普通高等学校招生全国统一考试·数学精华仿真12套(十二)-【金卷1号】2027年高考数学模拟精华仿真12套

普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（十二） (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合A={x|√x<1},B={x|log2x<-2},则A∩B () A(o,) B[o,) C.(-∞，) n(竖，) 2已知复数器+aiu∈K)是实数，则a () A.√2 B.-√2 C.-2 D.2 3.已知随机变量X~B(4,p,其中0<1，若P(X<3)8,则P(X=3)=（) A. &音 c D 4.某农业研究所对玉米幼穗的叶龄指数R与可见叶片数x进行分析研究，其关系可以用函 数R=15er(a为常数)表示.若玉米幼穗在伸长期可见叶片为7片，叶龄指数为30，则当 玉米幼穗在四分体形成期叶龄指数为82.5时，可见叶片数约为（参考数据：l2≈0.7， ln5.5≈1.7) () A.15 B.16 C.17 D.18 5.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点F的距离为5，过该抛物线 的顶点O作直线MF的垂线，垂足为点P,则点P的坐标为 () A,) B(g4） c尝 n层》 6.已知函数f(x)=-sin w十acOswx(w>0)图象的对称轴方程为x=kπ+牙(k∈Z),则 (受) ) A.1 B.-1 C. D.② 2 7.已知圆台OO2存在内切球O(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球)，若圆台OO2的 上、下底面面积之和与它的侧面积之比为5：8，设圆台OO2与球O的体积分别为V1, 2 V2,则 () A号 c品 D. 8.已知函数f()=若函数g(x)-[fx)+af)一e-ae恰有5个不同的零点，则 实数a的取值范围是 () A.(-∞，-2e) B.(-∞，-e) c(∞，) D.(-,- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知x>0,y>0,且x+y=1,则 () A2>2 B.log2x+log2y≤-2 C.x+y≥√2 D.2+y≥号 10.已知函数f(x)=x2+ax十b,g(x)=(x一a)(x+b),其中a,b分别是将一枚质地均匀的 骰子抛掷两次得到的点数.设“函数f(x)的值域为[1，十∞)”为事件A,“函数g(x)为偶 函数”为事件B,则下列结论正确的是 () A.P(AB)=18 1 B.P(A+) CP(BA)=司 DPsA=动 11.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2b=a十c,则 () 1 1 2 A.2sin2B≥sinA+sin2C B.sinA+sinC产sinB C.1。+1。=2 A C B A C B D.tan2+tan2≥2tan2 tan 2 tan 2 tan 2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知函数f(x)= 2 13.在三棱锥P-ABC中，AC=3,BC=1,PA=PB=PC=AB=2,M为AC的中点，则异 面直线BM与PA所成角的余弦值是 14.欧拉函数p(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过n且与n互质的正整数的个数（公约 数只有1的两个整数称为互质整数)，例如：p3)29(4)=2.记a,二（数列2，》 的前n项和为Sn,若Sn十n一1≤λan恒成立，则实数入的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)某高中举办了知识竞赛活动，最终甲、乙两队进入决赛，决赛的比赛规则如下：每 次回答问题前，从一个放有编号分别为1,2,3,4的4个小球的口袋中有放回地随机取 出一个小球，若编号为奇数，则由甲队回答问题，若编号为偶数，则由乙队回答问题，若 回答问题的队伍答对，则该队得1分，对手得0分，若回答问题的队伍答错，则该队得0 分，对手得1分，直到其中一个队伍得分超过对手3分，则比赛结束，分数高的队伍获得 冠军.已知甲、乙两队正确回答每道题的概率分别为}，号，且每队回答每个问题的结果 互不影响. (1)已知第一个问题甲队得1分，且回答完第7个问题后比赛结束，求乙队获得冠军的 概率； (2)设事件M表示“回答完第5个问题后比赛结束”，在M发生的条件下，用X表示甲 队的得分，求P()及X的分布列与数学期望. -46 16.(15分)如图，已知在多面体ABCDEF中，AD∥BC,AB⊥BC,AE⊥平面ABCD,CF⊥ 平面ABCD. (1)求证：平面BCF∥平面ADE; (2)若BC=AE=2,AB=AD=CF=1,求二面角EBD-F的余弦值. 17.(15分)已知函数f(x)=e21nx+1+m(m∈R). (1)若m=2e2,求f(x)的单调区间； (2)若m=0,f(x)的最小值为f(x),求证：4<f》<6. 18.17分)已知0为坐标原点，P,Q是双曲线E:哥-茶-1(a>0,b>0)上的两个动点 (1)若点P,Q在双曲线E的右支上且直线PQ的斜率为2，点T在双曲线E的左支上 且OT=AOQ(∈R),∠QPT=牙，求双曲线E的渐近线方程； (2)若b一a,ab,a十b成等比数列，OP⊥OQ,证明直线PQ与定圆相切. 47- 19.(17分)已知数列{an}的前k项中最大的项记为b.(k∈N*),则{bn}叫做由{an}生成的 “Max数列”. (1)若an=(-1)n·n,求bs十b20; -48 (2)若an=(一2)n+1·n,求{bn}的前n项和Sn（n≥3)； (3)若数列{an},{bn}都只有5项，a∈{1,2,3,4,5}(k=1,2,3,4,5)且{an}各项均不相 同，求数列{bn}的个数.14号设H=max6-a,c-b,1-c,则H26-a,H 综上所述，a≤2√2时，f(x)在(0，十∞)上单调递增； c-b,H≥1-c. >2时，f(x)在(0，aa8)上单调递增，在 (1)若b≥2a,则b-a≥a,所以H≥b-a≥a,4H≥b a+c-6计1-c+a=1,7,当6=2,6-a=c-6= (-√=8，a+a-8)上单调递减， 4 1一c时，等号成立. 在（十8，十∞）上单调递增. 4 (2)若a+b≤1，则-a≥b-1,H≥b-a≥2b-1,2H≥ 17.解：(1)连接DA,EA,由题意知DA1=1,AA1=2, 2c-2b,2H>2-2c,5H≥2b-1+2c-2b+2-2c=1, ∠DA1A=60°， H>号，当a+b=1,b-a=c-b=1-c时，等号成立， 所以DA=√/12+22-2X1X2Xcos60°=√3. 此时a=号，6=号=上nax-e,-b1 满足DA2+DA=AA,所以DA⊥DA1,即DA⊥AB. 由平面ABB1A1⊥平面ABC,且交线为AB,DA⊥AB, 小的最小位为分此时a=号6=号c=专 4 得DA⊥平面ABC 由BCC平面ABC,得DA⊥BC,又DE⊥BC,且DA∩ 15.解：(1)因为(2b-c)cosA=acos C, DE=D,所以BC⊥平面DAE. 所以由正弦定理，得(2sinB-sinC)cosA=sin Acos C, 由AEC平面DAE,得BC⊥AE. Ep2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 设BE=t(t>0),则CE=3t,有BA-=AC-(3t)2, 即2 sin Bcos A=sinB. 得t=1.所以BC=4,满足BA2十AC=BC2,所以 因为在△ABC中，sinB≠0， AC⊥AB,又DA⊥AC,AB∩DA=A,所以AC⊥平 所以easA=7 面ABB1A1. 由BB1C平面ABB1A1,得AC⊥BB1, 又0<A<,所以A=子 (2)以A为坐标原点，AB,AC,AD的方向分别为x,y,之 (2)因为△ABC的面积为√3， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. 所以2aX1=,得a=2y5. 由号csnA=5,得号cX号-5，所以c=4. 由余弦定理a2=b+c2-2 bccos A, 得12=+c2-bc,化简得(b+c)2=3bc+12, 所以(b+c)2=24,得b+c=2√6， 则A00.0.D0,0n,E(2号，o)A(-1,0n 所以△ABC的周长为a+b+c=2√6+2√3. 则BB=AA=(-1,0W3),DA=(-1,0,0), 16,解：1a=-1时，f)=nx+x+,f()=+ 1+2x.f(1)=4,f(1)=2. m-(号-) 所求切线方程为y=4(x-1)十2，整理得y=4x-2. 设平面DEA1的法向量为n=(x,y,z), (2fr)=-a+2x-22-a+1 n·DA=0, -x=0, x 由 即 因为x>0,故a≤0时，f(x)>0,f(x)在(0，十∞)上单 …=6，停+-0 调递增。 取z=1,得到平面DEA1的一个法向量n=(0,2,1) 当a>0时，对于2x2-ax十1=0，△=a2-8. 设直线BB1与平面DEA1所成角的大小为O, 若0<a≤2√2，则△≤0，此时f(x)≥0，f(x)在(0， |n·BB 则sin0=|cos(n,BB)= √3 十∞)上单调递增. Inl·IBB1V5X√A 若a>22,由2x-ax+1=0,得x=±-8>0. 15 4 10· 0<x<a二a8时，∫()>0，f()单调递增，x> 4 所以直线BB,与平面DEA所成角的正弦值为压. 101 十8时，0>0，f(D单调递增，-y8 4 4 18,解：(1)当入=1时，树国C的方程为号+苦=1， x<a+V-8时，(r)<0,f(x)单调递减. F(1,0),直线l:x=4. 4 设P(4,t),直线AB的方程为x=my十1，A(, 68 y1),B(x2,y2), 所以4是.(-A》+(-g-3头-4)物+6+6 联立得+3消去并誉理，得(3m+y十 4入x0十3入2=0对任意的实数s(s≠0)，k恒成立， （x=my+1, (x0=入， 6my-9=0, 所以y=0, 解得2二入， y%=0, 6m 9 (x话+y%-4λx。+32=0, 可得n十业=3m十4y业=一3m+4 故以PQ为直径的圆恒过定点，定点坐标为（入，0） 记直线PA,PF,PB的斜率分别为k1,k2,k3,则k1= 19.解：(1)P(X=)=(1-p)-1, tana,k:=tang=子，k:=tanX 21-D)p=p[1+21-)+31-D)2+…+ 由tana十2tanB十tany=4,可得k1+2k2+k3=4,即 n(1-p)-1], 负十6=42%=4-台 记S.=1十2(1-p)+3(1-p)2+…十n(1-p)m-1, 则(1一)S。=(1一p)+2(1一)2+…+(n-1)(1 2一46-业二t 又名=业二t x2-4 )m-1+n(1-p)n, 两式相减得S,=1+(1-p)+(1-)2+…+(1 所以十一+青十专 p1-a1-py=得二8 -n(1-p)= 2myiy2-(3+mt)(y+y2)+6t_ my1y2-3m(y1+y2)+9 1-(1-p)”-n(1-). 9 6m 2m(-3m+4)-(3+m(-3m4)+60 由题意E(X)=lim(pSn)= m(3m-4）-3m(3a)+9 9 =[0-a-pr]= 2m书-号 (2)(i)E2=(1-)·(E2+1)+p2·2+p(1-p)· 36(m2+1) 所以号=4-号解得1=3，所以点P的金标为(4,3 (E+2),解得E=1十史 2 ()期待在E。-1(n≥2)次试验后，首次出现连续(n一1) (2)易知直线PQ的斜率存在，故设直线PQ的方程为 次成功，若下一次试验成功，则试验停止，此时试验次数 y=kx十s(s≠0)， 为(E,-1十1)；若下一次试验失败，相当于重新试验，后 (y=kx+s, 由x y2 消去y并整理，得(4k2十3)x2十 续期望仍是En,此时总的试验次数为(E。-1十1十E,), (4+3=1， 即En=p·(Em-1十1)十(1一p)·(E.-1十1十Em), 8ksx+4s2-122=0. 整理得E=1(E-1十1)， 因为直线PQ与椭圆C相切， 所以△=(8ks)2-4(4k2+3)(4s2-12λ2)=0， 得42k2一s2+3λ2=0， 所以52=(42+3)，则x0=3=二46以 4ks 以E+己。六（医+ 所以如=(-)十，=二+2=3，则 由(1)知E=1, Q(-,) 代入得E。=-p)p 1一p” 普通高等学校招生全国统一考试·数学 由y=红+5”得P4以，4十. 精华仿真12套（十二） x=4入， 1.A因为A={xV元<1)，所以A=[0,1),因为B 假设存在定点T(x0,yo),使得以PQ为直径的圆恒过 点T,则T泸.T=0. (log<-2,所以B=(0,),所以AnB= 易知市=(4以一0,4x十5-为)，7夜=(-4-0， (0,}),故选A 3一】 2D=年器+ai-会+ai=-1+(a-2i,周为： 2i 所以T市.7=（以-）(-松-）+(4以+ 是实数，所以a=2,故选D 3.D由二项分布的知识得P(X≤3)=1-P(X=4)= )(3x-0）=0, 1一P=授得=言又0<p<1,所以p=合，所以 P(X=3)=C×(2）×(1-)=子故选D. (1,十∞)上单调递增，当x→十∞时f(x)→十∞，当x 0+时，f(x)→+oo,且f(1)=c.当x<0时，f(x)= 4.C由题意知30=15e7a,.ea=2,.7a=ln2≈0.7， ∴.a≈0.1， 1-)e>0,f(x)在(-∞，0)上单调递增，当x→- x2 .R=15e0.1.82.5=15e.1,e0.1r=5.5,.0.1x 时，f(x)→0，当x→0-时，f(x)→十∞，且f(x)>0.作 1n5.5≈1.7，.x≈17，故选C. 出f(x)的大致图象如图所示 5.D由题意得，抛物线y=2px(p>0)的焦点F(号，0) 准线方程为x=一号，从而由抛物线的定义得1十号 5,解得p=8,所以抛物线方程为y2=16x,F(4,0).又，点 M(1,m)(m>0)在抛物线上，所以m=4,M(1,4).设，点 P的坐标为(a,b,则如·s=-1,即合· 令g(x)=0,则[f(x)]2+af(x)-e2-ae=[f(x)-e]· -1,所以3a=46,又高P在直线MF:y=-亭(-) [f(x)十a十e]=0,解得f(x)=e或f(x)=一a一e.易 知直线y=e与曲线y=f(x)有2个公共点，所以方程 上，所以=-专（a-4),得a=第所以6=2磬故 f(x)=e有2个不同的实根.因为函数g（x)= [f(x)]十af(x)-e2-ae恰有5个不同的零，点，所以方 选D. 程f(x)=一a一e有3个不同的实根， 6.Af(x)=sin wx十acOs wx-=√1十asin(wx+p),其中 所以-a一e>e,解得a<一2e,所以实数a的取值范围 tanp=a,由函教f(x)图象的对称轴方程为x=x十平 是（-o,-2e).故选A. (k∈Z),得f(x)的最小正周期T=2π，所以w=1,所以 9.ABD选项A,因为x>0,y>0,x十y=1,所以x一y= f(x)=sinx十acos z.由函数f(x)图象的对称轴方程为 2-1>-1,所以2>合故A正痛 x=x十平(k∈ZD,得f(2k十5-x)=f(x)(k∈Z), 选项B,log:x+logy=loga(xy)≤1og:(专)° 令x=0,得f(2m十受)=f(0)(克∈Z),即 16g:=一2，当且仅当=y=号时取等号，故B正确： sin(2k元+受）十acos(2km+受）=a(k∈2)，得a=l,所 选项C,(W元+√)=x十y十2√xy≤x+y+x十y=2, 以f)=sinx+cosx,则f(号)=f(受)=sim受+ 所以WE+<B,当且仅当x=y=2时取等号，故C 错误 c0s=1.故选A 选项D,x2+y2=x2+(1-x)2=2x2-2x十1= 7.D设圆台OO2的上、下底面半径分别为r,r2(r2> n>0),母线长为l,高为h,内切球O的半径为R,则 2(2-合）广+号≥分当且仅当x=y=号时取等号， π(7十)5 故D正确. π(n+r)l8, 10.BC将一枚质地均匀的骰子抛掷两次出现的点数共有 易知l=r1十r2,所以3r-10m1r2十3r=0,因为r2>r1, 6×6=36种情况.函数f(x)=log(x2十ax十b)的值域 所以2=3n,所以1=4r,所以圆台的高h= 为[0，十∞)，即函数y=x2十ax十b的最小值为1，则 √-(r2-n)严=2√3n.易知2R=h,所以R=√3m1,则 +1.满足6=4+1的(a,6)有（2,2,4,5)，共2 b=a2 国台00，的体积V=号（片十方+n)h=号x[片+ 种谐元，放PCA)-希-店所以P(不)-1-P(A) (3)+(3r)门·2V3=26,内切球0的体积 3 8:由函数g(x)=(x-a)(x+b)=x2+(b-a)x-ab =专x3n)产=4v3所，所以0=是故选D 为偶函数，得a=b.满足a=b的(a,b)有(1,1)，(2,2)， (3,3),(4,4),(5,5),(6,6),共6种情况，故P(B)= 8.Af(x)=z z'0, 当x>0时，f(x)= 6-=1 366· ,x>0, 选项A,满足事件A,B同时发生的(a,b)有(2,2)，所以 x-1)c,当x∈(0,1)时，f(x)<0,所以fx)在(0,1) PAB》=福，所以A错民， 上单调递减，当x∈(1，十∞)时，f(x)>0,所以f(x)在 选项B,事件A十B包含的(a,b)有(1,1)，(2,2)，(3， 69 3),(4,4),(5,5),(6,6),(4,5),共7种情况，所以 2an号，当且仅当A=B=C时取等号，所以D正确， PA十B)=磊所以B正确； 12.5f(3)=f(好)+1=f(号)+2=f(3)+3= 选项C,P(BA)=PAB)_36=1 P(A)1 =2,所以C正确； f(-3)+4=2os(-5)+4=5. 18 5√7 选项D,满足事件A,B同时发生的(a,b)有(1,1)，(3， 13.28 取PC的中，点D,连接MD,BD,如图所示， 3),(4,4),(5,5),(6,6),共5种情况，所以P(AB)= 5 ,所以P(B1A)=P(AB)_36 6 734,所以D错误 5 P(A) 1 1.CD选项A,由基本不等文得去≥（安），当 且仅当a=c时取等号，因为2b=a十c,所以a2十c2≥ 根据三角形的中位线定理可得DM∥PA,所以异面直 2b2,当且仅当a=b=c时取等号，由正弦定理得 线BM与PA所成的角即∠DMB或其补角. sinA+sin2C≥2sin2B,所以A错误； 选项B,因为a+e)(日+2）=2+台+色≥4，音且 DM=号PA=1,AM=MC=AC-号，在△ABC 中，AC=√3，BC=1,AB=2,所以AB2=BC2+AC, 仅当a=6时取等号，又26=a十c,所以日+≥云， 2 a c 所以AC⊥BC,所以BM=VBC+MC-咨.在 1 当且仅当a=6=c时取等号，由正孩定理得sinA十 ABDC中，DC=BC=1,cos∠DCB=2+-2= 2X2X1 品C之品B所以B正病： 子，可得BD=1+1-2X1X1X 是=在△BMD中， 选项C,由2b=a十c及正弦定理得2sinB=sinA+ sinC,所以2sin(A+C)=sinA+sinC= 由余孩定理可得cos∠DMB=DM+BBD 2DMX BM m(4生+42)+m(4生94号)- 2 2sn4生Cw42,即4m4生cs4士C- 2 2X1x9器 2sn49c42C,易知smA士≠0， 14.[是，十©）在1~5的#数中与50不互质的数有 所以2ams49-co429, 5,10,…,5#一5,5”，共有5-1个，所以与5”互质的数 2 有5m-5-1=4×5-1个，因此p(5")=4×5"-1. 所以2(msos号-sm号s如号)=osas号 C A 在110的整数中，2的倍数共有9个，5的倍数共 sn号n号，所以ama号-，所以lB tan 2 有19个，10的倍数共有10个，所以g10）=10 10-_10+10-1=4×10-1. =是(am含+am号）)， 25 2 C 1-tan 2tan 2 A 所以an=(10)=4X10-1 号-袋=2，所以5=二号 A A+1 2m-1, 1 tan分十ian= C 2 anan号 B,所以C 则Sn十n-1≤入am恒成立即2"一2十n≤入·2"-1恒成 tan 2 tan 2 tan 2 立，即X心2+导征成立，所以≥(2+) 正确； 选项D,因为(十c)(am号+am号)≥4， 令=是则61-6=”-导-3，所以 tan 2 tan 2 b4-b3=0,且b1<b2<b,b4>bs>bs>b,>…,所以 当且仅当A=C时取等号， 所以2g(am+am号)≥4，p1am+am号> (2+会号)-2+号-是片以2是甲夹数x的 tan 2 取值范周泛[是，+∞) 15.解：(1)设A表示“每个问题甲队得1分”，B表示“每个 问题乙队得1分”，每个问题甲队回答和乙队回答的概 令=1，则n=1=分，所以m=(11,) 设平面BDF的法向量为n=(x2,y2,2), 率相等，都是 n…B动=0即 则 一x2+y%=0, n·Bi=0,2y2十x2=0, 令x2=1,则y2=1,2=一2，所以n=(1,1,一2). P()=×号+×号-号 m·n 则cos(m,m〉=m·n 所以乙队获得冠军的概率P=C·P(A)·[P(B)]下= 1×1+1×1+号×(-2) x3×(号)广-器 =6 V1+1+()×1+1+-2罗 9 (2)若回答完第5个问题后比赛结束， 易知二面角EBDF为锐二面角，所以二面角EBDF 则PM=C×}×(号)广+cC×号×(3)=号 X的所有可能取值为1,4， 的套雅位为汽 17.解：(1)由题知，f(x)的定义域为(0，十∞). P(X=1)= P(M) =8,P(X=4) 当m=2e2时，f(z=es-lnx+1+2e Cx号×（号） 1 所以f(x)=2ea+lnx_2e_2x2e2+lnx-2e x2 P(M) -9 设g(x)=2x2e2x+lnx-2e2,易知g(x)在(0，十∞)上 所以X的分布列为 单调递增， X 1 4 又g(1)=0,故当x∈(0,1)时，g(x)<0,即f(x)<0, 当x∈(1，+∞)时，g(x)>0,即f(x)>0, 8 1 9 所以f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为 (1,+∞). 所以X的数等期望E(X0=1X号+4X号 4 K9=3 (2)当m=0时，fx)=e_lhx+1=e-hx-1 16.解：(1)因为AD∥BC,BC丈平面ADE,ADC平 ertin :-In z-1 面ADE, 所以BC∥平面ADE. 设h(x)=e-x-1,则h'(x)=e-1, 因为AE⊥平面ABCD,CF⊥平面ABCD, 当x<0时，h'(x)<0,当x>0时，h'(x)>0, 所以AE∥CF, 所以h(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上单调 同理可证CF∥平面ADE, 递增， 又BC∩CF=C,BC,CFC平面BCF, 故h(x)≥h(0)=0,所以e≥x十1，当且仅当x=0时 所以平面BCF∥平面ADE. 等号成立。 (2)易知AB,AD,AE两两垂直，故可以以A为坐标原 所以fo=ta-hx-≥2红+l血x+1-hx-1=2, x 点，AB,AD,AE所在直线分别为x,y,z轴建立如图所 当且仅当2x十lnx=0时等号成立， 示的空间直角坐标系，则B(1,0,0),D(0,1,0),E(0,0, 故f(x)的最小值f(xo)=2,且2xo十lnxo=0. 2),F(1,2,1), 记p(x)=2x十lnx, 易知p(x)在(0，十o∞)上单调递增，则x0是p(x)的唯 一零点 因为（合）-1-h2>0,(号)-号-1n3<0, 所以<< 1 B 所以4<）<6. BD=(-1,1,0),BE=(-1,0,2),BF=(0,2,1). 18.解：(1)取PQ的中点M,连接OM, 设平面BDE的法向量为m=(x1,y,名)， 由可亦=入O夜及双曲线的对称性可知O为线段QT的 (m·Bd=0, 则 中点，则OM∥PT. 即 -x十y1=0, m·BE=0, （-x1+2z1=0, 设直线PQ的倾斜角为a,直线OM的倾斜角为B,则 70 tan a=2,kow=tan B, =2[4+2x160=4]-m-D×2 由题意得=a-卒，所以kaw=tan(a-至)- tan&-tan受 =g[6-3m)×2r-401. 2-1 1 1+tan atan 1+2×1-3 所以S.=号[(3m-50×21+401. 4 当n为奇数且n≥3时，n一1为偶数， 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 两式相减，得 则S=S1+6=号[(3m-8)×2rt2+40]+n×21- 号[15m-16)×21+40], x好-x_一竖=0， 所以当n≥3时， y1+y2 日[(3m-5)×2rt+40]m为%数， 化简得2 ·边一业= x1+x2 西名， a2=boM·kpo= 3十 S,=3 2 [15m-16)×21+40]m为寺数. 2=号所以8=， (3)(1)若a1=5,则bn=5,数列{b.}有1个. a 3 (i)若a2=5,a1有4种可能，数列{bn)有4个. 故双向线E的渐近线方程为y=士 （l)若as=5,当a1>a2时，数列{b.}有3个； 当a1<a2时，数列{bn}有C=6(个). (2)易知OP,OQ的斜率存在且不为0，设直线OP的方 (iV)若a4=5, 程为y=kx(k≠0)， 当a1=4时，数列{bn}有1个； 1 由OP⊥OQ,可得直线OQ的方程为y=一克x, 当a2=4时，数列{bn}有3个； 将y=kx代入双曲线方程，得b2x2一a2k2x2=a2b,得 当a3=4时，数列{b}有A3-1=5(个)； r2则y= a2b2 当a5=4时，数列{bn}有A8-1=5(个). Γb2-a22’ (V)若a5=5, 所以OP2=x2+y=2+1 当a1=4时，数列{bn}有1个； b2-a2k2’ 当a2=4时，数列{bn}有C3=3(个)； 将k换成-名得10Q1:-6医 b2k2-a2 当a3=4时，数列{b.}有A3-1=5(个)； 因为b-a,ab,a十b成等比数列，所以a2b=b2-a2, 当a4=4时，数列{bn}有A3-1=5(个). 1 1=(B-a2)(k2+1)_2-a2 综上可知，数列{bn}的个数为1十4十3+6十1十3十5十 则10P+1OQ=a(&+1) a26-1. 5+1+3+5+5=42. 设，点O到直线PQ的距离为d(d>0), 则|OP|·|OQ=|PQ·d, 两边同时平方得|OP|2·|OQ12=|PQ2·=(OP2十 1OQ2)·d, 所以子=0P+0Q=1.可得d1, 1 1 所以直线PQ与定圆x2十y2=1相切. 19.解：(1)由“Max数列”的定义可得b=a1=-1,b2= b3=a2=2,b4=bs=a4=4,…,b8=b19=a18=18,b20= a20=20. 所以bs十b20=4十20=24. (2)由“Max数列”的定义可知b1=b2=a1=1X22,b3= b4=a3=3X24,bs=b=a5=5X25,…, 当n为偶数时，Sn=2[1×22十3X24+5×26+…+ (n-1)×2m], 所以4Sn=2[1×24+3×25+5×28+…+(n-1)X 2m+2], 两式相减可得一3S.=2[4十2(24十26+…十2m)一 (n-1)X2m+2]