专题09 计数原理、概率、随机变量及其分布（期中真题汇编，北京专用）高三数学上学期

专题09 计数原理、概率、随机变量及其分布 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．【答案】（1）变换周期为 4，依次进行 、、、.     （2）可以变换成功，依次进行 、、、     （3）变换周期的最大值为9，表格为 7×3 网格，仅边界有数字.      【分析】 （1）每一个格都操作一次翻转即可； （2）不断尝试后得到至少4次变换； （3）先根据题意条件，找到可能的表格只有三种，然后对于各种情况进行探索，终会发现表格为 7×3 网格，此配置要求至少9 次操作才能将所有位置变为 1，且可实现.另外两种情况下需要的变换次数都相对较少. (1) 小问详解： (1) 当  时变换周期为 4. 所有变换：依次进行 、、、. 解析： 初始表格  为 2×2 矩阵，所有元素为 0（边界条件要求）。目标是将所有元素变为 1. 操作  后：改变第 1 行和第 1 列，得 . 操作  后：改变第 1 行和第 2 列，得 . 操作  后：改变第 2 行和第 1 列，得 . 操作  后：改变第 2 行和第 2 列，得 ，全为 1，变换成功. 最小操作数 ，且每个位置需被改变奇数次（从 0 到 1）. (2) 小问详解： 图示表格可以变换成功. 一种变换过程：依次进行 、、、，最终所有有数字位置为 1. (3) 小问详解： 条件要求边界（第 1 行、第  行、第 1 列、第  列）全为 0 且有数字，且总共有 16 个位置有数字（值 0）. 边界位置数为 ，令其等于 16，得 ，且 ，可能组合： （边界位置 16 个）； （边界位置 16 个）； （边界位置 16 个）. 为最大化变换周期（最小操作数 ），需选择使最小操作数最大的配置。 分析表明： 当  时， ,至少需要9次变换所有 0 都变为 1。 其他配置的最小操作数较小. 表格为 7×3 网格，此配置要求至少9 次操作才能将所有位置变为 1，且可实现. 考点02 二项式定理 1．D 2．D 3．C 4．【答案】2 【分析】 直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】 由，所以通项公式. 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：2 5．【答案】60 【分析】 求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得. 【详解】 二项式的展开式的通项公式， 由，得，则， 所以二项式的展开式中常数项为60. 故答案为：60 6．【答案】 【分析】 写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】 二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以的系数是. 故答案为： 7．【答案】① 6    ② 135 【分析】 利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】 由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 8．【答案】15 【分析】 根据给定条件，利用二项式定理直接求出指定项的系数. 【详解】 的展开式含的项为， 所以在的展开式中，的系数为15. 故答案为：15 9．【答案】20 【分析】 根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】 因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 10．【答案】① 1    ② 15 【分析】 根据二项式定理求解. 【详解】 由题意令， 令，则， 所以，在此式中令得， 所以， 故答案为：1；15. 11．【答案】 【分析】 利用二项式定理的通项有，令，解出，进而即得. 【详解】 由题意有：，令，解得, 所以的系数为:, 故答案为:. 12．【答案】（只需满足，） 【分析】 写出二项展开式通项，令的指数为零，可得出，结合，可得出的取值. 【详解】 的展开式通项为， 令，可得， 因为，，由，故， 从而可知. 故答案为：（只需满足，）. 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．【答案】（1）     （2）     （3）变大      【分析】 （1）根据条件概率求解即可； （2）根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可； （3）去掉2016年的植树数据，根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可. (1) 小问详解： 2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程， 在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程， 所以概率为． (2) 小问详解： 设事件A：优质工程的个数恰好为2． 甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， ． (3) 小问详解： 变大． 去掉2016年的植树数据， 则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共6年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共9年，其中优质工程有4年， 则. 考点04 随机变量及其分布列 1．【答案】（1）     （2）的分布列为 数学期望为1.9      0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 【分析】 （1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 (1) 小问详解： 记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． (2) 小问详解： 的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 2．【答案】（1）； （2）的分布列为 期望为； （3）. 0 1 2 3 【分析】 （1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可. 【详解】 （1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7 所以所求的概率为 （2）由题意，日营业总额达标的概率为， 的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为 所以； （3） 所以 所以 所以 0 1 2 3 3．【答案】（1）     （2） 期望为：．     （3）      X 0 1 2 P 【分析】 （1）利用样本频率估计总体概率； （2）确定随机变量取值，计算各取值概率，列出分布列，计算数学期望； （3）建立概率方程，用作差法比较大小． (1) 小问详解： 甲班随机抽取人，甲班有人答对， 甲班随机抽取1人答对该题目的概率为． (2) 小问详解： 从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为， ， 的可能取值为： ，， ， 分布列为： 期望为： ． X 0 1 2 P (3) 小问详解： 设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，， ，解得； ，解得， ， ． 4．【答案】（1） （2）X的分布列为： （3）不正确 0 1 2 【分析】 （1）根据古典概型的概率公式计算可得结果； （2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望； （3）根据方差公式计算，结合比较可得答案. 【详解】 （1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科， 所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为. （2）的所有可能取值为：0，1，2， ，，， 所以X的分布列为： 数学期望. （3）设，则， 则 ， 同理可得， ， 因为，所以， 所以 的符号不确定， 所以与无法比较大小， ， 所以， 故这种观点不正确. 0 1 2 【点睛】 关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键. 5．【答案】（1）     （2）的分布列为：     （3）      【分析】 （1）利用古典概型的概率公式计算； （2）利用古典概型和排列组合的相关知识求出分布列，最后利用期望公式即可； （3）利用，以及方差的性质即可求证. (1) 小问详解： 在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； (2) 小问详解： 由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； (3) 小问详解： 因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 6．【答案】（1）     （2） ，数学期望为     （3）      0 1 2 【分析】 （1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）在前5场比赛中，乙共获胜3场，的值为0，1，2，利用超几何分布求得对应的概率，进而可得分布列，求得期望即可； （3）通过题目条件得到10场比赛甲、乙、丙获胜的概率，根据甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差的大小关系. (1) 小问详解： 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. (2) 小问详解： 在前5场比赛中，乙共获胜3场，分别是第2场，第4场，第5场. 则的值为0，1，2， ，，， 则的分布列为： . 0 1 2 (3) 小问详解： 由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，即，，， 所以， ，故. 7．【答案】（1）     （2）的分布列为：     （3）      0 1 2 3 【分析】 （1）先确定“稳定发挥”的轮次，利用古典概型概率公式求解； （2）问题转化为求二项分布的分布列和期望求解； （3）先求超几何分布的期望，再与比较大小. (1) 小问详解： 10轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有8轮. 所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为： . (2) 小问详解： 用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为， 因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数， 即，， ，. 所以的分布列为： 且. 0 1 2 3 (3) 小问详解： 的值可以为：0，1，2 且，，. 所以. 所以. 8．【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据表格数据，第2组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，根据独立事件概率公式可求概率； （3）由两点分布方差计算公式可求得的值，由此可得大小关系． (1) 小问详解： 设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第2组所有鸡冠花中，有15株鸡冠花增量为厘米， 所以估计为； (2) 小问详解： 设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为，估计为， 这3株鸡冠花中恰有两株的株高增量为厘米的概率为 (3) 小问详解： 由题意，为两点分布变量，令， 则， 根据两点分布方差公式，可得. 因此. 9．