专题 3.24 图形的相似：角平分线分线段成比例模型【基础・综合・探究】- 2026-2027学年北师大版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义以“角平分线分线段成比例模型”为核心，通过目录框架系统构建知识体系，先梳理内角平分线定理、外角平分线定理及逆定理等基础知识点，再按“知识储备-基础证明-综合探究”递进呈现内容，清晰展现定理内涵与应用逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如内角平分线证明题夯实定理理解，综合题型通过阅读探究（内角+外角平分线）培养推理意识，探究题型结合折叠、中垂线、勾股定理提升几何直观，变式题覆盖多地区考题，助力不同层次学生掌握方法，为教师精准教学和学生自主复习提供有效支持。

专题 3.24 图形的相似：角平分线分线段成比例模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点】三角形角平分线分线段成比例定理 1 二.题型精析【基础】 1 【题型 1】基础证明 1 三.题型精析【综合】 2 【题型 2】阅读探究型（内角+外角平分线） 2 四.题型精析【探究】 3 【题型 3】综合探究（定理+折叠+中垂线+勾股定理） 3 一.知识储备与解读 【知识点】三角形角平分线分线段成比例定理 1. 内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段，与该角的两条邻边对应成比例。 2. 外角平分线定理：三角形的外角平分线分对边延长线所得的两条线段，与该外角对应的两条邻边对应成比例。 3. 逆定理：若三角形一边上的点分该边所得两条线段与邻边成比例，则该点与顶点的连线为三角形的角平分线。 二.题型精析【基础】 【题型 1】基础证明 【例题】（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）在中，已知是的角平分线，求证：． 三.题型精析【综合】 【题型 2】阅读探究型（内角+外角平分线） 【例题】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： （1）【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． （2）如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （3）求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 四.题型精析【探究】 【题型 3】综合探究（定理+折叠+中垂线+勾股定理） 【例题3】（24-25九年级下·广西北海·期中）问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：； （2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 【问题解决】 （1）你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； （2）如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； （3）如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． （1）如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （2）如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·期中）定理的提出：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比． 已知：如图1，中，平分交于． 求证：． 现有两种不同的证明思路： 思路1：如图2，过点C作交的延长线于点E，…； 思路2：如图3，过点C作交的延长线于点F，….． （1）请选择其中一种思路完成该定理的证明； 利用该定理，解决以下面的问题： （2）如图4，在中，，平分交于D，若，，则 ． （3）如图5，若四边形ABCD为矩形，，，将沿翻折得到，延长，分别交，于，两点，当时． ①求的长； ②求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.24 图形的相似：角平分线分线段成比例模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点】三角形角平分线分线段成比例定理 1 二.题型精析【基础】 1 【题型 1】基础证明 1 三.题型精析【综合】 2 【题型 2】阅读探究型（内角+外角平分线） 2 四.题型精析【探究】 4 【题型 3】综合探究（定理+折叠+中垂线+勾股定理） 4 一.知识储备与解读 【知识点】三角形角平分线分线段成比例定理 1. 内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段，与该角的两条邻边对应成比例。 2. 外角平分线定理：三角形的外角平分线分对边延长线所得的两条线段，与该外角对应的两条邻边对应成比例。 3. 逆定理：若三角形一边上的点分该边所得两条线段与邻边成比例，则该点与顶点的连线为三角形的角平分线。 二.题型精析【基础】 【题型 1】基础证明 【例题】（2026九年级上·甘肃天水·竞赛）在中，已知是的角平分线，求证：． 【答案】证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ． 【分析】过点作，交的延长线于点，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可证，根据平行线分线段成比例定理可证结论成立． 解：略 三.题型精析【综合】 【题型 2】阅读探究型（内角+外角平分线） 【例题】（2026·山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： （1）【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． （2）如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． （3）求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 【答案】（1）平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）；（2）答案不唯一， 如答图1，点即为所求. （3） 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． （1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 四.题型精析【探究】 【题型 3】综合探究（定理+折叠+中垂线+勾股定理） 【例题3】（24-25九年级下·广西北海·期中）问题背景：在将合浦古地图中的三角形地块划分综合实践活动课上，小云发现并证明了关于三角形角平分线的一个结论．如图，已知是的角平分线，可证．小云的证明思路是：如图，过点作，交的延长线于点，构造相似三角形来证明． （1）尝试证明：请参照小云的思路，利用图证明：； （2）基础训练：如图，在中，，是边上一点．连接，将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处．若，，求的长； （3）拓展升华：如图，中，，，，的中垂线交延长线于点，当时，求的长． 【答案】（1）证明： ， 是的角平分线， ， ； （2） （3）6 【分析】（1）利用小云作平行线构造相似三角形的思路，通过平行线性质找角相等，证明三角形相似，再结合角平分线性质，实现线段比例关系的转化，从而证明结论． （2）先根据折叠性质得到角和线段的等量关系，再运用（1）中证明的线段比例关系，结合勾股定理求出长，进而算出长，得出长． （3）依据角平分线条件，用（1）的比例关系算出长，结合中垂线性质得到角相等，推导新的相似三角形，利用相似三角形性质列方程求解 ． 解：（1）略 （2）解：将沿所在直线折叠，点恰好落在边上的点处， 由（）可知， 又，， ，即 ， 在中，由勾股定理得：， ，即 ，即 （3）解：，即是的角平分线， ∴由（）可得 ，，， ，即 的中垂线交延长线于， ，即， ， ，即 又， ，即 【点拨】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质、折叠的性质以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质，灵活运用角平分线、折叠等条件转化线段和角的关系是解题的关键． 【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）综合与实践：九年级某学习小组以“角平分线的关联”为主题开展数学探究活动． 【问题探究】 如图①，为的角平分线，求证． 甲同学的思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点作，交的延长线于点，利用“三角形的相似”可证结论； 乙同学的思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点分别作于点，作于点，利用“等面积法”也可证结论； 丙同学认为甲、乙两位同学的思路均是正确的，同时丙还有新发现：如果交换命题的题设和结论，得到“如图①，为的边上一点，如果，那么是的角平分线”仍为真命题． 【问题解决】 （1）你认为丙同学的新发现正确吗？若正确，请予以证明；若不正确，请说明理由； （2）如图②，为的角平分线，垂直平分，垂足为，交的延长线于点，连接．若，，，求的长； （3）如图③，为的内角平分线，的外角平分线交的延长线于点，且，请直接写出的长． 【答案】（1）正确，理由：如图1，过点作，与的延长线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的角平分线； （2）6 （3）1 【分析】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，角平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）如图1，过点作，与的延长线交于点，利用相似三角形的性质证明即可； （2）证明，推出，延长求解可得结论； （3）如图③中，设，过点作交于点，证明，构建方程求解． （1）解：略； （2）解：为的角平分线， ，， 中，，，， ， ， 的垂直平分线交的延长线于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 的长为6； （3）解：如图③，设，过点作交于点， 平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 的长为1． 【变式2】（25-26九年级上·江苏南京·阶段检测）三角形的内角平分线定理： 如图1，在中，平分，交于点，则． （1）如图2，中，是中点，是的平分线，交于．若，，求线段的长； （2）如图3，中，平分，的延长线交外角角平分线于点． ①找出、、、这四条线段的比例关系，并证明； ②若，，则= ． 【答案】（1）；（2）①、、、这四条线段的比例关系：，理由如下： 如图：作交于点， ，，， 平分， ， ， ， ． ② 【分析】（1）根据角平分线分线段成比例定理得出，得出根据E是BC的中点，得到，根据，由平行线分线段成比例，即可求解； （2）①作交于点，则，进而证明，即可得出； ②根据角平分线分线段成比例可得，由①知，则，代入数据，即可得出，即可求解． （1）解：平分，，， ， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ． （2）解：① 略 ②平分， ， 由①知 ， ，， ， 解得， 不符合题意，舍去， ． 【点拨】本题考查了角平分线的定义，等边对等角，平行线的性质，平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·山东德州·期中）定理的提出：三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比． 已知：如图1，中，平分交于． 求证：． 现有两种不同的证明思路： 思路1：如图2，过点C作交的延长线于点E，…； 思路2：如图3，过点C作交的延长线于点F，….． （1）请选择其中一种思路完成该定理的证明； 利用该定理，解决以下面的问题： （2）如图4，在中，，平分交于D，若，，则 ． （3）如图5，若四边形ABCD为矩形，，，将沿翻折得到，延长，分别交，于，两点，当时． ①求的长； ②求的值． 【答案】（1）解：如图1，过点作交的延长线于点，则， 且， ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴ 如图2，过点C作交的延长线于点，则，且 ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ ∴； （2）10； （3）①；② 【分析】（1）图2：过点作交的延长线于点，利用平行线分线段成比例解决；图3：过点C作交的延长线于点，利用相似三角形解决，再进行等量转化即可； （2）借用（1）中的结论，并利用勾股定理求的长； （3）①由翻折可知，，继而利用勾股定理在中 即可求解； ②连接，，则，即平分，根据（1）的结论即可求解. 解：（1）略 （2）若，，则， ∵平分， 由（1）结论可知， 设，， 由勾股定理得 解得 ∴； （3）解：①∵四边形是矩形，，， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵， 设，则：， 在中： ， ∴，解得：， ∴，； ②连接， 在和中， ， ， ，即平分， 【点拨】本题考查三角形的角平分线分对边所成的两条线段的比等于夹这个角的两条边的比．熟练掌握结论，做题过程中合理应用是解题的关键．同时考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，综合性很强，属于中考常考题型． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $