普通高等学校招生全国统一考试·数学精华仿真12套(二)-【金卷1号】2027年高考数学模拟精华仿真12套

普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（二） (时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的， 1.已知集合M={1,2},N={x∈R1og2(2x-1)≤2}，则M∩N= A.{1} B.I2} C.{1,2} D.⑦ 2.已知复数之的共轭复数是之，若之·i=1一i,则之= A.-1+i B.-1-i C.1-i D.1+i 3记S为等比数列a的前n项和，若a:=2a:a,则岭- ( ) A.5 B.4 C.3 D.2 4.已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面边长分别为1和2，且BB1⊥DD1,则该棱 台的体积为 A.7y2 B.72 7 C.6 2 6 D.2 5.已知0<a<元，cosa=2sin号，则sin号 () A.3-1 B.√3-1 C 3 D.3+1 2 2 2 .已知双曲线E:一1(@>0,6>0)与双曲线Ea6片1的离心率相同，且双曲 E1的顶点是双曲线E2的焦点，则双曲线E1的虚轴长为 () A.15 B.15 c聘 D.10 7.已知函数f(x)=e2x-e2x一ax,若x≥0时，恒有f(x)≥0，则a的取值范围是() A.（-∞，2] B.(-0∞，4] C.[2,+∞) D.[4,+∞) &设a=e,6=n的cn品2，则 () A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完 成此次活动.在以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有 () A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α，B,再测量A,B两点间 的距离 B.在旗杆对面找到某建筑物（低于旗杆），测得建筑物的高度为，在该建筑物底部和顶 部分别测得旗杆顶端的仰角α和β C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α，再测量A到旗杆底部的距离 D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量 旗杆顶端的仰角阝 10.甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外， 没有其他区别).先从甲箱中随机取出1个球放入乙箱，分别用事件A1和A2表示从甲 箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出2个球，用事件B表示从乙箱中取出 的2个球都是红球.则 () A.P(A) B.P(B)= 50 CPBA)=品 DPAB=号 11.已知直线y=kx与曲线y=lnx相交于不同两点M(x1,y1),N(x2,y2),曲线y=lnx 在点M处的切线与在点N处的切线相交于点P(xo,yo),则 () A0<< B.x1x2-exo C.y1+y2=1+yoD.y1y2<1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.在△ABC中，BC=2V6,S△ABC= AB.AC,则△ABC外接圆的半径为 13.某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重W(单位：克)与心率f(单位：次/分 钟)的对应数据(W:,f:)(i=1,2,·,8).根据生物学常识和散点图得出f与W近似满 足f=cw(c,k为参数).令x,=1nw,y=lnf,计算得=8，y=5,之=214.由最小 二乘法得经验回归方程为)=x十7.4，则k的值为 ;为判断拟合效果，通过经 验回归方程求得预测值：(i=1,2,…,8),若残差平方和∑(y:一：)2≈0.28，则决定系 2(y-:) 数R≈ .（参考公式：决定系数R2=1一 2(:-)2 i= 14.如图，在四棱柱ABCD-A'B'CD'中，侧面ABBA'为正方形， 侧面BCCB'为菱形，B'C=BC=2,E,F分别为棱DD',CD的 B C 中点，在侧面CDDC'内（包括边界）找到一个点P,使三棱锥 PBEF与三棱锥B'-BEF的体积相等，则点P可以是 BE日 (答案不唯一)，记二面角A'-AB-C的大小为0，当0取最大值时，线段BP长度的取值 范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)2024年春节联欢晚会为广大观众献上了一场精彩纷呈的文化盛宴.某中学寒假 社会劳动与实践活动小组对某市市民发放了3000份问卷，调查市民对春节联欢晚会的 满意度情况，从收回的问卷中随机抽取300份进行分析，其中女性与男性市民的人数之 比为1：1，统计结果如下表所示： 女性 男性 合计 满意 120 不满意 60 合计 用样本估计总体，将频率视为概率。 (1)完成2×2列联表，依据小概率值α=0.01的独立性检验，判断能否认为市民对春节 联欢晚会的满意度情况与性别有关系； (2)分别估计该市女性与男性市民对春节联欢晚会满意的概率； (3)在该市对春节联欢晚会满意的市民中按性别以分层随机抽样的方式抽取7人，再从 这7人中随机抽取2人进行电话采访，求恰好有1男1女被电话采访的概率. n(ad-bc)2 附：X=(a+bdC十(ac)(6+D其中n=a+b十c+d. a 0.100.05 0.01 2.7063.8416.635 16.(15分)如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,PA=AD= 3,AB=4,BC=5,E,F分别为PB,PC上一点，BE=λB产，EF∥BC. (1)当PB⊥平面AEFD时，求λ的值； (2)当二面角EAD-B的余弦值为时，求PC与平面AEFD所成角的正弦值. 17.(15分)已知函数f(x)=cosx十xsin x,x∈（一π，π）. (1)求f(x)的单调区间和极小值； (2)证明：当x∈[0，π)时，2f(x)≤ex十ex. 一 18.(17分)已知双前线C导若-1(o>0,6>0)的右顶点为E(1,0),斜率为1的直线交 双曲线C于M,N两点，且MN的中点为Q(1,3). (1)求双曲线C的方程； (2)证明：△MEN为直角三角形； (3)过双曲线C上一点P作直线与两条渐近线相交，交点分别为A,B,且分别在第一象 限和第四象限，若A市-XP店，以∈[行2]，求△A0B面积的取值范围。 19.(17分)十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法 的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二 进制中就表示为(1)2,2表示(10)2,3表示为(11)2,5表示为(101)2，发现若n∈N*可表 示为二进制表达式(aoa1a2…a-1a)2,k∈N,则n=a·2十a1·2-1十…十a-1·2十 a%,其中a0=1,a:=0或1(i=1,2,…,k). (1)记S(n)=ao十a1+…+a-1十ak,求证：S(8n十3)=S(4n十3)； 8 (2)记I(n)为整数n的二进制表达式中的0的个数，如I(2)=1,I(3)=0. (i)求I(60); （i)求艺2.（用数字作答） 拉三1因为AB=AC=BC, 所以△ABC为等边三角形. 则)=+e-1+-D, k一1 因为D是AB的中点， 令g(k)=1+e(k-1),k<0, 所以CD⊥DB, 则g'(k)=ke<0,故q(k)在（一∞，0）上单调递减，故 即DB,DC,DE两两垂直， q(k)>1+e°(0-1)=0， 以D为原，点，DB,DC,DE所在直线分别为x,y,之轴， 故p(6)=1+C-1D<0,故p)在(-0,0)上单调 k一1 建立如图所示的空间直角坐标系D-xy2, 递减，故p(k)>ln(1-0)十e°=1， 设AB=2√5，则D(0,0,0),E(0,0,2√3)，C(0,3,0), 故m+心1，即日+合>1，故a+6>ab, a C1(0,3,2√3)，A1(-√5,0,2√3)， 所以D式=(0,3,0)，DA=(-√5,0,2√3). 18.解：1)因为四边形MFNF:的周长为8，离心率为 2 设n=(x,y,z)为平面A1DC的法向量， 则/n·D心-0， 13y=0, 所以a=8,-。 即 可取n=(2,0,1). n·DA=0,-√3.x+23z=0, 又a2=b2+c2,所以a=2,b=1, 因为C龙-3C1衣，所以N(0,2,25),D亦=(0,2， 故椭国T的标准方程为号十=1. 23). 由题意可知1的斜率不为0， 设直线DN与平面A1DC所成角为0， 故可设1的方程为x=my十n,C(x1,y1),D(x2,y2), 到血0-1oaD成1-n:赢-2g (x=my+n √5×4 联立，得立+=1问中y十2叶T一4=0， , 则△=(2mn)2-4(m2+4)(n2-4)>0,即m2+4>n2, 即直线DN与平面A1DC所成角的正孩值为西 y十y2= m2+42=n2-4 2mn 10 m2+4 17.解：(1)设直线1与函数f(x)的图象相切于点A(x1, 易知B(2,0), e1),与函数g(x)=lnx的图象相切于点B(x2, 因为以CD为直径的圆过点B,所以B武·B市=O, In z2), BC.Bd=(1-2,h)·(x2-2,2)=(my+n-2, 因为f(x)=e,g(x)=1,所以e的=1 y)·(my+n-2,y2)=(my1+n-2)(m2十n-2)+ y1y2=(m2+1)yy2十m(n-2)(y+2)+(n-2)2,则 直线l的方程为y-e1=e(x-x1),则lnx2-e= (m2+1)(n2-4)+m(n-2)(-2mn)+(n-2)2(m2+ e(x2一x1),消元可得x1+1+(1-x1)e1=0. 4)=0, 令h(x)=x+1+(1-x)e,则h'(x)=1-xe, 化满得(n-6)(a一2)=0，解得a=号或a=2。 令t(x)=h'(x),则t(x)=-(x十1)e. 当n=2时，l:x=my+2过点B(2,0),不符合题意； 当x∈（一∞，一1)时，t(x)>0,t(x)在（一∞，一1）上 单调递增；当x∈（一1，十∞)时，t(x)<0,t(x)在 当=号时，4：x=m叶号垃定点（号0），满足道意。 5 (一1，十∞)上单调递减. 又x<-1时，h'(x)=1-xe>0,h'(0)=1>0,h'(1)= 综上所述，直线1过定点（号，0）】 1一e<0,故存在xo∈(0,1)，使得h'(x0)=0, （2②)不坊Cs0s≠士2，则Ds,-0,号+r=1,即 故在(-∞，xo)上，h'(x)>0,h(x)单调递增，在(zx0, 42=4-s2 十o∞)上，h'(x)<0,h(x)单调递减， 因为O心=2Oi,BC=2BG, 又h(xo)=xo+1+(1-x0)eo>0,h(-2)=-1+ 所以E,G分别为线段OC,BC的中点， 3e2<0,h(2)=3-e2<0, 所以h(x)存在2个零，点，故直线1的条数为2. 所以E(）,c(生，号)》 (2)令m=1 1=名则加，>0 易知直线AE的斜率存在且不为0，所以直线AE的方 由f(日)+g(方)=1，得e+nn=1,又e>1,故 程为y= (x+2),即y,千红+2》. 2+2 In n<0. 令k=lnn,k<0,则n=e,em=1-k,即m=ln(1-k)， 4+y2-1, 4t27 得1++ 162 故m+n=ln(1-k)+e, 由 令p(k)=ln(1-k)+e,k<0, y= ,千4(x+2) (s+4)x十 50 16t2 (G+4)2-4=0, ②由0及a十a,=3,a-a=2知a十a1g=3, a1q'2-a1q=2, 设K的坐标为(xK,yK), 所以3g2-5g-2=0.易知g>0,所以g=2,a1=1. 162 所以一2K=G十4)一4 16-4(s+4)2 所以an=2"-1,Sn=2r-1. 4t2 1+5十4) 4t2+(s+4)2, 假设存在正整数n,p,m,使得Sn十2=pm+1,即2m十 1=力m+1,即m+1一1=2m. 所以xK=二8十2(s+4)2 4+(s+4)2, 当m为奇数时，p+1一1=(p安-1)(p生+1)， 则x-,千+2)=千4[二士2 +2= 设p型+1=23，p-1=2,则s>t, s+4L4+(s+4)2 所以2一2=2(2-‘一1)=2， 4t(s+4) 4+(s+4)21 可得2=2,2-t-1=1,所以31+1t=1,s=2, 中K(+) 所以n=3,Sg+2=9=31+1, 所以存在n=3,p=3,m=1,使得Sn十2=p+1. 连接DG,DK,易知直线DG,DK的斜率均存在且均不 当m为偶数时，pm+1一1=(p-1)(p”十p"-1十…十 为0， p+1), t 3t 若力为偶数，则p”-1一1为奇数，所以pm+1一1≠2. 3t 5+2 2-1- 2-5’ 若力为奇数，则p>1, 2 p-1为偶数，pm十m-1十…十p十1为m十1个奇数之 4t(s+4) 和，也为奇数，所以p+1一1≠2. kDK- 4+(s+4)2+t -8t+2(s+4)2 所以当m为偶数时，不存在正整数n,p,m,使得Sn十 42+(s+4)2 2=p+1. 4t(s+4)+t(s+4)2+4t3 =-82+2(s+4)2-s(s+4)2-4ts 综上所述，存在n=3,=3,m=1,使得Sn十2=m+1 普通高等学校招生全国统一考试·数学 4t(s+4)+t(s+4)2+4 (2-s)(s+4)2-42(2+s) 精华仿真12套（二） =4t(s+4)十(s十4)2+(4-s2) 1.C.1og2(2x-1)≤2=log24,y=log2x在(0，+∞)上 (2-s)(s+4)2-(4-s2)(2+s) 12t(s+3) 3t 单调递增，0<2x-1<4,合<≤号，N= =42=(s+3)2=5 故k心=kDK, (✉合<x≤号}又M=1,2MnN=1,2,故 所以D,G,K三点共线 选C 19.解：(1)因为{an}是等比数列， 2.A2i=1-i,2=1=Di=2=-1-i, i·i 所以an-最·an+最=a员， 则之=一1十i,故选A. 所以an-是·a元-k+1·…·an-1·am+1·…·an+k-1· 3.C设等比数列{an}的公比为q,由ags=2a2a4,得a1d· am十k=a, 因此各项均为正数的等比数列{an}是“Ⅱ(k)数列”. a-2aga,又≠0，g0,所以f-2,所以毫 (2)①数列{an}既是“Ⅱ(2)数列”，又是“Ⅱ(3)数列”，因 a(1-g) 此当n>2时，an-2a-1a+1am+2=a(1), 1-9 当n>3时，aa-3an-2am-1aa+1am+2a+3=a(i), a1(1-g2) =1十q=3,故选C. 1-9 10加，当3时产（， 4.B如图，将正四棱台ABCD-A1B1C1D1补形为正四棱 锥P-ABCD,记O1,O分别为正四棱台上、下底面的中 aa=aw 心，连接BD,BD,PO,由题意，得△PBD,△PB1D1 将(m)(iV)代入(i),得an-1aa+1=a2,其中n>3, 均为等腰直角三角形，PO⊥BD,PO⊥BD1,PO,= 所以ag,a4,a5,…是等比数列，设其公比为q, 在(1)中，取n=4,则aaa:a,=a,所以a:=号。 所以00=P0-0-号所以三四棱台AICD-A,ACD 在(1)中，取=3，则aaaa=ad,所以a一号， 所以数列{an》是等比数列. 的体积V=号×1+Xg+公)×号-7，故选B 的值，故C正确：对于D,知图4，tan a tan5,可求 D 出x的值，故D正确.综上，选BCD. 0 5.A因为cosa=1-2sin号=2sin分，所以2sin号+ 2 2sn号-1=0，解得s血受=二去5.由0<a<元得 2 0<受<登，所以m受>0，所以m号=二1生，故 2 选A. 6.B由题知-√+(2丁-，所以名=是， 图3 图4 a 易知双曲线品的右焦点为(5,0)，所以a=5,6=子a 10.ABD对于A,由题意，知P(A)=号，P(A)=号，故 只，则双南线E的虚轴长26艺，故选B A正克，对于B,周为PB1A)得=品PB1A)= 7.B由f(x)=e2x-e2x-a.x,得f(x)=2e2+2ex -b片以P=rAPEIA)+PA,)P(BA,)= C a,f"(x)=4e2x-4e2x,因为函数y=4e2,y=-4e均 多×品+号×品品故B正确对于C,由对B选项 111 在[0，十∞)上单调递增，所以(x)在[0，+∞)上单调 递增，所以当x≥0时，f"(x)≥f”(0)=0,所以f(x)在 [0,十∞)上单调递增，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)= 的分新知P(BA)=品，故C不正确.对子D, 4一a.①当4-a≥0，即a≤4时，f(x)≥0，所以f(x)在 1 [0,十∞)上单调递增，所以当x≥0时，f(x)≥f(0)= P(A B)=P(A:)P(BIA:)5X12 P(B) 11 立，故D正 e°一e°-0=0，满足题意.②当4一a<0,即a>4时， 50 f(0)=4一a<0,当x→十∞时，f(x)→+∞，所以 确.综上，选ABD. 3xo∈(0十∞)，使得f(x0)=0,且当0≤x<x0时， 11.ACD对于A,易知当k<0时，直线y=kx与曲线y= f(x)<0,f(x)在[0，x)上单调递减，所以f(xo)< f(0)=0,与x≥0时，恒有f(x)≥0矛盾，不满足题意. 1nx只有一个交点.当>0时，由y-ln,得y-子 综上所述，a的取值范围是（一∞，4]，故选B. 设直线y='x与曲线y=lnx相切于点Q(x3,lnx3), &.Ba=e3>e=1,0=h1<b=ln0<ne=10-< 10 （1=k，解得 (x3=e, 则{x3 c=ln2.2ne-1」 Lk'xs=In xs, '=1,知图，由图可知当0< e 10 0=0<1,a>b,a>c,6-c=ln0 K时，直线y=虹与曲线y=1nz湘交于不同两 h2.21o1n10lm2.210ln1.1-1n(1.1×2 点，反之亦成立，故A正确.对于B,不妨设0<1<x2, 10 10 10 可得kx1=lnx1,kx2=lnx2,曲线y=lnx在M,N两 10ln1.1-(n1,1+ln2)_9ln1.1-ln2_ln1,1-ln2 10 10 10 点处的切线方程分别为y-血x=(x-西)①，y ,1.19=(1+0.1)9=C9×19×(0.1)0+C9×18× (0.1)1+C8×17×(0.1)2+…+C8×1°×(0.1)9>C9× ln=(x-)@,①-②得1n-lnG=王 19×(0.1)°+C8×18×(0.1)1+C号×17×(0.1)2= 2.26>2,.ln1.1°-ln2>0,.b>c,.c<b<a,故 ，将k=ln,kx2=lnx2代入上式，得kx2一 x2 选B. 9.BCD设旗杆CD的高度为x.对于A,当A,B,旗杆底 级云云，化简得（函）()=0因为 部三点不共线时，如图1，已知AB的长度，∠CAD=a, x2卡工1，所以kx1x2=x,即kx1x2=x0,故B不正确.对 ∠CBD=B,无法求出x,故A错误；对于B,如图2，设旗 于C,曲线y=lnx在M,N两点处的切线方程分别为 杆对面的某建筑物为AB,则BD=工一h=,工 tan p tan a,可求出 y-=一y%(红-)，即4y-%） x-2③，z2（y-)=x一x2④，③-④，整理得x”一 x的值，故B正确；对于C,如图3，A品-tana,可求出x 西为=(2一)(1十y)⑤.又为=知h=k2,所以x1= 5 若x=是，代入⑤，化简，得1十为=1十y,即十 B'-BEF的体积相等， A y2=1十yo,故C正确.对于D,不妨令1<x1<x2,则 0<lnx<lnx2,所以hy2=lnx·ln≤ (血西主n)/-血4》，当且仅当n-ln 2 4 时等号成立.由图象可知只有M,N两点重合于切点 B Q(e,l),即1=x2=e时等号成立，此时ln1x2= 第二空：因为侧面BCCB′为菱形，B'C=BC=2,所以 lne2=2,但x1≠x2,所以等号取不到，所以y1y2<1,故 △BBC为正三角形，如图，过C作CH⊥AB于H,过 D正确，综上，选ACD. H作KH∥BB交A'B'于K,则∠KHC为二面角 A'-AB-C的平面角，即∠KHC=0,易知≤∠B'BC y= k'x 于.因为侧面ABBA'为正方形，侧面BC'B'为菱形， y=Inx 0 所以AB=BB',BC=BB,所以AB=BC,所以底面 X1 X3 ABCD为菱形.当0取最大值，即0=时，CB⊥AB, 此时底面ABCD为正方形，在△BCN中，BC 12.3因为SaC=号A店，A恋，所以宁×ABX ACX 2CN=2,∠BCN=号，所以B'N=V3,在△B'C'M 中，B'C'=2C'M=2,∠BC'M=受，所以B'M=5,易 imnA=9X×At×osA,又AB=|A1,AC= 2 知MN=EF=√2，所以在△B'NM中，B'N+MN= |AC,所以sinA=√2cosA,又sinA+cosA=1,所以 B'M,所以∠B'NM=受，△B'NM为直角三角形，所 simA=号，因为A∈(0，x,所以sinA>0,则sinA= 以当点P在线段MN上运动时，B'N≤B'P≤B'M,即 ,记△ABC的外接圈半径为R,则由正孩定理 线段B'P长度的取值范围是[√3W5] 15.解：(1)依题意得2×2列联表： 2R=BC=26=6,所以R=3. sin A 6 女性男性合计 3 满意 120 90 210 13.-0.30.98(1)将x=8,y=5代入经验回归方程 不满意30 y=x十7.4，得5=8方十7.4，解得元=-0.3，所以k= 合计 150 150 300 -0.3;(2)2(-)2=(y-)2+(y2-2+…+ 300×(120×60-30×90)2 所以X2= 150×150×210×90 ≈14.286> =1 (-)2=听十+…十y-2y(y十2+…十y)十 6.635, 87=听+培++8-2y8y+8子=29-8， 对照临界值表知，依据小概率值α=0.01的独立性检 验，认为市民对春节联欢晚会的满意度情况与性别有 2(y-)2 所以R2=1一 =1- 20 ≈1 关系 2(y-)4 y-8 (2)由(1)得该市女性市民对春节联欢晚会满意的概率 = = 0.28 214-8×5=0.98. A8-台 14.分别取棱CD',CC'的中点M,N,连接MN,取线段 男性市民对本节联成成会满意的概奉，=韶一是。 MN上任意一点P均可[V3W5]第一空：由点P在 (3)根据2×2列联表可得这7人中男性市民有3人， 侧面CDD'C'内（包括边界），且三棱锥PBEF的体积 女性市民有4人， 与三棱锥B-BEF的体积相等，知B'P∥平面BEF.如 再从这7人中随机抽取2人，基本事件的个数为 图，分别取棱CD',CC的中点M,N,连接B'M,BN, C号=21， MN,易知B'M∥BF,MN∥EF,,所以B'M∥平面 设事件M为“恰好有1男1女被电话采访”， BEF,MN∥平面BEF,又B'M∩MN=M,所以平面 则事件M包含的基本事件的个数为CgC4=12, B'MN∥平面BEF,故当，点P在线段MN上时，B'P∥ 平面BEF,点P到平面BEF的距离与点B'到平面 或所求板率P0-品-号 BEF的距离相等，此时三棱锥PBEF的体积与三棱锥 16.解：(1)如图所示，以A为坐标原点，AB所在直线为x 轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为之轴建立空间 2 xsin x,x∈[0，π). 直角坐标系，则A(0,0,0),P(0,0,3),B(4,0,0),C(4, 显然g(0)=0,g'(x)=e-e-2 xcos x. 5,0),D(0,3,0), 因为x∈[0，π)，所以cosx≤1，所以2 xcos x≤2x, 设E(x,y,z),由BE=λBP,可得(x-4,y,z)=(-4, 从而g'(x)=e-e-2 xcos x≥e-e-2x,当且仅 0,3),则E(4一4,0,3) 当x=0时取等号 因为PB⊥平面AEFD,AEC平面AEFD,所以PB⊥AE. 令h(x)=e-er-2x,显然h(0)=0, 又PB=(4,0,-3),AE=(4-4,0,3), h'(x)=e2十ex-2≥2/e·ex-2=0,当且仅当x= 所以由PB·AE=0,得16-251=0， 0时取等号. 解得入碧 所以h(x)在[0，π)上单调递增，所以h(x)≥h(0)=0, 从而g'(x)≥h(x)≥0， 所以g(x)在[0，π)上单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0, 故e+er≥2f(x). 18.解：(1)设M(x,),N(x22),则x+x2=2,y+2=6, .M,N两，点均在双曲线C上， (2)设平面EAD的法向量为n=(x',y,z),由(1)知AE 由0一②得二连业=0， (4-4,0,3),AD=(0,3,0), a2 由n1A忘，nLAd,得3y=0, 1(4-4)x'+3xx'=0, 令x'= 易知x≠x, 3λ，得n=(3λ，0,4入-4). 名，即岩十二)公 片-发 x-x吃 （x1十x2)(x1-x2)a2’ 易得平面ABD的一个法向量为m=(0,0,1), 又二面角EAD-B的余弦值为 连接0Q,a·km=怎，即28X1=答， 6, 3a, 所以|cos(m,n〉|= 14λ-4 4 V9x+16a-D专，得A=2, 31 又a=1心b=3,双曲线C的方程为x2- 则n=(0,-2）,由(1)知P心=(45，-3)， (2)如图1，由已知可得，直线MN的方程为y一3=1· (x-1),即y=x十2， 设直线PC与平面AEFD所成的角为0，则sin0 |n·Pt1=6+6=12√2 25 所以直线PC与平面AEFD所成角的正弦值为2区 251 17.解：(1)由已知，得f(x)=一sinx十sinx十xcos x 图1 xC0sx,x∈（一元，π）， (y=x+2, 受或x=0成x=受， 联立得 ，消去y并整理得2x2-4x-7=0, 令f(x)=0,解得x= 当x变化时，(x),f(x)的变化情况如表： 41=16+56=72>0, 7 则x1十x2=2,x1x2=一2： Ei.Ei=(-1,M)·(x2-1,)=(x-1)(m2 f(x) 0 0 0 1)+h=(G-1)(x2-1)+(+2)(x2+2)=22+ 单调 单调 单调 单调 f(x) a+)+5=2X(-2)+2+5=0,脑1E, 递增 递减 递增 递减 .EM⊥EN,.△MEN为直角三角形. 所以f(x)的单调递增区间为（-元，-)，(0，)： (3)由题意可知，直线AB的斜率不为0， 故设直线AB的方程为x=my十n,设P(x3,y3),A(x4, 单调递减区间为(-受，0)，（受，元）： y4),B(x5,ys), 当x=0时，f(x)取得极小值，极小值为f(0)=1. 如图2，：A市=λP克，.(x-x4,y-y)=A(x5一x3, (2)令g(x)=e2十ex-2f(x)=e2+ex-2cosx y一y), 52 调递减，在(1,2]上单调适增，又h(号）=9，h(1) 2,h2)=号， aa∈[2，]sam∈[E,4y] 图2 19.解：(1)由题意得8n十3=aX2+3+a1X2+2+…十 -x4=(x3-), =4十A5 as×23+0×2+1×21+1, 1十入 ∴.S(8n十3)=a0+a1+…+a4+0+1+1=S(n)+2. y为-y4=λ(5-y), b的=4十yg 1+λ 4n+3=a0X2+2+a1X2+1+…+a4×22+1X22+1, ∴.S(4n+3)=ao+a1+…+ak+1+1=S(n)+2, /y4十入ys12 液P在双我C上（色安 1+λ/ ∴.S(8n+3)=S(4n+3). -=1, 3 (2)(1)60=32+16+8+4=1×25+1×24+1×23+ .3(x4十x5)2-(y4十y5)2=3(1十)2， 1×22+0×21+0×2°=(111100)2， .(3x-y)+A2(3x号-)+2λ(3x4x5-y4y5)= .I(60)=2. 3(1+λ)2③， (i)1=1×2°=(1)2， 双曲线C的渐近线方程为3x2一y2=0,.3x-y= 511=1×28+1×22+1×26+1×25+1×24+1×23+ 0,3x号-y=0, 1×22+1×21+1×2°=(111111111)2， ·2λ(3x4x5-y45)=3(1十)2， 故从n=1到n=511这511个数中， ∴3z4-y为=300④. I(n)=0有(1)2，(11)2，…，(111111111)2，共9个， 2λ 联立得32-y=0'消去工并整理得(3m-1）y十 Im)=1有C+C+…+Cg=1+2++8=9X8- 2 x=my+n, Cg(个)， 6mny+3n2=0, I(n)=2有C2十C号十…十C8=C8(个)， 则/3m2-1≠0， △2=36m2n2-12n2(3m2-1)>0 得m≠士 。。 3,n I(n)=8有C8=C8(个)， 0+%=3”⑤%=0@， 3n2 :2=9×2+C号×2+C×2+…+Cg×2 一 由国式得3(my:十n0(m%十m)-y为=31+)2， =Cg×2+C号×22+CgX23+…+C8×29 2λ 2 :(3m-1D%5+3mm0+5)+3m-31+D@, C8×2°+Cg×21+C号×22+C8×23+…+C8X2°-1 2 2 将⑤0代入⑦，得(3m-1D3n+3m+ =1+2)9-1 2 3m2=3(1+)2 =9841. 普通高等学校招生全国统一考试·数学 精华仿真12套（三） 2λ 2i(1+i) 易知∠A0B=7,0A1=1=2y511,10B1= A由之-i(2+2)=0,得z=台=1-)1中 sin号 3 一1十i,所以之=一1一i,故选A L=2y31为.：A,B分别在第一象限和第四象 2.B易知圆x2十y2-2y-3=0的圆心为(0,1)，半径r= sin 3 2,则圆心到直线y=x十2(（k≠0)的距离为2飞-1 +1 限，%<0,3m2-1<0,Saae=合0A× √4-3=1，得=2√2，故选B. 3.D由2x十1=32，得x=4,所以A={4}.由AUB=B, 1 B∠A0B=9x2g1, 1×2311= 3 得A二B,所以a=4,故选D. n2 1 4.C设{an}的公差为d, 由题知/S,=7a1+21d=5(a:+3d)+10 解得d=2,所 -6++.a=+安a a1=-1, 2λ 以S4=4a1+6d=8,故选C. [号，2]，由对勾禹数的性质可得Aa)在[号1]上单 5.A设CA=6,CB=a.由题意得V,=号a2b,V=