27.1 反比例函数的概念拓展作业2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以反比例函数概念为核心，通过基础巩固、中档应用、提升拓展三层设计，构建从概念理解到综合应用的知识巩固路径，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|反比例函数概念判断、表达式识别|以单选1-5题考查定义辨析，强化符号意识| |中档|性质应用与简单实际问题|结合杠杆原理（填空8）、坐标平移（填空10），发展几何直观| |提升|综合应用与跨知识整合|通过装订本数问题（解答12）、函数与几何结合（解答16），培养推理能力与应用意识|

27.1 反比例函数的概念 拓展作业2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列问题中两个变量之间的关系不是反比例函数的是（    ） A．某人参加赛跑时，时间与跑步平均速度之间的关系 B．长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系 C．压强公式中，一定时，压强与受力面积之间的关系 D．三角形的一条边长一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系 2．下列各点中，在函数图象上的点是（     ） A． B． C． D． 3．在反比例函数 中，当时，，则k的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 4．考试人数、及格人数和及格率三个量中，当_____一定时，其他两个量成反比例，横线处是（   ） A．考试人数 B．及格人数 C．及格率 D．无法确定 5．下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 6．已知反比例函数的图象如图所示，当时，y的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这个函数图象的“近轴点”．例如，点是函数图象的“近轴点”．下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是(   ) ①；②；③． A．① B．② C．③ D．①②③ 二、填空题 8．一杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，水桶对杆的拉力的作用点到支点的杆长固定不变．甲、乙、丙、丁四位同学分别在杆的另一端竖直向下施加压力，将相同重量的水桶吊起同样的高度，若，则这四位同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远的是_____ 9．反比例函数的解析式有三种表现形式，分别是_______，________，______．（为常数，且）． 10．平面直角坐标系中，点A（，2）向左平移m个单位后恰好落在反比例函数y＝﹣的图象上，则m的值为 ___． 11．现有三张正面分别标有数字1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字．前后两次抽取的数字分别记为m，n．则点在函数的图象上的概率是___________． 三、解答题 12．用一批纸装订同样大小的练习本，每本的页数和可以装订的本数如下表： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 60 (1)将表格补充完整． (2)判断每本的页数和可以装订的本数是否成反比例，并说明理由． (3)如果现在需要用这批纸装订本同样大小的练习本，那么每本练习本有多少页？ 13．已知一个反比例函数为，求的值． 14．写出下列问题中y与x之间的函数关系式，并判断是否为反比例函数． (1)三角形的面积为，其底边长为，该边上的高为． (2)圆锥的体积为，它的高为，底面面积为． 15．水池内有污水，设放净全池污水所需时间为，每小时放水量为． (1)试写出y与x之间的函数关系式； (2)求当时，y的值． 16．如图，已知点、在反比例函数的图象上，过点的一次函数的图象与轴交于点． (1)求、的值和一次函数的表达式； (2)连接，求点到线段的距离． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D A C B D D C 1．【答案】D 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，对于两个变量，若它们的乘积一定，则这两个变量是反比例函数关系，据此可得答案． 【详解】解：A、由题意得，，则时间与跑步平均速度之间的关系是反比例函数，不符合题意； B、由题意得，，则长方形的面积一定，它的两条邻边的长与之间的关系是反比例函数，不符合题意； C、由题意得，，则一定时，压强与受力面积之间的关是反比例函数，不符合题意； D、由题意得，（l为一边长，h为该边上的高），则l一定时，它的面积与这条边上的高之间的关系不是反比例函数，符合题意； 故选：D 2．【答案】A 【知识点】求反比例函数值 【分析】反比例函数图象上任意一点的坐标都满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算对应的y值，和点的纵坐标对比即可得出结论． 【详解】解：对于函数 A、当时，， 点在函数的图象上，此选项符合题意； B、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； C、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意； D、当时，， 点不在函数的图象上，此选项不符合题意． 3．【答案】C 【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了根据反比例函数的定义求参数，解一元一次方程（三）——去分母，解题关键是掌握反比例函数的定义并能运用求解． 将给定的x和y值代入反比例函数解析式，得到关于k的一元一次方程求解． 【详解】解：∵当时，， ∴代入，得：， 两边同时乘以，得：， ∴， 故选：C． 4．【答案】B 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义， 根据题意可知，再结合反比例函数定义解答即可. 【详解】解：根据题意，得， 所以当及格人数一定时，考试人数和及格率成反比例. 故选：B. 5．【答案】D 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，（k为常数，）判断每个选项是否符合． 【详解】解：A、是正比例函数，故不符合题意； B、不是反比例函数，故不符合题意； C、不是反比例函数，故不符合题意； D、是反比例函数，故符合题意； 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】求反比例函数值 【分析】根据图像，知反比例函数过点（1，4），故k=4，所以当x=2时，y=2，所以y的范围是． 【详解】如图，根据图像，知反比例函数过点（1，4）， ∴， ∴k=4， ∴当x=2时， ∴y=＝2， ∴y的范围是． 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像，解析式的确定，根据自变量范围确定函数值的范围，读懂图像，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 7．【答案】C 【知识点】由反比例函数值求自变量、求一次函数自变量或函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了新定义，反比例函数图象上点的坐标特点，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，分别计算各函数与两坐标轴的交点，与增减性结合即可求解． 【详解】解：①当时，， 当时，， ， 与两坐标的交点分别为和， 当时，； 当时，； 函数的图象上不存在“近轴点”； ② 中，在每一象限内随的增大而减小， 当时，， 当时，， 函数的图象上不存在“近轴点”； ③ ， 当时，；当时，； 函数的图象上存在“近轴点”； 故选：C． 8．【答案】甲 【知识点】用反比例函数描述数量关系 【分析】利用杠杆原理，得到力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比关系，再通过比较力的大小，即可得到正确答案． 【详解】解：由物理知识得，力臂越大，用力越小，力的大小与对杆的压力的作用点到支点的距离成反比， ∵，且将相同重量的水桶吊起同样的高度， ∴甲同学对杆的压力的作用点到支点的距离最远， 故答案为：甲． 【点睛】本题主要是考查了反比关系，利用反比关系，比较不同量的大小，熟练掌握反比关系，是求解该题的关键． 9．【答案】 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的概念，只需根据反比例函数的定义整理出其三种常见的表现形式即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义，反比例函数是形如（为常数，）的函数， 对该式变形可得到另外两种表现形式， 将根据负整数指数幂的定义变形可得（为常数，）； 将两边同乘变形可得（为常数，）． 10．【答案】 【知识点】求点沿x轴、y轴平移后的坐标、根据反比例函数的定义求参数 【分析】首先可求得点向左平移m个单位后的点的坐标，再根据此点在反比例函数的图象上，把点的坐标代入函数解析式中即可求得m的值． 【详解】点A（，2）向左平移m个单位后的坐标为（－m，2） ∵点（－m，2）在反比例函数y＝﹣的图象上 ∴ 解得： 故答案为： 【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，反比例函数图象上点的坐标特征，掌握这两个知识是关键． 11．【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量、列表法或树状图法求概率 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点P（m，n）在函数的图象上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图为： 共有9种等可能的结果数，其中点P（m，n）函数的图象上的有2种， ∴点在函数的图象上的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了反比例函数图像上点的坐标． 12．【答案】(1) 补充表格如下： 每本的页数 16 20 25 30 60 可以装订的本数 225 180 144 120 60 (2) 解：每本的页数和可以装订的本数成反比例；理由如下： 根据表中的数据可知，每本的页数随装订本数的变化而变化，总页数一定，即每本的页数和装订的本数的积一定，所以成反比例. (3) 页 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、用反比例函数描述数量关系 【分析】本题考查了反比例函数，（1）先根据已知的每本页数和装订本数算出总页数，再用总页数除以对应页数得到装订本数；（2）根据反比例函数的定义判断即可；（3）用（1）中得到的总页数除以本，即可得到每本的页数. 【详解】（1）解：总页数为：（页）； 当页数为页时，本数为：（本）； 当页数为页时，本数为：（本）； （2）略 （3）解：（页）． 故每本练习本有页． 13．【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】由反比例函数为，可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴且， 解得：． 【点睛】本题考查的是反比例函数的定义，熟记反比例函数的表示形式是解本题的关键． 14．【答案】(1)，是反比例函数 (2)，是反比例函数 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义，判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】（1）解：根据题意，得，， ∴， ∴y与x是反比例函数． （2）解：由题意，得， ∴， ∴y与x是反比例函数． 15．【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数值、用反比例函数描述数量关系 【分析】（1）根据所需时间＝池内污水量÷每小时放水量可得y与x之间的函数关系式； （2）把代入（1）中函数关系式计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）当时，． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出反比例函数关系以及求反比例函数值，正确列出函数关系式是解题的关键． 16．【答案】(1)，， (2)点到线段的距离为 【知识点】用勾股定理解三角形、求一次函数解析式、与三角形的高有关的计算问题、求反比例函数值 【分析】（1）根据点、在反比例函数图象上，代入即可求得、的值；根据一次函数过点，，代入求得，，即可得到表达式； （2）连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，可推出 轴，、、的长度，然后利用勾股定理计算出的长度，最后根据，计算得的长度，即为点到线段的距离． 【详解】（1）点、在反比例函数图象上 ， 又一次函数过点， 解得： 一次函数表达式为：； （2）如图，连接，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， ， 轴， 点，， 点，， 在中， 又 即 ∴，即点C到线段的距离为． 【点睛】本题考查了求反比例函数值，待定系数法求一次函数表达式，勾股定理，与三角形高有关的计算，熟练掌握以上知识点并作出适当的辅助线是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $