专题03 导数及其应用（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题03 导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  2．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数 .若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  3．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数，则下列结论中正确结论的个数为（       ） ①存在正数，使在定义域内单调递减； ②当时，函数有唯一零点； ③若存在两个零点，且，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知 ，其中是常数，则（       ） A. 存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B. 存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 5．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如下图所示. 给出下列三个结论： ①函数的导函数有最大值； ②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形； ③对于任意的，有成立. 其中所有正确结论的序号是（       ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 7．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 8．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，. 9．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. （2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 10．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）设函数. （i）求的单调区间； （ii）判断的零点个数，并说明理由； （3）若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论） 11．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）设，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若函数有两个相异零点，，求证：. 12．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数，若为单调递增函数，则实数的范围为　　　　　　　　　　，若恒成立，则实数的范围　　　　　　　　　　. 13．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）写出一个满足条件①②③的函数　　　　　． ①的定义域为     ②的值域为   ③为的极值点 14．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数有三个零点记为，其中和． （1）求实数的取值范围； （2）记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 15．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求的取值范围． -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数有两个极值点．记，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围． 19．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，求的最大值． 20．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 21．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的极值点的个数； （3）若函数在区间上有唯一零点，证明：. 22．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数在处的切线为. （1）求； （2）证明：函数有最小值. 23．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 24．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数. ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 25．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 26．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 27．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数. （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：. 28．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 29．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为，其导函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； （3）若为的极大值点，求实数的取值范围． 30．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， ①证明：函数在区间内存在唯一的极值点； ②记在区间内的极值点为，设函数，，讨论函数的单调性． 31．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若函数，求证：在区间上有且只有一个极大值点； （3）若，写出的取值范围.（只需写出结论） 32．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数 （1）当时，求函数的单调性和极值. （2）若函数有两个正零点且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 33．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　. 34．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 最大值 极大值 极小值 极大值 极小值 35．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，对任意，有1个极值点； ②当时，存在，使得存在极值点； ③当时，对任意，有一个零点； ④当时，存在，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极小值点； （3）当时，若对任意，恒成立，记此时实数a的最大值为，求的解析式. 2．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）函数的定义域为，，的导函数，为处的切线． （1）求的最小值； （2），证明：除点外，曲线均在上方； （3）若时，直线过且与垂直，，分别于轴的交点为与，求的取值范围． 3．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 2大高频考点概览 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】A 【分析】 先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】 由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 2．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数 .若对任意的实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】D 【分析】 利用参变分离可求参数的取值范围，注意结合基本不等式和导数求新函数的最值. 【详解】 对任意的实数，不等式恒成立即为： 且 ， 因为时，恒成立，此时； 当时，故原不等式即为 且 ， 当时，， 当且仅当时等号成立，故； 当时，设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数，故，故， 综上. 故选：D. 3．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数，则下列结论中正确结论的个数为（       ） ①存在正数，使在定义域内单调递减； ②当时，函数有唯一零点； ③若存在两个零点，且，则. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【分析】 结论① ：分区间分析导数，结合的连续性，验证存在正数使函数在定义域内连续单调递减；结论② ：分区间分析函数值符号，确定唯一零点；结论③ ：结合定义域与零点间距条件，排除负零点的可能，再通过零点条件与函数单调性确定参数范围. 【详解】 结论① ： 函数定义域为，. 当时，，， 取，则，函数在上单调递减，且； 当时，，， 取，则，函数在单调递减，且. 因此在内连续且单调递减，故结论① 正确. 结论② ： 当时：若，， ，函数在上单调递减，故； 若，； 仅时，故函数有唯一零点，结论② 正确. 结论③ ： 已知是的一个零点，不妨设， 由，若，则，显然不满足， 故另一个零点必大于0，此时. 由，得，，所以， 记（），则. 设（），则. 故在上单调递减，且，则（）， 可得，故在上单调递减. 因此时，，故，则得，结论③ 正确. 综上，3个结论均正确. 故选：D 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知 ，其中是常数，则（       ） A. 存在实数，使得对任意实数，函数都有零点 B. 存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点 C. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点 D. 对于任意实数，存在实数，使得函数恰有3个零点 【答案】B 【分析】 根据题意画出函数在上的图象，再对参数进行分类讨论即可得不管取何值时，函数的值域不为，所以A错误；由图可知，当时，与在上有两个交点，即B正确；易知对于任意实数，不管取何值时，函数与最多有一个交点，即C错误，由图象可知对于任意实数，不一定存在实数，使得函数恰有3个零点，即D错误. 【详解】 由解析式可知，当时，，则； 易知当时，，当时，； 即可得函数在上单调递减，在上单调递增； 所以函数在处取得极小值，也是最小值为，且易知当时，； 即可得在上的值域为， 易知，当时，函数 的图象，如下图所示：    当时，易知二次函数的对称轴，且开口向上， 其图象大致如下图所示：    当时，易知二次函数的对称轴，且开口向下， 其图象大致如下图所示：    由以上三种情况可知，当时，函数的值域为， 当时，易知在对称轴处取得最小值， 所以当时，，此时函数的值域为， 当时，，此时函数的值域为； 对于A，若使得对任意实数，函数都有零点，即函数与函数必有交点， 此时须满足存在实数使得的值域为， 由图象可知，不管取何值时，函数的值域都不为，即A错误； 对于B，易知当时，与在上有两个交点， 所以不管取何值时，只需，函数与至少有两个交点， 即存在实数，使得对任意实数，函数至少有2个零点，所以B正确； 对于C，根据图象可得，对于任意实数，不管取何值时，函数与最多有一个交点， 即时，不满足对于任意实数，存在实数，使得函数恰有2个零点，即C错误； 对于D，当时，易知不管取何值时，仅存在，使得函数恰有3个零点； 由图可知当时，易知时，函数有4个零点， 即对于任意实数，不存在实数，使得函数恰有3个零点，所以D错误； 故选：B 【点睛】 方法点睛：在求解零点个数与导数问题时，往往采用数形结合的方法画出函数图象，利用图象交点个数得出零点个数，实现问题求解. 5．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知函数，若时，恒成立，则实数的取值范围是（       ） A.  B.  C.  D.  【答案】B 【分析】 将用代替，换元转化即：对函数，若时，恒成立，求实数的取值范围. 【详解】 法1：当，时， ， 当时，， 此时，所以，不满足当时，，故不符合题意； 当，时，，解得， 由于时，，故，解得； 当，时，恒成立，符合题意； 当，时，，解得，由于时，，故，解得. 综上. 故选：B 法2：当时，等价于或者． 将看成未知量，变形于或者． 所以的取值范围是． 故选：B 6．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）某生物种群数量在一个有限的环境中增长时，由于资源和空间等因素的限制，该种群数量与时间之间的关系可以由函数刻画，其中常数表示该种群数量的初始值，常数表示该种群环境容纳量，常数表示内禀增长率，函数的图象如下图所示. 给出下列三个结论： ①函数的导函数有最大值； ②存在，使得函数在区间的图象是中心对称图形； ③对于任意的，有成立. 其中所有正确结论的序号是（       ） A. ① B. ①② C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【分析】 求出函数的导函数，利用基本不等式判断①，令，推导出即可判断②，结合图象及斜率公式判断③ . 【详解】 对于①：令，则， 所以， 当且仅当，即，即， 即时取等号，即有最大值，故①正确； 对于②：令，则，， 所以 ， 所以函数在区间的图象关于对称，故②正确； 对于③：表示点与点连线的斜率， 表示点与点连线的斜率， 不妨令，，， 取如下图所示三点，，， 显然，即，故③错误. 故选：B 7．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数在处有极值-1. （1）求实数a，b的值; （2）求函数的单调区间. 【答案】（1）     （2）的单调递增区间为，单调递减区间为      【分析】 （1）由题意 ，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. (1) 小问详解： 已知函数，则， 由题意 ，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； (2) 小问详解： 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 8．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求证：当时，. 【答案】（1）     （2） 证明：令， 则，在上单调递减， ，即当时，      【分析】 （1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. (1) 小问详解： 定义域为，，，又， 在处的切线方程为. (2) 小问详解： 略 9．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）已知函数. （1）当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求证：，. （2）若在上恰有一个极值点，求的取值范围. 【答案】（1）（ⅰ）切线方程为； （ⅱ），，因为， 所以, 所以，所以 所以在单调递增，所以；     （2）      【分析】 （1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论； （2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 当时， （ⅰ） ，又，所以切线方程为. （ⅱ）略 (2) 小问详解： ， 当时，所以， , 由（1）知，， 所以在上单调递增. 所以当时，没有极值点， 当时，， 因为与在单调递增. 所以在单调递增. 所以，. 所以使得. 所以当时，，因此在区间上单调递减， 当时，，因此在区间上单调递增. 故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是. 10．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）已知函数 （1）求曲线在点处的切线方程 （2）设函数. （i）求的单调区间； （ii）判断的零点个数，并说明理由； （3）若存在条互相平行的直线与曲线相切，写出的最大值（只需写出结论） 【答案】（1）     （2）（i）函数只有单调减区间为，无单调增区间； （ii）2个零点，理由见如下： 又， 所以在区间上存在唯一的零点. 因为， 所以在区间上存在唯一的零点， 因此恰有2个零点；     （3）      【分析】 （1）只需求得，即可； （2）（i）直接求导，根据导数的符号判断即可；（ii）根据零点存在定理判断即可； （3）由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象和切线，结合图象即可得解. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： （i），定义域为， 则， 所以函数只有单调减区间为，无单调增区间； （ii）略 (3) 小问详解： . 由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象，如图， 现作出切线，可得最多有4条平行直线与函数图象相切. 11．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）设，函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若函数有两个相异零点，，求证：. 【答案】（1）     （2） 时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间.     （3） 因为有两个相异的零点， 由（2）可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 当时，即时，方程无解，此时a的范围是， 当的范围是时，结合函数图象可知，方程有两个不等解， 由于，不妨令，则有，， 所以，，所以， 要证，只需，即，， 即证，即， 即，只需， 令，则，所以只要证明在上成立， 令，可得， 由，所以恒成立，所以在递增， 又由，所以时，恒成立，即恒成立， 即恒成立，从而可得.      【分析】 （1）代入的值，计算，，求出切线方程即可. （2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可. （3）问题转化为，令，则，得到，令，根据函数的单调性证明即可. (1) 小问详解： 当时，， ，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 由函数定义域是， ， 当时，，单调递增， 所以函数单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，可得， 令，可得， 由，可得，由，可得， 所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间. (3) 小问详解： 略 12．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知函数，若为单调递增函数，则实数的范围为　　　　　　　　　　，若恒成立，则实数的范围　　　　　　　　　　. 【答案】①     ② 【分析】 利用导数分析函数的单调性，可求实数的范围；根据基本不等式研究的最小值，可求实数的范围. 【详解】 对空1：因为，所以， 因为为单调递增函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以. 对空2：因为时，不可能恒成立. 所以. 因为，当且仅当时取等号. 由. 故答案为：； 13．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）写出一个满足条件①②③的函数　　　　　． ①的定义域为     ②的值域为   ③为的极值点 【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】 ，满足定义域为 R，值域为，图象如下图： 所以是极大值点. 故答案为：.（答案不唯一） 14．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数有三个零点记为，其中和． （1）求实数的取值范围； （2）记曲线在点处的切线为，设直线与轴交点的坐标为，求的范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据及，可知为的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式求解即可； （2）利用导数的几何意义求得直线的方程为，令得，结合得，，构造函数利用导数法求解值域，即可求得的范围. (1) 小问详解： ，显然， 由题意，为的零点， 因为和，为开口向上的抛物线， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为； (2) 小问详解： 由得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令得， 由（1）知， 所以， 又及得， 所以，， 记，，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以的范围为. 15．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性. 【答案】（1）     （2） 当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为.      【分析】 （1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. (1) 小问详解： 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； (2) 小问详解： 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当 ，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 16．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）已知函数在点处的切线方程为． （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）单调递增区间为，单调递减区间为.     （3）      【分析】 （1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解的值； （2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （3）将的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解的取值范围. (1) 小问详解： 因为， 所以． 由题意 ，解得 . (2) 小问详解： 由（1）得． 令，解得． 当变化时，的变化情况如表所示： 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 (3) 小问详解： 设． 设，则． 当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，， 所以恒成立． 由题意，等价于 或， 解得 或． 综上，的取值范围是． 17．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得唯一确定，求： （1）曲线在点处的切线方程； （2）函数的单调区间． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，本题得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）选择① ，不符合题意； 选择② 或③ ，切线方程为．     （2） 单调递增区间为，单调递减区间为.      【分析】 （1）结合题意求出的解析式，再结合导数的几何意义求解切线方程即可. （2）利用导数的性质结合函数的定义域求解单调区间即可. (1) 小问详解： 选择条件① ，可得， 此时无法使得唯一确定，故排除， 选择条件② ，可得，解得， 选择条件③ ，因为，所以， 可得，解得， 故选择条件② 或条件③ 可使得唯一确定，且在两种情况下一致， 故，，定义域为， 而，，则切线方程为. (2) 小问详解： 由已知得，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，单调递增区间为，单调递减区间为. 18．（25-26学年高三上·北京海淀·期中）已知函数有两个极值点．记，． （1）若点在直线上，求的值； （2）若函数的图象上存在点，使得是以为顶点的等腰三角形，求的取值范围． 【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）对求导，然后解方程，找到函数的极值点，利用点A在直线上这一条件，可以建立关于a的方程，从而求解a的值； （2）先求出A，B两点的坐标，再根据是以P为顶点的等腰三角形得到，然后通过距离公式可得，则所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围．令，利用导数研究其单调性及最值，结合零点存在性定理列出不等式求解a的取值范围． (1) 小问详解： ，得， 令，即， ∵函数有两个极值点 ∴方程有两个不等的实根，则， ∴解方程得． 因为点在直线上，所以， 即， 解得． (2) 小问详解： 由（1）可知，其中， 则， ， 所以，， 设，因为是以为顶点的等腰三角形，所以， 则， 展开并化简可得：. 即所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围. 令，， 令，所以，其中， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，当时，有极大值，也是最大值， 且， 当时，，，，， 当时，，，，， 要使有实数解，则， 因为，所以，解得. 因此，的取值范围是． 19．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数． （1）若，求的极值； （2）若，求的最大值． 【答案】（1）极小值，无极大值；     （2）      【分析】 （1）先对求导，根据单调性求出的极值； （2）由函数单调性和得出关于的不等关系式，再通过求导得出最大值. (1) 小问详解： 时，， 函数的定义域， ， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以时，取得极小值，极小值为，无极大值. (2) 小问详解： 函数的定义域，， 当时，，函数在上单调递增， 趋向于时，趋向于，与矛盾. 当时，则时，，在上单调递减， 则时，，在上单调递增， 时，取得最小值， 最小值为， 即， 则， 令， ， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 时，取得最大值，最大值为， 即当，，的最大值为. 20．（25-26学年高三上·北京第四中学·期中）已知函数． （1）当时， ①求曲线在点处切线的方程； ②求函数的单调区间； （2）若关于的不等式的解集为，求整数的最大值． 【答案】（1）①；② 单调递减区间是，单调递增区间是；     （2）.      【分析】 （1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. (1) 小问详解： ① 当时，函数定义域为R，求导得，则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 小问详解： 依题意，，不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，而， 令 由，得， 由对勾函数性质得在单调递减，则， 所以整数的最大值为. 21．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数在区间上的极值点的个数； （3）若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】（1）；     （2） 当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.     （3） 由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即.      【分析】 （1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； （3）由（2）解析过程知，函数要有唯一零点t，必有函数的唯一极小值点，再通过构造函数，，只需用导数证明的零点即可. (1) 小问详解： 当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. (2) 小问详解： 由函数，. 令，，. ① 若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ② 当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③ 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. (3) 小问详解： 略 22．（25-26学年高三上·北京顺义牛栏山第一中学·期中）已知函数在处的切线为. （1）求； （2）证明：函数有最小值. 【答案】（1）；     （2） 由，得， . 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 时，；时，. ， 所以在处的极小值为函数的最小值，故有最小值.      【分析】 （1）将函数转化为乘积形式求导，结合切线斜率与切点导数的关系，求解参数； （2）求导后分析导数符号得到单调区间，结合极限趋势，确定极小值为最小值. (1) 小问详解： ， . 当时，. 切线斜率为，故，即，解得. (2) 小问详解： 略 23．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若关于的方程有两个不相等的实数根，记较小的实数根为，求证：． 【答案】（1）     （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为；     （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证．      【分析】 （1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． (1) 小问详解： ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； (2) 小问详解： 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 24．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）已知函数. ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 【答案】① ② ③ 【分析】 对①，由函数奇偶性定义判断；对②，判断函数零点的存在性；对③，由的符号判断；对④，分别在和寻求函数的极值点，再结合偶函数性质判断. 【详解】 对于① ：定义域为R，对，， 所以是偶函数，① 正确； 对于② ：令，， 由零点存在性定理，，，即，② 正确； 对于③ ：令，因为， 所以当时，， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时，， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③ 正确； 对于④ ：，令， 当时，因为， 所以在单调递增，又， 所以，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时，， 所以在单调递减，又， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④ 错误； 故答案为：① ② ③ 25．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）. （1）若，求函数的单调区间； （2）若函数在区间和上各恰有一个零点，分别记为和， （ⅰ）证明：函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）记曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为S，求的最大值. 【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间     （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）      【分析】 （1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. (1) 小问详解： 当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 26．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）已知函数. （1）当时，求的单调区间； （2）已知有两个极值点，且， （i）求实数a的取值范围； （ii）求的最小值. 【答案】（1）增区间为和；减区间为     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； （2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围； （ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值. (1) 小问详解： 当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. (2) 小问详解： （i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则 ，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 27．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）已知函数. （1）若，求的零点； （2）若，讨论的单调性； （3）若，为自然对数的底数，证明：. 【答案】（1）；     （2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.     （3）因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立.      【分析】 （1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. (1) 小问详解： 若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. (2) 小问详解： 若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ② 当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③ 当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 略 28．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数. （1）求函数的图象在点处的切线的方程； （2）当时，求证：； （3）讨论函数（且为常数）零点的个数. 【答案】（1）     （2）证明：当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴， ∴，即.     （3）当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.      【分析】 （1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程. （2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立. （3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果. (1) 小问详解： 由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由得，. 令，则， 由得或，由得， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 当时，，当时，，当，. ∵时，取极小值， ∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点， 当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点， 当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点， 当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点. 综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【点睛】 思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下： （1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论. （2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果. 29．（25-26学年高三上·北京通州·期中）已知函数的定义域为，其导函数． （1）当时，求的单调区间； （2）若，求证：函数的图象恒在函数的图象的上方； （3）若为的极大值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）证明：要证函数的图象恒在函数的图象的上方， 即证恒成立， 令，即证恒成立， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以恒成立，原命题得证.     （3）      【分析】 （1）令，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意即证恒成立，令，即证恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可求出，从而得证； （3）依题意可得在处左侧，右侧，结合（1）分和两种情况讨论，得到的单调性，即可得到，解得即可. (1) 小问详解： 因为定义域为， 令，则， 令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为的极大值点， 所以在处左侧（不要求为），右侧（不要求为）， 当时，恒成立， 所以即在上单调递增，又， 此时当时，当时， 则在处取得极小值，不符合题意； 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得， 此时当时，当时，则为的极大值点，符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 30．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）已知函数，． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时， ①证明：函数在区间内存在唯一的极值点； ②记在区间内的极值点为，设函数，，讨论函数的单调性． 【答案】（1）     （2） ① 当时，， 则， 因为，由可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上有且只有一个极值点； ② 单调递减.      【分析】 （1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）① 求导得，利用函数的极值点与导数的关系可证得结论成立；② 求导得，当时，判断的符号，即可得出结论. (1) 小问详解： 当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在处的切线方程. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 知，为函数在上的极大值点， 且， 因为，则 ， 因为，则，所以，， 故， 所以函数在上为减函数. 31．（25-26学年高三上·北京朝阳·期中）已知函数. （1）求在区间上的最大值； （2）若函数，求证：在区间上有且只有一个极大值点； （3）若，写出的取值范围.（只需写出结论） 【答案】（1）     （2） 因为，. 所以，. 设，， 则 . 因为，所以，，所以. 所以即在上单调递减. 且，. 所以，使得，且唯一. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以：在区间上有且只有一个极大值点.     （3）      【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大值. （2）利用导数分析函数的单调性，可得函数的极值的情况. （3）利用换元思想，设，将转化成，再确定的取值范围即可. (1) 小问详解： 当时，. 由，所以；由，所以. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 设，则. 对，， 因为，，所以. 设，， 则， 令则， 当时，；当时，， 所以单调递减，，即在上恒成立. 所以在上单调递减.所以. 即， 又，所以，即. 综上：，所以，即. 32．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数 （1）当时，求函数的单调性和极值. （2）若函数有两个正零点且， （ⅰ）求证：； （ⅱ）当时，不等式恒成立，求证：. 【答案】（1）在 上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值.     （2）（i）证明：由题意知方程有两个不同的正实根 ， 由（1）知且 ，解得 ， 则 ，， 两边同时取自然对数，得 ， 两式相减得 ，即 ， 要证 ，只需证明 ， 令 ，只需证明 构造函数 ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，于是 ，所以不等式 成立， 于是原不等式成立. （ii）证明： 结合以上分析可知当时，； 当时， ；当时， ． 所以要满足题意，则关于的方程的两根是 ， 于是 ， 对比系数得 ， 所以 ．      【分析】 （1）直接求导，即可判断单调性，据此求极值； （2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证； （ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证. (1) 小问详解： 代入，得函数的定义域为 ， 求导得 ，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 则函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 33．（25-26学年高三上·北京丰台区怡海中学·期中）已知函数，.给出下列四个结论： ①当时，函数有最小值； ②，使得函数在区间上单调递增； ③，使得函数没有最小值； ④，使得方程有两个根且两根之和小于. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　　　　　　. 【答案】① ② ④ 【分析】 利用函数的最值与单调性的关系可判断① ③ 的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断② 的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④ 的正误. 【详解】 对于① ，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，① 对； 对于② ，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，② 对； 对于③ ，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③ 错； 对于④ ， 令，不妨令，即取， 由③ 可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④ 对. 故答案为：① ② ④. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 34．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知函数（）． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间； （3）若恰有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）当时，在内单调递增，在内单调递减． 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 当时，在上单调递增． 当时，在，内单调递增，在内单调递减． （3）． 【详解】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）求的导函数，分，，，分类讨论求和的解集，从而求出函数的单调区间； （3）由第（2）问的结果，分别讨论函数的情况，求出的取值范围. 【详解】 解：（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ① 当时，与在上的变化情况如下： 所以在内单调递增，在内单调递减． ② 当时，与在上的变化情况如下： 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③ 当时，，所以在上单调递增． ④ 当时，与在上的变化情况如下： 所以在，内单调递增，在内单调递减． （3）由（2）可知： ① 当时，在内单调递增，在内单调递减， 当时，取得最大值． （i）当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． （ii）当时，． 因为，，在内单调递减， 所以在内有唯一零点． 因为， 所以且． 因为，， 且在内单调递增，所以在内有唯一零点． 所以当时，恰有两个零点． ② 当时，在，内单调递增，在内单调递减， 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ③ 当时，在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ④ 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 最大值 极大值 极小值 极大值 极小值 【点睛】 方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 35．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）已知函数，给出下列四个结论： ①当时，对任意，有1个极值点； ②当时，存在，使得存在极值点； ③当时，对任意，有一个零点； ④当时，存在，使得有3个零点. 其中所有正确结论的序号是　　　　　　. 【答案】① ④ 【分析】 对① ：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对② ：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③ ：举出反例即可得；对④ ：将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理得到直线与曲线的关系. 【详解】 对① ：当时，，， 则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故对任意，有1个极大值点，故① 正确； 对② ：当时，， 若存在极值点，则有变号零点，则必须有解， 令， 则， 故当时，，当时， ， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 即恒成立，故当时，无解，故② 错误； 对③ ：当时，， 当时，，此时函数无零点，故③ 错误； 对④ ：当时，若存在，使得有3个零点， 则直线与曲线有三个不同交点， 由直线过点，曲线过点， 又，是偶函数，且在上单调递减， 故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点， 同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点， 过点作曲线的切线，设切点为， 则切线方程为， 即，则， 由，则，即， 即，即， 故当时，存在， 使曲线有过点的切线，且切点为， 当时，切线斜率为， 则当时，有，又， 则存在，使， 此时函数单调递减，而恒成立， 故存在，使， 即当时，存在，使得有3个零点， 同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④ 正确. 故答案为：① ④. 【点睛】 关键点点睛：第④ 个结论关键点在于将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理去得到直线与曲线的关系. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）已知函数（）. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的极小值点； （3）当时，若对任意，恒成立，记此时实数a的最大值为，求的解析式. 【答案】（1）     （2）当时，的极小值点为；当时，无极小值点.     （3）      【分析】 （1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点; （3）先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求函数的最小值来确定实数a的取值范围，进而得到的解析式. (1) 小问详解： 由题意得，，则，，即切线的斜率为， 又，切线方程为，即 (2) 小问详解： 令，即，解得或， 当时，，无极小值； 当时，在区间和上， 单调递增； 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为, 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. (3) 小问详解： 当时， 恒成立，即在上恒成立， ，，不等式两边同乘，得， 整理得，即， ，， 又，在上恒成立， 令，则，那么， ， ，，则，， 又恒成立，且趋于时，趋于， ，即. 2．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）函数的定义域为，，的导函数，为处的切线． （1）求的最小值； （2），证明：除点外，曲线均在上方； （3）若时，直线过且与垂直，，分别于轴的交点为与，求的取值范围． 【答案】（1）     （2） 由题可知切线的方程为， 即， 令， ， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，且， 当时，，当时，， ，， 当时，，则， 综上，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 所以，除点外，曲线均在上方；     （3）      【分析】 （1）利用导数判断其单调性，即可求出最小值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围． (1) 小问详解： 令， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 即的最小值为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意，直线，直线， 所以，， 所以 ， 由（1）可得当时，当，单调递减， 时，单调递增，且时，，， ， 所以， 所以． 3．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）已知函数. （1）当时，求证： ①当时，； ②函数有唯一极值点； （2）若曲线与曲线在某公共点处的切线重合，则称该切线为和的“优切线”.若曲线与曲线存在两条互相垂直的“优切线”，求，的值. 【答案】（1）① 证明如下： 当时，. 记，则. 所以在上是增函数. 所以当时，. 所以当时，. ② 证明如下： 由得，且. 当时，. 因为，， 所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，. 所以0是的唯一极值点.     （2）      【分析】 （1）① 当时，得，故只需证明当时，即可，利用导数即可求解. ② 求导得，由此可得当时，，结合即可得证. （2）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则. 因为， 所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“优切线”的定义可知. 所以. 由“优切线”的定义可知， 所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以. 【点睛】 关键点睛：第一问② 的关键是，求导得，然后以为分界点讨论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数及其应用 考点01 导数在研究函数中的应用 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 考点01 导数在研究函数中的应用 1．A 2．D 3．D 4．B 5．B 6．B 7．【答案】（1）     （2）的单调递增区间为，单调递减区间为      【分析】 （1）由题意 ，解出的值再检验即可； （2）直接求导，根据导数符合与单调性的关系即可得解. (1) 小问详解： 已知函数，则， 由题意 ，解得 ， 当时，，， 当或时，，当时，， 所以在上均单调递增，在上单调递减， 所以在处有极小值，满足题意， 综上所述，符合题意； (2) 小问详解： 由题意，则， 当时，，当时，， 所以的单调递增区间为，的单调递减区间为. 8．【答案】（1）     （2） 证明：令， 则，在上单调递减， ，即当时，      【分析】 （1）根据导数几何意义可求得切线斜率，结合可得切线方程； （2）构造函数，利用导数可求得单调性，从而得到，原结论得证. (1) 小问详解： 定义域为，，，又， 在处的切线方程为. (2) 小问详解： 略 9．【答案】（1）（ⅰ）切线方程为； （ⅱ），，因为， 所以, 所以，所以 所以在单调递增，所以；     （2）      【分析】 （1）当时，求导，根据导数几何意义求解切点坐标与斜率，即可得切线方程；根据导函数的正负确定函数的单调性，即可得函数的最值，即可证明结论； （2）根据极值点与函数的关系，对进行讨论，确定导函数是否存在零点进行判断，即可求得的取值范围. (1) 小问详解： 当时， （ⅰ） ，又，所以切线方程为. （ⅱ）略 (2) 小问详解： ， 当时，所以， , 由（1）知，， 所以在上单调递增. 所以当时，没有极值点， 当时，， 因为与在单调递增. 所以在单调递增. 所以，. 所以使得. 所以当时，，因此在区间上单调递减， 当时，，因此在区间上单调递增. 故函数在上恰有一个极小值点，的取值范围是. 10．【答案】（1）     （2）（i）函数只有单调减区间为，无单调增区间； （ii）2个零点，理由见如下： 又， 所以在区间上存在唯一的零点. 因为， 所以在区间上存在唯一的零点， 因此恰有2个零点；     （3）      【分析】 （1）只需求得，即可； （2）（i）直接求导，根据导数的符号判断即可；（ii）根据零点存在定理判断即可； （3）由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象和切线，结合图象即可得解. (1) 小问详解： 因为， 所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为. (2) 小问详解： （i），定义域为， 则， 所以函数只有单调减区间为，无单调增区间； （ii）略 (3) 小问详解： . 由（1）可得在上都是减函数，作出函数图象，如图， 现作出切线，可得最多有4条平行直线与函数图象相切. 11．【答案】（1）     （2） 时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间.     （3） 因为有两个相异的零点， 由（2）可得，当时，由连续单调递增，至多一个零点； 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为， 所以， 当时，即时，方程无解，此时a的范围是， 当的范围是时，结合函数图象可知，方程有两个不等解， 由于，不妨令，则有，， 所以，，所以， 要证，只需，即，， 即证，即， 即，只需， 令，则，所以只要证明在上成立， 令，可得， 由，所以恒成立，所以在递增， 又由，所以时，恒成立，即恒成立， 即恒成立，从而可得.      【分析】 （1）代入的值，计算，，求出切线方程即可. （2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可. （3）问题转化为，令，则，得到，令，根据函数的单调性证明即可. (1) 小问详解： 当时，， ，，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即. (2) 小问详解： 由函数定义域是， ， 当时，，单调递增， 所以函数单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，可得， 令，可得， 由，可得，由，可得， 所以，函数单调递增区间为，单调递减区间为. 综上，时，单调递增区间为，单调递减区间为， 时，单调递增区间为，无单调递减区间. (3) 小问详解： 略 12．【答案】①     ② 【分析】 利用导数分析函数的单调性，可求实数的范围；根据基本不等式研究的最小值，可求实数的范围. 【详解】 对空1：因为，所以， 因为为单调递增函数，所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以. 对空2：因为时，不可能恒成立. 所以. 因为，当且仅当时取等号. 由. 故答案为：； 13．【答案】（答案不唯一） 【分析】 根据题意，结合三角函数的性质即可求解. 【详解】 ，满足定义域为 R，值域为，图象如下图： 所以是极大值点. 故答案为：.（答案不唯一） 14．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）根据及，可知为的零点，然后根据二次函数零点分布列不等式求解即可； （2）利用导数的几何意义求得直线的方程为，令得，结合得，，构造函数利用导数法求解值域，即可求得的范围. (1) 小问详解： ，显然， 由题意，为的零点， 因为和，为开口向上的抛物线， 所以 ，解得， 所以实数的取值范围为； (2) 小问详解： 由得， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为， 令得， 由（1）知， 所以， 又及得， 所以，， 记，，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以的范围为. 15．【答案】（1）     （2） 当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为.      【分析】 （1）求出函数的导函数，再由点斜式求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，再分、、、四种情况讨论，分别求出函数的单调区间. (1) 小问详解： 当时，则，， 所以， 所以曲线在点处的切线方程为，即； (2) 小问详解： 函数的定义域为， 又， 当时，恒成立，所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当，即时恒成立，所以在上单调递增； 当，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当 ，即时，当或时，当时， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上可得，当时的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当 时的单调递增区间为，，单调递减区间为. 16．【答案】（1）     （2）单调递增区间为，单调递减区间为.     （3）      【分析】 （1）根据函数在某点处的切线方程，利用导数几何意义以及该点在函数图像和切线上来求解的值； （2）通过对函数求导，根据导数的正负来确定函数的单调区间； （3）将的表达式代入不等式，通过移项、因式分解等方法求解的取值范围. (1) 小问详解： 因为， 所以． 由题意 ，解得 . (2) 小问详解： 由（1）得． 令，解得． 当变化时，的变化情况如表所示： 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． -4 -1 0 - 0 + 0 - 0 + 单调递减 单调递增 1 单调递减 0 单调递增 (3) 小问详解： 设． 设，则． 当时，在上单调递增，， 当时，在上单调递减，， 所以恒成立． 由题意，等价于 或， 解得 或． 综上，的取值范围是． 17．【答案】（1）选择① ，不符合题意； 选择② 或③ ，切线方程为．     （2） 单调递增区间为，单调递减区间为.      【分析】 （1）结合题意求出的解析式，再结合导数的几何意义求解切线方程即可. （2）利用导数的性质结合函数的定义域求解单调区间即可. (1) 小问详解： 选择条件① ，可得， 此时无法使得唯一确定，故排除， 选择条件② ，可得，解得， 选择条件③ ，因为，所以， 可得，解得， 故选择条件② 或条件③ 可使得唯一确定，且在两种情况下一致， 故，，定义域为， 而，，则切线方程为. (2) 小问详解： 由已知得，， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，单调递增区间为，单调递减区间为. 18．【答案】（1）     （2）      【分析】 （1）对求导，然后解方程，找到函数的极值点，利用点A在直线上这一条件，可以建立关于a的方程，从而求解a的值； （2）先求出A，B两点的坐标，再根据是以P为顶点的等腰三角形得到，然后通过距离公式可得，则所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围．令，利用导数研究其单调性及最值，结合零点存在性定理列出不等式求解a的取值范围． (1) 小问详解： ，得， 令，即， ∵函数有两个极值点 ∴方程有两个不等的实根，则， ∴解方程得． 因为点在直线上，所以， 即， 解得． (2) 小问详解： 由（1）可知，其中， 则， ， 所以，， 设，因为是以为顶点的等腰三角形，所以， 则， 展开并化简可得：. 即所求问题转化为：当时，有实数解，求的范围. 令，， 令，所以，其中， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 因此，当时，有极大值，也是最大值， 且， 当时，，，，， 当时，，，，， 要使有实数解，则， 因为，所以，解得. 因此，的取值范围是． 19．【答案】（1）极小值，无极大值；     （2）      【分析】 （1）先对求导，根据单调性求出的极值； （2）由函数单调性和得出关于的不等关系式，再通过求导得出最大值. (1) 小问详解： 时，， 函数的定义域， ， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以时，取得极小值，极小值为，无极大值. (2) 小问详解： 函数的定义域，， 当时，，函数在上单调递增， 趋向于时，趋向于，与矛盾. 当时，则时，，在上单调递减， 则时，，在上单调递增， 时，取得最小值， 最小值为， 即， 则， 令， ， 时，，在上单调递增， 时，，在上单调递减， 时，取得最大值，最大值为， 即当，，的最大值为. 20．【答案】（1）①；② 单调递减区间是，单调递增区间是；     （2）.      【分析】 （1）把代入求出函数的导数，①利用导数的几何意义求出切线方程；②利用导数求出单调区间. （2）等价变形给定不等式并分离参数，构造函数，利用导数求出最小值范围，进而求出整数的最大值. (1) 小问详解： ① 当时，函数定义域为R，求导得，则，而， 所以曲线在点处切线的方程为. ② 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增. (2) 小问详解： 依题意，，不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，函数在上单调递增， 而，则存在，使得，即， 当时，，即；当时，，即， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，而， 令 由，得， 由对勾函数性质得在单调递减，则， 所以整数的最大值为. 21．【答案】（1）；     （2） 当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点.     （3） 由（2）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即.      【分析】 （1）直接根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）先对函数求导，再分，，三种情况对导数讨论可得函数的极值点； （3）由（2）解析过程知，函数要有唯一零点t，必有函数的唯一极小值点，再通过构造函数，，只需用导数证明的零点即可. (1) 小问详解： 当时，函数， 所以，. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. (2) 小问详解： 由函数，. 令，，. ① 若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ② 当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③ 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. (3) 小问详解： 略 22．【答案】（1）；     （2） 由，得， . 令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减. 时，；时，. ， 所以在处的极小值为函数的最小值，故有最小值.      【分析】 （1）将函数转化为乘积形式求导，结合切线斜率与切点导数的关系，求解参数； （2）求导后分析导数符号得到单调区间，结合极限趋势，确定极小值为最小值. (1) 小问详解： ， . 当时，. 切线斜率为，故，即，解得. (2) 小问详解： 略 23．【答案】（1）     （2）时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为；     （3）由（2）可知，当时，才有两个不相等的实根，且， 则要证，即证，即证， 而，则，否则方程不成立）， 所以即证，化简得， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以，而，所以， 所以，得证．      【分析】 （1）求函数导数得切线斜率，再由点斜式可得解； （2）由，分和两种情况讨论导函数的正负，可得函数的单调区间； （3）分析可得要证，，令，利用导数证得，即可得证． (1) 小问详解： ，， ，， 所以在点处的切线方程为， 整理得：； (2) 小问详解： 函数定义域为， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，得， 此时在上，在单调递减， 在上，在单调递增， 综上： 时，的递增区间为，无递减区间； 时，的递减区间为，递增区间为； (3) 小问详解： 略 【点睛】 关键点点睛：本题的解题关键是通过证明即可得解，分析函数在极小值左侧的单调性，关键再由证明，利用构造函数的方法即可. 24．【答案】① ② ③ 【分析】 对①，由函数奇偶性定义判断；对②，判断函数零点的存在性；对③，由的符号判断；对④，分别在和寻求函数的极值点，再结合偶函数性质判断. 【详解】 对于① ：定义域为R，对，， 所以是偶函数，① 正确； 对于② ：令，， 由零点存在性定理，，，即，② 正确； 对于③ ：令，因为， 所以当时，， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时，， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③ 正确； 对于④ ：，令， 当时，因为， 所以在单调递增，又， 所以，， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时，， 所以在单调递减，又， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④ 错误； 故答案为：① ② ③ 25．【答案】（1）单调递增区间为，无单调递减区间     （2）（ⅰ）证明：当时，， 根据题意，零点分别在区间和内，不等于1，因此是方程的两个根， 故，，则，， 且有，则， ， 则， 同理 ， 故函数在两点，处的切线平行； （ⅱ）      【分析】 （1）求导后因式分解，再构造函数，从而结合单调性讨论其正负，从而得到的正负，即可得单调性； （2）（ⅰ）由题意可得和是的零点，结合韦达定理与导数的几何意义计算即可得解；（ⅱ）借助导数的几何意义求切线方程，求出交点坐标，从而可表示出，结合、的关系计算即可得. (1) 小问详解： 当时，， 则， 令，则，故在上递增， 又，则时，，又，故， 当时，，又，故， 故恒成立，故在上单调递增， 即函数的单调递增区间为，无单调递减区间； (2) 小问详解： （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）知， 故在点处的切线为，， 令，则， 又，故， 故，又，且， 所以， 令，则，又， 当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 所以的最大值为. 26．【答案】（1）增区间为和；减区间为     （2）（i）；（ii）      【分析】 （1）先求出函数的导数，再根据函数的正负来确定函数的单调区间即可； （2）（i）先求出导数，根据函数有两个极值点可知导数对应的方程有两个不同的正根，再结合二次函数的性质来确定参数的取值范围； （ii）先根据韦达定理得到与的关系，将表示为关于的函数，最后利用导数求该函数的最小值. (1) 小问详解： 当时，，的定义域为， ， 令，得或， 单调递增； 单调递减； 单调递增. 综上，的增区间为和；减区间为. (2) 小问详解： （i）， 又是函数的两个极值点，所以是方程的两个正根 则 ，解得， 经检验，当时，符合题意. 所以实数的取值范围为. （ii）由（i）知，则，， ， 令， 则， 当时，，则单调递减 当时，，则单调递增 故当时，取得最小值， 所以，即的最小值为. 27．【答案】（1）；     （2）当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增.     （3）因，要证， 只需证，即， 令，， 因此只需证即可. ， 再令，则 因，所以，得，即， 所以在上单调递增，且，. 由零点存在性定理，存在唯一，使得，即. 所以在有唯一零点，且当，当， 所以在上单调递减，在上单调递增， 且，. 所以对，都有成立. 所以，成立.      【分析】 （1）根据零点的定义直接求解可得； （2）利用导数的正负判断函数的单调性； （3）要证的不等式转化为，再构造函数用导数证明可得. (1) 小问详解： 若，则，得或（舍），所以. 所以的零点为. (2) 小问详解： 若，，函数的定义为， 所以，令，得或， 即或. ①时，即， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. ② 当，即时， 当时，，；当时，，. 所以函数在是单调递减. ③ 当时，即，当时，，； 当时，，所以； 当时，，所以. 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在是单调递减.； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (3) 小问详解： 略 28．【答案】（1）     （2）证明：当时，要证，只需证， 令，则， 令，则， 由得，，由得，， ∴在为减函数，在上为增函数， ∴， ∴在上为增函数， ∴， ∴，即.     （3）当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点.      【分析】 （1）求，计算函数图象在处的切线斜率，利用点斜式求切线方程. （2）当时，等价于，构造函数，通过分析单调性可证不等式成立. （3）函数零点个数问题转化为图象交点个数问题，数形结合可得结果. (1) 小问详解： 由题意得，，，∴， ∴切线的方程为：. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由得，. 令，则， 由得或，由得， ∴在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 当时，，当时，，当，. ∵时，取极小值， ∴当时，直线与的图象没有交点，函数无零点， 当时，直线与的图象有1个交点，函数有1个零点， 当时，直线与的图象有2个交点，函数有2个零点， 当时，直线与的图象有3个交点，函数有3个零点. 综上得，当时，函数无零点；当时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点；当时，函数有3个零点. 【点睛】 思路点睛： 本题考查函数综合问题，具体思路如下： （1）当时，要证，可等价变形为，构造函数，通过二次求导可分析函数的单调性，求函数的最小值，即可证明结论. （2）要求函数（且为常数）零点的个数，分离参数得，问题转化为直线与的图象交点个数问题，通过求导分析单调性数形结合可得结果. 29．【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为     （2）证明：要证函数的图象恒在函数的图象的上方， 即证恒成立， 令，即证恒成立， 又， 所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以恒成立，原命题得证.     （3）      【分析】 （1）令，求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间； （2）依题意即证恒成立，令，即证恒成立，利用导数说明函数的单调性，即可求出，从而得证； （3）依题意可得在处左侧，右侧，结合（1）分和两种情况讨论，得到的单调性，即可得到，解得即可. (1) 小问详解： 因为定义域为， 令，则， 令，解得， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为为的极大值点， 所以在处左侧（不要求为），右侧（不要求为）， 当时，恒成立， 所以即在上单调递增，又， 此时当时，当时， 则在处取得极小值，不符合题意； 当时，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得， 此时当时，当时，则为的极大值点，符合题意； 综上可得实数的取值范围为. 30．【答案】（1）     （2） ① 当时，， 则， 因为，由可得， 当时，，即函数在上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上有且只有一个极值点； ② 单调递减.      【分析】 （1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）① 求导得，利用函数的极值点与导数的关系可证得结论成立；② 求导得，当时，判断的符号，即可得出结论. (1) 小问详解： 当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在处的切线方程. (2) 小问详解： ① 略 ② 由① 知，为函数在上的极大值点， 且， 因为，则 ， 因为，则，所以，， 故， 所以函数在上为减函数. 31．【答案】（1）     （2） 因为，. 所以，. 设，， 则 . 因为，所以，，所以. 所以即在上单调递减. 且，. 所以，使得，且唯一. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以：在区间上有且只有一个极大值点.     （3）      【分析】 （1）利用导数分析函数的单调性，可求函数的最大值. （2）利用导数分析函数的单调性，可得函数的极值的情况. （3）利用换元思想，设，将转化成，再确定的取值范围即可. (1) 小问详解： 当时，. 由，所以；由，所以. 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 所以当时，. (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 因为，所以， 设，则. 对，， 因为，，所以. 设，， 则， 令则， 当时，；当时，， 所以单调递减，，即在上恒成立. 所以在上单调递减.所以. 即， 又，所以，即. 综上：，所以，即. 32．【答案】（1）在 上单调递减，在上单调递增，极小值为1，无极大值.     （2）（i）证明：由题意知方程有两个不同的正实根 ， 由（1）知且 ，解得 ， 则 ，， 两边同时取自然对数，得 ， 两式相减得 ，即 ， 要证 ，只需证明 ， 令 ，只需证明 构造函数 ，求导得 ， 所以函数在上单调递增，于是 ，所以不等式 成立， 于是原不等式成立. （ii）证明： 结合以上分析可知当时，； 当时， ；当时， ． 所以要满足题意，则关于的方程的两根是 ， 于是 ， 对比系数得 ， 所以 ．      【分析】 （1）直接求导，即可判断单调性，据此求极值； （2）（i）函数有零点可转化为 ，从而求出 ，利用作差法得，分析法将问题转化为证明 ，利用换元法以及构造新函数，根据导数研究新函数的单调性即可得证； （ii）由（i）可讨论当时，的符号情况 ，分析可知要满足题意，则关于 的方程 的两根也是 ，等价代换得，通过对比系数可得证. (1) 小问详解： 代入，得函数的定义域为 ， 求导得 ，令 ，解得 ， 当 时， ，当 时， ， 则函数在 上单调递减，在上单调递增， 所以有极小值，无极大值. (2) 小问详解： （i）略 （ii）略 33．【答案】① ② ④ 【分析】 利用函数的最值与单调性的关系可判断① ③ 的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断② 的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④ 的正误. 【详解】 对于① ，当时，，则， 由可得，由可得或， 此时，函数的增区间为、，减区间为， 当或时，，当时，， 故函数在处取得最小值，① 对； 对于② ，， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递增，所以，， 则， 由可得， 构造函数，其中， 则， 令，其中，则， 所以，函数在上单调递减， 故当时，，则，即在上单调递减， ，则，解得，② 对； 对于③ ，，， 因为函数在上单调递增， ，，所以，存在，使得， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，对任意的实数，函数有最小值，③ 错； 对于④ ， 令，不妨令，即取， 由③ 可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 因为，则，， 所以，存在，使得， 此时函数的零点之和为，④ 对. 故答案为：① ② ④. 【点睛】 方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法： （1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用； （2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题； （3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题. 34．【答案】（1）； （2）当时，在内单调递增，在内单调递减． 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 当时，在上单调递增． 当时，在，内单调递增，在内单调递减． （3）． 【详解】（1）求在处的导数和函数值，代入直线方程即可求出切线方程； （2）求的导函数，分，，，分类讨论求和的解集，从而求出函数的单调区间； （3）由第（2）问的结果，分别讨论函数的情况，求出的取值范围. 【详解】 解：（1）当时，，，所以，． 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）因为，定义域为， 所以． ① 当时，与在上的变化情况如下： 所以在内单调递增，在内单调递减． ② 当时，与在上的变化情况如下： 所以在，内单调递增，在内单调递减． ③ 当时，，所以在上单调递增． ④ 当时，与在上的变化情况如下： 所以在，内单调递增，在内单调递减． （3）由（2）可知： ① 当时，在内单调递增，在内单调递减， 当时，取得最大值． （i）当时，， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． （ii）当时，． 因为，，在内单调递减， 所以在内有唯一零点． 因为， 所以且． 因为，， 且在内单调递增，所以在内有唯一零点． 所以当时，恰有两个零点． ② 当时，在，内单调递增，在内单调递减， 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ③ 当时，在上单调递增， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． ④ 当时，在，内单调递增，在内单调递减． 因为当时，取得极大值， 所以在上至多有一个零点，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围是． 最大值 极大值 极小值 极大值 极小值 【点睛】 方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 35．【答案】① ④ 【分析】 对① ：借助导数研究函数的单调性即可得极值点个数；对② ：借助导函数的导函数研究导函数可得导函数无零点，故函数不存在极值点；对③ ：举出反例即可得；对④ ：将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理得到直线与曲线的关系. 【详解】 对① ：当时，，， 则时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 故对任意，有1个极大值点，故① 正确； 对② ：当时，， 若存在极值点，则有变号零点，则必须有解， 令， 则， 故当时，，当时， ， 故在、上单调递增，在上单调递减， 又时，，， 即恒成立，故当时，无解，故② 错误； 对③ ：当时，， 当时，，此时函数无零点，故③ 错误； 对④ ：当时，若存在，使得有3个零点， 则直线与曲线有三个不同交点， 由直线过点，曲线过点， 又，是偶函数，且在上单调递减， 故当时，直线与曲线在第二象限必有一交点， 同理，当时，直线与曲线在第一象限必有一交点， 过点作曲线的切线，设切点为， 则切线方程为， 即，则， 由，则，即， 即，即， 故当时，存在， 使曲线有过点的切线，且切点为， 当时，切线斜率为， 则当时，有，又， 则存在，使， 此时函数单调递减，而恒成立， 故存在，使， 即当时，存在，使得有3个零点， 同理可得，当时，存在，使得有3个零点，故④ 正确. 故答案为：① ④. 【点睛】 关键点点睛：第④ 个结论关键点在于将零点个数转化为直线与曲线的交点个数，从而可通过研究过的曲线的切线，结合零点的存在性定理去得到直线与曲线的关系. 考点02 导数的综合应用（与数列、不等式等的综合） 1．【答案】（1）     （2）当时，的极小值点为；当时，无极小值点.     （3）      【分析】 （1）先求出函数在该点的导数，再结合该点的坐标，利用点斜式方程求出切线方程； （2）先求出函数的定义域，再对函数求导，根据导数的正负判断函数的单调性，进而求出极小值点; （3）先将不等式进行变形，然后构造函数，通过求函数的最小值来确定实数a的取值范围，进而得到的解析式. (1) 小问详解： 由题意得，，则，，即切线的斜率为， 又，切线方程为，即 (2) 小问详解： 令，即，解得或， 当时，，无极小值； 当时，在区间和上， 单调递增； 在区间和上， 单调递减， 的极小值点为, 当时，在区间和上， 单调递减； 在区间和上， 单调递增， 的极小值点为. 综上，当时，的极小值点为；当时，无极小值点. (3) 小问详解： 当时， 恒成立，即在上恒成立， ，，不等式两边同乘，得， 整理得，即， ，， 又，在上恒成立， 令，则，那么， ， ，，则，， 又恒成立，且趋于时，趋于， ，即. 2．【答案】（1）     （2） 由题可知切线的方程为， 即， 令， ， 由（1）可得在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递增，且， 当时，，当时，， ，， 当时，，则， 综上，当时，，单调递减，当时，，单调递增， ， 所以，除点外，曲线均在上方；     （3）      【分析】 （1）利用导数判断其单调性，即可求出最小值； （2）求出直线的方程，再构造函数，只需证明其最小值（或者下确界）大于零即可； （3）求出直线的方程，即可由题意得到的表示，从而用字母表示出，从而求出范围． (1) 小问详解： 令， 则，令，解得， 当时，，单调递减， 时，，单调递增， 所以， 即的最小值为； (2) 小问详解： 略 (3) 小问详解： 由题意，直线，直线， 所以，， 所以 ， 由（1）可得当时，当，单调递减， 时，单调递增，且时，，， ， 所以， 所以． 3．【答案】（1）① 证明如下： 当时，. 记，则. 所以在上是增函数. 所以当时，. 所以当时，. ② 证明如下： 由得，且. 当时，. 因为，， 所以. 因为对任意恒成立， 所以当时，. 所以0是的唯一极值点.     （2）      【分析】 （1）① 当时，得，故只需证明当时，即可，利用导数即可求解. ② 求导得，由此可得当时，，结合即可得证. （2）由题意设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则.再结合导数与切线斜率的关系，以及函数值，导数值之间的关系即可求解. (1) 小问详解： ① 略 ② 略 (2) 小问详解： 设曲线与曲线的两条互相垂直的“优切线”的切点的横坐标分别为，其斜率分别为，，则. 因为， 所以. 所以. 不妨设，则. 因为， 由“优切线”的定义可知. 所以. 由“优切线”的定义可知， 所以. 当，，时，取，， 则，，，，符合题意. 所以. 【点睛】 关键点睛：第一问② 的关键是，求导得，然后以为分界点讨论即可；第二问的关键是结合“优切线的定义”以及导数即可顺利得解，综合性比较强. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $