）； 【分析】（1）利用待定系数法确定二次函数的解析式； （2）把（1）中得到的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和对称轴． （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6，解方程求得m的值，根据题意得到m＝6，从而求得P的坐标，根据点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【详解】解：（1）将A（﹣1，﹣1）和点B（3，﹣9）代入y＝ax2﹣4x+c， 得 解得， 所以二次函数的表达式为y＝x2﹣4x﹣6； （2）由y＝x2﹣4x﹣6＝（x﹣2）2﹣10可知： 对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣10）； （3）将P（m，m）坐标代入y＝x2﹣4x﹣6，得m＝m2﹣4m﹣6． 解得m1＝﹣1，m2＝6． 因为m＞0，所以m＝﹣1不合题意，舍去．所以m＝6， 所以P点坐标为（6，6）； 因为点P与点Q关于对称轴x＝2对称，所以点Q到x轴的距离为6． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握待定系数法是解题的关键． 20．如图，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣2，0），B（3，0），C（0，6）三点；点P是第一象限内抛物线上的动点，点P的横坐标是m，且． （1）试求抛物线的表达式； （2）过点P作PN⊥x轴并交BC于点N，作PM⊥y轴并交抛物线的对称轴于点M，若，求m的值． 【答案】（1）抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6． （2）m． 【分析】（1）将A，B，C三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m表示出PM和PN，建立关于m的方程即可解决问题． 【详解】解：（1）由题知， 将A，B，C三点坐标代入函数解析式得， ， 解得， 所以抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+6． （2）将x＝m代入抛物线得表达式得， y＝﹣m2+m+6， 所以点P的坐标为（m，﹣m2+m+6）． 令直线BC的函数解析式为y＝px+q， 则， 解得， 所以直线BC的函数解析式为y＝﹣2x+6． 因为，且抛物线的对称轴为直线x， 所以PM＝m． 又因为点N坐标为（m，﹣2m+6）， 所以PN＝﹣m2+m+6﹣（﹣2m+6）＝﹣m2+3m． 因为， 所以m， 解得m， 又因为， 所以m． 【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键． 21．如图1，已知二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4），对称轴与x轴交于点B（2，0）． （1）求此二次函数的表达式； （2）如图2，直线l：y＝x+m经过点B，点P是二次函数图象上一点，若点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P的坐标． 【答案】（1）二次函数的表达式为yx2+2x+4； （2）点P的坐标（−1，）或（6，﹣2）． 【分析】（1）根据题意，用待定系数法求函数解析式； （2）先用待定系数法求出直线l和直线AB的解析式，再设点P坐标为（p，p2﹣2p+4），求出点P关于直线y＝x﹣2的对称点Q坐标为（p2+2p+6，p﹣2），再把点Q的坐标代入直线y＝﹣2x+4，解方程求出p的值即可． 【详解】解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象经过点A（0，4）， ∴c＝4， ∵对称轴与x轴交于点B（2，0）， ∴x2， 解得b＝2， ∴二次函数的表达式为yx2+2x+4； （2）把点B坐标代入y＝x+m得：2+m＝0， 解得m＝﹣2， ∴直线l的解析式为y＝x﹣2； 设直线AB的解析式为y＝kx+n， 把A（0，4），B（2，0）代入y＝kx+n得： ， 解得， ∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+4， 设点P坐标为（p，p2﹣2p+4）， 则P关于直线y＝x﹣2的对称点Q坐标为（p2+2p+6，p﹣2）， ∵点Q在直线y＝﹣2x+4上， ∴p﹣2＝﹣2（p2+2p+6）+4， 整理得：p2﹣5p﹣6＝0， 解得p＝﹣1或p＝6， ∴点P的坐标（−1，）或（6，﹣2）． 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣对称等知识，关键是求出点Q的坐标． 22．如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），点的坐标为，与轴交于点，作直线．动点在轴上运动，过点作轴，交抛物线于点，交直线于点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和直线的解析式： (2)当点在线段上运动时，连接，求面积的最大值； (3)当时，抛物线的最大值为3，求的值． 【答案】(1)， (2)的面积最大值为 (3)的值为或 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质、求直线解析式及分类讨论思想等知识点，熟练掌握其性质并能灵活运用是解决此题的关键． （1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可； （2）先用表示出，然后用含m的式子表示出 的面积，再通过二次函数的性质即可求出最大值； （3）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出的值． 【详解】（1）解：抛物线过、两点， ，解得， 抛物线解析式为， 令可得，，解得：， 点在点右侧， 点坐标为， 设直线解析式为， ，解得， 直线解析式为； （2）解：轴，点的横坐标为， ， 在线段上运动， 点在点上方， ， 当时，的面积有最大值，最大值为； （3）解：抛物线，其对称轴为， 当，即时，在上，随的增大而增大， ∴当时，有最大值3， ∴，解得， ， ； 当，即时，在上，随的增大而减小， ∴当时，有最大值3， ∴，解得或， ； 当，即时，当时，有最大值，这种情况不存在； 综上的值为或． 23．如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，点P是BC上方抛物线上的一动点，作PM⊥x轴于点M，点M的横坐标为t（0＜t＜3），交BC于点D． （1）求A，B的坐标和直线BC的解析式； （2）连接BP，求△CPB面积的最大值； （3）已知点Q也在抛物线上，点Q的横坐标为t+2，作QE⊥x轴于点F，交BC于点E，若P，D，Q，E为顶点的四边形为平行四边形，求t的值． 【答案】【答案】（1）A（﹣1，0），B（3，0）；直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）△CPB面积的最大值为； （3）t或． 【分析】（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0，解方程求出x的值即可；根据B，C坐标，用待定系数法求一次函数解析式即可； （!） 根娱点M的横坐标为t，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3，得出P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3），从而得出PD＝﹣t2+3t，然后由三角形的面积公式得出S△CPB（t）2，再由函数的性质求最值即可； （3）分四边形PDEQ为平行四边形和四边形PDQE为平行四边形两种情况，由P，Q的坐标求出PD，EQ，再根据PD＝EQ得出关于t的方程，解方程求出t即可． 【解答】解：（1）令y＝0，则﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）； 令x＝0，则y＝3， ∴C（0，3）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（3，0），C（0，3）代入解析式得：， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3； （2）∵点M的横坐标为t，点P在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，D在直线y＝﹣x+3， ∴P（t，﹣t2+2t+3），D（t，﹣t+3）， ∴PD＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+2t+3+t﹣3＝﹣t2+3t， ∴S△CPBPD•OB（﹣t2+3t）×3（t2﹣3t）（t）2， ∵0， ∴当t时，S△CPB有最大值，最大值为， ∴△CPB面积的最大值为； （3）①如图所示，当四边形PDEQ为平行四边形时， ∵PM⊥x轴，QF⊥x轴， ∴PD∥EQ， ∵四边形PDEQ为平行四边形， ∴PD＝QE， ∵点Q的横坐标为t+2，点Q在抛物线y＝﹣x2+2x+3上，E在直线y＝﹣x+3， ∴Q（t+2，﹣t2﹣2t+3），E（t+2，﹣t+1）， ∴QE＝﹣t2﹣2t+3﹣（﹣t+1）＝﹣t2﹣2t+3+t﹣1＝﹣t2﹣t+2， ∴﹣t2+3t＝﹣t2﹣t+2， 解得t； ②如图所示，当四边形PDQE为平行四边形时， 同①得出QE＝﹣t+1﹣（﹣t2﹣2t+3）＝t2+t﹣2， ∴﹣t2+3t＝t2+t﹣2， 解得t1，t2， ∵0＜t＜3， ∴t． 综上所述，t或． 【点评】本题考查二次函数的综合题，关键是掌握待定系数法求函数解析式，函数的性质以及平行四边形的性质． 学科网（北京）股份有限公司 $