2.2.3 直线的一般式方程（基础知识+基本题型）（含解析）--【一堂好课】2021-2022学年高二数学上学期同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

2.2.3 直线的一般式方程

（基础知识+基本题型）

知识点一：直线方程的一般式

1.定义

在平面直角坐标系中，每一条直线都可以用一个关于的二元一次方程表示，每一个关于的二元一次方程都表示一条直线，我们把关于的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式.

2.适用范围

  在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一般式表示.

3.几何意义

 （1）当时，（斜率），（y轴上的截距）；

 （2）当时，（轴上的截距）.

拓展

（1）直线方程的一般式与斜截式、截距式的互化.

一般式	斜截式	截距式
（A，B不同时为0）

知识点二：直线方程的不同形式间的关系

给出直线方程的几种形式及其使用范围，供择优选用．

直线形式	条件	方程	使用范围
点斜式	一点和斜率		过A且斜率存在的所有直线方程
斜截式	斜率k和直线在y轴上的截距		斜率存在的直线
两点式	两个不同点		不垂直与坐标轴的所有直线
截距式	在两坐标轴上的截距		在两坐标轴上的截距都不存在且不等于0
一般式			所有直线

 

直线方程的五种形式在使用时要根据题目的条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．求直线方程的方法一般是待定系数法，在使用待定系数法求直线方程时，要注意直线方程形式的选择及适用范围，如点斜式，斜截式适合直线斜率存在的情形，容易遗漏斜率不存在的情形；两点式不含垂直于坐标轴的直线；截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线；一般式适用于平面直角坐标系中的任何直线．因此,要注意运用分类讨论的思想．在高考中,题型以选择题和填空题为主,与其他知识点综合时,一般以解答题的形式出现．

 

知识点三：直线方程的综合应用

1．已知所求曲线是直线时，用待定系数法求．

2．根据题目所给条件，选择适当的直线方程的形式，求出直线方程．

对于两直线的平行与垂直，直线方程的形式不同，考虑的方向也不同．

（1）从斜截式考虑

  已知直线,,

；

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为．

（2）从一般式考虑：

 

  且或，记忆式（）

  与重合，，，

于是与直线平行的直线可以设为；垂直的直线可以设为.

考点一：直线的一般式方程

例1．根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程．

    （1）斜率是，经过点A（8，―2）；

（2）经过点B（4，2），平行于x轴；

（3）在x轴和y轴上的截距分别是，―3；

（4）经过两点P1（3，―2），P2（5，―4）．

【答案】（1）x+2y―4=0（2）y―2=0（3）2x―y―3=0（4）

【解析】  （1）由点斜式方程得，化成一般式得x+2y―4=0．

（2）由斜截式得y=2，化为一般式得y―2=0．

（3）由截距式得，化成一般式得2x―y―3=0．

（4）由两点式得，化成一般式方程为．

【总结升华】本题主要是让学生体会直线方程的各种形式，以及各种形式向一般式的转化，对于直线方程的一般式，一般作如下约定：x的系数为正，x，y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项顺序排列．求直线方程的题目，无特别要求时，结果写成直线方程的一般式．

考点二：直线与坐标轴形成三角形问题

例2．已知直线的倾斜角的正弦值为，且它与坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线的方程．

【思路点拨】知道直线的倾斜角就能求出斜率，进而引进参数——直线在y轴上的截距b，再根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，便可求出b．也可以根据直线与坐标轴围成的三角形的面积为6，设截距式直线方程，从而得出，再根据它的斜率已知，从而得到关于a，b的方程组，解之即可．

【答案】或

【解析】

解法一：设的倾斜角为，由，得．

设的方程为，令y=0，得．

∴直线与x轴、y轴的交点分别为，（0，b）．

∴，即b2=9，∴b=±3．

故所求的直线方程分别为或．

解法二：设直线的方程为，倾斜角为，由，得．

∴，解得．

故所求的直线方程为或．

【总结升华】（1）本例中，由于已知直线的倾斜角（与斜率有关）及直线与坐标轴围成的三角形的面积（与截距有关），因而可选择斜截式直线方程，也可选用截距式直线方程，故有“题目决定解法”之说．