1.3集合的基本运算 讲义-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

1.3 集合的基本运算 · 知识点梳理 2026—2027学年 高一上学期 · 人教A版数学必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 版式：三算并驱 · 图式推演版式 1.1 认识一个集合，1.2 比较两个集合，本节把集合变成可以计算的东西：三种运算——并、交、补。它们各自只做一件事：并集把两个集合合成一堆，交集只留下公共的部分，补集在全集中挖去一块。三种运算的定义各自只由一个关键词决定，分别是「或」「且」「非」。本节的失分也几乎全部落在这些关键词上，所以下面每一部分都从词义讲起。 全课地图 · 三种运算一眼认清 先把这张表读两遍。三行分别对应本节三种运算，后面的各部分只是把定义用熟、用顺手。 运算 记法与读法 定义式 一句话把握 结果的特征 并集 A ∪ B 读作「A 并 B」 {x | x ∈ A 或 x ∈ B} 两人口袋里的东西全倒在一张桌上 只增不减：A、B 的元素一个都不丢 交集 A ∩ B 读作「A 交 B」 {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 两张清单上同时出现的名字才留下 只减不增：结果同时是 A、B 的子集 补集 A 读作「A 在 U 中的补集」 {x | x ∈ U 且 x ∉ A} 在一张大盘子里把 A 挖走，剩下的是补集 随地盘而变：先定 U，才有补集 ★ 本课的分数集中在三处：① 把并集里的「或」误解成「二选一」，漏掉公共元素；② 求补集时忘记先看全集 U，或把端点该不该收进补集判断反了；③ 含参数的集合题直接默认集合非空，漏掉空集讨论。全文带「硬骨头」标记的几节是这些坑的集中区；这三处与其余易错点，在文末「塌方现场」逐条给出处方。 算一 · 并集：把两个集合合成一堆 定义（课本原话）：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的并集，记作 A ∪ B，读作「A 并 B」，即 A ∪ B = {x | x ∈ A 或 x ∈ B}。 1. 定义里三个不能看漏的词 关键词 它的意思 看漏了会怎样 所有 只要沾上 A 或沾上 B，就一个不落地收进来 漏掉只属于其中一个集合的元素，结果偏小 或 至少满足一个即可，两个都满足也可以 误当「二选一」，把公共元素排除在外（本课第一大错） 组成的集合 结果仍是集合，要写成 { }，且元素互异，重复的只写一次 写成 A ∪ B = 1, 2, 3 这种不是集合的形式，或把同一个元素写两遍 2. 「或」在数学里的三层意思（本课第一处硬骨头） 日常说话里的「或」常是二选一：今晚吃羊排或海鲜，意思是只能挑一样。数学里的「或」不带这个限制，它只管「至少有一个成立」，两样同时成立完全允许。这一字之差，是并集所有易错点的总源头。 情境 「或」是什么意思 举例 日常口语里的或 二选一，两者不能同时成立 「吃羊排或海鲜」——点了羊排就不能再点海鲜 数学里的或 至少一个成立；两个都成立也算 「x ∈ A 或 x ∈ B」——x 同时在 A、B 里也照样收下 落到并集上 所以 A、B 的公共部分必定进入 A ∪ B，一个也不会被挤掉 A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}（3 只写一次） ★ 记成一句：并集「只进不出」。凡原来在 A 里或在 B 里的元素，并集里一定留着它的位置。 3. 并集的五条常用性质 性质不用死背，用「只进不出」一句话就能推出来。表中第二列给出理由，第三列指明它在什么场合派上用场。 性质 为什么成立 用在哪里 A ∪ A = A 把一个集合和自己合成一堆，还是它自己 化简式子 A ∪ ∅ = A 空集里没有任何元素可添 化简；判断含参问题 A ∪ B = B ∪ A 「在 A 或 B 里」与「在 B 或 A 里」是同一件事 调整书写顺序，便于与已知条件对照 A ⊆ A ∪ B，且 B ⊆ A ∪ B A、B 的元素都进了并集，并集只可能更大 证明包含关系；比较集合大小 A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B 并集没有多出东西，说明 A 的元素都在 B 里 把「包含关系」翻译成「等式」，含参转化题的核心 ★ 最后一条是本节的翻译器：见到 A ⊆ B，可立刻换成 A ∪ B = B 或 A ∩ B = A；反过来也成立。含参题一律先做这一步翻译，再动笔。 4. 求并集的两种方法 方法 什么时候用 操作要领 列举法合并 元素不多，两个集合都已写成列举法 两边元素全抄到一起，重复的只留一个，最后按从小到大排好 数轴法合并 集合是连续的一段（描述法给出的不等式） 把两个集合画在同一根数轴上，被盖住的地方全部涂上，再读成不等式 范例 1（用列举法求并集） 已知 A = {1, 3, 5}，B = {2, 3, 4}，求 A ∪ B。 规范解答：A 中的 1、3、5 与 B 中的 2、3、4 全部收入，其中 3 在两个集合里都出现，按集合元素的互异性只写一次，所以 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5}。 方法提炼：三步走——先全抄，再去重，最后排序。三步都不难，但漏掉任何一步都会出错，最常见的是把 3 写了两遍。 范例 2（用数轴法求并集） 已知 A = {x | −1 ≤ x < 2}，B = {x | x ≥ 1}，求 A ∪ B。 规范解答：在同一根数轴上画出两个集合：A 是从 −1（含）到 2（不含）的一段，B 是从 1（含）起向右无限延伸的一段。两段有重叠，合起来从 −1 开始一直向右，中间没有断开，所以 A ∪ B = {x | x ≥ −1}。 方法提炼：取并集看的是「两段连起来盖住了哪些数」。有重叠就能连成一大段；没有重叠就必须用「或」写成两部分——例如 A = {x | x < 2}，B = {x | x > 5} 时，A ∪ B = {x | x < 2 或 x > 5}，绝不能写成 {x | 2 < x < 5}，那是交集。 ★ 数轴法的第一要件是端点画对：含端点画实心点，不含端点画空心圈。这一步画错，后面全错。 算二 · 交集：只留下两边都有的元素 定义（课本原话）：一般地，由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素组成的集合，称为集合 A 与集合 B 的交集，记作 A ∩ B，读作「A 交 B」，即 A ∩ B = {x | x ∈ A 且 x ∈ B}。 1. 把「且」与「或」摆在一起看 并集与交集的定义只差一个字，结果却常常相差很多。这张表把两者的要害逐项对齐，读熟它比多做十道题更管用。 比较项 并集 A ∪ B 交集 A ∩ B 提醒 关键词 或 且 定义里唯一的差别就在这一个字 定义式 {x | x ∈ A 或 x ∈ B} {x | x ∈ A 且 x ∈ B} 写式子时两处必须一致 Venn 图 两个圈内部全部涂上，重叠处也只涂一次 只涂两个圈重叠的那一块 先涂色再读结果，最不容易错 大小感觉 只增不减，比 A、B 都不小 只减不增，比 A、B 都不大 结果大小的方向相反 包含关系 A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B A ∩ B = A ⟺ A ⊆ B 两条都是「翻译器」 一句话口诀 全倒在一起，重复只留一次 两边都出现的才留下 背口诀比背式子快 2. 交集的五条常用性质 性质 为什么成立 用在哪里 A ∩ A = A 和自己比，公共部分就是自己 化简式子 A ∩ ∅ = ∅ 空集拿不出任何元素来公共 化简；判断空集型参数题 A ∩ B = B ∩ A 「同时在 A、B 里」与「同时在 B、A 里」是一回事 调换顺序对照已知条件 A ∩ B ⊆ A，且 A ∩ B ⊆ B 交集元素必须两头都满足，所以它比 A、B 都小 证明包含关系 A ∩ B = A ⟺ A ⊆ B 交集等于 A，说明 A 的元素都落在 B 里 与 A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B 配对使用 ★ 两条翻译器合起来记：A ⊆ B ⟺ A ∩ B = A ⟺ A ∪ B = B。三种写法互为等价，题目给哪一种，就换成你用起来最顺手的那一种。 3. 求交集也用两条路径，只是方向相反 求交集与求并集用的是同一套工具，区别在最后一步：列举法要「逐个比对」，两边都出现的才留下；数轴法要「只保留两段重叠的部分」，没被两边同时盖住的地方一律擦掉。 范例 3（用约数关系求交集） 已知 A = {x | x 是 12 的正约数}，B = {x | x 是 18 的正约数}，求 A ∩ B。 规范解答：先用列举法把两个集合写出来：A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}，B = {1, 2, 3, 6, 9, 18}。逐一比对，两边都出现的数是 1、2、3、6，所以 A ∩ B = {1, 2, 3, 6}。（这四个数恰好就是 12 与 18 的公约数。） 方法提炼：描述法给出的集合，若元素能一一列出，先化成列举法再运算；列不出来的无限集，就上数轴。 范例 4（用数轴法求交集） 已知 A = {x | −2 < x ≤ 3}，B = {x | x ≥ 1}，求 A ∩ B。 规范解答：A 在数轴上是 −2（不含）到 3（含）的一段，B 是 1（含）起向右的一段。两段的重叠部分是 1（含）到 3（含），所以 A ∩ B = {x | 1 ≤ x ≤ 3}。 方法提炼：取交集的结果是「被两边同时盖住」的部分，通常比每个集合都短；若两边完全没有重叠，结果就是空集。例如 A = {x | x < 1}，B = {x | x > 3} 时 A ∩ B = ∅——注意 1 和 3 这两个端点都不在任何一个集合里，重叠部分确实一个数都没有。 范例 5（由交集条件反求参数范围） 已知 A = {x | x ≤ a}，B = {x | 1 ≤ x ≤ 3}，若 A ∩ B = B，求 a 的取值范围。 规范解答：A ∩ B = B 的意思是 B 的元素全在交集里，也就是 B 的每个元素都属于 A，即 B ⊆ A。要把 B = {x | 1 ≤ x ≤ 3} 完整放进 A = {x | x ≤ a}，A 的右端点不得小于 B 的右端点，所以 a ≥ 3。（检验端点：a = 3 时 A = {x | x ≤ 3}，恰好把 B 装下，取等号成立。） 方法提炼：含参题通用三步：① 把交集、并集条件翻译成包含关系；② 用数轴把已知集合与含参集合摆在一起；③ 让含参端点「让路」。第三步之后必须单独检验取等号的那一点——这一步最容易被跳过，也最容易丢分。 算三 · 补集：先在全集里挖掉一块 补集与前两种运算有个根本区别：它必须先有一个「活动地盘」——全集。地盘没定下来，补集就无从谈起。 1. 全集是「我们正在研究的那批对象」 课本的说法是：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，就称这个集合为全集，通常记作 U。要抓住两点：一是全集不是「世界上所有东西的集合」，而是当前这个问题涉及的全体；二是同一个集合 A，放在不同的全集里，补集完全不同。 我们在研究什么 全集 U 集合 A A 的补集 A 数字 1、2、3 U = {1, 2, 3} A = {1, 2} {3} 数字 1、2、3、4 U = {1, 2, 3, 4} A = {1, 2} {3, 4} 全体实数 U = R A = {x | x ≥ 1} {x | x < 1} ★ 同一个 A = {1, 2}，前一行的补集是 {3}，下一行就变成 {3, 4}。地盘变了，答案就变——这就是补集独有的「相对性」。 2. 补集的定义与三条前提 定义（课本原话）：对于一个集合 A，由全集 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合，称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作 A，即 A = {x | x ∈ U 且 x ∉ A}。写法上 U 写在 ∁ 的右下角，也说成「U 中 A 的补集」。 前提 为什么必须记住 先确定全集 U 题目没给 U，第一步就是自己定 U；U 变了，答案跟着变 默认 A ⊆ U 研究的范围就是 U，A 超出 U 之外的部分根本不在讨论范围内 结果一定含在 U 内 A 的元素全部取自 U，所以它也是 U 的子集 3. 补集的五条常用性质 性质 为什么成立 用在哪里 A ∪ A = U A 与「A 之外的部分」合起来，正好铺满整个 U 证等式；验证计算结果 A ∩ A = ∅ A 与「A 之外」不可能有公共元素 证空集；判断两类对象互斥 (A) = A 挖掉再挖回来，回到原点：补集的补集是自身 化简式子 U = ∅，∅ = U 整个地盘被挖走就什么都不剩；什么都不挖就等于没动 处理端点情形 A ⊆ B ⟺ B ⊆ A 被挖走得多，剩下的就少——取补集后包含方向掉头 证明；选择题里排除「想当然」的干扰项 ★ 最后一条最容易错：A ⊆ B 取补集后方向会掉头，写成 A ⊆ B 就错了。可以记成：补集像照相底片，明暗恰好相反。 范例 6（有限集的补集） 设 U = {1, 2, 3, 4, 5}，A = {1, 3, 5}，求 A。 规范解答：从 U 中把 A 的元素 1、3、5 拿掉，剩下的 2、4 就是补集，所以 A = {2, 4}。检验：A ∪ A = {1, 2, 3, 4, 5} = U，A ∩ A = ∅，与性质完全吻合。 范例 7（实数范围内的补集，重点看端点） 设 U = R，A = {x | x ≥ 1}，求 A。 规范解答：补集里要放「属于 R 但不属于 A」的数。x = 1 属于 A，不能进补集；比 1 大的数也都属于 A。所以只有小于 1 的实数合格，A = {x | x < 1}。 方法提炼：端点是最爱出错的地方，判断口径只有一个——把端点的值代回 A，看它在不在 A 里：在 A 里就不进补集，不在 A 里就进补集。本题 x = 1 在 A 里（A 取到 1），所以补集只能写 x < 1，不能写 x ≤ 1。 范例 8（由补集反求参数） 设 U = {1, 2, 3}，A = {1, }，若 A = {2}，求 a 的值。 规范解答：U 有三个元素，补集只有 2，说明 A 恰好占住另外两个元素 1 和 3，即 A = {1, 3}。对照 A = {1, } 得 = 3，解得 a = √3 或 a = −√3。两个值都代回去检验：a = √3 时 A = {1, 3}，a = −√3 时仍有 = 3，A 同样是 {1, 3}，且都不违反集合元素的互异性，所以 a = ±√3。 方法提炼：第一，解出参数后要回头检查互异性——若题目改成 A = {1, a}，那么 a = 1 会让 A 变成 {1, 1}，这个解必须舍去。第二，检验方式很省事：把求出的参数代回去重算一遍补集，看是不是题目给的那个集合。 4. 三种运算总对照（含 Venn 图读法） 比较项 并集 A ∪ B 交集 A ∩ B 补集 A 关键词 或 且 非（不属于 A） 定义式 {x | x ∈ A 或 x ∈ B} {x | x ∈ A 且 x ∈ B} {x | x ∈ U 且 x ∉ A} Venn 图看什么 两个圈内部全部涂色，重叠处只涂一次 只涂两个圈重叠的那一块 涂大长方形里、圈 A 之外的部分 结果的大小 不小于 A、B（A ⊆ A ∪ B，B ⊆ A ∪ B） 不大于 A、B（A ∩ B ⊆ A，A ∩ B ⊆ B） 与 A 互补，合起来铺满 U 与包含关系的等价式 A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B A ∩ B = A ⟺ A ⊆ B A ⊆ B ⟺ B ⊆ A 最易错的一步 把「或」当成二选一，漏掉公共元素 端点开闭画错，重叠部分多算或少算一个点 忘记先确认全集 U，或端点该不该进补集判断反了 合练篇 · 三个集合一起算，数轴法走到底 1. 混合运算按括号读 题目里出现 A ∪ B、A ∩ B、(A ∪ B) 这样的式子，读法与四则运算一样按括号来：先算括号内，再算括号外。取补集的对象既可以是一个集合，也可以是另一个运算的结果。 看一个具体例子：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 2, 3}，B = {2, 4, 6}。先算 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}，再取补集得 (A ∪ B) = {5}。换一条路：A = {4, 5, 6}，B = {1, 3, 5}，两者相交付为 {5}。两条路结果相同——这不是巧合，正是后面要讲的德摩根律。 2. 数轴法四步（本课第二处硬骨头） 步骤 怎么做 最容易出错的地方 第一步 定点 把每个集合的端点在数轴上标出：含端点画实心点，不含端点画空心圈 把 < 与 ≤ 画成一样的点，后面全盘皆错 第二步 分段 端点把数轴切成几段，逐段判断这一段的数属于哪个集合 只凭感觉涂色，不逐段核对 第三步 取值 取并就把涂到的部分全留下；取交只留被两个集合同时涂到的部分 把并、交的涂法弄反，或把断开的两段硬连成一整段 第四步 验端点 把每个端点值代回原集合，单独确认它在不在结果里 整题算完从不验端点，端点差一点就整题失分 3. 端点检验表（照这张表逐点过一遍） 端点的来历 数轴上怎么画 取并集时 取交集时 含端点（≤ 或 ≥） 实心点 端点本身留在结果里 端点本身留在结果里，且常是交集的端点 不含端点（< 或 >） 空心圈 端点不属于结果，涂色时留空 端点不属于结果，与它相关的交集端点要写成不含 两边都没有取到的点 不标 不影响并集 可能使交集直接变成空集 ★ 判断端点归属只有一条路：把端点的值代回原来的不等式。不要凭「看起来连着」下结论。 范例 9（一题三问，数轴法全流程） 设 U = R，A = {x | −1 < x ≤ 3}，B = {x | x ≥ 2}，求 A ∪ B，A ∩ B，(A ∩ B)。 规范解答：把 A、B 画到同一根数轴上：A 覆盖 −1（不含）到 3（含），B 覆盖 2（含）向右。（1）两段有重叠，合起来从 −1 之后一直向右没有断开，所以 A ∪ B = {x | x > −1}。（2）重叠部分是 2（含）到 3（含），所以 A ∩ B = {x | 2 ≤ x ≤ 3}。（3）(A ∩ B) 是「在 R 中但不属于 A ∩ B」的数。把 {x | 2 ≤ x ≤ 3} 从数轴上挖掉，剩下左边一段和右边一段，中间断开，因此必须用「或」写成两部分：(A ∩ B) = {x | x < 2 或 x > 3}。 方法提炼：补集的结果常常是断开的两段，写成「或」连起来即可；结果只要不连续，就不能硬拼成一个不等式。另外别忘验端点：2 与 3 都在 A ∩ B 里，所以都不进补集，两个端点都必须写成严格不等号。 4. 三条等价式：把「关系」与「运算」互相翻译（本课第三处硬骨头） 1.2 学的是两个集合的包含关系，本节学的是三种运算，两者之间有三座桥。考试里的多数含参题，考的就是能不能在这三座桥上熟练往返。 等价式 通俗解释 什么时候用 A ⊆ B ⟺ A ∩ B = A A 全在 B 里，「A 与 B 的公共部分」自然就是 A 题目给 A ∩ B = A，立刻转化为包含关系，再画数轴 A ⊆ B ⟺ A ∪ B = B A 全在 B 里，把 A 加到 B 上也不会多出东西 题目给 A ∪ B = B，同样转化为包含关系 A ⊆ B ⟺ B ⊆ A 取补集后包含方向掉头 选择题里排除「方向照抄」的干扰项 5. 德摩根律：两条「拆括号」的规律 课本以探究的方式给出下面两条结论，用 Venn 图可以看出来，也可以逐个元素验证： (A ∪ B) = (A) ∩ (B)； (A ∩ B) = (A) ∪ (B)。 德摩根律 拆开后发生了什么 一句话记 (A ∪ B) = (A) ∩ (B) 「并」的补集，拆开后变成「交」 长横伸进去，∪ 要变 ∩ (A ∩ B) = (A) ∪ (B) 「交」的补集，拆开后变成「并」 长横伸进去，∩ 要变 ∪ 用前面的例子验一遍：U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {1, 2, 3}，B = {2, 4, 6}。左边 A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 6}，取补得 {5}；右边 A = {4, 5, 6}，B = {1, 3, 5}，公共元素只有 5，也是 {5}。两边相等。 ★ 口诀：长横变短，∪ ∩ 互换。把 ∁ 看成一横，它伸进括号时，∪ 与 ∩ 必须对调，否则等式不成立。这两条可以先记结论，熟练后再回头用 Venn 图理解。 补遗篇 · 集合中元素的个数 这一部分对应课本 1.3 之后的「阅读与思考」栏目。当集合是有限集时，可以数出元素的个数，记作 card(A)。两个集合的元素个数之间有一条常用关系： card(A ∪ B) = card(A) + card(B) − card(A ∩ B)。 道理很直观：把 A、B 的元素个数直接相加时，公共部分的元素被数了两次，所以要减去一次。1.2 学过的结论在这里也用得上——含 n 个元素的集合有 个子集，而同一种思想（分类时不重不漏）正是计数公式的来源。 要点 为什么 算式或说明 为什么要减 A、B 直接相加，公共元素被重复计数一次 所以减去 card(A ∩ B) 什么时候用 题目给出「两类都喜欢」这类重叠数据 先求并集的人数，再用总人数减去它，得到「都不是」的人数 三个集合怎么办 两两公共部分减完，三者的公共部分被多减了，要加回来 card(A ∪ B ∪ C) = card(A) + card(B) + card(C) − card(A ∩ B) − card(A ∩ C) − card(B ∩ C) + card(A ∩ B ∩ C) 范例 10（两集合的计数） 某班共 40 人，其中喜欢数学的有 25 人，喜欢物理的有 20 人，两科都喜欢的有 10 人。求两科都不喜欢的人数。 规范解答：至少喜欢一科的人数为 card(A ∪ B) = 25 + 20 − 10 = 35（人）。所以两科都不喜欢的有 40 − 35 = 5（人）。 方法提炼：答题链条固定两步：先求并集的元素个数，再从总数里减去它。「至少喜欢一科」这四个字，写出来就是 A ∪ B。 范例 11（三集合的计数） 某班 50 名学生中，订 A 报的有 20 人，订 B 报的有 18 人，订 C 报的有 12 人；同时订 A、B 两报的有 8 人，同时订 A、C 两报的有 5 人，同时订 B、C 两报的有 4 人，三种报都订的有 2 人。求至少订一种报的人数，以及三种都不订的人数。 规范解答：card(A ∪ B ∪ C) = 20 + 18 + 12 − 8 − 5 − 4 + 2 = 35（人）。所以至少订一种报的有 35 人，三种都不订的有 50 − 35 = 15（人）。 方法提炼：三个集合的公式记法是「三项相加，减去所有两两公共，再加回三者公共」。最后加回来的原因是三者的公共部分先前被减了三次，需要补一次。算完顺手验一下：35 ≤ 50，结果合理；若算出的人数超过总人数，一定是公式用反了。 塌方现场 · 六处最容易失分的地方 下面六条按出错频率从高到低排列，左列是考场上真实出现过的样子。对照检查自己在哪一列停留过。 现场（错解） 诊断 处方 求 A ∪ B 时把公共元素排除在外 把「或」理解成日常口语里的「二选一」 并集只进不出：两边元素全收，公共元素只写一次 题目没给全集就直接求补集 忽略了补集依赖全集 U 先确定 U（题目给的数字范围、班级、实数集 R 等），再动笔 A = {x | x ≥ 1} 却写成 A = {x | x ≤ 1} 端点 1 属于 A，按定义不能进补集 把端点值代回 A 检验：属于 A 就不进补集 A ∩ B 与 A ∪ B 的结果互换 数轴涂色时把「取交」涂成了「取并」 动笔前先写一遍关键词：并＝或＝全涂，交＝且＝只涂重叠 含参集合题直接默认集合非空 沿用 1.2 的老陷阱：含参集合可能是空集 遇到 B = {x | m + 1 ≤ x ≤ 2m − 1} 这类两端带参的集合，先讨论 B = ∅ 由 A ∪ B = B 推出 B ⊆ A 包含方向记反 A ∪ B = B ⟺ A ⊆ B；A ∩ B = A ⟺ A ⊆ B，两条都要背准 来龙去脉 · 三个符号是怎么来的 本节的符号都有明确来历，知道来历，符号就不容易记混。 年代 人物 贡献 1847 年 德·摩根 （Augustus De Morgan，1806—1871，英国） 在《形式逻辑》中表述了「并」与「交」在对偶意义下的联系，那两条拆括号的规律因此以他的名字命名 1854 年 布尔 （George Boole，1815—1864，英国） 在《思维规律的研究》中把「类」的运算写成代数式：用 1 表示全体、0 表示空类，两式相乘表示公共部分 1864 年 琼斯（W. Jones） 有记载称他用字母 U 表示「全体」（universe 的首字母），这与今天全集记作 U 的习惯一脉相承 1888 年 皮亚诺 （Giuseppe Peano，1858—1932，意大利） 在《几何演算》中首次用 ∪ 与 ∩ 表示并集与交集，并明确指出符号 ∪ 读作「或」 ★ 回到本课：∪ 的作者本人就把这个符号读作「或」——这正是并集定义里那个「或」的出处，也正是它的含义不能按口语理解的原因。 一图收束 · 三种运算各记一句话 运算 记一句话，再配一句口诀 并集 A ∪ B 把两边的元素全倒在一起，重复的只留一次 —— 只进不出 交集 A ∩ B 只留两边都出现的元素 —— 只减不增 补集 A 先看全集，再把 A 挖走，剩下的就是补集 —— 地盘决定答案 ★ 两句总口诀收尾：关系与运算互译——「A ⊆ B 就是 A ∩ B = A，也是 A ∪ B = B」；德摩根——「长横变短，∪ ∩ 互换」。 过关自测 （限时 30 分钟，共 100 分） 本卷所有题目请统一用列举法或描述法作答，作答过程要写清端点是否取到。 一、选择题（每小题 6 分，共 30 分） 1. 已知集合 A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则 A ∪ B = （ ） A. {1, 2, 3, 4} B. {2, 3} C. {1, 4} D. {1, 2, 3} 2. 已知集合 A = {x | −1 ≤ x < 3}，B = {x | x ≥ 1}，则 A ∩ B = （ ） A. {x | −1 ≤ x < 3} B. {x | 1 ≤ x < 3} C. {x | x ≥ −1} D. {x | x ≥ 1} 3. 设全集 U = {1, 2, 3, 4}，A = {1, 3}，则 A = （ ） A. {1, 3} B. {2, 4} C. {1, 2, 3, 4} D. ∅ 4. 下列等价关系中，正确的是（ ） A. A ⊆ B ⟺ A ∩ B = A B. A ⊆ B ⟺ A ∪ B = A C. A ⊆ B ⟺ A ⊆ B D. A ∩ B = A ⟺ A ∪ B = A 5. 设全集为 U，则 (A ∩ B) = （ ） A. (A) ∩ (B) B. (A) ∪ (B) C. A ∪ B D. A ∩ B 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 6. 已知 A = {x | x < 2}，B = {x | −1 < x ≤ 3}，则 A ∪ B = ______，A ∩ B = ______。 7. 设 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}，A = {2, 4, 6}，B = {3, 6}，则 A ∪ B = ______，(A ∩ B) = ______。 8. 已知 A = {x | = 4}，B = {x | x ≥ 0}，则 A ∩ B = ______。 9. 某班 40 名学生中，参加航模组的有 18 人，参加编程组的有 15 人，两个组都参加的有 6 人，则两个组都没有参加的有 ______ 人。 三、解答题（共 50 分） 10.（16 分）设 U = R，A = {x | −2 ≤ x < 3}，B = {x | x ≥ 1}，求 A ∪ B，A ∩ B，(A ∪ B)，(A ∩ B)。 11.（16 分）已知 A = {x | −2 ≤ x ≤ 3}，B = {x | x ≤ a}。 （1）若 A ⊆ B，求 a 的取值范围；（2）若 A ∩ B = ∅，求 a 的取值范围。 12.（18 分）设 U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A = {1, 3, 5, 7}，B = {2, 3, 5, 8}。 （1）求 A ∪ B 与 A ∩ B； （2）分别求 (A ∪ B) 与 (A) ∩ (B)，并说明这两个结果为什么一定相等。 参考答案与解析 一、选择题答案 题号 1 2 3 4 5 答案 A B B A B 1. A。两个集合的元素全收，3 重复只写一次，得 {1, 2, 3, 4}。 2. B。A 覆盖 −1（含）到 3（不含），B 是 1（含）向右；重叠部分是 1（含）到 3（不含），即 {x | 1 ≤ x < 3}。 3. B。从 U 中拿掉 1、3，剩下 2、4。 4. A。A 正确：A 全在 B 里时，公共部分就是 A。B 错，应是 A ∪ B = B；C 错，取补集后包含方向要掉头；D 错，A ∩ B = A 说明 A ⊆ B，而 A ∪ B = A 说明 B ⊆ A，两者同时成立只在 A = B 时。 5. B。德摩根律：交集的补集等于补集的并集。 二、填空题答案 6. A ∪ B = {x | x ≤ 3}；A ∩ B = {x | −1 < x < 2}。 解析：A 是 2 左边的全部数，B 是 −1（不含）到 3（含）。并集把两段合起来，从最左一直连到 3，得 {x | x ≤ 3}；交集只留下两边都盖住的 −1（不含）到 2（不含），得 {x | −1 < x < 2}。注意 2 不在交集里，因为 A 取不到 2。 7. A ∪ B = {2, 3, 4, 6}；(A ∩ B) = {1, 2, 3, 4, 5}。 解析：A ∩ B = {6}，从 U 中挖掉 6，剩下 1、2、3、4、5。 8. A ∩ B = {2}。 解析：先解集合 A：平方等于 4 的数是 2 和 −2，所以 A = {−2, 2}；B 是不小于 0 的数。两边都满足的只有 2，故 A ∩ B = {2}。 9. 13 人。 解析：至少参加一个组的人数为 18 + 15 − 6 = 27（人），所以两个组都没参加的有 40 − 27 = 13（人）。 三、解答题答案与解析 10. A ∪ B = {x | x ≥ −2}；A ∩ B = {x | 1 ≤ x < 3}；(A ∪ B) = {x | x < −2}；(A ∩ B) = {x | x < 1 或 x ≥ 3}。 解析：A 覆盖 −2（含）到 3（不含），B 覆盖 1（含）向右，两段有重叠。取并得从 −2 起一直向右的一段 {x | x ≥ −2}；取交得重叠部分 {x | 1 ≤ x < 3}。它的补集要把这段从实数轴上挖走，剩下左右两段，必须用「或」写开：{x | x < 1 或 x ≥ 3}。端点核对：1 在 A ∩ B 里，不进补集，所以写 x < 1；3 不在 A ∩ B 里（A 取不到 3），所以要进补集，写成 x ≥ 3。 11.（1）a ≥ 3；（2）a < −2。 解析：（1）A ⊆ B 的意思是 A 的每个元素都在 B 里，也就是 A 中最大的数 3 要满足 3 ≤ a，故 a ≥ 3。端点检验：a = 3 时 B = {x | x ≤ 3}，恰好把 A 装下，取等号成立。 （2）A ∩ B = ∅ 指两个集合没有公共元素。B 是 a 左边的全部数（含 a），A 是 −2 到 3 的一段，要让两者完全分开，B 必须整体落在 A 的左边，即 a 要小于 −2。端点检验：若 a = −2，则 B 中含 −2，而 −2 也在 A 里，此时 A ∩ B = {−2} ≠ ∅，所以 a = −2 不能取，答案必须是 a < −2。 12.（1）A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}；A ∩ B = {3, 5}。 （2）(A ∪ B) = {4, 6}；(A) ∩ (B) = {4, 6}，两者相等。 解析：先算 A ∪ B，把两边元素合并、去掉重复的 3 与 5，得 {1, 2, 3, 5, 7, 8}；从 U 中挖掉这些数，剩下 4、6。另一条路上，A = {2, 4, 6, 8}，B = {1, 4, 6, 7}，取交集得 {4, 6}。 两者一定相等，因为按德摩根律就有 (A ∪ B) = (A) ∩ (B)。从元素角度想也一样：一个数不在 A ∪ B 里，等价于它既不在 A 里、又不在 B 里，也就是它同时在两个补集里。 学科网（北京）股份有限公司 $