【答案】（1）人     （2）分布列为：     （3）      【分析】 （1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. (1) 小问详解： ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； (2) 小问详解： 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； (3) 小问详解： ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 10．【答案】（1）     （2）的分布列为 期望为     （3）      0 1 2 3 4 【分析】 （1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. (1) 小问详解： 由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； (2) 小问详解： 用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 ． 0 1 2 3 4 (3) 小问详解： 低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理、概率、随机变量及其分布 4大高频考点概览 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在m行n列的表格（，m，）中某些位置填入实数0，已知其第1行，第m行，第1列，第n列均填入0.若中第行第列（，，，）的位置存在数，则称“将其所在行和所在列中的任意实数x变为”为进行一次变换，记作，并得到表格.以此类推，对进行一次变换得到表格，……，对进行一次变换得到表格，当中的数全为1时，称变换成功并结束变换，记满足条件的最小的t值为的变换周期. （1）当时，直接写出的变换周期，及进行的所有变换； （2）若表格如图所示，问是否可以变换成功？若能，写出一种变换过程；若不能，说明理由； （3）已知m行n列（）的表格中恰好只有四周填有数字，共16个0，且能够变换成功，求所有满足条件的的变换周期的最大值及此时对应的表格. 【答案】（1）变换周期为 4，依次进行 、、、.     （2）可以变换成功，依次进行 、、、     （3）变换周期的最大值为9，表格为 7×3 网格，仅边界有数字.      【分析】 （1）每一个格都操作一次翻转即可； （2）不断尝试后得到至少4次变换； （3）先根据题意条件，找到可能的表格只有三种，然后对于各种情况进行探索，终会发现表格为 7×3 网格，此配置要求至少9 次操作才能将所有位置变为 1，且可实现.另外两种情况下需要的变换次数都相对较少. (1) 小问详解： (1) 当  时变换周期为 4. 所有变换：依次进行 、、、. 解析： 初始表格  为 2×2 矩阵，所有元素为 0（边界条件要求）。目标是将所有元素变为 1. 操作  后：改变第 1 行和第 1 列，得 . 操作  后：改变第 1 行和第 2 列，得 . 操作  后：改变第 2 行和第 1 列，得 . 操作  后：改变第 2 行和第 2 列，得 ，全为 1，变换成功. 最小操作数 ，且每个位置需被改变奇数次（从 0 到 1）. (2) 小问详解： 图示表格可以变换成功. 一种变换过程：依次进行 、、、，最终所有有数字位置为 1. (3) 小问详解： 条件要求边界（第 1 行、第  行、第 1 列、第  列）全为 0 且有数字，且总共有 16 个位置有数字（值 0）. 边界位置数为 ，令其等于 16，得 ，且 ，可能组合： （边界位置 16 个）； （边界位置 16 个）； （边界位置 16 个）. 为最大化变换周期（最小操作数 ），需选择使最小操作数最大的配置。 分析表明： 当  时， ,至少需要9次变换所有 0 都变为 1。 其他配置的最小操作数较小. 表格为 7×3 网格，此配置要求至少9 次操作才能将所有位置变为 1，且可实现. 考点02 二项式定理 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）展开式中的系数为10，则实数a等于【】 A. -1 B.  C. 1 D. 2 【答案】D 【详解】解：∵Tr+1=C5r•x5-r•（a /x ）r=arC5rx5-2r， 又令5-2r=3得r=1， ∴由题设知C51•a1=10⇒a=2． 故选D 2．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在的展开式中，的系数为（       ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 【答案】D 【分析】 由二项展开式的通项公式即可求解. 【详解】 通项公式， 令，得，所以的系数为， 故选：D 【详解】 3．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）若，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  【答案】C 【分析】 根据已知等式的性质，利用赋值法求出常数项及包含目标表达式的等式，进而计算出目标表达式的值． 【详解】 ， 令，则， 令，则， ． 故选：C． 4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在展开式中，的系数为，那么实数　　　　　． 【答案】2 【分析】 直接根据二项式的展开式的通项公式计算可得结果. 【详解】 由，所以通项公式. 令，解得， 所以的系数为. 故答案为：2 5．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）二项式的展开式中常数项为 　　　　　　　　　　.(用数字作答) 【答案】60 【分析】 求出二项式展开式的通项公式，再求出的指数为0的项即得. 【详解】 二项式的展开式的通项公式， 由，得，则， 所以二项式的展开式中常数项为60. 故答案为：60 6．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）在的展开式中，的系数是　　　　　　　　　　． 【答案】 【分析】 写出展开式的通项，利用通项计算可得. 【详解】 二项式展开式的通项为（且）， 令，解得，所以， 所以的系数是. 故答案为： 7．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在的展开式中，若二项式系数的和等于，则　　　　　　　　，此时的系数是　　　　　　　.（用数字作答） 【答案】① 6    ② 135 【分析】 利用二项式系数的和等于，求解值，利用通项公式求解的系数. 【详解】 由二项式系数的和等于，则，； 通项公式为， 令，所以的系数为. 故答案为：；. 8．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在的展开式中，的系数为　　　　　　　　．（用数字作答） 【答案】15 【分析】 根据给定条件，利用二项式定理直接求出指定项的系数. 【详解】 的展开式含的项为， 所以在的展开式中，的系数为15. 故答案为：15 9．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为　　　　　　　　　　　 【答案】20 【分析】 根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】 因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 10．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知，则　　　　　；　　　　　. 【答案】① 1    ② 15 【分析】 根据二项式定理求解. 【详解】 由题意令， 令，则， 所以，在此式中令得， 所以， 故答案为：1；15. 11．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）的展开式中的系数　　　　　　.（用数字作答） 【答案】 【分析】 利用二项式定理的通项有，令，解出，进而即得. 【详解】 由题意有：，令，解得, 所以的系数为:, 故答案为:. 12．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值　　　　　　． 【答案】（只需满足，） 【分析】 写出二项展开式通项，令的指数为零，可得出，结合，可得出的取值. 【详解】 的展开式通项为， 令，可得， 因为，，由，故， 从而可知. 故答案为：（只需满足，）. 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． （1）从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； （2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； （3）若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 【答案】（1）     （2）     （3）变大      【分析】 （1）根据条件概率求解即可； （2）根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可； （3）去掉2016年的植树数据，根据古典概型及独立事件的概率乘法公式计算即可. (1) 小问详解： 2015至2020这六年中，丙有4年被认定为优质工程， 在这4年中，只有2015年甲、乙两个林场均被认定为优质工程， 所以概率为． (2) 小问详解： 设事件A：优质工程的个数恰好为2． 甲林场植树共6年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共7年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共10年，其中优质工程有5年， ． (3) 小问详解： 变大． 去掉2016年的植树数据， 则甲林场植树共5年，其中优质工程有3年， 乙林场植树共6年，其中优质工程有4年， 丙林场植树共9年，其中优质工程有4年， 则. 考点04 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 【答案】（1）     （2）的分布列为 数学期望为1.9      0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 【分析】 （1）求出甲、乙、丙三人共投中2次的概率，再求出在此条件下有1次是甲投中的概率； （2）写出的所有可能取值，求出对应概率，列出分布列，求出数学期望 (1) 小问详解： 记“甲、乙、丙三人共投中2次”为事件，“甲投中”为事件． ， ． (2) 小问详解： 的所有可能取值为0，1，2，3． ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 2．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）的分布列为 期望为； （3）. 0 1 2 3 【分析】 （1）依据题意线下销售达标的有3家，然后简单计算即可. （2）由二项分布的概率公式运算即可得解； （3）根据数据进行计算然后直接判断即可. 【详解】 （1）由题可知：线下销售达标的有3家，分别是：门店3，门店6，门店7 所以所求的概率为 （2）由题意，日营业总额达标的概率为， 的所有可能取值为：0，1，2，3， 所以，，，， 所以的分布列为 所以； （3） 所以 所以 所以 0 1 2 3 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． （1）从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； （2）从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； （3）若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）． 【答案】（1）     （2） 期望为：．     （3）      X 0 1 2 P 【分析】 （1）利用样本频率估计总体概率； （2）确定随机变量取值，计算各取值概率，列出分布列，计算数学期望； （3）建立概率方程，用作差法比较大小． (1) 小问详解： 甲班随机抽取人，甲班有人答对， 甲班随机抽取1人答对该题目的概率为． (2) 小问详解： 从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，设甲班答对概率为，乙班答对概率为， ， 的可能取值为： ，， ， 分布列为： 期望为： ． X 0 1 2 P (3) 小问详解： 设甲班答对概率为，乙班答对概率为，则，， ，解得； ，解得， ， ． 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示： 语文 数学 英语 物理 化学 生物 第一次 87 92 91 92 85 93 第二次 82 94 95 88 94 87 （1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率； （2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望； （3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示： 语文 数学 英语 物理 化学 生物 6科成绩均值 6科成绩方差 第一次 第二次 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”) 【答案】（1） （2）X的分布列为： （3）不正确 0 1 2 【分析】 （1）根据古典概型的概率公式计算可得结果； （2）计算出的各个取值的概率可得分布列，根据期望公式计算可得数学期望； （3）根据方差公式计算，结合比较可得答案. 【详解】 （1）共有6科成绩，其中成绩大于90分的有数学、英语、物理和生物共4科， 所以从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，该科成绩大于90分的概率为. （2）的所有可能取值为：0，1，2， ，，， 所以X的分布列为： 数学期望. （3）设，则， 则 ， 同理可得， ， 因为，所以， 所以 的符号不确定， 所以与无法比较大小， ， 所以， 故这种观点不正确. 0 1 2 【点睛】 关键点点睛：掌握求离散型随机变量的分布列的步骤和数学期望公式是解题关键. 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 【答案】（1）     （2）的分布列为：     （3）      【分析】 （1）利用古典概型的概率公式计算； （2）利用古典概型和排列组合的相关知识求出分布列，最后利用期望公式即可； （3）利用，以及方差的性质即可求证. (1) 小问详解： 在9处中轴线遗产点中，随机选取3处共有种， 因类遗产点只有3处，故选取的3处遗产点都为类的概率为； (2) 小问详解： 由题意可知，的可能取值为， 其中：选取的3处遗产点为同一类型，共种； ：处中包含两种类型，一种1个，一种2个，共有种； ：从三种类型中各选一个，共有种， 则，，， 则的分布列为： 则数学期望为； (3) 小问详解： 因，则，， 则，， 又由于具有相同的分布，故， 故. 6．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 【答案】（1）     （2） ，数学期望为     （3）      0 1 2 【分析】 （1）从表格中可以发现甲获胜的场数为3场，从而得到甲获胜的概率； （2）在前5场比赛中，乙共获胜3场，的值为0，1，2，利用超几何分布求得对应的概率，进而可得分布列，求得期望即可； （3）通过题目条件得到10场比赛甲、乙、丙获胜的概率，根据甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，从而得到方差的大小关系. (1) 小问详解： 根据三人投篮得分统计数据，在10场比赛中，甲共获胜3场，分别是第3场，第8场，第10场. 设表示“从10场比赛中随机选择一场，甲获胜”，则. (2) 小问详解： 在前5场比赛中，乙共获胜3场，分别是第2场，第4场，第5场. 则的值为0，1，2， ，，， 则的分布列为： . 0 1 2 (3) 小问详解： 由题意，每场比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙获胜的概率为， 还需要进行6场比赛，甲、乙、丙获胜的场数符合二项分布，即，，， 所以， ，故. 7．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. （1）若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 【答案】（1）     （2）的分布列为：     （3）      0 1 2 3 【分析】 （1）先确定“稳定发挥”的轮次，利用古典概型概率公式求解； （2）问题转化为求二项分布的分布列和期望求解； （3）先求超几何分布的期望，再与比较大小. (1) 小问详解： 10轮比赛中，除第二、六两轮不是“稳定发挥”，“稳定发挥”的有8轮. 所以从以上十轮比赛中任选两轮，这两轮均“稳定发挥”的概率为： . (2) 小问详解： 用频率估计概率，每轮能“稳定发挥”的概率为， 因为甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，所以“稳定发挥”的轮数， 即，， ，. 所以的分布列为： 且. 0 1 2 3 (3) 小问详解： 的值可以为：0，1，2 且，，. 所以. 所以. 8．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对植物影响情况.其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 11 18 9 2 第2组鸡冠花株数 5 15 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 12 3 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. （1）从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，这3株鸡冠花中恰有两株的株高增量为厘米的概率； （3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1）     （2）     （3）      【分析】 （1）根据表格数据，第2组所有鸡冠花中随机选取1株，得厘米的总数，由古典概型概率公式可得结果； （2）首先估计各组鸡冠花增量为厘米的概率，根据独立事件概率公式可求概率； （3）由两点分布方差计算公式可求得的值，由此可得大小关系． (1) 小问详解： 设事件为“从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，第2组所有鸡冠花中，有15株鸡冠花增量为厘米， 所以估计为； (2) 小问详解： 设事件为“从第1组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 设事件为“从第3组所有鸡冠花中随机选取1株，株高增量为厘米”， 根据题中数据，估计为，估计为， 这3株鸡冠花中恰有两株的株高增量为厘米的概率为 (3) 小问详解： 由题意，为两点分布变量，令， 则， 根据两点分布方差公式，可得. 因此. 9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 【答案】（1）人     （2）分布列为：     （3）      【分析】 （1）根据频率分布直方图分析数据得频率即可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）确定从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率，结合二项分布的概率求解的分布列与数学期望即可； （3）根据超几何分布的概率求解的分布列与数学期望即可得结论. (1) 小问详解： ， 故可估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数为人； (2) 小问详解： 从中任取一人，其阅读速度达到540字/分钟及以上的概率为： ， 的可能取值为、、、， ， ， ， ， 则其分布列为： 其期望为：； (3) 小问详解： ，理由如下： 这10名学生中，阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为人，的可能取值为、、， ，，， 则，故. 10．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； （2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 【答案】（1）     （2）的分布列为 期望为     （3）      0 1 2 3 4 【分析】 （1）利用频率来估计概率即可； （2）由于是从该市全体中来抽取，即从总体中来抽取，故用频率估计概率，再结合独立事件同时发生用乘法公式和分类加法原理来求解； （3）利用全概率公式来进行求解. (1) 小问详解： 由表可知300名调查者中愿意购买纯电动版人数为180人，频率为， 用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为； (2) 小问详解： 用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买插电混动版（PHEV）的概率， 由题意的可能取值为0，1，2，3，4 ， ， ． 所以的分布列为 ． 0 1 2 3 4 (3) 小问详解： 低收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 中收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为； 高收入者愿意购买纯电动版（EV）的概率为． 利用全概率公式可得：． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 计数原理、概率、随机变量及其分布 4大高频考点概览 考点01 排列与组合 考点02 二项式定理 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 考点04 随机变量及其分布列 考点01 排列与组合 1．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）在m行n列的表格（，m，）中某些位置填入实数0，已知其第1行，第m行，第1列，第n列均填入0.若中第行第列（，，，）的位置存在数，则称“将其所在行和所在列中的任意实数x变为”为进行一次变换，记作，并得到表格.以此类推，对进行一次变换得到表格，……，对进行一次变换得到表格，当中的数全为1时，称变换成功并结束变换，记满足条件的最小的t值为的变换周期. （1）当时，直接写出的变换周期，及进行的所有变换； （2）若表格如图所示，问是否可以变换成功？若能，写出一种变换过程；若不能，说明理由； （3）已知m行n列（）的表格中恰好只有四周填有数字，共16个0，且能够变换成功，求所有满足条件的的变换周期的最大值及此时对应的表格. 考点02 二项式定理 1．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）展开式中的系数为10，则实数a等于【】 A. -1 B.  C. 1 D. 2 2．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在的展开式中，的系数为（       ） A. 10 B. -10 C. 40 D. -40 3．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）若，则（       ） A.  B. 1 C.  D.  4．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）在展开式中，的系数为，那么实数　　　　　． 5．（25-26学年高三上·北京第十四中学·期中）二项式的展开式中常数项为 　　　　　　　　　　.(用数字作答) 6．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）在的展开式中，的系数是　　　　　　　　　　． 7．（25-26学年高三上·北京育才学校·期中）在的展开式中，若二项式系数的和等于，则　　　　　　　　，此时的系数是　　　　　　　.（用数字作答） 8．（25-26学年高三上·北京丰台区新北赋学校·期中）在的展开式中，的系数为　　　　　　　　．（用数字作答） 9．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为　　　　　　　　　　　 10．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）已知，则　　　　　；　　　　　. 11．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）的展开式中的系数　　　　　　.（用数字作答） 12．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）在的展开式中存在常数项，写出一个满足条件的正整数的值　　　　　　． 考点03 古典概型、条件概率、全概率公式 1．（25-26学年高三上·北京第一六六中学·期中）“绿水青山就是金山银山”，某地区甲、乙、丙三个林场开展植树工程，2015-2024年的植树成活率（%）统计如下：（表中“”表示该年没有植树）： 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 甲 95.5 92 96.5 91.6 96.3 94.6 / / / / 乙 95.1 91.6 93.2 97.8 95.6 92.3 96.6 / / / 丙 97.0 95.4 98.2 93.5 94.8 95.5 94.5 93.5 98.0 92.5 规定：若当年植树成活率大于95%，则认定该年为优质工程． （1）从2015至2020这六年中随机抽取一年，在丙被认定为优质工程的条件下，求甲、乙两个林场均被认定为优质工程的概率； （2）从甲、乙、丙三个林场植树的年份中各抽取一年，求其中优质工程的个数恰好为2的概率； （3）若去掉2016年甲、乙、丙三个林场的植树数据，那么第（2）问中的概率将会如何变化？（直接回答“变大”、“不变”或“变小”即可） 考点04 随机变量及其分布列 1．（25-26学年高三上·北京东直门中学·期中）甲、乙、丙三人各投篮1次．已知甲、乙、丙投篮的命中率分别是0.5，0.6，0.8．每个人能否投中相互独立． （1）在甲、乙、丙三人共投中2次的条件下，求其中有1次是甲投中的概率； （2）记甲、乙、丙三人共投中次，求的分布列和期望． 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 0 1 2 3 0.04 0.26 0.46 0.24 2．（25-26学年高三上·北京第一六一中学·期中）某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门店中随机抽取8家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行调查．调查结果如下： 门店1 门店2 门店3 门店4 门店5 门店6 门店7 门店8 线下日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5 线上日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15 若某门店一种销售模式下的日营业额不低于15万元，则称该门店在这种销售模式下的日营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于30万元，则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．（各门店的营业额之间互不影响） （1）从8个样本门店中随机抽取3个，求抽取的3个门店的线下日营业额均达标的概率； （2）若从该地区众多门店中随机抽取3个门店，记随机变量X表示抽到的日营业总额达标的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的概率，求X的分布列和数学期望； （3）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为和，线下日营业额和线上日营业额的样本方差分别记为和．试判断和的大小，以及和的大小．（结论不要求证明） 0 1 2 3 0 1 2 3 3．（25-26学年高三上·北京第五十五中学·期中）有一道选择题考查了一个数学知识点，为了解甲、乙两个班学生对该知识点的掌握情况，现从甲、乙两个班各随机抽取人，甲班有人答对，乙班有人答对，用频率估计概率，且假设每个人是否答对该题目相互独立． （1）从甲班随机抽取1人，求这个人答对该题目的概率； （2）从甲、乙两班各随机抽取1人，设为答对该题目的人数，求的分布列和数学期望； （3）若甲班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，乙班同学掌握这个知识点则有的概率答对该题目，两个班未掌握该知识点的同学都是从四个选项中随机选择一个．设甲班学生掌握该知识点的概率为，乙班学生掌握该知识点的概率为，试比较与的大小（结论不要求证明）． X 0 1 2 P X 0 1 2 P 4．（25-26学年高三上·北京第一七一中学·期中）小明同学两次测试成绩(满分100分)如下表所示： 语文 数学 英语 物理 化学 生物 第一次 87 92 91 92 85 93 第二次 82 94 95 88 94 87 （1）从小明同学第一次测试的科目中随机抽取1科，求该科成绩大于90分的概率； （2）从小明同学第一次测试和第二次测试的科目中各随机抽取1科，记X为抽取的2科中成绩大于90分的科目数量，求X的分布列和数学期望； （3）现有另一名同学两次测试成绩(满分100分)及相关统计信息如下表所示： 语文 数学 英语 物理 化学 生物 6科成绩均值 6科成绩方差 第一次 第二次 将每科两次测试成绩的均值作为该科的总评成绩，这6科总评成绩的方差为.有一种观点认为：若，则.你认为这种观点是否正确？(只写“正确”或“不正确”) 0 1 2 0 1 2 5．（25-26学年高三上·北京北京汇文中学·期中）北京中轴线位于北京老城中心，纵贯老城南北，是统领整个老城规划格局的建筑与遗址的组合体，其中9处中轴线遗产点分为A、B、C三种类型，如下表： 类型 A（古代皇家宫苑建筑） B（古代皇家祭祀建筑） C（古代城市管理设施） 中轴线遗产点 景山 故宫 端门 太庙 社稷坛 天坛 钟鼓楼 正阳门 永定门 在上述9处中轴线遗产点中，某研学团队计划随机选取3处进行研学 （1）求选取的3处遗产点都为A类的概率； （2）设选取的3处遗产点的类型种数为X，求X的分布列及数学期望； （3）设选取的3处遗产点中，A，B，C类遗产点的个数分别为，，，记，，，直接写出方差，与大小关系．（无需证明） 6．（25-26学年高三上·北京西城外国语学校·期中）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10场，规定每场比赛分数最高者获胜，三人得分（单位：分）情况统计如下： 场次 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 甲 8 10 10 7 12 8 8 10 10 13 乙 9 13 8 12 14 11 7 9 12 10 丙 12 11 9 11 11 9 9 8 9 11 （1）从上述10场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率； （2）在前5场比赛中任选两场，设表示乙获胜的场数，求的分布列和数学期望 （3）假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用频率估计概率．甲、乙、丙三人接下来又进行6场投篮比赛，设为甲获胜的场数，为乙获胜的场数，为丙获胜的场数，写出方差的大小关系． 0 1 2 0 1 2 7．（25-26学年高三上·北京北京师范大学附属中学·期中）某项射击比赛的规则如下：比赛可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮比赛，分数如下表： 轮次 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 第一次分数 7 6 8 9 8 5 9 7 10 9 第二次分数 8 7 9 10 8 9 8 7 9 9 若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”. （1）若从以上十轮比赛中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率； （2）假设甲再参加三轮比赛每轮得分情况相互独立，用频率估计概率.记X为甲在这三轮比赛中“稳定发挥”的轮数，求X的分布列和数学期望； （3）假设选手乙参加10轮射击比赛，恰有8轮“稳定发挥”.从这10轮比赛中任选2轮，记Y为乙在这两轮比赛中“稳定发挥”的轮数，直接写出与的大小关系（结论不要求证明）. 0 1 2 3 0 1 2 3 8．（25-26学年高三上·北京顺义区第一中学·期中）某高校“植物营养学专业”学生将鸡冠花的株高增量作为研究对象，观察速效肥和缓释肥对植物影响情况.其中速效肥、缓释肥、未施肥三种处理下的鸡冠花分别对应1，2，3三组.观察一段时间后，分别从1，2，3三组随机抽取40株鸡冠花作为样本，得到相应的株高增量数据整理如下表. 株高增量（单位：厘米） 第1组鸡冠花株数 11 18 9 2 第2组鸡冠花株数 5 15 16 4 第3组鸡冠花株数 13 12 12 3 假设用频率估计概率，且所有鸡冠花生长情况相互独立. （1）从第2组所有鸡冠花中随机选取1株，估计株高增量为厘米的概率； （2）分别从第1组，第2组，第3组的所有鸡冠花中各随机选取1株，这3株鸡冠花中恰有两株的株高增量为厘米的概率； （3）用“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，“”表示第组鸡冠花的株高增量为厘米，，直接写出方差，，的大小关系.（结论不要求证明） 9．（25-26学年高三上·北京第八中学·期中）某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，将测试结果整理得到如下频率分布直方图： （1）若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数； （2）用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，求的分布列与数学期望； （3）若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506，516，553，592，617，632，667，693，723，776，从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为，试判断数学期望与（2）中的的大小. 10．（25-26学年高三上·北京昌平区第一中学·期中）某汽车品牌计划推出两款新车型：纯电动版（EV）和插电混动版（PHEV）在某市随机调查了300名消费者的购买意愿，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）． 车型 低收入群体（20万/年） 中收入群体（20万/年-50万/年） 高收入群体（50万/年） 愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意 EV 70 30 70 50 40 40 PHEV 20 80 60 60 60 20 假设所有消费者的购买意愿相互独立，用频率估计概率． （1）从该市全体消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动版（EV）的概率； （2）从该市全体中收入群体和高收入群体中各自随机抽取2人，记为这4人中愿意购买插电混动版（PHEV）的人数，求的分布列和数学期望； （3）假设该市社区内的低收入，中收入和高收入的消费者人数之比为，从社区的全体消费者中随机抽取1人，将其愿意购买纯电动版（EV）的概率估计值记为，试比较与的大小． 0 1 2 3 4 0 1 2 3 4 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $