第一章平行四边形的性质（第一课时）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统覆盖平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，通过情景观察、问题驱动导入，从一般到特殊构建知识脉络，以定义特殊化（邻边相等、直角）为支架，衔接性质探究与判定应用。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，通过折叠实验（菱形对称性）培养几何直观，证明推理（矩形对角线相等）发展推理能力，几何语言表述（∵∴格式）强化模型意识。学生能深化理解，教师可提升教学效率。

第一章 平行四边形 平行四边形的性质 第一课时 观察下图，平行四边形在那个地方？ 情景引入 两组对边 平行 一组对边 一组对边 两组对边 问题1 观察图形，说出下列图形边的位置有什么特征？ 都不 平行 不平行 分别平行 ； ； ； 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形用“ ” 表示，如图，平行四边形ABCD 记作 ABCD ( 要注意字母顺序). 1.定义: 归纳总结 语言表述： （几何语言） A B C D ∵AD∥BC, AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形. 以下哪些是平行四边形？ (2) (3) (1) (4) (5) 练一练 思考运用平行四边形的定义，证明其对角相等 A B C D 证明：∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC，AB ∥ CD, ∴∠A+∠B=180°， ∠A+∠D=180°， ∴∠B=∠D. 同理可得∠A=∠C. 平行四边形的对边相等． 平行四边形的对角相等． 平行四边形的性质除了对边互相平行以外，还有: A B C D 归纳总结 如图，在 ABCD中. A B C D ∵四边形ABCD是平行四边形 解： 且 ∠A =32。(已知), ∴ ∠A = ∠C=32。, ∠B= ∠D (平行四边形的对角相等). 又∵AD∥BC（平行四边形的对边平行）, ∴ ∠A + ∠B =180。(两直线平行，同旁内角互补), ∴ ∠B= ∠D= 180。- ∠A = 180。- 32。=148。. 典例精析 (1)若∠A =32。,求其余三个角的度数. (2)连接AC，已知 ABCD的周长等于20 cm，AC=7cm，求△ABC的周长. 解：∵四边形ABCD是平行四边形(已知), ∴AB=CD，BC=AD(平行四边形的对边相等). 又∵AB+BC+CD+AD=20cm(已知), ∴AB+BC= 10cm. ∵AC=7cm, ∴ △ABC的周长为AB+BC+AC= 17cm. A B C D 1.如图，在平行四边形ABCD中. (1)若∠A=130°，则∠B=______ ，∠C=______ ，∠D=______. (3)若∠A+ ∠C= 200°，则∠A=_____，∠B=______. (2)若AB=3,BC=5,则它的周长= ______. C D A B 50° 130° 50° 100° 80° 练一练 16 2.在平行四边形ABCD中，若AE平分∠DAB，AB=5cm,AD＝9cm,则EC＝ . C 4cm A B D E A B C D 第一章 平行四边形 平行四边形的性质 第二课时 求证：平行四边形的对角线互相平分。 O 已知：如图，□ABCD的两条对角线AC与BD交于点O。 求证：OA=OC OB=OD 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD AB//CD ∴∠BAO=∠DCO ∠ABO=∠CDO ∴△ABO≌△CDO ∴OA=OC OB=OD 1.已知：如图，□ABCD的对角线AC与BD相交于点O， ∠ADB=90°,OA=6,OB=3。 求：AD和AC的长。 O D C B A 第一章 平行四边形 平行四边形的判定 1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 5. 对角线互相平分的四边形是平行四边形。 平行四边形的判定如下 （这条判定不可以拿来直接用，需要进一步证明） 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 第二章 特殊的平行四边形 性质： 边： 角： 对角线： 对称性： 回忆一下，什么是平行四边形，它有哪些性质？ A B C D O 平行四边形的对边平行且相等. 平行四边形的对角相等，邻角互补. 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形是中心对称图形. 下面几幅图片中都含有一些平行四边形. 观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？ 菱形的性质 思考 如果从边的角度，将平行四边形特殊化，内角大小保持不变，仅改变边的长度，让它有一组邻边相等，这个特殊的平行四边形叫什么呢? 平行四边形 菱形 邻边相等 1 一般 特殊 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形. 刘婉茹，你能给这个图形下个定义吗？ 菱形的定义 知识要点 菱形也是常见的图形，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流. 两组对边分别平行 一组邻边相等 四边形 平行四边形 菱形 韦恩图： 归纳总结 （1）菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ （2）你认为菱形还具有哪些特殊的性质？刘婉茹和李亚锦讨论一下 边 角 对角线 对称性 菱形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 想一想 （1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？ 菱形的性质： 对称性： 图形， 对称轴： 条， 是________所在的直线. 轴对称 2 A B C D 对角线 菱形被分割为四个全等的直角三角形 用菱形纸片折一折，回答下列问题： 对角线互相垂直 对称轴互相垂直 做一做 用菱形纸片折一折，回答下列问题： （2）菱形中有哪些相等的线段？ A B C O D 菱形的四条边相等. 求证：(1) AB = BC = CD = AD； (2) AC⊥BD. 证明：(1) ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = CD，AD = BC (菱形的对边相等). 又∵ AB = AD， ∴ AB = BC = CD = AD. A B C O D 已知：如图，在菱形 ABCD 中，AB = AD，对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 证一证 (2) ∵ AB = AD， ∴△ABD 是等腰三角形. 又∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ OB = OD（菱形的对角线互相平分）. 在等腰三角形 ABD 中， ∵OB = OD， ∴ AO⊥BD，即 AC⊥BD. A B C O D 知识要点 菱形的性质 定理 菱形的对角线互相垂直. A B C O D 几何语言描述： ∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = AD，AC⊥BD. 定理 菱形的四条边都相等. 例1 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O， ∠BAD = 60°，BD = 6，求菱形的边长 AB 和对角线 AC 的长. A B C O D 典例精析 1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则 △ABD 的周长是 (　　) A.10 B.12 C.15 D.20 C 练一练 菱形 菱形的性质 有关计算 边 周长 = 四边之和 角 对角线 1. 两组对边分别平行且相等； 2. 四条边相等 两组对角分别相等，邻角互补 1. 两条对角线互相垂直平分； 2. 每一条对角线平分一组对角 1. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是 （ ） A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角线相等 C 2. 如图，在菱形 ABCD 中，AC = 8，BD = 6，则△ABD 的周长等于 （ ） A. 18 B. 16 C. 15 D. 14 B 3. 根据下图填一填： （1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm， 那么它的边长是 ______. （2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°， 则∠BAC＝_____°. （3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm， 则菱形的边长是_______. （4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角 线长为 11 cm，菱形的周长为________. 3 cm 30 A B C O D 5 cm 44 cm 第二章 特殊的平行四边形 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定 猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 你能证明这一猜想吗？ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 我们用一长一短两根细木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字，四周围上一根橡皮筋，可得到一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形? 对此你有什么猜想？ 1 证明： ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ OA = OC. 又∵ AC⊥BD， ∴ BD 是线段 AC 的垂直平分线. ∴ BA = BC. ∴ □ABCD 是菱形（菱形的定义）. A B C O D 已知：如图，四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC 与 BD 相交于点 O ，AC⊥BD. 求证：□ABCD 是菱形. 证一证 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. AC⊥BD 几何语言描述： 在 □ABCD 中，∵AC⊥BD， ∴ □ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD A B C D □ABCD 菱形的判定定理1 知识要点 1. 在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ） A．∠ABC = 90° B．AC⊥BD C．AB = CD D．AB∥CD B 练一练 四条边相等的四边形是菱形 小刚：分别以 A、C 为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B，D，依次连接 A、B、C、D 四点. 已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，使 AC 为菱形的一条对角线吗？ C A B D 想一想：根据小刚的作法你有什么猜想？你能验证小刚的作法对吗？ 猜想：四条边相等的四边形是菱形. 2 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴ AB = CD，BC = AD. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ AB = BC， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D 证一证 菱形的判定定理2 四条边都相等的四边形是菱形. AB = BC = CD = AD 几何语言描述： 在四边形 ABCD 中，∵ AB = BC = CD = AD， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. A B C D 菱形 ABCD 四边形 ABCD A B C D 知识要点 1. 如图，□ABCD 的两条对角线 AC、BD 相交于点 O， AB = 5，AO = 4，BO = 3. 求证：四边形 ABCD 是菱形. A B C D O 又∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∵ OA = 4，OB = 3，AB = 5， 证明： 即 AC⊥BD. ∴ AB2 = OA2 + OB2. ∴△AOB 是直角三角形， ∴ 四边形 ABCD 是菱形. 针对训练 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 四边相等的四边形是菱形. 菱形的判定 定义法 判定定理 第三章 特殊的平行四边形 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 根据四边形的不稳定性，观察在平行四边形的变化过程中，当有一个角是直角时，会产生什么特殊的平行四边形？ 矩形 同学们，能给这个图形下个定义吗？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也就是长方形. 矩形的定义 两组对边分别平行 有个角是直角 四边形 平行四边形 矩形 归纳总结 韦恩图： 边 角 对角线 对称性 矩形 对边平行且相等 对角相等 互相平分 中心对称 （1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质. 你能列举一些这样的性质吗？ 想一想 （2）矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？ 活动1 请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考.  矩形是不是轴对称图形? 如果是，那么对称轴有几条? 矩形的性质： 对称性： 图形，对称轴： 条. 轴对称 2 （2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等. 你能证明吗？ （1）刘婉茹和李亚锦测一下课本的角是多少度 数学课本 A B C D = 证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠B =∠D，∠C =∠A，AB∥DC. ∴∠B +∠C = 180°. 又∵∠B = 90°， ∴∠C = 90°. ∴∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. (1) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠B = 90°. 求证：∠B =∠C =∠D =∠A = 90°. A B C D 证一证 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AB = DC，∠ABC =∠DCB = 90°. 在 △ABC 和 △DCB 中， ∵ AB = DC，∠ABC =∠DCB，BC = CB， ∴△ABC≌△DCB. ∴ AC = DB. A B C D O (2) 如图，四边形 ABCD 是矩形，∠ABC = 90°，对角线 AC 与 DB 相交于点 O. 求证：AC = DB. 矩形除了具有平行四边形的所有性质，还具有性质： 矩形的四个角都是直角； 矩形的对角线相等. 几何语言描述： 在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 DB 相交于点 O， 故∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90°，AC = DB. A B C D O 知识要点 1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于 点 O，下列说法错误的是 （　　） A．AB∥DC B．AC = BD C．AC⊥BD D．OA = OB A B C D O C 练一练 直角三角形斜边上的中线的性质 A B C D E 活动3：如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 E. B C E A 问题 BE 是一条怎样的线段？ 它的长度与斜边AC有什么关系？ 猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 由此你能得到怎样的结论? 2 证明：延长 BE 至 D，使 ED = BE， 连接 AD，CD. ∵AE = EC，BE = ED， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. ∵∠ABC = 90°， ∴平行四边形 ABCD 是矩形. ∴ AC = BD. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，BE 是 AC 上的中线. 求证：BE = AC. ∴ BE = BD = AC. E C B A D 定理 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形斜边上的中线的性质常见模型 归纳总结 矩形的相关概念及性质 具有平行四边形的一切性质 四个内角都是直角， 两条对角线互相平分且相等 轴对称图形 有两条对称轴 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角线相等 B. 对边相等 C. 对角相等 D. 对角线互相平分 2. 若直角三角形的两条直角边分别 5 和 12，则斜边上的中线长为 ( ) A. 13 B. 6 C. 6.5 D. 不能确定 3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( ) A. 20° B. 40° C. 80° D. 10° A C C $