专题 3.17 图形的相似：共边（角）等角（边）模型【基础・综合・探究】-基础知识专项突破讲与练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学讲义通过知识框架系统梳理图形相似的共边（角）等角（边）模型，将共角模型（公共角特征、AA判定）与共边模型（公共边特征、对应边判定）的条件、结论对比呈现，突出公共边非对应边等重难点，构建清晰知识脉络。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如识别模型证明角平分线，综合题型结合直角、中点推导相似，探究题型如新定义“相似对角线”分类讨论，培养几何直观与推理意识。例题变式覆盖不同难度，助力学生分层提升，为教师精准教学提供支持。

专题 3.17 图形的相似：共边（角）等角（边）模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】共角相似模型（公共角模型） 1 【知识点二】共边相似模型（公共边模型） 1 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】识别共角、共边模型，基础证明与简单计算 2 三.题型精析【综合】 3 【题型 2】共边（角）模型结合直角、中点、四边形综合解题 3 四.题型精析【探究】 4 【题型 3】新定义、分类讨论与模型迁移探究 4 一.知识储备与解读 【知识点一】共角相似模型（公共角模型） 模型特征：两个三角形共用一个公共内角，无平行条件，通过额外一组等角，满足AA相似判定。是斜A字型模型的延伸，广泛应用于三角形、四边形题型中。 成立条件：两个三角形存在公共角，再通过角平分线、角度互余、角度互补等方式推导得到第二组对应等角。 核心结论：两组角对应相等，三角形相似，对应边成比例，可用于线段计算、角度证明、位置关系判定。 【知识点二】共边相似模型（公共边模型） 模型特征：两个三角形共用一条公共边，无公共角，依托衍生等角构造相似，多见于四边形对角线分割图形。 关键要点：公共边仅为图形共用线段，不一定是相似三角形的对应边，不可直接默认公共边参与比例列式，需根据对应角确定对应边。 成立条件：通过角度推导，得到两组对应角相等，满足AA相似判定。 二.题型精析【基础】 【题型 1】识别共角、共边模型，基础证明与简单计算 解题思路：题型条件简洁，图形规整，直接呈现标准共角或共边相似模型，核心考查基础识别与简单应用。解题时先观察图形，定位共用角或公共边；结合题干角平分线、直角、等角条件，利用余角、补角性质推导第二组等角；通过AA定理证明三角形相似；依据相似三角形对应边成比例，代入已知线段长度列方程，求解未知线段；可通过相似对应角相等，进一步证明直线平行、角平分线等结论。 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，若，，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 三.题型精析【综合】 【题型 2】共边（角）模型结合直角、中点、四边形综合解题 解题思路：题型以四边形、多直角图形为载体，融合直角三角形斜边中线、中点、勾股定理等考点，图形线条复杂，无直观标准模型。解题核心为剥离多余干扰线条，从复杂图形中拆解出共角、共边基础相似模型；依托直角互余、斜边中线等腰性质、中点性质推导等角条件，完成相似证明；题目常存在两组相似三角形，利用中间比完成线段比例等量代换；结合勾股定理求解基础边长，常设未知数建立比例方程，求解线段长度与比值；全程严格匹配相似顶点顺序，规避公共边错用为对应边的问题。 【例题2】（21-22九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形中，平分，，E为的中点， （1）求证：； （2）求证：． 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）四边形中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，为上一点，为上一点，已知，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【变式3】（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段． 四.题型精析【探究】 【题型 3】新定义、分类讨论与模型迁移探究 解题思路：题型以新定义阅读探究、动态变式、多情况讨论为主，遵循“特殊到一般”的探究逻辑，侧重模型迁移与综合应用。解题时先精读题干新定义，将文字定义转化为几何边角条件；根据相似三角形对应关系不唯一的特点，分类讨论不同相似情形，杜绝漏解；在陌生变式图形中，依托角度推导，识别隐藏的共角、共边相似模型；结合三角形面积公式、勾股定理、线段比例性质综合运算；部分题型需自主构造辅助线，搭建共角、共边模型，完成几何证明、边长计算与规律探究。 【例题3】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图，过点作，连接，若，且，，求的长． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 3.17 图形的相似：共边（角）等角（边）模型【基础・综合・探究】 目录 一.知识储备与解读 1 【知识点一】共角相似模型（公共角模型） 1 【知识点二】共边相似模型（公共边模型） 1 二.题型精析【基础】 2 【题型 1】识别共角、共边模型，基础证明与简单计算 2 三.题型精析【综合】 4 【题型 2】共边（角）模型结合直角、中点、四边形综合解题 4 四.题型精析【探究】 9 【题型 3】新定义、分类讨论与模型迁移探究 9 一.知识储备与解读 【知识点一】共角相似模型（公共角模型） 模型特征：两个三角形共用一个公共内角，无平行条件，通过额外一组等角，满足AA相似判定。是斜A字型模型的延伸，广泛应用于三角形、四边形题型中。 成立条件：两个三角形存在公共角，再通过角平分线、角度互余、角度互补等方式推导得到第二组对应等角。 核心结论：两组角对应相等，三角形相似，对应边成比例，可用于线段计算、角度证明、位置关系判定。 【知识点二】共边相似模型（公共边模型） 模型特征：两个三角形共用一条公共边，无公共角，依托衍生等角构造相似，多见于四边形对角线分割图形。 关键要点：公共边仅为图形共用线段，不一定是相似三角形的对应边，不可直接默认公共边参与比例列式，需根据对应角确定对应边。 成立条件：通过角度推导，得到两组对应角相等，满足AA相似判定。 二.题型精析【基础】 【题型 1】识别共角、共边模型，基础证明与简单计算 解题思路：题型条件简洁，图形规整，直接呈现标准共角或共边相似模型，核心考查基础识别与简单应用。解题时先观察图形，定位共用角或公共边；结合题干角平分线、直角、等角条件，利用余角、补角性质推导第二组等角；通过AA定理证明三角形相似；依据相似三角形对应边成比例，代入已知线段长度列方程，求解未知线段；可通过相似对应角相等，进一步证明直线平行、角平分线等结论。 【例题1】（24-25八年级下·全国·课后作业）如图所示，在四边形中，，．求证：平分． 【答案】证明：， ． ， ． 平分． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定得到，进而利用相似三角形的对应角相等可得答案． 解：略 【变式1】（25-26八年级下·江苏苏州·期末）如图，在中，，，，，交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）． 【分析】（1）根据平行线的性质得到，即可证明； （2）根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质得到，即可求出的长． 解：（1）略； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即， 解得：． 【变式2】（25-26八年级下·山东泰安·期末）如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【分析】证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值求解即可． 解：平分， ， 又， ， ， ∵，， ∴，解得． 【变式3】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，四个乡镇A，B，C，D之间建有公路，已知，．试判断AB与CD的位置关系，并说明理由． 【答案】．理由如下： 由题意得， ， ， ， ． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键. 根据已知中各边的长易得，进而可得，结合相似三角形的性质可得，最后根据平行线的判定定理即可证明． 解：略 三.题型精析【综合】 【题型 2】共边（角）模型结合直角、中点、四边形综合解题 解题思路：题型以四边形、多直角图形为载体，融合直角三角形斜边中线、中点、勾股定理等考点，图形线条复杂，无直观标准模型。解题核心为剥离多余干扰线条，从复杂图形中拆解出共角、共边基础相似模型；依托直角互余、斜边中线等腰性质、中点性质推导等角条件，完成相似证明；题目常存在两组相似三角形，利用中间比完成线段比例等量代换；结合勾股定理求解基础边长，常设未知数建立比例方程，求解线段长度与比值；全程严格匹配相似顶点顺序，规避公共边错用为对应边的问题。 【例题2】（21-22九年级上·山东枣庄·开学考试）如图，四边形中，平分，，E为的中点， （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵E为的中点，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 【分析】（1）先证明，再结合，即可证明，再利用相似三角形对应边成比例，即可得证； （2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到，推出，由（1），推出，结合，得证． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（25-26九年级上·浙江温州·开学考试）四边形中，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵，， ∴． （2） 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，等角的余角相等，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据直角三角形的两个锐角互余得出，根据等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定定理即可证明； （2）根据勾股定理求出的值，根据相似三角形的性质即可求解． 解：（1）略 （2）解：在中，， ∵， ∴， 即， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·北京·阶段检测）如图，在中，为上一点，为上一点，已知，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又，， ∴， 又， ∴； （2）4 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，正确得出是解答本题的关键． （1）先证明，再结合即可证明； （2）设，则,根据相似三角形的性质列方程求解即可． 解：（1）略 （2）解：∵，， ∴， 设，则, ∵， ∴， ∴， 解得：或， 经检验，或是原方程的根， 又线段的长度不能为负数， 故不符合题意， ∴． 【变式3】（2026·内蒙古锡林郭勒·模拟预测）如图，在四边形中，，，点为的中点． （1）求证：； （2）求证：； （3）若，，求线段． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3） 【分析】（1）两个角分别对应相等的两个三角形相似； （2）两条边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似； （3）利用相似三角形的性质并结合勾股定理计算即可得出结果． 解：（1）略； （2）略； （3）解：由（1）可得， ∴， ∵点E为的中点， ∴． ∵，， ∴， ∴（负值不符合题意，舍去）， ∴，， ∴． 四.题型精析【探究】 【题型 3】新定义、分类讨论与模型迁移探究 解题思路：题型以新定义阅读探究、动态变式、多情况讨论为主，遵循“特殊到一般”的探究逻辑，侧重模型迁移与综合应用。解题时先精读题干新定义，将文字定义转化为几何边角条件；根据相似三角形对应关系不唯一的特点，分类讨论不同相似情形，杜绝漏解；在陌生变式图形中，依托角度推导，识别隐藏的共角、共边相似模型；结合三角形面积公式、勾股定理、线段比例性质综合运算；部分题型需自主构造辅助线，搭建共角、共边模型，完成几何证明、边长计算与规律探究。 【例题3】（25-26九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图，在中，为上一点，且，． （1）求证：； （2）如图，过点作，连接，若，且，，求的长． 【答案】（1）证明：，， ， ， ， ， ； （2）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据角的关系可得，即可证明； （2）设，由相似的性质得到，进而证明，得到，再代入求解即可． 解：（1）略． （2）解：设， 由（1）得， ， ， ， ，， ， ， ， ， 整理得， 解得或（舍去）， ． 【变式1】（26-27九年级·全国·暑假作业）如图，在四边形中，平分，，E为的中点，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求的值． 【答案】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即； （2） 【分析】（1）因为平分，所以，因为，证得，所以，即； （2）已知，可得的长，因为E为的中点，可得的长，因为，所以，因为，可证，所以，可得的值． 解：（1）略 （2）解：∵， ∴ ∵E为的中点， ∴, ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在中，是的中线，作于点E，交BD于点F． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）， ， ， ， ，是的中线， ， ， ， 又， ． （2） 【分析】（1）先说明、，再利用直角三角形中线的性质以及等边对等角可得，即；再根据两种对应角相等的两个三角形相似即可证明结论； （2）根据勾股定理可得，利用相似三角形的性质可求得． 再证明，最后利用相似三角形的性质求解即可． 解：（1）略 （2）解：在中，根据勾股定理，得，即， ， 由（1）知：， ， ， ． 是的中线， ， ．    ， ， ， ， ． 【变式3】（25-26九年级上·江苏南通·阶段检测）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 【理解】 （1）如图1，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，，，，求出的长度． （2）如图2，在四边形中，，，对角线平分，．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 【运用】 （3）如图3，已知是四边形的“相似对角线”，．连接，若的面积为，求的长 【答案】（1）或；（2）是四边形的“相似对角线”， 理由如下：，平分， ， ， ， ， ， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）的长为 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，分两种情况讨论，分别列式计算即可求解； （2）先说明，即可说明理由； （3）先判断出，得出，再求出，即可求得的值 解：（1）四边形是以为“相似对角线”的四边形， ∴或， ∵，，， 由勾股定理得，， 当时， ∴， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， ∴， 综上：或； （2）略． （3）如图3， ∵是四边形的“相似对角线”， ∴与相似． 又， ， ∴， ， 过点E作垂足为Q， 可得， ∵， ∴， ， ， ∴． 【点拨】本题是属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质、认识新定义、锐角三角函数等知识点，正确判定相似三角形是解答本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $