3.1 导数的概念及其运算 专项训练-2027届高三数学一轮复习

3.1 导数的概念及其运算 基础知识梳理 1.函数的平均变化率 函数从到的平均变化率可表示为,若则平均变化率可表示为. 2.导数的概念 （1）函数在处的导数,记作或  , 即   . （2）函数的导函数为. 3.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.相应地,切线方程为. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 且       且   且   5.导数的运算法则 （1） （2）  ; （3）   6.复合函数的定义及其导数 （1）一般地,对于两个函数和如果通过中间变量可以表示成的函数,那么称这个函数为函数与的复合函数,记作 （2）复合函数的导数与函数的导数间的关系为  ,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 7.导函数相关性质 （1）可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. （2） （3）函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向的大小反映了图象变化的快慢越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 8.切线相关性质 （1）曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点. （2）“在点处的切线”,说明点为切点,点既在曲线上,又在切线上;“过点处的切线”,说明点不一定是切点,点一定在切线上,但不一定在曲线上. 9.求曲线过点的切线方程的方法 （1）当点 是切点时，切线方程为 . （2）当点 不是切点时，可分以下几步完成： ①设出切点 的坐标； ②写出曲线 在点 处的切线方程 ； ③将点 的坐标 代入切线方程,求出 的值； ④将 的值代入切线方程，即可求出切线方程. 题型一 导数的定义及变化率 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，则， 故. 2．设函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 【答案】A 【分析】将极限问题转化为求函数在给定点的导数值，再代入求导公式计算得到结果. 【详解】根据导数的定义，， 又，根据基本求导公式：，常数的导数为0，可得， 所以，因此原式结果为1，选A。 【点睛】本题核心考查导数的定义与基本初等函数求导公式，利用导数定义可直接将该型极限转化为求导问题简化计算. 3．如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可. 【详解】因为函数在处的导数为1， 所以， 故选：C 4．已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 【答案】C 【分析】根据平均变化率和导数概念判断即可. 【详解】解：因为 所以表示在上的平均变化率. 故选：C. 5．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过求导，利用导数求瞬时变化率求解． 【详解】因为，所以， 故当时，， 即时，“高原版”复兴号动车的加速度为， 故选：B 6．若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数的概念将已知式配凑成定义式可得答案. 【详解】，所以， 故选：C. 7．已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】求，结合导函数的定义计算可得出答案. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B 8．已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 【答案】A 【分析】根据导数运算求解，结合导数定义即可得所求. 【详解】当时，，所以， 又，则，解得， 由定义可知，． 故选：A． 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由导数定义可知，即可得答案. 【详解】，， 则. 故选：C 10．函数在处的导数（    ） A．与，△x都有关 B．仅与有关而与△x无关 C．仅与△x有关而与无关 D．与，△x均无关 【答案】B 【分析】根据导数定义直接判断即可. 【详解】函数在处存在导数，则， 所以仅与有关而与△x无关， 故选：B 11．某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设质点纵坐标为，分析可得，进而结合导数的定义求解即可. 【详解】由题意，设质点纵坐标为，且, 而质点从点沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，即弧度， 则秒旋转弧度，即，则， 即，则， 所以该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为. 12．已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由题设 . 13．某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（    ） A．10米/秒 B．12米/秒 C．16米/秒 D．18米/秒 【答案】D 【分析】根据题意，求得，当时，求得，即可得到答案. 【详解】由质点的位移与时间的关系式为，可得， 当时，可得，即当时该质点的瞬时速度为米/秒. 14．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的定义和简单复合函数的求导法则即可求解. 【详解】已知函数，则， 根据导数的定义可知，，故D正确. 15．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据导数的定义和求导公式计算即可. 【详解】因为在上的平均变化率为， 所以，解得. 16．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题及导数计算公式可得答案. 【详解】由题可得位移是关于时间的函数，且满足， 则， 则该弹簧振子在时的瞬时速度是 . 17．已知，则______． 【答案】 【分析】将所求极限式拆分为两个符合导数定义的形式，代入已知的导数值计算即可得到结果． 【详解】 ． 18．已知，则______. 【答案】9 【详解】因为， 所以. 19．水以2dm3/分速率流入一个圆锥形容器.该容器的形状是一个正圆锥，底面水平，顶点向下，底面半径为2dm，圆锥的高为3dm.当水深为1dm时，水面上升的速率为___________dm/分. 【答案】． 【分析】由导数的实际意义，水面上升的速率为水深关于时间的导数即可求解. 【详解】记水流速度为，底面半径为，圆锥的高为，水深为，时间为． 记经过时间后，水的体积为， 有水部分的圆锥体积为，解得，当时，， 根据导数的实际意义知，水面上升的速率即为关于的导数，即， 所以当水深为时，水面上升的速率为， 所以水面上升的速率为． 故答案为：. 20．已知函数，则______． 【答案】 【分析】求出导函数，建立与的方程，求出，利用极限的运算及导数的定义求解即可. 【详解】当时，，所以， 又， 则，解得， 由定义可知，. 故答案为： 21．竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 【答案】 【分析】根据题意，得到影长与人在某时刻与楼底的水平距离的关系式即可求解. 【详解】设人在某时刻与楼底的水平距离为，影长为， 由相似三角形得，整理得， 因为人每秒远离楼底，所以影长每秒增加， 故影长的变化率为. 22．已知函数，若，则______. 【答案】3 【详解】因为，所以，则， 由导数定义知，所以. 23．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【详解】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 题型二 导数的运算 1．下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】选项A：，故A正确； 选项B：，故B错误； 选项C：，故C正确； 选项D：，故D正确. 2．已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本函数的求导公式以及复合函数的求导法则即可结合选项求解. 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项错误； 3．下列导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用导数的运算法则，以及复合函数的求导法则，逐项求解，即可得到答案. 【详解】对于A，由为常数，所以，所以A不正确； 对于B，由，所以B正确； 对于C，由复合函数的求导法则，可得，所以C错误； 对于D，由复合函数的求导法则，可得，所以D错误. 4．函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， . 5．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，，所以A错； 对于B，，所以B错； 对于C，，所以C错； 对于D，，所以D正确. 6．在处的导数为（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】由复合函数的求导法则求出导数，代入可得. 【详解】，， 把代入得，. 7．已知函数，则的值为（    ） A．29 B． C．5 D． 【答案】B 【详解】函数的导函数为， 故，所以， 所以， 所以. 8．函数 的导数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得. 9．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本初等函数的导数与导数的运算法则逐项计算即可. 【详解】因为是常数，所以，所以A错误； 因为，所以B错误； 因为，所以C正确； 因为，所以D错误. 10．已知，则________． 【答案】 【分析】对函数求导后令，求得， 从而得，再代入即可得答案. 【详解】由题可得， 令，则， 解得，所以， 则． 11．已知，是的导函数，即，，，，则__． 【答案】2025 【分析】设，， 求导找可得，，即可求解. 【详解】因为， 则， ， ， ， 设，是的导函数， 则，可得； 设，是的导函数， 则，，，， 可得，所以； 则， 所以. 12．已知函数的导函数，且，则________． 【答案】 【分析】根据函数的导函数，求出函数的表达式，代入求解即可. 【详解】由函数的导函数，得（其中为常数）， 又，从而，得， 从而，所以. 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）因为， 所以． （2） ． （3） ． （4）因为， 所以． （5）因为， 所以 ． 14．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复合函数的求导法则求导. （2）利用函数积的求导法则，结合复合函数的求导法则求导. （3）可以先利用三角恒等变换公式化简再求导，也可以直接用复合函数的求导法则求导. 【详解】（1）. （2） . （3）方法一： ， 所以． 方法二： ． 15．求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 【答案】(1)①；②；③ (2)①；② (3)①；②；③ 【分析】（1）（2）利用导数的运算法则求出导数. （3）利用复合函数导数运算法则求出导数. 【详解】（1）①； ②； ③. （2）①； ②. （3）①； ②； ③. 16．求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数求导公式与复合函数链式求导法则计算即可； （2）先用对数求导法求得幂指函数的导数，再结合复合函数求导法则计算即可； （3）利用乘积求导法则，结合对数函数的复合求导法则计算. 【详解】（1）由于， 所以， 定义域为. （2）由于， 所以，定义域为. （3）由于， 所有，定义域为. 17．求下列函数导数 (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以； （2）函数可以看作函数和的复合函数， 由复合函数的求导法则可得： 。 所以. 18．求下列函数的导数： (1) (2) (3) 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）本小问主要考查导数的减法运算法则和基本初等函数求导公式，对每一项分别求导，再相减即可； （2）本小问主要考查导数的商的运算法则与复合函数的导数，代入求导公式计算即可； （3）先将函数表达式进行化简，再根据导数加法运算法则及复合函数的导数，进行求导即可. 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：由， 所以. 19．求下列复合函数的导数： (1)（）； (2)． 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）因为， ， 所以 （）． （2）因为， 所以． 20．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4） . 21．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) . 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：根据导数的运算法则，可得； （2）解：根据导数的运算法则， 可得； （3）解：根据导数的运算法则，可得. 22．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2） . （3）. （4）. 23．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）函数可看作函数和的复合函数， ； （2）函数可看作函数和的复合函数， ； （3）函数可看作函数和的复合函数， ； （4）函数可看作函数和的复合函数， 函数可看作函数和的复合函数， . 题型三 “在”某点的切线方程 1．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则，又，所以，则切线方程为， 设，则，令，解得，所以. 2．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义写出切线方程，进而求得切线与坐标轴的交点，即可求得结果． 【详解】求导得， 故， 又，可得切线方程为， 当时，；当时，， 因此所求三角形的面积． 3．曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 所以曲线在处的切线方程为， 即． 4．已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对函数求导，求出的值，然后求切点坐标与切线的斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以，故切点为， 又切线的斜率为：， 所以曲线在处的切线方程为：即. 5．函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 【答案】B 【详解】，则， 所以函数在处的切线方程为，即. 6．曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数的解析式可得， 所求切线的斜率为．由于切点坐标为， 故切线方程为，即为． 7．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知曲线在点处的切线方程为，则， ，则， ，则， 故切线斜率为0，过点，切线方程为． 8．定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数为奇函数求得当时，，再利用导数求切线方程. 【详解】若，则，则， 因为是定义在上的奇函数，所以， 对其求导得，则，又因， 所以曲线在处的切线方程为，即. 9．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由导数的几何意义可得，可求出的值，可求出的值，即可得出切点的坐标，再利用导数的几何意义可得出所求切线的方程. 【详解】因为，则， 因为函数在点处的切线与直线平行， 由导数的几何意义可得，解得， 所以，则，即切点为， 故所求切线的方程为，即. 10．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 11．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对求导： ， 将切点横坐标代入，得切线斜率. 直线整理为，斜率为， 由于两直线平行，则斜率相等，因此. 12．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据导函数得出切线斜率，再点斜式得出切线方程. 【详解】因为，所以曲线在点处的切线方程斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即得； 13．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，则， 又，则点处的切线方程为， 所以切线为. 14．已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用偶函数的导数为奇函数求解即可 【详解】当时，， 因为为偶函数，所以，当时两边求导得， 所以，， 所以的图象在处的切线方程为，即 15．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】设切点，根据导数的几何意义可得表示出切线的斜率，进而求出，即可求解. 【详解】设切点坐标为， 因为，所以， 所以切线的斜率，解得， 又，即， 所以. 16．曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导得到，再利用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以， 则在点 处切线的斜率为， 故切线方程为，即. 17．曲线在点处的切线方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 则，即切线的斜率为，所以切线方程为． 18．函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数求导得， 在处斜率为， 点处的切线方程是：，即． 19．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得，则，且， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 20．函数的图象在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求解斜率，进而求出切线方程即可. 【详解】已知，易得， 又，所以， 所以函数的图象在处的切线方程为， 即. 21．已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，即， 解得或（负值舍去），则， 则，故. 22．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．17 C．12 D．8 【答案】B 【分析】首先根据导数的几何意义求出切线方程，然后利用切线与抛物线的位置关系即可求解. 【详解】 ，将 代入导数，得到切线斜率 ， 所以切线方程为： ，整理得切线方程：， 切线与抛物线 相切，说明联立方程后只有一个解，即一元二次方程判别式 ， 联立两个方程   得：， 令，解得. 23．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导数得出切线斜率，再应用点斜式得出切线方程. 【详解】因为函数，所以， 则在处的切线斜率是， 函数过， 在处的切线方程是，即得. 24．已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 25．已知函数，若函数在点处的切线过点，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，函数，定义域为， ，，则， 切线方程为， 因为切线过点，代入得，解得. 26．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【分析】求出函数的导函数，根据导数的几何意义列出相应方程组求，即可求得答案. 【详解】函数的导函数， 所以，， 所以曲线在点处的切线方程为，即， 由已知直线与直线重合， 故，解得， 所以. 27．已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出切点坐标，然后求出时的解析式，求导求出斜率，代入即可得到切线方程. 【详解】当时， 当，， 所以 求导得，斜率， 所以方程为，整理得. 28．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义及导数的四则运算求解即可. 【详解】由题意得，所以曲线在处的切线斜率为， 又切点坐标为，所以所求的切线方程为． 29．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（   ） A．－6 B．－3 C．3 D．6 【答案】A 【分析】先对进行求导，并求得，从而求得.根据导数的几何意义，可得到曲线在处的切线斜率. 【详解】，得. 所以，解得. 所以. 所以曲线在处的切线斜率为. 30．函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得，得到且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数，可得， 可得且，即切线的斜率为，切点坐标为， 所以在点处的切线方程为，即. 31．若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求得，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】因为函数为偶函数，可得，即， 所以，整理得恒成立，所以，即， 当时，可得，则，可得，且， 则切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 32．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为________. 【答案】 【分析】先通过换元法求得的解析式，再利用导数的几何意义求切线斜率，结合点斜式得到切线方程. 【详解】令，则，，代入已知等式得： ，因此，， 所以，即切点为， 又，得，即切线斜率， 由点斜式可得切线方程为，整理得. 33．曲线在处的切线方程为_____． 【答案】 【详解】将代入曲线方程，得，因此切点为， 求导，将代入导数得切线斜率， 所以切线方程，整理得. 34．函数过的切线方程为_______________． 【答案】或 【分析】分点是切点和点不是切点两种情况讨论，再分别求出这两种情况时的切线的斜率即可求出对应的切线方程． 【详解】由， 又，则点在函数的图象上， 又， 当是切点时，切线的斜率为， 此时函数的切线为，即； 当不是切点时，设切点为，， 则切线的斜率为， 整理得，解得，或（舍去）， 则切线的斜率， 此时函数的切线为，即． 综上，切线方程为或． 题型四 “过”某点的切线方程 1．如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求出切线方程，再将点代入，转化为和的图象有三个交点，利用导函数可求. 【详解】设切点为，因为，所以， 则切线方程为，即， 将代入得， 因为切线恰有三条，所以方程有三个根， 则和的图象有三个交点， 因为，所以当或时，单调递减； 当时，单调递增； 则，即， 则实数的取值范围为 2．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 【答案】D 【分析】分切点在处与不在处，利用导数的几何意义求解． 【详解】解：因为，所以，， 当为切点时，； 当不为切点时，设切点为，， 所以， 所以切线方程为， 又切线过点， 所以 ， 即，即， 解得或（舍去），所以切点为， 所以． 综上所述，直线l的斜率为3或． 3．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设曲线切点为，利用导数的几何意义与两点间斜率公式得到，解出后代入曲线方程即得切点坐标. 【详解】设切点坐标为，. 由，求导得，则切线的斜率. 因为切线过原点和切点，所以斜率. 又切点在曲线上，则，即得. 解得，即. 将其代入曲线方程得，所以切点坐标为. 4．过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 【答案】C 【分析】先求出切线方程，再将代入切线方程，通过解方程求出满足条件的切点，最后将满足的切点值代入求出切线的斜率（注意在代入过程中因导数中包括正弦函数项，所以需要对切点值分类讨论），即可求出切线，确定切线条数. 【详解】由题意， 设切点为， 所以切线方程为， 再将代入切线方程， 所以 ， 当时，满足条件， 当时，， 解得， 最后将切点代入，求出切线斜率 当时，，所以切线为， 当，因为导数中包括正弦函数项，所以需要分类讨论， 当，，此时切线为， 当，，此时切线为， 所以切线条数为条. 5．过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过设切点，求导得斜率，再利用切线过原点表示斜率，列方程得切点坐标，即得斜率. 【详解】设切点坐标为，切线的斜率为， 显然不合题意， 时，， ，解得, 故. 6．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】设，根据导数求得切线方程，进而可得是方程两个相异的实数根，根据韦达定理及斜率公式求得直线斜率，代入点斜式可得直线方程，进而计算可解. 【详解】由题意得，求导得， 设，则直线的斜率为， 所以切线的方程为，即， 代入化简可得，， 同理，切线满足， 所以是方程两个相异的实数根， 所以. 直线的斜率为， 所以直线的方程为，则， 由可得，即直线的方程为， 所以直线在轴上的截距为. 7．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，进而求出三角形面积. 【详解】函数，求导得，设切点为，则， 依题意，，解得，因此切点，切线斜率， 切线方程为，由得两直线交点，如图：    而切线与轴交于点，则， 所以所求三角形面积为. 故选：A 8．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，则，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标. 【详解】设切点坐标为，则， 对函数求导得，切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得，故切点坐标为. 故选：A. 9．过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，求出切线方程，代入点，得，将问题转化成函数与函数有两个不同的交点，求导判断函数的单调区间，作出其图象，结合题意即可求得参数的取值范围. 【详解】设切点为，由求导得，则切线的斜率为，故切线方程为， 因切线经过点，则得，化简得，显然，则得， 又因过作函数的切线恰好能作两条，即函数与函数有两个不同的交点. 的定义域为，函数求导得， 则当时，，当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减，且， 当时，，当时，，当时，，当时，. 作出函数的图象如下： 由图知，过作函数的切线恰好能作两条等价于或，解得或. 故选：D. 10．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】B 【分析】讨论当点为切点时与当点不是切点时，利用导数的几何意义即可求解． 【详解】由函数，则， 当点为切点时，则，即切线的斜率， 所以切线的方程为， 当点不是切点时，设切点，则， 即，即， 解得或（舍去），所以 所以切线的方程为，即． 综上，函数过点的切线条数为2条. 故选：B 11．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】切点的坐标为，求出切线方程，将点代入切线方程可将问题转化为方程有三个不同的实数根，令，可将问题转化为有三个零点，结合导数研究其单调性，极值即可求解. 【详解】设切点的坐标为，，所以切线方程为， 因为切线过点，所以，整理得， 令，,由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减， 所以，，解得，故的取值范围为. 故选：A 12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 13．若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点为，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切线过坐标原点，可得到，有两条切线转化为有两个不等的实根，即可求出a的取值范围，进而得到正确选项. 【详解】设切点为，， 所以切线的斜率， 则此曲线在P处的切线方程为 ， 又此切线过坐标原点，所以， 由此推出有两个不等的实根，所以，解得或， 故选：A． 14．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的导数，得到切线斜率的表达式，进而建立关于切点横坐标的方程，再通过研究该方程对应的函数的零点情况来确定参数的取值范围. 【详解】设，则，设切点为，则切线斜率， 即，整理得， 设，由题意可知有3个零点，，显然， 由，得或， 因为三次方程有三个根的条件是导数对应的极值点处函数值异号， 所以，所以，或. 故选：A. 15．过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设切点坐标，由斜率构造等式求解即可. 【详解】由题意设切点坐标， ， 切线斜率：，， 化简可得：， 解得：或， 所以满足条件的切点有两个，对应切线有2条， 故选：C 16．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标并对函数求导，求得在切点处的切线方程并代入点坐标解方程即可. 【详解】易知函数的定义域为， 设切点坐标为，则可得， 此时切线斜率为，因此切线方程为， 代入点可得，即， 解得，即切点坐标为. 故选：C 17．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案. 【详解】设切点为， 由已知可得. 根据导数的几何意义可知， 切线的斜率为. 代入切线方程为， 整理可得. 又切线经过原点， 所以有， 整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解， 即有，解得或. 故选：B. 18．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式变形后设切点为，利用导数的意义得到切线方程，再对解的情况进行讨论可得. 【详解】， ， 设切点为，切线方程为， 将原点代入切线方程可得， 所以， 化简可得，解得或， 当时，，，切线方程为； 当时，解得，当为偶数时，对应的切线方程为；当为奇数时，对应的切线方程为； 所以共有3条不同的切线. 故选：C 19．过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 【答案】D 【分析】先写出过点的切线方程，将问题转化为直线与新函数的图象有2个交点，利用导数分析新函数的单调性和极值，进一步得到其大致图象，由此可以解出的取值范围. 【详解】因为，所以， 设切点为，则切线斜率 ， 整理得，设， 问题转化为直线与的图象有2个交点，因为， 令，解得或，当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， ，，且时，时，， 所以或， 故选：D. 20．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】切点为P，通过导数的几何意义求得过点的切线方程，代入点得，令，由题意得有两个不同的解，结合函数的图像可求得t的范围. 【详解】若过点可以作曲线的两条切线，则， 设切点为P，则切线方程， 由切线过过，得，即， 令，则有两个不同的解， 对称轴为，， 由的图像得t的范围. 故答案为：D. 21．已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得导函数，设切点写出切线方程，则切线方程过点，得到带参数的关于的一元二次方程，因为存在两条切线，即方程有两个不等的实根，即，注意实根不能为，由此求得 的取值范围. 【详解】由题意可得，设切点为， 则切点处的斜率为，则切线方程为， 因为切线过点，代入切线方程，可得， 整理得，因为 存在两条过点的切线， 所以方程有两个不等的实根， 若，则，原方程有两个相等的实根，不符合题意； 故，解得或. 故选：A. 22．过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】先求出导函数，再设切点，根据导函数得出切线斜率再应用两点求斜率计算求参进而得出切线即可. 【详解】设切点，因为曲线，所以， 所以，所以， 所以或， 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 当时，所以，所以切线方程为，即； 所以切线有3条. 故选：C. 23．曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 【答案】， 【分析】分、讨论，设切点，求导得到切线斜率，利用切线过原点条件解出切点横坐标，求出第一条切线；利用图像关于轴对称直接写出对应的另一条切线． 【详解】当时，， 设切点坐标为， 因为，所以切线的斜率， 所以切线方程为， 又因为切线过原点，所以，解得， 所以切线方程为，即； 当时，，与的图像关于轴对称， 所以切线方程也关于轴对称，所以切线方程为； 曲线过坐标原点的两条切线的方程为，． 24．已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求解即可. 【详解】若，则，所以， 设过点的切线与函数的切点为， 则， 所以切线方程为， 代入点得， 即， 解得， 故切线方程为 25．若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 【答案】 【分析】设曲线上任意一点为，将问题转化为方程有解，据此可得答案. 【详解】设曲线上任意一点为，则. 因，则曲线在的切线方程为： . 因存在切线过原点，将代入切线方程，得方程有解. 因，则方程有解或. 26．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 【答案】 【分析】分和，设切点，得出。结合点斜式求出的切线方程. 【详解】当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为， 当时，， 设切点为，所以切线斜率为，所以， 所以切点为，即得切线方程为，所以切线方程为； 27．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 【答案】 【详解】已知，则， 设切点坐标为，则切线斜率为， 此时切线方程为， 因为曲线的一条切线经过点， 所以，即， 因为恒成立，所以，此时切线斜率，切点坐标为， 则该切线方程为，即. 28．过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 【答案】 【分析】设切点坐标，根据导数值等于两点连线斜率求出切点坐标，得到切线方程. 【详解】设切点坐标为，因为， 所以，解得， 所以切线斜率， 所以切线方程为，即. 29．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 30．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 【答案】 【详解】 设切点为,切线斜率 切线方程： 过： 化简可得 即 切线有条方程有个不等实根,即 即或即或 故 题型五 两曲线的公切线问题 1．若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【分析】根据导数的几何意义，求曲线上任意一点的切线方程，再结合公切线列方程求参数值，从而得到公切线为，同理求曲线的切线方程，结合公切线求参数即可. 【详解】设， 设切点为，则切线斜率为， 所以切线方程为，即， 由题意，即，解得， 所以两曲线的公切线为， 设，切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意，即，解得. 2．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 3．函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义列出方程组求解. 【详解】令公切线与的图象切于点， 与的图象切于点， 因，，则，解得， 因此公切线斜率为1，与的图象切于点， 则切线方程为，即. 4．已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．e 【答案】B 【分析】设在处的切线和在处的切线均为，利用导数的几何意义可得，构造函数，利用导数研究单调性，计算可判断，，根据，结合其单调性可得，进而计算可求. 【详解】设在处的切线为， 由，得，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得； 设在处的切线为， 由，得，所以， 所以在处的切线方程为， 整理得， 由题意得， 令，求导得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 由，所以，， 由，可得， 所以，又，所以，解得， 所以. 5．若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数导数的几何意义求出两函数的切线方程，然后根据题意建立方程求解即可. 【详解】由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为：即，① 由，所以切点为， 因为，所以函数的图象在点处的切线斜率为：， 所以函数的图象在点处的切线方程为： 即，② 由题意知①②的方程相同，所以有：，所以. 6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数的几何意义求出曲线在处切线方程，再设出切点坐标，利用导数几何意义用表示并建立函数关系，利用导数求出最大值. 【详解】函数，求导得，则，而， 曲线在处的切线方程为，即， 设曲线在处的切线与曲线相切的切点为， 而，则且，于是， 解得，，即． 因此，令函数， 求导得，由，得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以的最大值为. 7．函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【答案】C 【分析】利用导数来求切线方程，再通过公切线得到方程组求解即可. 【详解】由题意可得，设切点坐标分别为， 则函数在点处切线方程为：，即， 函数在点处切线方程为：，即. 根据两切线是公切线可得：， 由可得 所以，整理得， 解得或，所以公切线斜率为或. 8．曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求出两条曲线的导数，再设出切点，写出切线方程，最后根据公切线的条件求解. 【详解】的定义域为，则. 的定义域为，则. 设与相切的切点为，切线方程为，即. 设与相切的切点为，切线方程为， 即. 由题意知，，由，得， 代入另一个方程解得，则. 代入中，得，即. 9．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求在处的切线方程为；利用导数相等求出的切点横坐标；代入切线方程解得. 【详解】对求导得，当时，，， 曲线在处的切线方程为. 设切线与相切于点，对求导得， 由切线斜率为得，解得， 将切点代入切线方程得，解得. 10．已知函数与的图象在 处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依题意，两函数在处的切线斜率相等，即导数相等，结合均过公共点求解 【详解】由题意知，，且 ， 因为 ， ， 所以 ， ，解得， 当时，代入，得， 又 ，所以 ， 所以. 11．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设公切线与的切点为， 因为，所以， 因为，所以， 则，得. 12．已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直线与曲线和的切点分别为、，根据导数的几何意义及切点在切线上列方程求参数值. 【详解】令直线与曲线的切点为， 由，则， 而，故，所以， 令直线与曲线的切点为， 由，则，故， 而，故，所以. 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【详解】设直线与曲线、曲线分别相切于点，， 设，则，，， 则，所以，即. 因为， 所以. 14．已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义结合题意列方程求解即可. 【详解】，. 由题意知，即，解得. 所以. 15．若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】C 【分析】对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解. 【详解】由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即． 设直线与的图象相切于点， 又，则，解得， 所以，即，则． 故选：C． 16．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】设，设切点为，由导数求出切线的斜率，进而使用点斜式求出切线的方程，与比较系数，即可求得切线方程为，设，设切点为，同理可求出切线的方程，再与比较系数，即可求得的值. 【详解】设，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 即与的公切线为， ，，设切点为，则切线斜率为， 则切线方程为，即， 由题意得，即，解得， 故选：A. 17．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设曲线上的切点为，曲线上的切点为，利用导数的几何意义表示出切线方程，从而得到方程组，求出、，即可得到切线方程，从而求出的值. 【详解】设曲线上的切点为， 曲线上的切点为， 由可得，则 ，所以切线方程为， 由可得，则， 所以，即，解得， 切线方程为，即，所以. 故选：C 18．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】设出切点，即可根据点斜式求解直线方程，根据公切线列方程得，令，构造，由导数求解方程根的个数即可求解. 【详解】设的切点为，的切点为， ，， 所以在处的切线方程为，即， 在处的切线方程为，即 故且， 故，即， 令，构造， 则， 当在区间单调递增， 在区间单调递减， 故，且当，， 故有两个不相等的实数根， 故公切线的条数为2， 故选：C 19．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 【答案】A 【分析】分别表示出，再根据在处的导数值和函数值分别相等可求结果. 【详解】因为， 所以， 因为在公共点处有相同的切线，则有， 即，所以. 故选：A. 20．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 【答案】B 【分析】设出两个切点的横坐标，根据公切线可得关于切点横坐标的方程组，求出其解后可得直线的斜率. 【详解】设，则. 设直线与曲线相切时切点的横坐标为， 与曲线相切时切点的横坐标为， 则,故，解得， 故直线的斜率， 故选：B. 21．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义，先求得切线方程，再根据导数的几何意义，求得该切线与的切点坐标，代入方程，即可求得m值. 【详解】对求导可得， 所以在点处的切线斜率， 所以切线方程为，整理得， 设与曲线相切于点， 对求导可得， 所以在点处切线的斜率，解得， 代入切线，可得，即切点， 将切点代入，解得. 故选：D 22．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于______. 【答案】3 【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案. 【详解】设是图象上的一点，， 所以在点处的切线方程为， 即，令， 解得，， 所以，， 所以或，当时，，不符合题意，舍去， 所以，此时， 所以. 23．已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 【答案】 【分析】设出公共切点坐标，利用在该点处两函数值相等且导数值相等列出方程组，通过代入消元并构造辅助函数利用其单调性求出唯一的切点横坐标，最终代回解出参数的值. 【详解】设公共切点的坐标为，其中， 求导得， 由在公共点处切线相同，得 由第二式得， 代入第一式得， 化简得，设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 且，所以方程有唯一实根， 将代入的表达式中，得. 24．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 【答案】/ 【分析】分别设出直线与曲线和曲线的切点，然后求导，利用导数的几何意义，由斜率相等可得答案. 【详解】设直线与曲线切于点， 与曲线切于点， 则有， 从而得到，，，． 所以切线方程，所以． 25．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 【答案】 【分析】先求出曲线在处的切线方程，再利用该切线与第二条曲线相切的条件，结合导数的几何意义联立方程求解参数. 【详解】函数的定义域为，求导得 ， 当时，导数值 ，即切线斜率为； 由点斜式得切线方程为，整理为， 设直线与相切于点， 对，求导得， 由导数的几何意义，切点处导数值等于切线斜率，即 ，解得， 因此切点坐标为 ，又切点在切线上， 代入得： ，解得. 26．已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 【答案】或 【分析】分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义得到切线斜率，结合同一条切线的斜率、截距对应相等列方程，联立求解即可得到切线方程. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，直线的斜率为. ∵ 函数在切点处的导数值等于切线的斜率，，， ∴ ①. 由点斜式得直线过切点的方程为，整理得. 直线过切点的方程为，整理得. 即 ②. 由①得，且， 代入②得， 即，整理得， 解得或. 当时，，直线的方程为，即. 当时，，直线的方程为，即. 经检验，两条直线均与两条曲线相切，均符合要求. 【点睛】方法归纳：求解两条曲线的公切线问题时，通常采用“双切点设元法”，分别设出直线与两条曲线的切点，利用导数的几何意义表示切线斜率，再结合同一直线的斜率、截距对应相等建立方程，求解后验证即可得到所有公切线. 27．已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 【答案】 【分析】先利用公切线斜率求出的切点，代入得的值，再设上的切点，结合导数的几何意义和切点在函数图象上联立方程，利用函数单调性求，进而得，最后代入计算结果. 【详解】设直线与的切点为， 对求导得，由切线斜率为，得，解得， 故切点为，代入得，解得， 设直线与的切点为， 对求导得， 由切线斜率为，得 ， 又切点在图象上，故 ， 则， 设，则，故在上单调递增， 又，故，则，解得， 因此. 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.1 导数的概念及其运算 基础知识梳理 1.函数的平均变化率 函数从到的平均变化率可表示为,若则平均变化率可表示为. 2.导数的概念 （1）函数在处的导数,记作或  , 即   . （2）函数的导函数为. 3.导数的几何意义 函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率.相应地,切线方程为. 4.基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 （为常数） 且       且   且   5.导数的运算法则 （1） （2）  ; （3）   6.复合函数的定义及其导数 （1）一般地,对于两个函数和如果通过中间变量可以表示成的函数,那么称这个函数为函数与的复合函数,记作 （2）复合函数的导数与函数的导数间的关系为  ,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积. 7.导函数相关性质 （1）可导奇函数的导数是偶函数,可导偶函数的导数是奇函数,可导周期函数的导数还是周期函数. （2） （3）函数的导数反映了函数的瞬时变化趋势,其正负号反映了变化的方向的大小反映了图象变化的快慢越大,曲线在这点处的切线越“陡”. 8.切线相关性质 （1）曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个,而直线与二次曲线相切只有一个公共点. （2）“在点处的切线”,说明点为切点,点既在曲线上,又在切线上;“过点处的切线”,说明点不一定是切点,点一定在切线上,但不一定在曲线上. 9.求曲线过点的切线方程的方法 （1）当点 是切点时，切线方程为 . （2）当点 不是切点时，可分以下几步完成： ①设出切点 的坐标； ②写出曲线 在点 处的切线方程 ； ③将点 的坐标 代入切线方程,求出 的值； ④将 的值代入切线方程，即可求出切线方程. 题型一 导数的定义及变化率 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．设函数，则（    ） A．1 B．2 C． D．0 3．如果函数在处的导数为1，则（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知函数则式子表示（    ） A．在处的导数 B．在处的导数 C．在上的平均变化率 D．在上的平均变化率 5．据报道，从2024年7月16日起，“高原版”复兴号动车组将上线新成昆铁路和达成铁路，“高原版”复兴号动车组涂装用的是高耐性油漆，可适应高海拔低温环境．“高原版”复兴号动车组列车全长236.7米，由9辆编组构成，设有6个商务座、28个一等座、642个二等座，最高运行时速达160千米，全列定额载客676人．假设“高原版”复兴号动车开出站一段时间内，速度与行驶时间的关系为，则当时，“高原版”复兴号动车的加速度为（   ） A． B． C． D． 6．若函数的导函数存在，且，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A．2 B． C． D． 8．已知函数，则（    ） A．4 B．2 C．-2 D．-4 9．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 10．函数在处的导数（    ） A．与，△x都有关 B．仅与有关而与△x无关 C．仅与△x有关而与无关 D．与，△x均无关 11．某质点从单位圆上的点开始沿圆周逆时针匀速旋转，每2秒转一圈，则该质点的纵坐标在1秒时的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 12．已知函数在处的导数值为1，（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 13．某质点的位移（单位：米）与时间（单位：秒）的关系式为，则当时该质点的瞬时速度为（    ） A．10米/秒 B．12米/秒 C．16米/秒 D．18米/秒 14．已知函数，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数在上的平均变化率与它在处的瞬时变化率相等，则（   ） A． B． C． D． 16．某个弹簧振子在振动过程中的位移（单位：mm）与时间（单位：s）之间的关系式为，则该弹簧振子在时的瞬时速度是（    ） A． B． C． D． 17．已知，则______． 18．已知，则______. 19．水以2dm3/分速率流入一个圆锥形容器.该容器的形状是一个正圆锥，底面水平，顶点向下，底面半径为2dm，圆锥的高为3dm.当水深为1dm时，水面上升的速率为___________dm/分. 20．已知函数，则______． 21．竖直高为的楼上有一盏聚光灯，且该聚光灯为唯一光源，高为的人在零时刻从楼底以的速度水平直线远离楼底，则该人影子长度的变化率为______． 22．已知函数，若，则______. 23．部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 题型二 导数的运算 1．下列计算错误的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知下列四个命题，其中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列导数运算中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．函数的导函数为（    ） A． B． C． D． 5．下列求导运算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．在处的导数为（   ） A． B． C． D．2 7．已知函数，则的值为（    ） A．29 B． C．5 D． 8．函数 的导数为（   ） A． B． C． D． 9．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．已知，则________． 11．已知，是的导函数，即，，，，则__． 12．已知函数的导函数，且，则________． 13．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 14．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3)． 15．求下列函数的导数． (1)①；②；③． (2)①；②． (3)①；②；③． 16．求下列函数的导数： (1) (2) (3) 17．求下列函数导数 (1)； (2)； 18．求下列函数的导数： (1) (2) (3) 19．求下列复合函数的导数： (1)（）； (2)． 20．求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 21．求下列函数的导数： (1)； (2)； (3) . 22．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 23．求下列函数的导数. (1)； (2)； (3)； (4). 题型三 “在”某点的切线方程 1．已知曲线在处的切线也是曲线的切线，则（   ） A． B． C． D． 2．设函数，则曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（    ） A． B． C． D． 3．曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 4．已知函数，则曲线在处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 5．函数在处的切线方程为（    ） A． B． C．. D．. 6．曲线在点处的切线方程是（ ） A． B． C． D． 7．已知曲线在点处的切线方程为，设函数，则曲线在点处的切线方程是（     ） A． B． C． D． 8．定义在上的奇函数满足当时，，在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 9．若函数在点处的切线与直线平行，则该切线方程为（    ） A． B． C． D． 10．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（    ） A．2 B． C． D． 11．若曲线在点处的切线与直线平行，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 12．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 13．曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 14．已知偶函数满足当时，，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 15．已知直线与曲线相切，则的值为（    ） A．1 B．0 C． D． 16．曲线 在点 处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 17．曲线在点处的切线方程为（    ）． A． B． C． D． 18．函数在点处的切线方程是（    ）． A． B． C． D． 19．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 20．函数的图象在处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 21．已知直线是曲线的一条切线，则（   ） A． B． C． D． 22．已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则（   ） A．18 B．17 C．12 D．8 23．函数在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 24．已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，若函数在点处的切线过点，则（    ） A．－1 B．1 C． D． 26．已知函数，曲线在点处的切线方程为，则（    ） A． B．2 C． D．1 27．已知函数则曲线在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 28．曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 29．已知函数，则曲线在处的切线斜率为（   ） A．－6 B．－3 C．3 D．6 30．函数在点处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 31．若函数（其中）为偶函数，则曲线在处的切线方程为__________． 32．已知函数，则函数的图象在点处的切线方程为________. 33．曲线在处的切线方程为_____． 34．函数过的切线方程为_______________． 题型四 “过”某点的切线方程 1．如果过点作曲线的切线恰有三条，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．过点的直线与曲线相切，则直线的斜率为（    ） A．1 B．-1 C．3或1 D．3或 3．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 4．过坐标原点可作曲线的切线条数为（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条 5．过原点作曲线的一条切线，则此条切线的斜率为（    ） A． B． C． D． 6．过点作抛物线的两条切线，切点分别为，则直线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D．2 7．已知函数，过点作曲线的切线，则此切线与轴和直线所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D．1 8．过原点的直线与曲线相切，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 9．过作函数的切线恰好能作两条，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．函数过点的切线条数为（   ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 11．若过点可作曲线的三条切线，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 12．若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 13．若曲线（其中e为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围是（    ） A．或 B． C． D． 14．过点作曲线的切线，若切线有3条，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 15．过点作曲线的切线，不同的切线条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 16．过点作曲线的切线，则切点坐标为（    ） A． B． C． D． 17．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．函数过原点的切线条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．过点可作两条直线与的图象相切，则b的值不可能是（   ） A． B．0 C．e D．2e 20．若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 21．已知 ，若 存在两条过的切线，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 22．过原点且与曲线相切的直线有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 23．曲线过坐标原点的两条切线的方程为________． 24．已知函数，若，函数过点的切线方程为_______________． 25．若曲线存在过原点的切线，则实数的取值范围为________ 26．曲线过点的两条切线的方程为________，________. 27．曲线的一条切线经过点，则该切线方程为______． 28．过点作函数图像的切线，则切线方程为__________. 29．若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 30．过点的曲线的切线有2条，则的取值范围为________． 题型五 两曲线的公切线问题 1．若直线是曲线与曲线的公切线，（     ） A． B．1 C．e D． 2．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于（     ） A． B．3 C． D．2 3．函数，的图象的公切线方程为（    ） A． B． C． D． D． 4．已知函数，，若直线与曲线和都相切，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．e 5．若函数的图象在点处的切线与函数的图象在点处的切线相同，则（    ） A． B． C． D． 6．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．函数与函数公切线的斜率为（    ） A． B． C．1或 D．1或 8．曲线与曲线的公切线方程是（    ） A． B． C． D． 9．已知曲线在处的切线与曲线相切，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 10．已知函数与的图象在 处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 11．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．0 B． C．1 D．2 12．已知直线与曲线和都相切，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 13．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（   ） A． B．3 C． D．4 14．已知函数与的图象在处的切线重合，则（   ） A． B． C． D． 15．若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（   ） A． B． C．0 D．1 16．若直线是曲线与曲线的公切线，则（   ） A．0 B．1 C． D． 17．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B． C． D． 18．曲线与的公切线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 19．已知函数，若这两个函数的图象在公共点处有相同的切线，则的值为（   ） A． B． C．e D． 20．若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则（    ） A． B．2 C． D．2 21．已知曲线在点处的切线也是曲线的切线，则（    ） A．1 B． C．3 D． 22．已知直线（，）是曲线与曲线的公切线，则等于______. 23．已知函数，（），若曲线与曲线在公共点处的切线相同，则的值为________. 24．若直线 是曲线的切线，也是曲线 的切线，则_____ 25．若曲线在处的切线也是曲线的切线，则__________． 26．已知直线与曲线和均相切，则直线的方程是________． 27．已知直线是函数和函数图象的公切线，则__________． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $