专题05 三角函数与解三角形（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（     ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（   ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（       ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知角的终边与圆相交于点，则　　　　　． 7．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）若点在角的终边上，则　　　　　. 8．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知，且，.写出满足条件的一组的值　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 9．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知，，且，写出满足条件的一组　　　　　，　　　　　. 10．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是　　　　　　，　　　　　　. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法．测量时使用的标杆高度为（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）．根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：．假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（       ） A. 1倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 3．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． （1）若，，则扇形的面积为　　　　　　； （2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为　　　　　　． 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是. A. 左移个单位 B. 右移个单位 C. 左移个单位 D. 右移个单位 3．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知函数，则下列命题正确的是（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 最小正周期为，且作上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 5．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（   ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 7．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 8．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  10．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（       ） A.  B. 1 C.  D.  11．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  12．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 的最大值为 C.  D.  13．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增 ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数的值为． 其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 14．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知. （1）求函数的解析式： （2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 15．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为　　　　　　　； 　　　　　　　． 16．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，设第一象限角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，则的最大值为　　　　　　　　　　. 17．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 18．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）写出函数最大值为1的一个值，　　　　　　　　　　. 19．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是　　　　　　　　　　. ①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大； ④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大. 20．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上是增函数； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 21．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； （1）求函数的单调增区间； （2）已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 22．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求不等式的解集. 23．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为　　　　　　　　　　. 24．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. （1）求的解析式； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 25．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上的最大值为，求的值. 26．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数. （1）求的单调递减区间 （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 27．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设函数，且． （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 28．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）求的最小正周期，并求的图象的对称轴方程； （2）若函数在区间上无最小值，求实数的取值范围. 29．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是； 条件③：是的一条对称轴． 30．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若是函数的一个零点，求的最小值. 31．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数 （1）若，求的值 （2）若将的图像向右平移个单位得到的图像，再从下面三个条件中选出两个条件，使得存在且唯一，求出此时的解析式.若在上仅有两个零点，求出此时的取值范围. 条件①：相邻的两个零点之间的距离为； 条件②的对称中心为 条件③：． 32．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 33．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数，函数的图象可以由函数的图象平移得到． （1）求的值及的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 34．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数 （1）若，求的单调递增区间； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定．若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：对任意的实数，； 条件③：对任意的实数，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中，，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（       ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）在中，，则（       ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（     ） A.  B.  C.  D.  5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）在中，是的中点，将沿折起，使得所在平面与所在平面垂直，则此时点与点的距离为（       ） A.  B. 3 C.  D.  7．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）在中，. （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值. 8．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在中，. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 9．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中，，，，则的面积为　　　　　　　　　　　　 10．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知的内角的对边分别为，且，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 11．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在中，，且. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 12．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）在中，内角所对的边分别为，面积为，且. （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长.条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7. 13．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）在中，. （1）求角的大小； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 14．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 15．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 16．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在中，，，分别为角，，的对边，，，且. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 18．（25-26学年高三上·北京通州·期中）在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 19．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①.，．条件②.，．条件③.，． 20．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）在中，. （1）求的大小； （2）若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 21．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中， （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 22．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在中，角的对边分别为，且 （1）求角A的大小及的面积； （2）已知AC边上的中线BD=，求三角形ABD的周长 23．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在中，，则　　　　　. 24．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论：    ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 25．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论． 26．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 27．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）在中，，，． （1）求； （2）求的面积． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．【答案】 【分析】 根据给定条件，利用正弦函数定义直接求解. 【详解】 角的终边与圆相交于点，由正弦函数定义得. 故答案为： 7．【答案】 【分析】 利用三角函数的定义，可求得，再用二倍角正切公式即可求值. 【详解】 由点在角的终边上，可得， 则. 故答案为： 8．【答案】① （答案不唯一）    ② （答案不唯一） 【分析】 根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】 因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 9．【答案】① （答案不唯一）    ② （答案不唯一） 【分析】 根据诱导公式可找出满足条件的，的值. 【详解】 根据诱导公式，， 所以对任意，. 即时，恒成立； 又，，当时，. 所以当，时，成立. 所以取，即可满足题意. 故答案为：； 10．【答案】① （答案不唯一，符合题意即可）    ② （答案不唯一，符合题意即可） 【分析】 由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案. 【详解】 因为角的终边关于直线对称， 则，，则， 因为，所以， 所有或，， 解得：或，， 取，的一个值可以为，的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）. 考点02 三角恒等变换 1．A 2．A 3．【答案】①     ② 【分析】 （1）求出，利用扇形的面积公式可求得结果； （2）求出，结合两角差的正弦公式可求得点的纵坐标的值. 【详解】 （1）由题意可知， 此时扇形的面积为； （2）因为，，则，所以， 因为，所以，故， 由题意可知，点的纵坐标为， 则， 故点的纵坐标为 . 故答案为：（1）；（2）. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．B 2．C 3．C 4．C 5．B 6．B 7．B 8．B 9．D 10．A 11．C 12．D 13．C 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由图象可知，若选① ② 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选① ③ 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选② ③ 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式. （2）结合（1）可得函数解析式，进而可求函数的单调区间，根据单调性可得参数的取值范围. (1) 小问详解： 选条件① ② ： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件① ③ ： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件② ③ ： 因为，，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. (2) 小问详解： 由题意得. 函数的单调递减区间为. 由， 得. 因为函数在区间上单调递减，且，此时. 所以，所以的最大值是. 15．【答案】①     ② .5 【分析】 先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【详解】 由图表知，当时，，当时，，所以，即, 又，，所以得到，又由，得到，又，所以， 故，所以， 故答案为：，. 16．【答案】 【分析】 利用三角函数的定义和诱导公式、两角和的正弦展开式可得答案 【详解】 由已知得， 由三角函数的定义：， 则 ， 因为， 所以， 可得，即的最大值为. 故答案为：. 17．【答案】（1）     （2） 选条件② ：； 选条件③ ：.      【分析】 （1）根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； （2）若选条件① ：根据函数的单调性进行判断即可；若选条件② ：根据函数的单调性，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；若选条件③ ：根据函数的单调性判断函数的最小值，结合条件② 的结论进行求解即可. (1) 小问详解： ， 若， 所以， 因为，所以令，即； (2) 小问详解： 若选条件① ： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件② ：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， 由可知该函数的最小值为， 于是有，即， 又因为， 所以， 因为，所以令，即， 所以可以选择本条件，此时； 若选条件③ ：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数，此时， 所以由条件② 可知可以选择本条件，此时. 18．【答案】（答案不唯一） 【分析】 展开并化简函数表达式，分析其最大值的表达式，通过最大值为1的条件求解的取值. 【详解】 . 化简得： . 的最大值为，令其等于1，得，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 19．【答案】① ④ 【分析】 根据船离海底距离为，解三角不等式可判断① ；由船离海底距离，利用导数判断单调性即可判断② ；船离海底距离，利用导数求出最值即可判断③ 、④ 【详解】 ① 不卸货，则吃水恒为2米， 船离海底为， 当时，，则， 解得，所以最多停留时间为小时，故① 正确； ② 立即卸货，吃水深度，且， 解得， 此时船离海底， ， 所以在上单调递增，且当时，， 由，， 此段时间都可以停靠， 又，，故② 错误； ③ 与④ ，，， ，，解得， 当时，；当时，， 所以当时，船底离海底的距离最大. 故答案为：① ④ 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力. 20．【答案】（1） 由题意得： . 当选条件①：， 又因为，所以，所以， 所以时，即得：，即. 当选条件②： 从而得：当时，单调递增， 化简得：当时，单调递增， 又因为函数在区间上是增函数， 所以得： ，解之得：， 与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在. 故：若选条件②，不存在. 当选条件③： 由，， 得当时，，又因为， 所以得，得.     （2） 当时，有最大值； 当时，有最小值.      【分析】 （1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解； （2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：，则得：， 又因为，所以， 所以当时，有最大值； 所以当时，有最小值. 21．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得，若选① ，计算并检验可得，即，根据正弦函数性质列式计算即可求解；若选② ，计算可得，解法同① ；若选③ ，计算可得，解法同① ； （2）由（1）可得，由题意可知令，解得或，计算即可求解. (1) 小问详解： 因为 ， 若选① ，的最大值为2， 因为（其中） 所以，解得或； 当时，， 当时，， 因为在上不单调，不符合题意； 当时，， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选②，则， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选③的图象关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 由（1）可得， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以. 22．【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 （1）由二倍角公式和辅助角公式化简函数，由函数周期公式即可求得结果； （2）令，解得范围即为函数单调递增区间； （3）列出不等式，然后根据三角函数得到范围，从而得到不等式的解集. (1) 小问详解： ， ， 函数的最小正周期为； (2) 小问详解： ，， 整理得，， 所以函数的单调递增区间是， (3) 小问详解： 由 得 所以， 整理得， 所以函数的解集是， 23．【答案】（答案不唯一，可取内任意实数） 【分析】 利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解. 【详解】 ， 当时，， 则有， 解得且，， 当时，无解； 当时，无解； 故，即有. 故答案为：（答案不唯一，可取内任意实数） 24．【答案】（1）答案详见解析     （2）      【分析】 （1）可选择条件① 与条件② ，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件① 可得函数最小正周期，即可得，再借助条件② ，由极值点定义计算可得；或条件① 与条件③ ，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件① 可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③ 计算可得；不能选择条件② 与条件③ ，结合对称轴的定义计算可得，但使用条件③ 时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. (1) 小问详解： ； 若：选择条件① ：与条件② ：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 故，； 若：选择条件① ：与条件③ ：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件② 与条件③ ，理由如下： 若：选择条件② ：与条件③ ：： 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； (2) 小问详解： 当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 25．【答案】（1）最小正周期，单调递增区间是（）．     （2）.      【分析】 （1）利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数性质即可得到答案； （2）利用整体法再结合三角函数图象与性质得到，解出即可. (1) 小问详解： ， 所以最小正周期．由， 得，，故函数的单调递增区间是（）． (2) 小问详解： ，则， 因为，在区间上的最大值为， 则函数在上单调递减，则， 再结合正弦函数性质知，则，解得. 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，然后根据正弦函数单调递减区间求解即可； （2）由题意可得当时，，根据正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： ， 令，解得， 所以的单调递减区间为； (2) 小问详解： 由题，恒成立，即，， 因为，所以， 由正弦函数性质可知当即时，， 所以，即实数的取值范围是. 27．【答案】（1）     （2） 条件② ：的取值范围为. 条件③ ：的取值范围为.      【分析】 （1）利用的值求得. （2）条件① ：通过正弦函数值域判定方程无解，函数不存在. 条件② ：利用极值点求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 条件③ ：利用对称中心求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. (1) 小问详解： 由，得，又，故. (2) 小问详解： 条件① ：由，得，即. 因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在. 条件② ：由是极值点，结合题意可得是极大值点， 得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得，则. 当时，，， 故的取值范围为. 条件③ ：由图象关于点对称，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得时，，则. 当时，，， 故的取值范围为. 28．【答案】（1）；，     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式把合并成正弦型函数，然后利用正弦函数周期与对称轴的求法可得答案； （2）以为整体，根据题意结合正弦函数的有界性和对称性分析可得，运算求解即可. (1) 小问详解： 因为， ， 所以函数的最小正周期； 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为 ，. (2) 小问详解： 由（1）可知：， 因为，则， 若函数在区间上无最小值， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 29．【答案】（1）     （2）选② 或③ ，      【分析】 （1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解； （2）选① ，由可判断； 选② ，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得； 选③ ，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得. (1) 小问详解： 因为，所以 ． 因为，所以． (2) 小问详解： 选① ， ∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意； 选② ， 因为在区间上单调递减，且当时，的值域是， 所以，. 此时，由三角函数的性质可得，故．      因为，所以. 选③ ， 因为在区间上单调递减， 所以，即，解得．    因为是的一条对称轴，所以. 所以，即， 解得. 由，可知. 30．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期； （2）由（1）得到函数，根据题意，得到方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数 ， 所以函数的最小正周期为. (2) 小问详解： 解：由， 因为是函数的一个零点， 可得， 即，即， 可得或， 即或， 又因为，所以的最小值为. 31．【答案】（1）     （2）选择① ② ，选择① ③ ：的取值范围为；选择② ③ ，不唯一      【分析】 （1）根据三角恒等变换化简，再由求解即可； （2）平移后得出，分别选择组合求出存在唯一，再由函数零点个数列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： ， 又，所以， 由可知，. (2) 小问详解： 由题意，， 若选择① ② ，由① 可知，即，解得， 由② 可知，，即，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以 ，解得， 故的取值范围为. 若选① ③ ，由① 可得，由③ 可知，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以 ，解得， 故的取值范围为. 若选② ③ ，由③ 可得，再由② 可得，即， 由，可得，不唯一，不合题意； 32．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式与二倍角公式化简原函数，再结合整体代入法求解单调区间即可. （2）利用正弦函数的性质求出和，最后求出即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 因为是函数的一个零点， 所以令，而，则， 可得，解得， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得， 因为，所以令，得到， 故. 33．【答案】（1），     （2）最大值为，最小值为      【分析】 （1）利用三角恒等变换化简，根据条件可得，再利用正弦函数的单调性求解； （2）求出的范围，结合正弦函数取得最值的条件即可求解. (1) 小问详解： ， 因为的图象可以由函数的图象平移得到， 所以，所以， 由正弦函数，可得，所以， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： ，， 所以， 当，即时，取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1. 34．【答案】（1）；     （2）选择见解析，.      【分析】 （1）把代入，利用辅助角公式及正弦函数单调性求出单调递增区间. （2）利用辅助角公式变形函数，选择条件① ，利用函数最大值判断不存在；选择条件② ，利用取最大值条件求出，再利用零点个数求出范围；选择条件③ ，利用对称中心求出，再利用零点个数求出范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是 (2) 小问详解： 函数， 选择条件① ，，而函数，因此满足此条件的函数不存在. 选择条件② ，对任意的实数，，则， 于是，解得， 而，则，， 当时，，由在上有且只有两个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 选择条件③ ，对任意的实数，，则函数的图象关于点对称， 于是，解得， 而，则，， 当时，，由在上有且只有两个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 考点04 解三角形 1．D 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，求得的值，进而求得的值. （2）利用正弦定理化简已知条件，得到，结合三角形的面积公式求得. 【详解】 （1）因为， 所以. 因为，所以. 所以. （2）因为， 由正弦定理得，所以. 因为的面积为， 即，所以. 所以. 8．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将边化为角后，借助同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. (1) 小问详解： 由，则， 由，则，故， 即，又，故； (2) 小问详解： ， 则，故. 9．【答案】 【分析】 利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可. 【详解】 由余弦定理得：， ，. 故答案为：. 10．【答案】（1）；     （2）选① ，；选② ，      【分析】 （1）由，可得为锐角，利用二倍角公式求解即可； （2）选① ，由正弦定理可得，从而得，即可求得，代入求解即可；选② ，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，代入求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以为锐角， 由，可得， 故； (2) 小问详解： 选① ，，为锐角，，， 由正弦定理，可得，即， 所以， 所以， 所以； 选② ，，，，， 由正弦定理，可得，即， 由余弦定理，可得，即， 解得(负根舍去)， 所以. 11．【答案】（1）     （2）选条件① ：无解；选条件② ：的面积为；选条件③ ：的面积为      【分析】 （1）利用余弦定理边化角即可求解； （2）选① ，由余弦定理可得答案；选② ，结合余弦定理求出面积可得答案；选③ ，判断出是钝角，利用平方关系求出，再结合正弦定理求出，最后由三角形的面积公式可得答案. (1) 小问详解： 由余弦定理及得 ， 因为，所以； (2) 小问详解： 选条件① ，， 由余弦定理得， 而由（1）得，显然不成立； 所以无解； 选条件② ：边上的高为， 可得，即，又.， 由余弦定理得， 化简得，解得，或舍去， 所以有一解，此时的面积为；    选条件③ ：， 因为，所以是钝角，可得是锐角， 所以， ， 在中，由正弦定理得， 可得，再由解得， 由余弦定理得， 即，符合有一解， 此时的面积为. 12．【答案】（1）     （2） 若选择条件① 和条件② ：的周长为. 若选项条件① 和条件③ ：的周长为. 若选择条件② 和条件③ ：此时不存在.      【分析】 （1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）若选择条件① 和② ：根据求得和，由正弦定理求得，进而求得的值，得到的周长. 若选项条件① 和③ ：求得和，由，求得，进而求得的值，得到的周长. 若选择条件② 和条件③ ：由，再由，得到，利用正弦定理求得，此时不存在. (1) 小问详解： 解：因为满足， 由余弦定理， 又因为，可得. (2) 小问详解： 解：若选择条件① 和条件② ：由，且，， 可得，， 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为. 若选项条件① 和条件③ ：由，且，边上的高是， 可得，， 因为边上的高是7，则，即，解得， 所以，， 所以的周长为. 若选择条件② 和条件③ ：由，且，边上的高是， 因为边上的高是7，则有，又因为，则有， 由正弦定理有，则，不合题意，舍去， 此时不存在. 13．【答案】（1）；     （2）选① ③ 或② ③ ，面积为.      【分析】 （1）利用正弦定理可得答案； （2）若选条件① 、② ，由余弦定理解得或，不符合题意；若选条件① 、③ ，利用平方关系求出，由正弦定理可得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意；若选条件② 、③ ，利用平方关系计算出，由正弦定理解得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意. (1) 小问详解： 由正弦定理得， 因为在中，，所以， 又因为，所以，所以， 可得； (2) 小问详解： 由（1）知， 若选条件① ：，条件② ：， 则由余弦定理可得, 即，解得或， 可使得存在但不唯一确定，故不符合题意； 若选条件① ：，条件③ ：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意； 若选条件② ：，条件③ ：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意. 14．【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. (1) 小问详解： 由，可得， 即，则, 由于，故； (2) 小问详解： 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 15．【答案】（1）     （2） 不能选① ， 选条件② 或③ ：，      【分析】 （1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选① ，选② ，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③ 根据高，即可利用选② 的方法求解. (1) 小问详解： 方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由① ② 得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. (2) 小问详解： 若选条件① ：；，所以,而，这与矛盾，故不能选① . 选条件② ： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③ ： 边上的高，所以， 以下与选择条件② 相同. 16．【答案】（1）；     （2）选择① 无解；选择② 和③△ABC面积均为.      【分析】 （1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择① ，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择② ，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③ ，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； (1) 小问详解： 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. (2) 小问详解： 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 17．【答案】（1）     （2） 选条件① ，. 选条件② ，不唯一， 选条件③ ，.      【分析】 （1）根据三角形边角关系及的值即可求解； （2）对给出的三个条件逐一探讨，利用三角形的唯一性可排除条件② .若选① ，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③ ，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解. (1) 小问详解： 在中，因为，所以，所以，. 因为，所以，所以. (2) 小问详解： 选条件① ：，为锐角. 由（1）知，所以. 又，， 由余弦定理可得， 即，解得或. 当时，，为钝角，不符合题意，舍去； 当时，，为锐角，符合题意. 综上，满足条件的存在且唯一确定， 此时的面积为. 选条件② ：. 由（1）知，所以. 因为，所以.结合余弦函数在上的单调性可知. 因为，所以或，从而角可能为锐角，也可能为钝角， 所以不唯一，故不能选条件② . 选条件③ ：. 由（1）知，所以. 因为，由正弦定理可得，所以，. 由正弦定理可得. 又， 所以的面积为. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. (1) 小问详解： 由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. (2) 小问详解： 由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 19．【答案】（1）     （2） 任选条件① ③ ：边上中线的长为．      【分析】 （1）由正弦定理化边为角得，然后利用两角和的正弦公式化简即可得解； （2）选择条件① ，利用同角三角函数基本关系得，，利用两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而由余弦定理求解边上中线的长；选择条件②，利用余弦定理求得或，故不唯一，不符合题意；选择条件③，利用余弦定理求得，再由余弦定理求解边上中线的长. (1) 小问详解： 由正弦定理可得， 在中，， 所以， 所以原方程变为，因为，所以， 所以原方程变为． (2) 小问详解： 选择条件① ：在中，因为，所以， 因为，所以，又， 所以，． 因为，所以． 由知角唯一确定， 故存在且唯一确定， 所以， 由正弦定理，可得， 设边上中线为，则由余弦定理得 ． 即边上中线的长为． 选择条件② ：，．由余弦定理， 即， 即，可得或， 故不唯一，不符合题意； 选择条件③ ：，． 由余弦定理，即， 即，可得或（舍去），经检验存在且唯一确定， 设边上的中线为， 由余弦定理得． 即边上中线的长为． 20．【答案】（1）     （2） 选①：不存在； 选②：； 选③：.      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）若选①，在中利用正弦定理求出，从而求出，即可判断；若选②，利用两角和的正弦公式求出，即可求出，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出，即可得解；若选③由面积公式求出，再由余弦定理求出、，再由锐角三角函数求出，即可得解. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. (2) 小问详解： 若选①：， 在中，由正弦定理， 即，所以，因为， 所以，所以， 此时，则，则不满足三角形内角和定理，故不存在； 若选②：因为，又， 所以， 所以 ，显然， 所以， 所以， 在中，由正弦定理， 即，解得，在中，所以， 所以， 此时， 在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去）， 所以存在，且； 若选③：因为的面积为， 所以，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 又， 所以， 在中，所以， 所以， 此时，所以存在，且. 21．【答案】（1）     （2） 选条件①：有两个解，不满足题意； 选条件② ③：； 条件③ ：．      【分析】 （1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）先判断存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. (1) 小问详解： 由正弦定理有：，又， 所以，又，所以，所以， 所以； (2) 小问详解： 由（1）有，，由余弦定理有：， 条件①：， 由正弦定理有：，又有， 所以，又，所以有两个解，不满足题意； 条件②：， 由正弦定理有：，又有，又， 所以有唯一解，当时，由有，解得， 所以； 条件③ ：， 由，又由正弦定理得， 由条件② 即可求解. 22．【答案】（1）角为，的面积为；     （2）.      【分析】 （1）由余弦定理及三角形面积公式直接可得； （2）在中由余弦定理得，结合已知条件可得三角形的周长. (1) 小问详解： 由，得，且， 所以，. (2) 小问详解： 因AC边上的中线， 在中，， 即，又， 所以，消去，， 即，解得或，所以或. 当时，，的周长； 当时，，的周长； 故三角形的周长. 23．【答案】 【分析】 在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解. 【详解】 在中，因为， 所以，即， 解得， 故答案为： 24．【答案】① ② ④ 【分析】 先根据甲、乙的运动速度和时间得出的表达式，再利用余弦定理求出的表达式，结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项. 【详解】 由题意得，. 在中，， 根据余弦定理， 可得. 结论①： 当时，， 故，即，所以①正确； 结论②： 设，则. 当时，， 故，而，， 故，即在上单调递增， 所以在上也单调递增，所以②正确； 结论③： 若，则， 化简可得. 设，则. 当时，，故， 故，故在单调递增，且， 所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误； 结论④ ：因为，其中， 设，， 则， 当，故，故， 故当时， 当，故，故， 故， 故当时， 故在上单调递增，而，， 故存在，使得， 且当时，，当时，， 故在取最小值，即在取最小值，其中， 故④正确. 故答案为：① ② ④ . 25．【答案】（1）；     （2）①，其中；②.      【分析】 （1）直接利用余弦定理即可求解； （2）① 利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可； ② 根据解得，再结合即可得到的最大值. (1) 小问详解： 在三角形中， 由余弦定理， 代入，得到， 解得． (2) 小问详解： ①，则 因为， 所以， 在三角形中，由正弦定理， 所以，， 又， 所以，其中． ② 若，即，即，即 因为，因此只需，化简得， 则，当，则， 则，解得， 再考虑到，其中，， 故的最大值为． 26．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． (1) 小问详解： ，由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； (2) 小问详解： ，，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． 27．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解. (1) 小问详解： 解：由正弦定理可得：, 又，所以， 整理得：， 因为，所以，而B为三角形内角，故. (2) 小问详解： 解：因为，所以或， 又，，所以 当时，，不符合题意， 故，， 由正弦定理得，即，解得， 故的面积为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 三角函数与解三角形 4大高频考点概览 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 考点02 三角恒等变换 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 考点04 解三角形 考点01 同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知角的终边经过点，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案. 【详解】 因为角的终边经过点，所以. 故选：C 2．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，它的终边绕着原点逆时针旋转后与轴的非负半轴重合，则（   ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由题意可得，结合诱导公式即可求解. 【详解】 由题意可得， 所以， 则. 故选：B 3．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知角的终边经过点，把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由题意可得，再根据诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【详解】 因为角的终边经过点， 所以， 因为把角的终边绕原点O逆时针旋转得到角的终边， 所以， 所以. 故选：D. 4．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，且.把角的终边绕端点逆时针方向旋转弧度，这时终边对应的角是，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 依题意可得，再利用诱导公式计算可得； 【详解】 解：依题意，因为，所以 故选：A 5．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【详解】利用诱导公式将题干条件化简，即可得答案. 【详解】 由题意得：， 故选：B. 6．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知角的终边与圆相交于点，则　　　　　． 【答案】 【分析】 根据给定条件，利用正弦函数定义直接求解. 【详解】 角的终边与圆相交于点，由正弦函数定义得. 故答案为： 7．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）若点在角的终边上，则　　　　　. 【答案】 【分析】 利用三角函数的定义，可求得，再用二倍角正切公式即可求值. 【详解】 由点在角的终边上，可得， 则. 故答案为： 8．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知，且，.写出满足条件的一组的值　　　　　　　　，　　　　　　　　　． 【答案】① （答案不唯一）    ② （答案不唯一） 【分析】 根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解. 【详解】 因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 9．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知，，且，写出满足条件的一组　　　　　，　　　　　. 【答案】① （答案不唯一）    ② （答案不唯一） 【分析】 根据诱导公式可找出满足条件的，的值. 【详解】 根据诱导公式，， 所以对任意，. 即时，恒成立； 又，，当时，. 所以当，时，成立. 所以取，即可满足题意. 故答案为：； 10．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是　　　　　　，　　　　　　. 【答案】① （答案不唯一，符合题意即可）    ② （答案不唯一，符合题意即可） 【分析】 由角的终边关于直线对称，可得，再由可得或，即可求出答案. 【详解】 因为角的终边关于直线对称， 则，，则， 因为，所以， 所有或，， 解得：或，， 取，的一个值可以为，的一个值可以为. 故答案为：（答案不唯一，符合题意即可）；（答案不唯一，符合题意即可）. 考点02 三角恒等变换 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 根据三角函数的定义及二倍角公式即得. 【详解】 由三角函数的定义可知， 所以. 故选：A. 2．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了“重差术”，即通过立表测量影长来计算远处目标的高度和距离的方法．测量时使用的标杆高度为（称为“表高”），太阳天顶距为（太阳光线与垂直于地面方向的夹角，且）．根据三角学知识，标杆在地面上的影长与表高满足关系：．假设对同一表高进行两次测量，第一次测量时太阳天顶距为，影长为表高的2倍，第二次测量时太阳天顶距为，且满足，则第二次测量时影长是表高的（       ） A. 1倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍 【答案】A 【分析】 根据给定条件可得，利用两角差的正切公式求出. 【详解】 依题意，，而， 因此， 所以第二次测量时影长是表高的1倍. 故选：A 3．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、，终边分别与单位圆相交于点、，角的终边与单位圆交于点． （1）若，，则扇形的面积为　　　　　　； （2）若，点的纵坐标为时，则点的纵坐标为　　　　　　． 【答案】①     ② 【分析】 （1）求出，利用扇形的面积公式可求得结果； （2）求出，结合两角差的正弦公式可求得点的纵坐标的值. 【详解】 （1）由题意可知， 此时扇形的面积为； （2）因为，，则，所以， 因为，所以，故， 由题意可知，点的纵坐标为， 则， 故点的纵坐标为 . 故答案为：（1）；（2）. 考点03 三角函数的图象、性质与实际应用 1．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 由三角函数图象平移求解即可. 【详解】 由函数的图象向左平移个单位长度， 则所得图象对应的函数为. 故选：B. 2．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）将的图象通过平移变换，得到一个奇函数的图像，则这个变换可以是. A. 左移个单位 B. 右移个单位 C. 左移个单位 D. 右移个单位 【答案】C 【详解】分析：将函数的对称中心平移至原点即可得函数为奇函数. 详解：由，令. 解得. 即对称中心为. 只需将左移个单位可得一个奇函数的图像， 故选C. 点睛：本题主要考查了三角函数的中心对称性和函数的左右平移，属于中档题，难度不大. 3．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数，则下列说法不正确的是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 利用辅助角公式，再结合三角函数的对称性和周期性来进行各选项判断即可. 【详解】 由函数， 可知，故A正确； 由，可得，故B正确； 由，所以的对称中心是， 而的对称中心是，故C错误； 由，所以的对称轴是， 而的对称轴是，故D正确； 故选：C 4．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知函数，则下列命题正确的是（       ） A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称 C. 最小正周期为，且作上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象 【答案】C 【分析】 利用辅助角公式，结合正弦型函数的对称性、最小正周期公式、单调性、奇偶性逐一判断即可. 【详解】 ， 对于A，因为，所以不是函数图象的对称轴，所以A错误， 对于B，因为，所以点不是函数图象的对称中心，所以B错误， 对于C，的最小正周期为 ，当即 时，单调递增，所以 在上单调增，所以C正确； 把的图象向右平移 个单位得到函数的图象，没有奇偶性，所以D错误， 故选：C 5．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）设函数．若实数满足，则的最小值为（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 求出函数的最小正周期，再利用正弦函数的图象性质求出最小值. 【详解】 函数的最大值为2，最小值为，最小正周期， 实数满足，则分别为函数的最大值点和最小值点， 所以的最小值为. 故选：B 6．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数在 处取到最小值，且在区间上存在极大值，的最小整数解是（   ） A. 2 B. 8 C. 10 D. 14 【答案】B 【分析】 由题意可得且，利用在区间上存在极大值，可得，进而求解即可. 【详解】 因为在处取到最小值，所以， 所以，所以， 又，所以. 当，所以， 又因为在区间上存在极大值，所以, 所以，所以，即，解得， 所以且， 当时，，所以的最小整数解是8. 故选：B. 7．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知，则的最小值为（       ） A.  B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【分析】 根据题设条件结合正弦函数的性质由可得或，由可得或，进而分析求解即可. 【详解】 由， 则或， 即或， 因为，则为正整数，可以为或， 由， 则或， 即或， 由于为正整数，则可以为或， 综上所述，可以为则的最小值为2. 故选：B 8．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数（），若恒成立，且在内至少有3个零点，则的最小值是（     ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】 先化简得，由及进行求解． 【详解】 ， 若恒成立，则函数的一个周期为， 则，得 由，得， 而在内至少有3个零点， 则， 得，由， 得的最小值是， 故选：B 9．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数在上递增，则的最大值为（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 由可求出的取值范围，根据正弦型函数的单调性可得出关于的不等式组，即可求得的最大值. 【详解】 因为，当时，， 因为函数在上递增，则， 故 ，解得，故的最大值为. 故选：D. 10．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数的部分图象如图所示，则的值是（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】A 【分析】 由图可得，求得，再利用图象过点，可得到，从而得到，再利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可. 【详解】 由图象可知，解得，因为，所以，解得， 将代入解析式化简得，因为，则，得， 故，所以. 故选：A 11．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数的图象关于点中心对称，则其图象的一条对称轴方程可以是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】C 【分析】 由对称中心求出，再结合余弦曲线的对称轴，利用整体的思想即可求图象的对称轴方程. 【详解】 因为函数的图象关于点中心对称， 所以 ，有 ， 为偶数时，所以，为奇数时，所以. 令，得， 所以图象的对称轴方程为， 当时，图象的一条对称轴方程为. 故选：C 12．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数，则下列结论正确的是（       ） A. 是奇函数 B. 的最大值为 C.  D.  【答案】D 【分析】 根据奇函数的性质直接可得判断A选项，利用反证法可判断B选项，分别计算并化简与可判断C，D选项. 【详解】 的定义域为，，故选项A错误； 若时，由，，有，必有 ，，这是不可能的，故选项B错误； ，故选项错误；，，，当时，，， 而在上单调递增，， 当，，故选项D正确， 故选：D. 13．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设函数，关于有下列四个结论： ①的导函数为周期函数，且最小正周期为； ②在上单调递增 ③的图象关于对称； ④方程在上有唯一解，则实数的值为． 其中正确结论的个数为（     ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【分析】 利用导数的运算法则求出，再举反例判断① ，利用换元法结合复合函数的性质判断② ，利用函数轴对称的定义判断③ ，利用三角恒等变换并结合换元法得到，再求出和的对应关系，进而确定参数值判断④ 即可. 【详解】 对于① ，由积化和差公式得 ， 则，而，， 不满足，则不可能是最小正周期为的函数，故① 错误， 对于② ，而，令，则可化为， 由二倍角公式得， 令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递减， 由余弦函数性质得在上单调递减， 由复合函数性质得在上单调递增， 可得在上单调递增，故② 正确， 对于③ ，由题意得 ， 可得的图象关于对称，故③ 正确， 对于④ ，由题意得 ， 而，令，则可化为， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 而，，当时，，则， 当时，可得，解得，此时对应个， 当时，结合题意可得此时对应个， 若方程在上有唯一解，则与在上有唯一交点， 可得此时对应个，得到，而可化为， 此时，即，故④ 正确. 综上可得，其中正确结论的个数为3个，故C正确. 故选：C 14．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数的部分图象如图所示，在条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个作为已知. （1）求函数的解析式： （2）设函数，若在区间上单调递减，求的最大值. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多个条件组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由图象可知，若选① ② 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选① ③ 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式；若选② ③ 可得函数的周期，进而可得，代入点，即可得，即可得函数解析式. （2）结合（1）可得函数解析式，进而可求函数的单调区间，根据单调性可得参数的取值范围. (1) 小问详解： 选条件① ② ： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件① ③ ： 因为，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. 选条件② ③ ： 因为，，所以，即，则. 由题意可知，则. 因为，， 所以，即. 因为，所以，. 所以. (2) 小问详解： 由题意得. 函数的单调递减区间为. 由， 得. 因为函数在区间上单调递减，且，此时. 所以，所以的最大值是. 15．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）函数在一个周期内的部分取值如下表： 则的最小正周期为　　　　　　　； 　　　　　　　． 【答案】①     ② .5 【分析】 先利用图表求出最小正周期，进而求出，得到，再将代入即可求出结果. 【详解】 由图表知，当时，，当时，，所以，即, 又，，所以得到，又由，得到，又，所以， 故，所以， 故答案为：，. 16．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，设第一象限角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线绕坐标原点按逆时针方向旋转后与单位圆交于点，则的最大值为　　　　　　　　　　. 【答案】 【分析】 利用三角函数的定义和诱导公式、两角和的正弦展开式可得答案 【详解】 由已知得， 由三角函数的定义：， 则 ， 因为， 所以， 可得，即的最大值为. 故答案为：. 17．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数. （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递增，，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 选条件② ：； 选条件③ ：.      【分析】 （1）根据辅助角公式化简函数解析式，利用代入法进行求解即可； （2）若选条件① ：根据函数的单调性进行判断即可；若选条件② ：根据函数的单调性，结合正弦型函数的最小正周期公式进行求解即可；若选条件③ ：根据函数的单调性判断函数的最小值，结合条件② 的结论进行求解即可. (1) 小问详解： ， 若， 所以， 因为，所以令，即； (2) 小问详解： 若选条件① ： 已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以，显然，不能同时成立， 故不存在函数，不能选择该条件； 若选条件② ：已知条件为在区间上单调递增，，. 因为， 在区间上单调递增， 所以有，显然，同时能成立， 由可知该函数的最小值为， 于是有，即， 又因为， 所以， 因为，所以令，即， 所以可以选择本条件，此时； 若选条件③ ：已知条件为在区间上单调递增，，在区间上单调递减. 因为在区间上单调递增，上单调递减. 所以函数，此时， 所以由条件② 可知可以选择本条件，此时. 18．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）写出函数最大值为1的一个值，　　　　　　　　　　. 【答案】（答案不唯一） 【分析】 展开并化简函数表达式，分析其最大值的表达式，通过最大值为1的条件求解的取值. 【详解】 . 化简得： . 的最大值为，令其等于1，得，解得， 所以. 故答案为：（答案不唯一） 19．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深（单位：米）随时间（单位：小时）的变化规律为，其中；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是　　　　　　　　　　. ①若，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大； ④若，货船于时进入港口后，立即进行货物卸载，则时，船底离海底的距离最大. 【答案】① ④ 【分析】 根据船离海底距离为，解三角不等式可判断① ；由船离海底距离，利用导数判断单调性即可判断② ；船离海底距离，利用导数求出最值即可判断③ 、④ 【详解】 ① 不卸货，则吃水恒为2米， 船离海底为， 当时，，则， 解得，所以最多停留时间为小时，故① 正确； ② 立即卸货，吃水深度，且， 解得， 此时船离海底， ， 所以在上单调递增，且当时，， 由，， 此段时间都可以停靠， 又，，故② 错误； ③ 与④ ，，， ，，解得， 当时，；当时，， 所以当时，船底离海底的距离最大. 故答案为：① ④ 【点睛】 关键点点睛：本题考查了三角函数的应用、导数的应用，解题的关键是表示出船离海底距离的关系式，此题综合性比较强，考查了知识的应用能力以及计算能力. 20．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在. 条件①：； 条件②：函数在区间上是增函数； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1） 由题意得： . 当选条件①：， 又因为，所以，所以， 所以时，即得：，即. 当选条件②： 从而得：当时，单调递增， 化简得：当时，单调递增， 又因为函数在区间上是增函数， 所以得： ，解之得：， 与已知条件矛盾，故条件②不能使函数存在. 故：若选条件②，不存在. 当选条件③： 由，， 得当时，，又因为， 所以得，得.     （2） 当时，有最大值； 当时，有最小值.      【分析】 （1）根据题意先把函数进行化简，然后根据所选的条件，去利用三角函数辅助角公式，三角函数单调递增区间而分别计算并判断是否使函数存在，从而求解； （2）根据（1）中选的不同条件下得出不同的函数的解析式，然后求出在区间上的最大值和最小值. (1) 小问详解： 略 (2) 小问详解： 由（1）知：，则得：， 又因为，所以， 所以当时，有最大值； 所以当时，有最小值. 21．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数，且在上单调.从以下三个条件中选择一个作为已知，使得存在. ①的最大值为2；②；③的图象关于直线对称； （1）求函数的单调增区间； （2）已知，且，求的最小值. 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由题意可得，若选① ，计算并检验可得，即，根据正弦函数性质列式计算即可求解；若选② ，计算可得，解法同① ；若选③ ，计算可得，解法同① ； （2）由（1）可得，由题意可知令，解得或，计算即可求解. (1) 小问详解： 因为 ， 若选① ，的最大值为2， 因为（其中） 所以，解得或； 当时，， 当时，， 因为在上不单调，不符合题意； 当时，， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选②，则， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； 若选③的图象关于直线对称， 则，解得， 所以， 当时，， 因为在上单调递增，符合题意， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 由（1）可得， 则，令， 即，即， 即或， 当，则或， 解得或； 当，则或， 解得或； 因为且， 所以. 22．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数. （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递增区间； （3）求不等式的解集. 【答案】（1）     （2），     （3），      【分析】 （1）由二倍角公式和辅助角公式化简函数，由函数周期公式即可求得结果； （2）令，解得范围即为函数单调递增区间； （3）列出不等式，然后根据三角函数得到范围，从而得到不等式的解集. (1) 小问详解： ， ， 函数的最小正周期为； (2) 小问详解： ，， 整理得，， 所以函数的单调递增区间是， (3) 小问详解： 由 得 所以， 整理得， 所以函数的解集是， 23．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）在区间上单调递增，则写出符合题意的一个的值为　　　　　　　　　　. 【答案】（答案不唯一，可取内任意实数） 【分析】 利用辅助角公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数单调性计算可得范围，即可得解. 【详解】 ， 当时，， 则有， 解得且，， 当时，无解； 当时，无解； 故，即有. 故答案为：（答案不唯一，可取内任意实数） 24．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知，是函数的两个相邻极值点.从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使的解析式能唯一确定. （1）求的解析式； （2）若在区间上有且仅有2个零点，求的取值范围. 条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）答案详见解析     （2）      【分析】 （1）可选择条件① 与条件② ，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件① 可得函数最小正周期，即可得，再借助条件② ，由极值点定义计算可得；或条件① 与条件③ ，先借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再借助条件① 可得函数最小正周期，即可得，再借助条件③ 计算可得；不能选择条件② 与条件③ ，结合对称轴的定义计算可得，但使用条件③ 时会导致多解； （2）结合正弦型函数性质计算即可得. (1) 小问详解： ； 若：选择条件① ：与条件② ：： 由，则的最小正周期，则，即； 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 故，； 若：选择条件① ：与条件③ ：： 由，则的最小正周期，则，即； 又，则，即， 故； 不能选择条件② 与条件③ ，理由如下： 若：选择条件② ：与条件③ ：： 由为对称轴，可得， 所以的极值为或， 根据条件②，可得或， 解得（与矛盾，舍去）或， 由，则，有， 故或，， 则或，，则有无数种取值可能，的解析式不唯一； (2) 小问详解： 当时，， 由在区间上有且仅有2个零点， 则，解得. 25．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）若在区间上的最大值为，求的值. 【答案】（1）最小正周期，单调递增区间是（）．     （2）.      【分析】 （1）利用三角恒等变换得，再根据正弦型函数性质即可得到答案； （2）利用整体法再结合三角函数图象与性质得到，解出即可. (1) 小问详解： ， 所以最小正周期．由， 得，，故函数的单调递增区间是（）． (2) 小问详解： ，则， 因为，在区间上的最大值为， 则函数在上单调递减，则， 再结合正弦函数性质知，则，解得. 26．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数. （1）求的单调递减区间 （2）当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简得，然后根据正弦函数单调递减区间求解即可； （2）由题意可得当时，，根据正弦函数性质求解即可. (1) 小问详解： ， 令，解得， 所以的单调递减区间为； (2) 小问详解： 由题，恒成立，即，， 因为，所以， 由正弦函数性质可知当即时，， 所以，即实数的取值范围是. 27．（25-26学年高三上·北京通州·期中）设函数，且． （1）求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求在区间上的取值范围． 条件①：； 条件②：是的一个极值点； 条件③：的图象关于点对称； 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）     （2） 条件② ：的取值范围为. 条件③ ：的取值范围为.      【分析】 （1）利用的值求得. （2）条件① ：通过正弦函数值域判定方程无解，函数不存在. 条件② ：利用极值点求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. 条件③ ：利用对称中心求出，结合单调区间长度确定，进而求取值范围. (1) 小问详解： 由，得，又，故. (2) 小问详解： 条件① ：由，得，即. 因正弦函数的值域为，而，故此条件下函数不存在. 条件② ：由是极值点，结合题意可得是极大值点， 得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得，则. 当时，，， 故的取值范围为. 条件③ ：由图象关于点对称，得（），解得. 又在上单调递减，区间长度为，故，即. 结合，得时，，则. 当时，，， 故的取值范围为. 28．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）求的最小正周期，并求的图象的对称轴方程； （2）若函数在区间上无最小值，求实数的取值范围. 【答案】（1）；，     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式把合并成正弦型函数，然后利用正弦函数周期与对称轴的求法可得答案； （2）以为整体，根据题意结合正弦函数的有界性和对称性分析可得，运算求解即可. (1) 小问详解： 因为， ， 所以函数的最小正周期； 令，解得：， 所以函数的对称轴方程为 ，. (2) 小问详解： 由（1）可知：， 因为，则， 若函数在区间上无最小值， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 29．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）设函数． （1）若，求的值； （2）已知在区间上单调递减，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：函数的图象经过点； 条件②：时，的值域是； 条件③：是的一条对称轴． 【答案】（1）     （2）选② 或③ ，      【分析】 （1）利用二倍角公式以及辅助角公式化简函数，根据，即可求解； （2）选① ，由可判断； 选② ，由题意，，由三角函数的性质可得周期，即可得； 选③ ，由题意，得，又是的一条对称轴，所以，由此可解得. (1) 小问详解： 因为，所以 ． 因为，所以． (2) 小问详解： 选① ， ∵，∴函数的图象不可能经过点，不合题意； 选② ， 因为在区间上单调递减，且当时，的值域是， 所以，. 此时，由三角函数的性质可得，故．      因为，所以. 选③ ， 因为在区间上单调递减， 所以，即，解得．    因为是的一条对称轴，所以. 所以，即， 解得. 由，可知. 30．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数. （1）求的最小正周期； （2）若是函数的一个零点，求的最小值. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）三角函数恒等变换的公式，化简函数，进而求得函数的最小正周期； （2）由（1）得到函数，根据题意，得到方程，即可求解. (1) 小问详解： 解：由函数 ， 所以函数的最小正周期为. (2) 小问详解： 解：由， 因为是函数的一个零点， 可得， 即，即， 可得或， 即或， 又因为，所以的最小值为. 31．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数 （1）若，求的值 （2）若将的图像向右平移个单位得到的图像，再从下面三个条件中选出两个条件，使得存在且唯一，求出此时的解析式.若在上仅有两个零点，求出此时的取值范围. 条件①：相邻的两个零点之间的距离为； 条件②的对称中心为 条件③：． 【答案】（1）     （2）选择① ② ，选择① ③ ：的取值范围为；选择② ③ ，不唯一      【分析】 （1）根据三角恒等变换化简，再由求解即可； （2）平移后得出，分别选择组合求出存在唯一，再由函数零点个数列出不等式组求解即可. (1) 小问详解： ， 又，所以， 由可知，. (2) 小问详解： 由题意，， 若选择① ② ，由① 可知，即，解得， 由② 可知，，即，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以 ，解得， 故的取值范围为. 若选① ③ ，由① 可得，由③ 可知，由可得， 此时存在且唯一，, 令，可得，即 因为在上仅有两个零点， 所以 ，解得， 故的取值范围为. 若选② ③ ，由③ 可得，再由② 可得，即， 由，可得，不唯一，不合题意； 32．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若，且是函数的一个零点，直线是曲线的一条对称轴，求的值． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用辅助角公式与二倍角公式化简原函数，再结合整体代入法求解单调区间即可. （2）利用正弦函数的性质求出和，最后求出即可. (1) 小问详解： 因为， 所以， 令，则， 所以函数的单调递增区间为； (2) 小问详解： 因为是函数的一个零点， 所以令，而，则， 可得，解得， 因为直线是曲线的一条对称轴， 所以，解得， 因为，所以令，得到， 故. 33．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数，函数的图象可以由函数的图象平移得到． （1）求的值及的单调递增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1），     （2）最大值为，最小值为      【分析】 （1）利用三角恒等变换化简，根据条件可得，再利用正弦函数的单调性求解； （2）求出的范围，结合正弦函数取得最值的条件即可求解. (1) 小问详解： ， 因为的图象可以由函数的图象平移得到， 所以，所以， 由正弦函数，可得，所以， 所以的单调递增区间为. (2) 小问详解： ，， 所以， 当，即时，取得最小值，最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1. 34．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数 （1）若，求的单调递增区间； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定．若在区间上有且只有两个零点，求的取值范围． 条件①：； 条件②：对任意的实数，； 条件③：对任意的实数，． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）；     （2）选择见解析，.      【分析】 （1）把代入，利用辅助角公式及正弦函数单调性求出单调递增区间. （2）利用辅助角公式变形函数，选择条件① ，利用函数最大值判断不存在；选择条件② ，利用取最大值条件求出，再利用零点个数求出范围；选择条件③ ，利用对称中心求出，再利用零点个数求出范围. (1) 小问详解： 当时，函数， 由，解得， 所以函数的单调递增区间是 (2) 小问详解： 函数， 选择条件① ，，而函数，因此满足此条件的函数不存在. 选择条件② ，对任意的实数，，则， 于是，解得， 而，则，， 当时，，由在上有且只有两个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 选择条件③ ，对任意的实数，，则函数的图象关于点对称， 于是，解得， 而，则，， 当时，，由在上有且只有两个零点， 得，解得， 所以的取值范围是. 考点04 解三角形 1．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中，，则（       ） A.  B. 或 C.  D. 或 【答案】D 【分析】 直接利用正弦定理进行边化角即可求解. 【详解】 因为，由正弦定理，得， 因为，所以，因为，所以或. 故选：D. 2．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在中的角的对应边分别为，且，则三角形的形状为（       ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 直角或等腰三角形 【答案】A 【分析】 将式子中的余弦转化为边的表达式并化简，得到边的等量关系，进而判断三角形形状. 【详解】 将用余弦定理展开， 得. 由题设，故. 故选：A 3．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）在中，，则（       ） A. 为直角 B. 为钝角 C. 为直角 D. 为钝角 【答案】C 【分析】 由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出. 【详解】 由，即，， 又，所以，化简得， 则，故在中，， 故选：C 4．（25-26学年高三上·北京通州·期中）在锐角中，，则（     ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 通过正弦定理化边为角，结合辅助角公式和锐角三角形的角范围求解. 【详解】 由正弦定理（为外接圆半径）， 将，代入， 得：， 因，故，两边同除以，得：， 将左边化为辅助角形式：， 因此：， 因为锐角三角形，，故， 所以. 故选：A 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）在中，，为边上一点，且，则面积的最小值为（    ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 结合图形，根据三角形等面积可得；再根据基本不等式可得出，进而可求出面积的最小值. 【详解】 因为，， 所以. 又因为， 所以，. 根据等面积法可得：，即， 整理得. 由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立. 则，解得：，此时，时等号成立. 故. 故选：D 6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）在中，是的中点，将沿折起，使得所在平面与所在平面垂直，则此时点与点的距离为（       ） A.  B. 3 C.  D.  【答案】C 【分析】 取中点，连接，，推导出，结合等边三角形性质与余弦定理可得、，借助面面垂直性质定理可得，再利用勾股定理即可得解. 【详解】 取中点，连接，， 在中，为中点， 则，故等边三角形， 故，，，则， 则， 将沿折叠，当平面平面时， 由平面平面，平面，， 则平面，又平面，故， 则. 故选：C． 7．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）在中，. （1）求的值； （2）若，且的面积，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用余弦定理化简已知条件，求得的值，求得的值，进而求得的值. （2）利用正弦定理化简已知条件，得到，结合三角形的面积公式求得. 【详解】 （1）因为， 所以. 因为，所以. 所以. （2）因为， 由正弦定理得，所以. 因为的面积为， 即，所以. 所以. 8．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在中，. （1）求的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）将边化为角后，借助同角三角函数基本关系计算即可得； （2）借助余弦定理与面积公式计算即可得. (1) 小问详解： 由，则， 由，则，故， 即，又，故； (2) 小问详解： ， 则，故. 9．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中，，，，则的面积为　　　　　　　　　　　　 【答案】 【分析】 利用余弦定理可求得，代入三角形面积公式即可. 【详解】 由余弦定理得：， ，. 故答案为：. 10．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知的内角的对边分别为，且，，. （1）求； （2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求的面积. 条件①：，为锐角； 条件②： 注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）；     （2）选① ，；选② ，      【分析】 （1）由，可得为锐角，利用二倍角公式求解即可； （2）选① ，由正弦定理可得，从而得，即可求得，代入求解即可；选② ，由正弦定理可得，再由余弦定理可得，代入求解即可. (1) 小问详解： 因为，所以为锐角， 由，可得， 故； (2) 小问详解： 选① ，，为锐角，，， 由正弦定理，可得，即， 所以， 所以， 所以； 选② ，，，，， 由正弦定理，可得，即， 由余弦定理，可得，即， 解得(负根舍去)， 所以. 11．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）在中，，且. （1）求的大小； （2）再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：； 条件②：边上的高为； 条件③：. 【答案】（1）     （2）选条件① ：无解；选条件② ：的面积为；选条件③ ：的面积为      【分析】 （1）利用余弦定理边化角即可求解； （2）选① ，由余弦定理可得答案；选② ，结合余弦定理求出面积可得答案；选③ ，判断出是钝角，利用平方关系求出，再结合正弦定理求出，最后由三角形的面积公式可得答案. (1) 小问详解： 由余弦定理及得 ， 因为，所以； (2) 小问详解： 选条件① ，， 由余弦定理得， 而由（1）得，显然不成立； 所以无解； 选条件② ：边上的高为， 可得，即，又.， 由余弦定理得， 化简得，解得，或舍去， 所以有一解，此时的面积为；    选条件③ ：， 因为，所以是钝角，可得是锐角， 所以， ， 在中，由正弦定理得， 可得，再由解得， 由余弦定理得， 即，符合有一解， 此时的面积为. 12．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）在中，内角所对的边分别为，面积为，且. （1）求的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得唯一确定，求的周长.条件①： 条件②： 条件③：边上的高是7. 【答案】（1）     （2） 若选择条件① 和条件② ：的周长为. 若选项条件① 和条件③ ：的周长为. 若选择条件② 和条件③ ：此时不存在.      【分析】 （1）根据题意，利用余弦定理，求得，即可求解； （2）若选择条件① 和② ：根据求得和，由正弦定理求得，进而求得的值，得到的周长. 若选项条件① 和③ ：求得和，由，求得，进而求得的值，得到的周长. 若选择条件② 和条件③ ：由，再由，得到，利用正弦定理求得，此时不存在. (1) 小问详解： 解：因为满足， 由余弦定理， 又因为，可得. (2) 小问详解： 解：若选择条件① 和条件② ：由，且，， 可得，， 由正弦定理得，所以，， 所以的周长为. 若选项条件① 和条件③ ：由，且，边上的高是， 可得，， 因为边上的高是7，则，即，解得， 所以，， 所以的周长为. 若选择条件② 和条件③ ：由，且，边上的高是， 因为边上的高是7，则有，又因为，则有， 由正弦定理有，则，不合题意，舍去， 此时不存在. 13．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）在中，. （1）求角的大小； （2）再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积. 条件①：；条件②：；条件③：. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）；     （2）选① ③ 或② ③ ，面积为.      【分析】 （1）利用正弦定理可得答案； （2）若选条件① 、② ，由余弦定理解得或，不符合题意；若选条件① 、③ ，利用平方关系求出，由正弦定理可得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意；若选条件② 、③ ，利用平方关系计算出，由正弦定理解得，利用两角和的余弦展开式计算出，利用平方关系求出，可得，符合题意. (1) 小问详解： 由正弦定理得， 因为在中，，所以， 又因为，所以，所以， 可得； (2) 小问详解： 由（1）知， 若选条件① ：，条件② ：， 则由余弦定理可得, 即，解得或， 可使得存在但不唯一确定，故不符合题意； 若选条件① ：，条件③ ：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意； 若选条件② ：，条件③ ：， 则可得， 在中由正弦定理可得，即，解得， ， 因为，所以， 所以，符合题意. 14．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知中，内角的对边分别为，且． （1）求； （2）设的面积为边上的高为，求． 【答案】（1）     （2）2      【分析】 （1）利用正弦定理角化边化简已知等式，可得，再结合余弦定理，即可求得答案； （2）根据三角形面积可求出，再利用余弦定理，即可求得答案. (1) 小问详解： 由，可得， 即，则, 由于，故； (2) 小问详解： 由于的面积为边上的高为， 故； 又，故， 则 ， 故. 15．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）在中，. （1）求的大小； （2）再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得存在且唯一，求的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：边上的高为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 不能选① ， 选条件② 或③ ：，      【分析】 （1）利用正弦定理边角互化，结合正弦的和差角公式即可求解，或者利用余弦定理边角互化求解， （2）根据三角形存在可知不能选① ，选② ，利用余弦定理可求解，即可利用三角形面积公式求解，或者利用正弦定理求解，进而根据和差角公式求解,由面积公式求解，选③ 根据高，即可利用选② 的方法求解. (1) 小问详解： 方法一：由正弦定理及，得 .① 因为， 所以.② 由① ② 得 因为，所以. 所以.因为，所以. 方法二：在中，因为， 由余弦定理得， 整理得 所以，所以. (2) 小问详解： 若选条件① ：；，所以,而，这与矛盾，故不能选① . 选条件② ： 方法一：由余弦定理，得 即，解得. 所以 方法二：由正弦定理，所以，因为 ，所以， 所以. 选条件③ ： 边上的高，所以， 以下与选择条件② 相同. 16．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． （1）求； （2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）；     （2）选择① 无解；选择② 和③△ABC面积均为.      【分析】 （1）利用正弦定理即可求出答案； （2）选择① ，利用正弦定理得，结合（1）问答案即可排除；选择② ，首先求出，再代入式子得，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可；选择③ ，首先得到，再利用正弦定理得到，再利用两角和的正弦公式即可求出，最后利用三角形面积公式即可； (1) 小问详解： 由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. (2) 小问详解： 选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 17．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在中，，，分别为角，，的对边，，，且. （1）求角的大小； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积. 条件①：，为锐角；条件②：；条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 选条件① ，. 选条件② ，不唯一， 选条件③ ，.      【分析】 （1）根据三角形边角关系及的值即可求解； （2）对给出的三个条件逐一探讨，利用三角形的唯一性可排除条件② .若选① ，由余弦定理解得或.分类讨论三角形的形状，再结合面积公式即可求解；若选③ ，由正弦定理求出的值，由两角和的正弦公式求出的值，结合面积公式即可求解. (1) 小问详解： 在中，因为，所以，所以，. 因为，所以，所以. (2) 小问详解： 选条件① ：，为锐角. 由（1）知，所以. 又，， 由余弦定理可得， 即，解得或. 当时，，为钝角，不符合题意，舍去； 当时，，为锐角，符合题意. 综上，满足条件的存在且唯一确定， 此时的面积为. 选条件② ：. 由（1）知，所以. 因为，所以.结合余弦函数在上的单调性可知. 因为，所以或，从而角可能为锐角，也可能为钝角， 所以不唯一，故不能选条件② . 选条件③ ：. 由（1）知，所以. 因为，由正弦定理可得，所以，. 由正弦定理可得. 又， 所以的面积为. 18．（25-26学年高三上·北京通州·期中）在中，内角的对边分别为． （1）求； （2）若，求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）先由余弦定理求，再结合正弦定理和角的范围求； （2）利用正弦定理求边，再代入面积公式计算面积. (1) 小问详解： 由，根据余弦定理得. 因为，所以. 又，即，，解得. 因为，所以，故. (2) 小问详解： 由（1）知， . 由正弦定理，得. 三角形面积. 19．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在中，． （1）求的值； （2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求边上中线的长． 条件①.，．条件②.，．条件③.，． 【答案】（1）     （2） 任选条件① ③ ：边上中线的长为．      【分析】 （1）由正弦定理化边为角得，然后利用两角和的正弦公式化简即可得解； （2）选择条件① ，利用同角三角函数基本关系得，，利用两角和的正弦公式得，由正弦定理得，进而由余弦定理求解边上中线的长；选择条件②，利用余弦定理求得或，故不唯一，不符合题意；选择条件③，利用余弦定理求得，再由余弦定理求解边上中线的长. (1) 小问详解： 由正弦定理可得， 在中，， 所以， 所以原方程变为，因为，所以， 所以原方程变为． (2) 小问详解： 选择条件① ：在中，因为，所以， 因为，所以，又， 所以，． 因为，所以． 由知角唯一确定， 故存在且唯一确定， 所以， 由正弦定理，可得， 设边上中线为，则由余弦定理得 ． 即边上中线的长为． 选择条件② ：，．由余弦定理， 即， 即，可得或， 故不唯一，不符合题意； 选择条件③ ：，． 由余弦定理，即， 即，可得或（舍去），经检验存在且唯一确定， 设边上的中线为， 由余弦定理得． 即边上中线的长为． 20．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）在中，. （1）求的大小； （2）若点在边上，且，再从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，并求的长. 条件①：； 条件②：； 条件③：的面积为. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 选①：不存在； 选②：； 选③：.      【分析】 （1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）若选①，在中利用正弦定理求出，从而求出，即可判断；若选②，利用两角和的正弦公式求出，即可求出，在中，利用正弦定理求出，再由锐角三角函数求出，即可得解；若选③由面积公式求出，再由余弦定理求出、，再由锐角三角函数求出，即可得解. (1) 小问详解： 因为， 由正弦定理可得， 又， 所以， 又，所以，所以，则， 又，所以. (2) 小问详解： 若选①：， 在中，由正弦定理， 即，所以，因为， 所以，所以， 此时，则，则不满足三角形内角和定理，故不存在； 若选②：因为，又， 所以， 所以 ，显然， 所以， 所以， 在中，由正弦定理， 即，解得，在中，所以， 所以， 此时， 在中由余弦定理，即，解得（负值已舍去）， 所以存在，且； 若选③：因为的面积为， 所以，所以， 在中由余弦定理 ， 所以， 又， 所以， 在中，所以， 所以， 此时，所以存在，且. 21．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在中， （1）求； （2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求 的面积. 条件①：； 条件②：； 条件③：. 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）     （2） 选条件①：有两个解，不满足题意； 选条件② ③：； 条件③ ：．      【分析】 （1）由正弦定理和两角和的正弦公式即可求解； （2）先判断存在且唯一，由正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式即可求解. (1) 小问详解： 由正弦定理有：，又， 所以，又，所以，所以， 所以； (2) 小问详解： 由（1）有，，由余弦定理有：， 条件①：， 由正弦定理有：，又有， 所以，又，所以有两个解，不满足题意； 条件②：， 由正弦定理有：，又有，又， 所以有唯一解，当时，由有，解得， 所以； 条件③ ：， 由，又由正弦定理得， 由条件② 即可求解. 22．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在中，角的对边分别为，且 （1）求角A的大小及的面积； （2）已知AC边上的中线BD=，求三角形ABD的周长 【答案】（1）角为，的面积为；     （2）.      【分析】 （1）由余弦定理及三角形面积公式直接可得； （2）在中由余弦定理得，结合已知条件可得三角形的周长. (1) 小问详解： 由，得，且， 所以，. (2) 小问详解： 因AC边上的中线， 在中，， 即，又， 所以，消去，， 即，解得或，所以或. 当时，，的周长； 当时，，的周长； 故三角形的周长. 23．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）在中，，则　　　　　. 【答案】 【分析】 在中，根据，利用正弦定理结合二倍角正弦公式求解. 【详解】 在中，因为， 所以，即， 解得， 故答案为： 24．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）某社区内有一扇形草坪如图．，扇形的半径为60米，．甲从圆心出发，沿以每秒1米的速度向慢走，同时乙从出发，沿以每秒米的速度向慢跑．若经过秒，甲和乙所在位置分别为和，记的长度为米．给出下列四个结论：    ①当时，； ②函数在区间上单调递增； ③方程在区间上恰有一个根； ④若函数在处取得最小值，则． 其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 【答案】① ② ④ 【分析】 先根据甲、乙的运动速度和时间得出的表达式，再利用余弦定理求出的表达式，结合导数逐一分析各个结论后可得正确的选项. 【详解】 由题意得，. 在中，， 根据余弦定理， 可得. 结论①： 当时，， 故，即，所以①正确； 结论②： 设，则. 当时，， 故，而，， 故，即在上单调递增， 所以在上也单调递增，所以②正确； 结论③： 若，则， 化简可得. 设，则. 当时，，故， 故，故在单调递增，且， 所以在上无零点，即方程在区间上无根，所以③错误； 结论④ ：因为，其中， 设，， 则， 当，故，故， 故当时， 当，故，故， 故， 故当时， 故在上单调递增，而，， 故存在，使得， 且当时，，当时，， 故在取最小值，即在取最小值，其中， 故④正确. 故答案为：① ② ④ . 25．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）某城市公园计划将园内三角形区域（如图）．建造为多功能区，其中米，米，． （1）求的长度； （2）公园拟在边上设置休息点与，不重合．，同时将，，修建为三种不同功能的AI智慧步道，其每米造价分别为0.1万元，0.2万元，0.3万元．记，三段AI智慧步道的造价总和记为（单位：万元）． ①将表示为的函数； ②若不超过48万元，求的最大值．只需写出结论． 【答案】（1）；     （2）①，其中；②.      【分析】 （1）直接利用余弦定理即可求解； （2）① 利用正弦定理分别求出，，从而得到表达式，再写出的表达式，最后求出范围即可； ② 根据解得，再结合即可得到的最大值. (1) 小问详解： 在三角形中， 由余弦定理， 代入，得到， 解得． (2) 小问详解： ①，则 因为， 所以， 在三角形中，由正弦定理， 所以，， 又， 所以，其中． ② 若，即，即，即 因为，因此只需，化简得， 则，当，则， 则，解得， 再考虑到，其中，， 故的最大值为． 26．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）在中，角的对边分别是，且． （1）求； （2）若面积为，求边上中线的长． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）由正弦定理边化角即可得到角； （2）根据，得，结合三角形面积公式即可得到，再由正弦定理得边c，以及，即可得到答案． (1) 小问详解： ，由正弦定理边化角得， ，， 或（舍）， 又，； (2) 小问详解： ，，，， ，即，解得， 由正弦定理， 得， 设边的中点为，连接，如下图： ，即， 即， 解得． 27．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）在中，，，． （1）求； （2）求的面积． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）利用正弦定理及三角形内角和，结合两角和的正弦公式即可求解； （2）利用平方关系即两角和的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可得的值，利用三角形面积公式即可求解. (1) 小问详解： 解：由正弦定理可得：, 又，所以， 整理得：， 因为，所以，而B为三角形内角，故. (2) 小问详解： 解：因为，所以或， 又，，所以 当时，，不符合题意， 故，， 由正弦定理得，即，解得， 故的面积为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $