阶段测试训练卷（知识范围：第1-2章） 2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 北师大版八年级上册勾股定理-实数阶段测试，通过赵爽弦图、折竹抵地等文化素材与植树绿化、飞机灭火等现实情境，以折叠问题、最短距离计算考查数学眼光与思维。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数判断、勾股数识别|数轴表示无理数（几何直观）| |填空题|5/15|平方根性质、勾股数组规律|勾股数组规律探究（创新意识）| |解答题|8/75|赵爽弦图证明、飞机灭火距离计算|折叠求CE长（空间观念）、实际问题建模（应用意识）|

北师大版2026年八年级上册阶段测试训练卷 知识范围：第1章勾股定理 - 第2章实数 满分120分 时间120分钟 一、选择题(共10题，共30分) 1．在下列实数中，属于无理数的是（　　） A．0 B． C． D． 2． 下列四组数中，能作为直角三角形三边长的是(　　) A．1，2，3 B．10，15，20 C． D． 3．的算术平方根为（　　） A． B． C． D． 4．下列二次根式属于最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在数轴上点B表示的数为1，在点B的右侧作一个边长为1的正方形BACD，将对角线BC绕点B逆时针转动，使对角线的另一端落在数轴负半轴的点M处，则点M表示的数是（　　） A． B． C． D． 6．下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 7．中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形的面积是（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 8．实数在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简后为（　　） A． B． C． D． 9．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（ ） A． B． C． D． 10． 如图，在长方形纸片ABCD中， 已知AB=6， AD=8. 折叠纸片使点B落在对角线AC上的点F 处，折痕为AE ，则CE 的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题（每题3分，共15分） 11． 若 有意义，则x的取值范围是　 　. 12．若一个正整数的两个平方根为2m﹣6与3m+1，则这个数是　 　． 13．在探索勾股定理的实践课上，同学们发现勾股定理本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…，分析上面勾股数组可以发现，，，，…分析上面规律，第6个勾股数组为　 　． 14． 一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为　 　． 15．如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5.将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合，E为射线BM上一个动点，当△CDE的周长最小时，CE的长为　 　。 三、解答题(共8题，共75分) 16．（8分）计算： （1） （2） 17．（8分）已知2a+4的立方根是2，3a+b﹣1的算术平方根是3，的整数部分为c． （1）分别求出a，b，c的值； （2）求a+b+c的平方根． 18．（8分） 先化简，后求值：，其中． 19．（9分）在Rt△ABC中，∠C=90°，记AB=c，BC=a，AC=b. （1）若 求 b：c. （2）若 求b. 20．（9分）为持续提升居民生活环境品质，打造“颜值”与“内涵”并重的生态宜居环境，某市积极开展“市容环境卫生整治行动·植绿种树”活动。志愿者在某小区临街的拐角处清理出一块四边形空地ABCD(如图)进行绿化，经测量∠ABC=90°，AB=14米，BC=48米，CD=40米，AD=30米 （1）求证：∠ADC=90°； （2）求空地ABCD 的面积. 21．（9分）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，应用飞机洒水的方式扑灭火源成为一种高效的灭火方式.如图，有一架救火飞机沿东西方向，由点 A 飞向点B，已知点 C 为其中一个着火点且在飞行航线的正下方，已知AB=1000m，AC=600m，BC=800m，飞机中心周围500 m以内可以受到洒水影响. （1）在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点 C 的最短距离； （2）若该飞机的速度为20 m/s，要想扑灭着火点 C 估计需要 15 s，请你通过计算说明着火点 C 能否被飞机扑灭. 22．（12分）像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如，与，与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式计算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． （1）化简：①　 　；②　 　． （2）计算：． （3）已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 23．（12分） 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论． （1）【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2中的，，用两种方法表示出梯形的面积，说明勾股定理； （2）【方法迁移】如图3，每个小方格的边长为1，点，，分别在格点上，连接点，，可得，求边上的高； （3）【方法拓展】如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 参考答案 一、选择题 1．【答案】B 解：，、0都是有理数，中含有，是无限不循环小数，是无理数. ∴A、C、D错误，B正确. 故答案为：B. 【分析】无理数是无限不循环的小数，包括：开方开不尽的；有规律但不循环的；含有的. 2．【答案】C 解： A、12+2232， 不能组成直角三角形，故A不符合题意； B、(10)2+ (152) ≠(20)2，不能组成直角三角形，故B不符合题意； C、12+ ()2= ()2， 能组成直角三角形，故C符合题意； D、2+ (2)2 ()2，不能组成直角三角形，故D不符合题意； 3．【答案】B 解：的算术平方根为． 故答案为：B. 4．【答案】B 解：A、=2把最简二次根式，错误； B、是最简二次根式，正确； C、=把最简二次根式，错误； D、=把最简二次根式，错误； 故选B 5．【答案】C 解：由尺规作图得：，由题意得： 在中，由勾股定理得：， ∴点M表示的数是： ， ∴点M表示的数是：. 故答案为：C. 6．【答案】C 解：A、 和 不是同类二次根式，则不能相加，故该选项不符合题意； B、 ，故该选项不符合题意； C、 ，故该选项符合题意； D、 ，故该选项不符合题意； 故答案为：C． 7．【答案】B 解：由图和勾股定理，得：， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积是； 故选B． 8．【答案】D 由数轴可知， ∴， ∴ 故选：D． 9．【答案】D 解：∵竹子原高10尺，折断处离地面尺， ∴折断部分长度为尺， 如图，直角边尺，尺，斜边尺， 根据勾股定理得：． 故答案为：D 10．【答案】C 解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，AB=6， ∴BC=AD=8，∠B=90° ∴， 由折叠得FE=BE=8-EC，AF=AB=6，∠AFE=∠B=90° ∴CF=AC-AF=10-6=4，∠CFE=90° ∵CF2+FE2=CE2 ∴42+(8-EC)2=CE2 解得CE=5， 故选：C. 二、填空题 11．【答案】x≥7 解：由条件可知x-7≥0， 解得x≥7， 即x的取值范围是x≥7， 故答案为：x≥7. 12．【答案】16 解：由题意得：2m﹣6+3m+1＝0， 解得：m＝1， 故这个数＝（2m﹣6）2=42＝16． 故答案为：16． 13．【答案】 解：根据题目得规律： 勾股数组的第一个数与个数满足规律：，第二个数与个数的规律为：，第三个数字为第二个数字加1. ∴ 第6个勾股数组的第一个数为：，第二个数字为：，第三个数字为：， ∴ 第6个勾股数组的第一个数为：. 故答案为：. 14．【答案】10 解：如图，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形BCDE的边DC的中点A到顶点B的距离， ∵∠C=90， AC=DC=x16=8(cm)， BC = 6cm， ∴cm， 故答案为：10， 15．【答案】 解：∵将△ABC沿射线BM折叠，使点A与BC边上的点D重合， ∴A、D两点关于射线BM对称， ∴C△CDE=CD+CE+AE， ∵CD为定值，要使△CDE周长最小，即AE+CE最小， ∵AB=3，AC=4，BC=5，且 ∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°， ∴∠BAC=∠BDE=∠CDE=90°， ∵AB=BD=3， ∴CD=BC-BD=2， 设CE=x，则AE=DE=4-x， 在Rt△CDE中，由勾股定理得：即 解得： 故答案为： 三、解答题 16．【答案】（1）解：原式= = =0； （2）解：原式= = ． 17．【答案】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是3，∴ 解得：， ∵c是的整数部分，， ∴； （2）解：∵，，，∴， 的平方根为． 18．【答案】解：原式= =2a-5 当时，原式= 19．【答案】（1）解：所以 在 Rt△ABC中，∠C=90°，则 得 所以 所以（负值舍去)，所以 （2）解：因为 所以 所以 b= 20．【答案】（1）证明：经测量∠ABC=90°，AB=14米，BC=48米，CD=40米，AD=30米. 连接AC， (米)， ∴△ACD是直角三角形； （2）解：S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC =600+336 答：空地的面积是 21．【答案】（1）解：如图1所示，过点C 作CD⊥AB 于点D BC=800m， ， ， ， ， ， ， 即， ∴CD=480 m. 答：飞机距离着火点 C 的最短距离为480 m. （2）解：如图2， 在线段AD 和线段BD上分别取一点E和点F，连接CE，CF，使得 在 中，由勾股定理得 ， 同理可得 DF=140m， ∴EF=DE+DF=280m. 280÷20=14(s)， 且 ∴着火点C不能被飞机扑灭. 22．【答案】（1）； （2）解：原式 =2025－1 =2024 （3）解：由题意可得： ∵ ∴a>b>c 23．【答案】（1）解： ∵ ∴ ∴； （2）解：设边AB上的高为h， ∴ ∴边上的高为 （3）解：在Rt△ABD中，由勾股定理， 得AD2=AB2-BD2=42-x2=16-x2. ∵ BD+CD=BC=6， ∴CD=BC-BD=6-x. 在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2=AC2-CD2=52-(6-x)2=-11+12x-x2， ∴16-x2=-11+12x-x2， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $